[thuvientoan.net] Chuyên đề chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba điểm đồng quy

 Nguyễn Công Lợi CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG ĐỒNG QUY Nghệ An, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐIỂM ĐỒNG QUY LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website thuvientoan.net giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán ba điểm thẳng hàng ba điểm đồng quy Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán ba điểm thẳng hàng ba điểm đồng quy thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần:  Hệ thông kiến thức cần nhớ  Các thí dụ minh họa  Bài tập tự luyện  Hướng dẫn giải Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề ba điểm thẳng hàng ba điểm đồng quy giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CÁC BÀI TOÁN VỂ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG ĐỒNG QUY A CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG I Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp 1: Sử dụng góc bù Nếu có ABx  xBC  1800 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua điểm ngồi đường thẳng kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho Do đó, qua điểm A ta kẻ AB AC song song với đường thẳng d A, B, C thẳng hàng Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB AC song song với đườngthẳng d Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề đường thẳng vng góc Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB AC vng góc với đường thẳng d Phương pháp 4: Sử dụng tia trùng đối Nếu hai tia MA, MB trùng đối điểm M, A, B thẳng hàng Phương pháp 5: Thêm điểm Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng xác định thêm điểm D khác A, B, C sau chứng minh hai ba ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng hình đuy Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng với C thuộc hình H Ta gọi C’ giao điểm AB với hình H tìm cánh chứng minh hai điểm C C’ trùng Phương pháp 7: Sử dụng định lý Menelaus Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng khơng có điểm nào, có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi A’, B’, C’ thẳng hàng A ' B B 'C C ' A 1 A 'C B ' A C ' B Chứng minh Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com + Trường hợp 1: Trong điểm A’, B’, C’ có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC Giả sử l| B’, C’ - Điều kiện cần: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ M Ta có C'A AM B ' C A ' C A'B B ' C C ' A AM A ' C A ' B Vậy  ;   1 C ' B A ' B B ' A AM A ' C B ' A C ' B A ' B AM A ' C - Điều kiện đủ: Gọi A’’ l| giao B’C’ với BC [p dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B B ' C C ' A A'B B ' C C ' A  mà 1 A '' C B ' A C ' B A'C B' A C' B nên A''B A ' B Do B’, C’ thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngo|i cạnh BC  A '' C A ' C Vậy A''B A ' B v| A’, A’’ nằm ngo|i cạnh BC suy A ''  A ' Do A’, B’, C’ thẳng  A '' C A ' C hàng + Trường hợp 2: Trong điểm A’, B’, C’ khơng có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC chứng minh tương tự II Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình thang ABCD có AB//CD Gọi O l| giao điểm hai đường chéo AC v| BD Gọi M, N, P l| trung điểm AB, BC, AD Gọi E l| trung điểm PN Chứng minh ba điểm M, O, E thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Trên