Đang tải... (xem toàn văn)
Hỏi một bè nứa trôi tự do từ A đến B hết mấy giờ.. Gọi K là giao điểm của AH với DI.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẮC LŨNG ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC :2014-2015 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3 điểm) a) Chứng minh p và p + là các số nguyên tố lớn thì tổng chúng chia hết cho 12 b) Giải phương trình sau: c) Tìm x , y , z biết: ( x 2+ x − ) ( x 2+ x −6 )=24 x y z = = =x + y + z y + z +1 z+ x +1 x+ y − Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình: x2 - 2(m - 3)x - 2(m - 1) = (1) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 là các nghiệm (1) Tìm các giá trị nguyên m để biểu thức A = x12 + x22 chia hết cho 11 Câu 3: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE cắt H Chứng minh rằng: BC2 = BH.BD + CH.CE Câu 4: (1,5 điểm) Một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B hết và ngược từ B A hết 30 phút Hỏi bè nứa trôi tự từ A đến B hết Câu 5: (2 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 900) Gọi E là trung điểm AD, kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE (H BE, I CE) Gọi K là giao điểm AH với DI Chứng minh rằng: a) Tam giác EHI đồng dạng với tam giác ECB b) EK vuông góc với BC Lưu ý : Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG CẤP HUYỆN CHU KỲ 2012 - 2014 Câu Ý a b Câu c Nội dung Điểm Xét p + p + = 2(p + 1) chia hết cho 2, cần chứng minh p + chia hết cho Xét p(p + 1)(p + 2) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Do p; p + là các số nguyên tố lớn nên p(p + 2) không chia hết cho => p + chia hết cho KL: Phân tích thành ( x+ )( x −1 ) ( x +3 )( x − )=24 Biến đổi thành ( x 2+ x − ) ( x +2 x −3 ) =24 Đặt ẩn phụ t ¿ x 2+2 x − ta có phương trình t(t+5) = 24 Giải nghiệm t thay vào giải tìm nghiệm x KL: Áp dụng t/c dãy tỉ số được: x+ y+z =x+ y + z 2( x+ y+z) (1) Xét trường hợp + TH 1: x+ y+ z=0 từ giả thiết => x= y=x=0 + TH 2: x+ y+ z ≠ từ (1) => 1 Kết hợp giả thiết tính x= y= , z=− 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x+ y+ z= KL: Tính = m2 - 4m + = (m - 2)2 + Giải thích > với m KL: b Áp dụng ĐL Vi-ét ta có x1 + x2 = 2(m - 3); x1x2 = -2(m - 1) Biến đổi A = (2m - 5)2 + = (2m - 5)2 - + 11 => A ⋮ 11 ⇔ (2m - 5)2 - ⋮ 11 ⇔ (2m - 3)(2m - 7) ⋮ 11 => (2m - 3) ⋮ 11 (2m - 7) ⋮ 11 + Nếu 2m - ⋮ 11 tính m = 11k - (k Z) ⋮ + Nếu 2m - 11 tính m = 11t - (t Z) KL: Vẽ đúng hình chấm A Gọi F là giao Ah với BC => AF BC (do H là trực D tâm) E - Chứng minh H BHF S BCD => BH.BD = BF.BC (1) - Chứng minh C B CHF S CBE F => CH.CE = CF.BC (2) Cộng vế (1) và (2) với chú ý ABC nhọn nên H nằm B và C ta có đpcm a Câu Câu 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) h (Giải thích và được) Trong 1h ca nô xuôi quãng sông AB (vận tốc xuôi) Trong 1h ca nô ngược quãng sông AB (vận tốc ngược) − :2= Trong 1h bè nứa trôi quãng sông AB 18 0,25 Đổi 4h30' Câu ( Câu 0,25 0,25 ) => Bè nứa trôi hết khúc sông AB 18h KL: A a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABE ta có AE2 = EH.EB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông DCE ta có DE2 = EI.EC E Vì E là trung điểm AD nên AE = DE => EH.EB = EI.EC - Chứng minh EHI S ECB (theo trường hợp c.g.c) b) Chỉ tứ giác EHKI nội tiếp D => EHI = EKI Do EHI S ECB nên EHI = ECB 0,25 0,25 0,25 B F H 0,25 K 0,25 0,25 I 0,25 C 0,25 0,25 => EKI = ECB => tứ giác CIKF nội tiếp => KIC + KFC = 1800 Mà KIC = 90 đó KFC = 90 Hay EK BC (đpcm) 0,25 0,25 (4)