Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. x −1 Lập phương[r]
(1)ĐẠO HÀM A Tóm tắt kiến thức Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): f ( x ) f ( x0 ) f '( x0 ) lim x x0 x x0 y = x x lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 thì nó liên tục điểm đó Ý nghĩa đạo hàm Ý nghĩa hình học: M x ; f ( x0 ) + f (x0) là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M x ;y + Khi đó phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) 0 là: y – y = f (x0).(x – x0) Qui tắc tính đạo hàm (C) = (x) = (xn) = n.xn–1 n N n 1 x x u uv vu u v uv vu ( u v ) ( uv ) v v2 (v 0) v (ku) ku v v2 Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm y yu.ux u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm x là: x Đạo hàm hàm số lượng giác sin u( x ) sin x lim 1 lim u( x ) 0 lim 1 x x0 u( x ) x x0 x x ; (với ) (sinx) = cosx tan x cos2 x Vi phân dy df ( x ) f ( x ). x (cosx) = – sinx cot x sin2 x f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ). x Đạo hàm cấp cao f ''( x ) f '( x ) f '''( x ) f ''( x ) f ( n ) ( x ) f ( n 1) ( x ) ; ; (n N, n 4) Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 là a(t0) = f(t0) (2) VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp u uv vu u v uv vu ( u v ) ( uv ) v v2 (v 0) v v v (ku) ku n N x u u ' n (u n ) ' n.u n 1.u ' x u (xn) = n.xn–1 ; Đạo hàm hàm số lượng giác (sinx) = cosx (sin u ) ' u 'cos u (cosx) = – sinx (cos u ) ' u '.sin u tan x (tan u ) ' u ' cot x (cot u )' u ' cos 2u cos2 x sin2 x sin2 u Baøi 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: y x x x y 2 x x x 3 x2 a) b) c) y ( x 2)(1 x ) 2 2 d) y ( x 1)( x 4)( x 9) e) y ( x x )(2 x ) y 2x 1 g) y y x 1 1 x f) h) 2x 1 3x i) 1 x x y x x2 x 3x y x k) y Baøi 2: 2x 2x2 x 1 y x l) m) x 2x Tính đạo hàm các hàm số sau: y ( x x 1)4 a) y (1 x )5 2012 c) y ( x x 1) y ( x x)5 d) y x b) e) y f) ( x x 5)2 (3) y g) Baøi 3: ( x 1)2 ( x 1)3 2x 1 y x h) Tính đạo hàm các hàm số sau: y x 5x a) y x3 x b) c) y x x y ( x 2) x d) y ( x 2)3 g) 3 y x i) y y e) f) y x x3 x h) 4x 1 x2 Baøi 4: a) i) y x2 x Tính đạo hàm các hàm số sau: sin x y cos x b) y x.cos x c) y sin (2 x 1) d) y cot x e) y sin x g) y sin cos2 x tan x f) y sin x x y (2 sin2 x )3 h) i) y sin x cos x x 1 y cos2 y tan x tan3 x tan5 x x 1 k) l) Bài 5: Chứng minh hàm số sau thỏa mãn với đẳng thức đã y x x y x sin x xy '' 2( y ' s inx) xy a) b) y y '' 0 y x tan x 2 x y '' 2( x y )(1 y ) 0 m) y tan x x y x x y x4 2( y ') ( y 1) y '' y ''(1 x ) xy ' y 0 d) e*) Bài 6: Chứng minh các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x 6 2 a) y sin x cos x 3sin x cos x 2 2 y cos x cos x cos x cos x 2sin x 3 3 b) VẤN ĐỀ : Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) y y0 f '( x0 )( x x0 ) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) (C ) là: (*) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: c) (4) f ( x0 ) k + Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm Ta có: (ý nghĩa hình học đạo hàm) y f ( x0 ) + Giải phương trình trên tìm x0, tìm + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) (d ) () kd a (d ) ( ) kd a Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó: ; Baøi 1:Cho hàm số (C): y f ( x ) x x Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp các trục tọa độ x x 2 x (C) Baøi 2: Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục Oy c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3x y f ( x) x (C) Baøi 3: Cho hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung y f (x ) y x 2012 d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tt song song với đường thẳng d: e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tt vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – = Baøi 4: Cho hàm số (C): y x 3x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Baøi 5: Cho hàm số (C): y x x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = x 2 y 2x Baøi 6: Cho hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc tọa độ O x−1 Baøi 7: Cho hàm số y = x −1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy các điểm A và B thoả mãn OA = 4OB 2x y x Baøi 8: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến 2x 1 y x 1 Baøi 9: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết ttuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) (5) x +2 x +1 Gọi I là giao điểm đường tiệm cận, Δ là tiếp tuyến đồ thị (C) d là khoảng cách từ I đến Δ Tìm giá trị lớn d 2x y x có đồ thị (C) Baøi 11:Cho hàm số Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn x 2 y x (C) Baøi 12:Cho hàm số : Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi 2x y x (C) Baøi 13:Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ điểm I ( 2;2) đồ thị (C) Baøi 10:Cho hàm số y = đến tiếp tuyến là lớn x 3 y x Baøi 14:Cho hàm số M (x ; y ) Cho điểm o o o thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các tiệm cận (C) các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm đoạn thẳng AB 2x y 1 x Baøi 15:Cho hàm số Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P và Q Chứng tỏ A là trung điểm PQ và tính diện tích tam giác IPQ 2x y x Baøi 16:Cho hàm số Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ x 1 y x có đồ thị (C) Baøi 17:Cho hàm số Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A và B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ 2x y x (C) Baøi 18:Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận · ngang A, B cho côsin góc ABI 17 , với I là giao tiệm cận Baøi 19:Cho hàm số y x x có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = (6)