sở hình vẽ v| c{c yếu tố trung điểm ta nhận thấy gọi K l| trung điểm CD tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, ba điểm M, O, E thẳng h|ng Để có M, O, E ta cần ta M, K, O thẳng h|ng Do O l| giao điểm hai đường chéo nên ta thấy có c{c tam gi{c đồng dạng Do tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh KOM  1800 Lời giải Gọi K l| trung điểm CD Khi tam gi{c ABD có M v| P l| trung điểm AB v| AD nên PM l| đường trung bình, PM//BD PM  Từ suy tứ gi{c MNKP l| hình bình BD M A B h|nh, hai đường chéo NP v| MK cắt O E hay ba điểm M, K, E thẳng h|ng P E Dễ thấy hai tam gi{c OAB v| OCD đồng dạng nên ta OA AB M| lại có  OC CD Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi D K N C TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AM  1 AB, CK  CD nên ta 2 OA AM  OC CK Xét hai tam giác OAM OCK có OAM  OCK OA AM nên ta OAM ∽ OCK  OC CK Từ suy AOM  COK Mà ta có AOM  MOC  AOC  1800 nên ta MOK  COK  MOC  AOM  MOC  1800 Do ba điểm M, O, K thẳng h|ng Từ dẫn đến ba điểm M, O, E thẳng h|ng Ví dụ Cho tam gi{c ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi M l| điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O) Gọi A1; B1;C1 theo thứ tự l| hình chiếu M BC, CA, AB Chứng minh ba điểm A1; B1;C1 thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Trên sở hình vẽ v| giả thiết b|i to{n ta nhận thấy c{c tứ gi{c nội tiếp Điều n|y cho ta c{c góc nội tiếp Do từ yêu cầu chứng minh ba điểm A1; B1;C1 thẳng h|ng ta nghĩ đến chứng minh C1A1B  BA1B1  1800 Muốn ta cần C1A1B  B1A1C Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử điểm M thuộc cung A nhỏ BC Ta có BC1M  BA1M  900 nên tứ gi{c MA1C1B nội tiếp Do ta BA1C1  BMC1 Lại có MA1C  MB1C  900 nên tứ gi{c MA1CB1 nội tiếp Do ta CA1B1  CMB1 B1 O B A1 C C1 M Mặt kh{c ta lại có BAC  BMC  BAC  B1MC1  1800 nên BMC  B1MC1 Từ ta B1MC  C1MB Kết hợp c{c kết ta C1A1B  B1A1C Từ suy ta C1A1B  BA1B1  B1A1C  BA1B1  1800 nên ba điểm A1; B1;C1 thẳng h|ng Nhận xét: Đường thẳng chứa ba điểm A1; B1;C1 gọi đường thẳng Simsơn tam giác ABC ứng với điểm M Nếu M trùng với đỉnh tam giác ABC đường thẳng Simsơn đường cao tương ứng Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ví dụ Cho tam gi{c ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Điểm M cung nhỏ BC Gọi E, F thứ tự l| c{c điểm đối xứng M qua AB, AC Gọi H l| trực t}m trực t}m ABC Chứng minh E, H, F thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Trên sở hình vẽ, tính tính đối xứng v| c{c tứ gi{c nội tiếp ta suy c{c cặp góc BHA '  BEA , EHB  EAB  MAB hay A ' HC  ABC CHF  MAC Do để chứng minh ba điểm E, H, F thẳng h|ng ta chứng minh EHB  BHA '  A ' HC  CHF  1800 Lời giải Gọi B’ l| giao điểm BH v| AC, A’ l| A giao điểm AH v| BC Khi tứ gi{c B' HA’CB’ nội tiếp nên F C' H BHA '  A ' CB'  BCA  AMB  BEA O E Từ ta tứ gi{c AHBE nội tiếp nên suy EHB  EAB  MAB Hoàn toàn B C A' M tương tự ta có A ' HC  ABC CHF  MAC Từ ta EHB  BHA '  A ' HC  CHF  MAB  ACB  ABC  MAC  ABC  BAC  ACB  1800 Suy EHF  1800 nên ba điểm E, H, F thẳng h|ng Nhận xét: Đường thẳng qua điểm E, H, F nói có tên đường thẳng Steiner ứng với điểm M Ví dụ Cho tứ gi{c ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) C{c tia AB, DC cắt M, c{c tia AD, BC cắt nha N Đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MBC cắt MN K