OK và MP là hai đường cao trong tam giác đều MBO nên cũng là đường trung tuyến ⇒ K và P lần lượt là trung điểm của AB và OB • Ta lại có:.. là đường trung bình.[r]
(1)Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN PHÚ - ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ Năm học: 2014 – 2015 Môn Toán – Lớp Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) Tính: a) √ 75−3 √ 12+ √27−√ 192 b) 2−2 √3 + √ √6+2 √2−√3 √ 8−2 √ 15− √( √ 3−2 √ ) c) Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: a) x+ √ x +4 x +4=6 √ x−8−7 b) √ x−2 =5 49 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: y=− x + 2 a) Vẽ đồ thị (d1) hàm số b) Gọi A và B là giao điểm đồ thị (d1) với các trục tọa độ Tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) Bài (1 điểm) Rút gọn biểu thức A: A= √ x −4 x +22 √ x−32 4+2 √ x + − √ x−4 x−10 √ x +8 √ x−2 x≥0 ; x≠4 ; x≠ (với 16 ) Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, lấy điểm A nằm ngoài đường tròn cho OA = 2R Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (với B, C là tiếp điểm) Gọi H là giao điểm OA và BC a) Chứng minh OA⊥ BC điểm H Tính số đo B O^ A và độ dài OH b) Cho OA cắt (O) điểm M Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC c) Vẽ đường tròn tâm M nội tiếp ∆ABC, đường tròn (M) cắt đoạn thẳng MB K Đường thẳng OK cắt BC và BA I và N Chứng minh NM là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Chứng minh MI và AK cắt điểm thuộc đường tròn (O) - HẾT - Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (2) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2,5 điểm) Tính: √ 75−3 √ 12+ √27−√ 192 a) =5 √ 3−6 √3+3 √ 3−8 √3=−6 √ b) = 2−2 √3 + √ √6+2 √2−√3 ( √ 6−2 ) −√ ( √ 2−√ ) ( √ 6−2 ) + = −√ 6= √ 6−2− √ 6=−2 ( √ 6+2 ) ( √ 6−2 ) √ 2−√ √ 8−2 √ 15− √( √ 3−2 √ ) c) 2 √ =√ 5−2 √ √3+3−|√ 3−2 √ 5|= ( √5 ) −2 √ √ 3+ ( √ ) −|√3−2 √5| √ = ( √ 5− √3 ) −|√3−2 √5|=|√ 5−√3|−|√3−2 √5| =( √ 5−√3 )−[−( √ 3−2 √5 ) ] (vì √ 5−√ 3>0 ; √ 3−2 √ 5<0 ) =√ 5− √3+ √3−2 √5=−√ Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x+ √ x +4 x +4=6 a) ⇔ √ x +4 x+4=6−x Điều kiện: (1) 6−x≥0 ⇔ x≤6 ( ) ⇔ x + x +4= ( 6−x )2 ⇔ x + x+ 4=36−12 x + x ⇔16 x=32⇔ x=2 (thỏa điều kiện) Vậy x=2 Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (3) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh b) √ x−8−7 √ x−2 =5 49 ⇔ √ ( x −2 )−7 √ x−2 √ x−2 =5 ⇔2 x−2− x −2=5 =5 ⇔2 √ x−2−7 √ √ 49 ⇔ √ x−2=5 ⇔ x−2=25⇔ x=27 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy: y=− x + 2 a) Vẽ đồ thị (d1) hàm số TXĐ: R Bảng giá trị: x y=− x + 2 3 Đồ thị hàm số (d1) là đường thẳng qua hai điểm (0; 32 ) , (3 ;0 ) b) Gọi A và B là giao điểm đồ thị (d1) với các trục tọa độ Tính diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (4) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh Gọi A, B là giao điểm (d1) với trục hoành (Ox) và trục tung (Oy) A ( 3;0 ) ,B(0; ) Dựa vào đồ thị ta thấy Vì A nằm trên trục Ox; B nằm trên trục Oy ⇒OA ⊥OB 1 S ΔOAB= OA OB= = 2 Diện tích tam giác OAB là: (đvdt) Bài (1 điểm) Rút gọn biểu thức A: A= Ta có: √ x −4 x +22 √ x−32 4+2 √ x + − √ x−4 x−10 √ x +8 √ x−2 x≥0 ; x≠4 ; x≠ (với 16 ) x−10 √ x+8 =3 x−6 √ x−4 √ x+8 =3 √ x( √ x−2)−4( √ x−2) =(3 √ x−4)( √ x−2) A= ( √ x−4 ) ( √ x −2 ) x+22 √ x−32 (−4−2 √ x )( √ x−4 ) + + ( √ x−4 ) ( √ x −2 ) ( √ x−4 ) ( √ x−2 ) ( √ x−4 ) ( √ x−2 ) A= x−4 √ x−4 √ x+8+x+22 √ x−32−12 √ x+16−6 x +8 √ x ( √ x−4 ) ( √ x−2 ) A= −3 x +10 √ x−8 −( x−10 √ x +8 ) −( √ x −4 )( √ x−2 ) = = =−1 ( √ x−4 )( √ x −2 ) ( √ x−4 ) ( √ x−2 ) ( √ x−4 )( √ x−2 ) Vậy A=−1 Bài 5: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, lấy điểm A nằm ngoài đường tròn cho OA = 2R Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (với B, C là tiếp điểm) Gọi H là giao điểm OA và BC a) Chứng minh OA⊥ BC điểm H Tính số đo B O^ A và độ dài OH b) Cho OA cắt (O) điểm M Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (5) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh c) Vẽ đường tròn tâm M nội tiếp ∆ABC, đường tròn (M) cắt đoạn thẳng MB K Đường thẳng OK cắt BC và BA I và N Chứng minh NM là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Chứng minh MI và AK cắt điểm thuộc đường tròn (O) a) • AB=AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) OB=OC=R Từ và suy OA Mà OA cắt BC BC là đường trung trực cạnh H ⇒ AO ⊥ BC H ( H là trung điểm cạnh Δ ABC vuông B (vì AB tiếp tuyến nên AB ⊥OB ) • Xét ^ A= OB = R = ⇒ B O^ A=60 ⇒cos B O OA R Δ BOH • Xét vuông ^ H= ⇒cos B O b) Xét H OH OH R ⇔ = ⇔OH = OB R Δ BOM ta có: OB=OM =R ;B O^ M =60 (vì B O^ H=B O^ A (cmt) ) ⇒ ΔBOM đề u ⇒ M B^ O=B M^ O=60 Ta có: 0 A B^ M +M B^ O=90 (hai góc phụ nhau) ⇒ A B^ M+60 =90 (do trên) Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên BC ) (6) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh ⇒ A B^ M=300 Ta có: 0 M B^ H +B M^ H=90 (hai góc phụ nhau) ⇒ M B^ H +60 =90 (do trên) ⇒ M B^ H =30 BM Từ và suy Mà: là tia phân giác ^ A B^ H hay A BC ^ AO là tia phân giác góc B AC AO cắt BM M Từ , và suy ra: M là tâm đường tròn nội tiếp c) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp Xét Δ BMH ΔOMK và Δ ABC ta có: MH MB MH =MK =r ⇒ = MK MO MB=MO (cmt ) } ⇒ ΔBMH OK ⊥ MB Ta lại có: ~ ΔOMK Δ ABC (c.g.c) và M^ : góc chung ⇒O K^ M=B H^ M=90 (hai góc tương ứng) hay Δ ABC và OK đường cao (vì OK ⊥ MB ) nên OK là đường phân giác B O^ M ⇒ M O^ K =B O^ K Xét Δ MON và M O^ N=B O^ N hay Δ BON ta có MO=BO=R M O^ N=B O^ N (do trên) ON : cạnh chung ⇒ Δ MON =Δ BON (c.g.c) ⇒ NM ⊥ MO NM hay ⇒ N M^ O=N B^ O=90 (hai góc tương ứng) là tiếp tuyến đường tròn (O) Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (7) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh d) • Gọi J Xét là giao điểm AK với MP và Δ ABC ta có: BH P là giao điểm OK là đường cao thứ nhất; MJ với BO BH cắt là đường cao thứ hai; OK I ⇒ MI là đường cao thứ ba hay MI ⊥ OB P NM ⊥ MO ( cmt ) ⇒ NM // BI BI ⊥ MO (cmt ) • Ta có: (*) } NB ⊥ BO (cmt ) ⇒ NB // MI MI ⊥ BO (cmt ) } Từ (*) và (**) suy tứ giác Mà: Vì: MI cắt AB // MJ ^ Mà: B A K MNBH NB K là hình bình hành là trung điểm NI hay KI= KN AB ⊥ BO và MJ ⊥ BO ) (do M J^ K và ⇒K (**) vị trí so le tạo hai đường thẳng AB và MJ ⇒ B A^ K=M J^ K • Xét Δ AKN và Δ JKI ta có: B A^ K =M J^ K A K^ N =J K^ I ⇒ Δ AKN Hay K ~ (do trên) (hai góc đối đỉnh) Δ JKI (g.g) là trung điểm ⇒ AK NK = =1 JK IK (vì KI= KN ) ⇒ AK =JK AJ OK và MP là hai đường cao tam giác MBO nên là đường trung tuyến ⇒ K và P là trung điểm AB và OB • Ta lại có: ⇒ KP • Xét là đường trung bình Δ MBO ⇒ KP // MO hay KP // AM Δ JAM ta có: K trung điểm AJ ⇒ KP là đường trung bình Δ JAM (do trên) và ⇒P KP // AM trung điểm MJ (do trên) ⇒ PM =PJ Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (8) Thạc sĩ Toán: Lê Trần Thanh Dũng Địa chỉ: 1818 - Ấp - Xã Vĩnh Lộc B – Huyện Bình Chánh • Xét ΔOPM và ΔOPJ ta có OP : cạnh chung O P^ M=O P^ J=900 (do trên) PM =PJ ⇒ ΔOPM=ΔOPJ Hay J (do trên) (c.g.c) ⇒OJ =OM=R (hai cạnh tương ứng) thuộc đường tròn (O) Chuyên dạy: Luyện thi đại học – Luyện thi vào lớp 10 các trường chuyên (9)