kh{c M Gọi T l| giao điểm AC v| BD Chứng minh ba điểm O, T, K thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Quan s{t hình vẽ ta nhận thấy OK v| TK vng góc với MN Do ta hướng đến sử dụng quan hệ vng góc để chứng minh ba điểm thẳng h|ng Ta gọi S l| giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ACM với MT C{c tứ gi{c AMCS v| ABTS nội tiếp nên MT.TS  R2  OT2 MT.MS  OM2  R2 Từ MT2  OM2  OT2  2R2 Ho|n to|n tương tự ta NT2  ON2  OT2  2R2 Do suy MT2  NT2  OM2  ON2 nên OT  MN Như b|i to{n chứng minh ta OK  MN Muốn ta cần OKM  900 Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi S l| giao điểm đường tròn ngoại N tiếp tam gi{c ACM với MT Khi tứ gi{c AMCS nội tiếp đường tròn nên dễ d|ng suy D MT.TS  AT.TC  R2  OT2 MSA  MCA , MCA  MBD Và K S nên ta MBD  MSA Do tứ gi{c ABTS nội tiếp đường trịn, ta C O T M MT.MS  OM2  R2 Từ ta B A MT.MS  MT.TS  OM2  OT2  2R2 Suy MT2  OM2  OT2  2R2 Tương tự ta NT2  ON2  OT2  2R2 Do ta MT2  NT2  OM2  ON2 Từ ta OT  MN Mặt kh{c ta lại có MBC  ADC CKN  MBC nên ta ADC  CKN Từ suy tứ gi{c DCKN nội tiếp đường trịn, DKN  DCN M| ta lại có DCN  MAD nên ta DKN  MAD , suy tứ gi{c AMKD nội tiếp đường tròn Nên ta AKM  ADM  CKN Do AOC  AKC  2ADM  AKC  AKM  CKN  AKC  1800 Suy tứ gi{c AOCK nội tiếp đường trịn M| ta có OA  OC nên OA  OC , suy AKO  OKC Do OKM  AKO  AKM  900 hay OK  MN Như ta có OT  MN OK  MN nên OT v| OK trùng Vậy ba điểm O, T, K thẳng h|ng Ví dụ Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC v| BD cắt O Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM  AB Đường thẳng qua D v| vng góc với đường thẳng MO cắt AC E Gọi F l| giao điểm MO v| CD Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Lấy K l| trung điểm DF ta nhận thấy OK song song với BF Để chứng minh ba điểm B, E, F thẳng h|ng ta cần EF vng góc với OK Muốn ta cần chứng minh EF l| đường trung bình tam gi{c COK hay chứng minh E l| trung điểm OC Lời giải Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi H l| giao điểm MO v| DE, ta A M B HO  DE H, tam gi{c OHE vng H Từ ta HOE  OEH  900 , mà ta có MOA  BOM  900 HOE  MOA nên ta suy OEH  BOM O E Ta lại có MBO  ABC; DAE  DAB H Xét hai tam giác MBO DAE có MBO  DAE D K F C BOM  AED nên MBO ∽ DAE BO MB Ta có AM  MB  AB AM  AB nên ta MB  AB ,  AE AD 3 MB suy MB  AD Do ta  Mà ta có AE  AO  OE OA  OB nên ta AD 1 BO  OB  OE  OB  2OE Do OE  OB  OC , nên E l| trung điểm 2 Do ta   OC Xét hai tam giác COF AOM có FOC  MOA , OA  OC OCF  OAM 1 AB nên CF  CD  FD  CD 3 1 Gọi K l| trung điểm FD, ta FK  KD  FD  CD Do ta COF  AOM nên CF  AM Mà AM  Trong tam gi{c BDF có O l| trung điểm BD v| K l| trung điểm FD nên OK l| đường trung bình tam gi{c DBF Do OK//BF Chứng minh ho|n to|n tương tự ta EF//OK Do theo tiên đề Ơclit BF v| EF trùng hay ba điểm B, E, F thẳng hàng Ví dụ Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia CB lấy điểm E, tia đối tia DA lấy điểm F cho AF  BE Vẽ EH vng góc với BF lại H Trên tia đối tia EH lấy điểm K cho EK  BF Chứng minh rẳng ba điểm A, C, K thẳng h|ng Lời giải Kẻ KM vng góc với AB M Gọi N l| giao điểm EF với KM Trong tứ gi{c ABEF có BE//AF BE  AF nên tứ gi{c ABEF l| hình bình h|nh Lại có ABF  900 nên ABEF hình chữ nhật Từ ta BEN  900 Tứ gi{c BENM có BMN  MBE  BEN  900 nên tứ gi{c BENM l| hình chữ nhật Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ MNE  900 nên ENK  900 M K N Xét hai tam giác vng EBF NEK có BF  EK EBF  NEK Do ta EBF  NEK , suy BE  EN, EF  NK Hình chữ nhật BENM C B có BE  EN nên tứ gi{c BENM l| hình vng Do E suy BM  MN H Mặt kh{c AB  NK  EF Nên ta A D F MA  MB  AB  MN  NK  MK Tam gi{c AMK vng M có MA  MK nên tam giác vuông cân Suy MAK  450 Mặt kh{c BAC  450 Như hai tia AK v| AC trùng hay ba điểm A, C, K thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC có AB  AC  BC Gọi AD, BE, CF l| c{c đường ph}n gi{c tam gi{c ABC Gọi G, I, K, H l| điểm đối xứng B, A, C, A qua AD, BE, AD, CF Lấy điểm M đoạn CK cho BI GB Chứng minh ba điểm G, I,  CI CM M thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Từ c{c giả thiết v| BI GB BG BI ta suy nên BGI ∽ CKH Từ   CI CM CK CH ta GI//HK Như để chứng minh ba điểm G, I, M thẳng h|ng ta cần MI//KH Muốn có điều ta chứng minh CM CI  CK CH Lời giải Ta có AD, BE, CF l| c{c đường ph}n gi{c A tam gi{c ABC Gọi G, I, K, H l| điểm đối xứng B, A, C, A qua E F AD, BE, AD, CF Khi ta G AG  AB, G  AC; AB  BI, I  BC B AK  AC, K  AB;CH  AC, H  BC H D I C M AB AG nên suy  AK AC BG AG BG//CK Do ta  CK AC Trong tam giác ACK có K GBC  KCN Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com BG BI  CK CH BG BI Xét hai tam giác BGI CKH có GBI  KCH nên BGI ∽ CKH  CK CH BI GB BG BI Từ ta BIG  CHK nên suy GI//HK Do nên ta   CI CM CK CH CM BG BG CK CM CK CM CI Điều n|y dẫn đến Trong tam giác CHK có      CI BI BI CH CI CH CK CH CM CI nên ta MI//HK Từ ta có GI//KH v| MI//HK nên hai đường thẳng GI v|  CK CH Do AG  AB  BI, AC  CH nên MI trùng Do ba điểm G, I, M thẳng h|ng Ví dụ Cho tứ gi{c ABCD C{c đường thẳng AB, CD cắt M v| c{c đường thẳng AD, BC cắt N Gọi I, J, K l| trung điểm AC, BD, MN Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng h|ng Phân tích tìm lời giải Trên cở sở giả thiết v| hình vẽ b|i to{n ta nhận thấy lấy A1, B1, C1 l| trung điểm NB, NA, AB xuất c{c ba điểm thẳng h|ng nên ta nghĩ đến định lí Menelaus Do ý tưởng để chứng minh ba điểm I, J, K thẳng h|ng l| chứng minh IC1 KB1 JA1  Ngo|i ta lại thấy gọi K’ l| giao điểm IJ v| MN IB1 KA1 JC1 m| ta chứng minh SNIJ  SMIJ suy hai điểm K v| K’ trùng Lời giải Cách 1: Gọi A1, B1, C1 l| trung M điểm NB, NA, AB Ta có A1K B đường trung bình tam gi{c NBM nên C K ta A1K // BM Ta có B1K l| đường C1 I A1 J trung bình tam gi{c NAM nên ta B1K // BM Theo tiên đề Ơclit ta hai đường thẳng A1K B1K trùng hay N B1 D A ba điểm A1 , B1 , K thẳng h|ng Như K  A1B1 Chứng minh ho|n to|n tương tự ta J  A1C1 I  B1C1 2 2 2 Ta có IC1  BC; IB1  CN; KB1  AM; KA1  BM; JA1  DN; JC1  AD Xét tam gi{c NAB với M thuộc AB, C thuộc B, D thuộc NA v| ba điểm M, C, D thẳng hàng Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC ... em chuyên đề toán ba điểm thẳng hàng ba điểm đồng quy Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán ba điểm thẳng hàng ba điểm đồng quy. .. Qua điểm đường thẳng kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cho Do đó, qua điểm A ta kẻ AB AC song song với đường thẳng d A, B, C thẳng hàng Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh. .. trùng đối điểm M, A, B thẳng hàng Phương pháp 5: Thêm điểm Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng xác định thêm điểm D khác A, B, C sau chứng minh hai ba ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng