Ngoài ra những kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm của các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit.... Bài [r]
(1)NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số nguyên hàm hàm số y f x y f x y F x xác định trên K , hàm số gọi là trên K và khi: x K , ta có: F ' x f x Kí hiệu: f x dx F x Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: y x x Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: y 2sin x ĐỊNH LÍ 1: Nếu hàm số y F x c y F x là nguyên hàm hàm số là nguyên hàm hàm số Khi đó ta có: f x dx F x c ĐỊNH LÍ 2: Cho các hàm số y f x u v dx udx vdx kvdx k vdx , với k thì hàm số với c là số u u x , v v x y f x xác định trên K Khi đó ta có: là số Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Hàm số k x x x sin x Nguyên hàm xc kx c 1 x c 1 ln x c x c cos x c Hàm số Nguyên hàm ax b ax b 1 c a 1 ax b ax b sin ax b ln ax b c a ax b c a cos ax b c a (2) cos x tan x c sin x cot x c cos x ex sin ax b c a tan ax b c a cos ax b sin x c sin ax b cos ex c x a c ln a Trong đó: c là số ax ax b e axb a x cot ax b c a ax b e c a a x c ln a PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM ◙ PHƯƠNG PHÁP : Đổi biến số Dấu hiệu nhận biết dùng phương pháp đổi biến số f x g x dx , đó : g ' x f x Đặt t g x f u x v x dx , đó : u ' x v x Đặt t u x f x, m f x dx , đặt t m f x f ln x, f x, f x, f 1 x, dx x , đặt t ln x , đặt x a sin t x a cos t a x a dx x sin t , đặt x a dx , đặt x a tan t a x dx 2 2 ◙ PHƯƠNG PHÁP : Từng phần Khi không có dấu hiệu nào đổi biến số, ta dùng công thức phần Công thức phần : udv uv vdu Một số dấu hiệu dùng phương pháp phần (3) f x sin xdx , đặt u f x dv sin xdx f x cos xdx , đặt u f x dv cos xdx u f x x x f x e dx , đặt dv e dx u e x e x sin xdx , đặt dv sin xdx u e x e x cos xdx , đặt dv cos xdx u ln x x e ln x dx dv e x dx , đặt u ln x f x ln xdx dv f x dx , đặt B TÍCH PHÂN b Công thức Newton – leibnizt: b f x dx F x a F b F a a b b udv uv a vdu Tích phân phần: a b Định lí quan trọng: b a c b f x dx f x dx f x dx a b a c với a c b a f x dx f x dx a b C BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI TẬP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Các bài toán sau đòi hỏi HS phải thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất nguyên hàm để vận dụng vào giải bài tập Ngoài kiến thức bổ trợ để giải bài tập dạng này là: công thức lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit, bảng đạo hàm các hàm số lượng giác, hàm số mũ – hàm số logarit (4) Bài tập 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x4 f x x2 f x 2 sin 2 x x f x 1 x 2 f x tan x cot x e x f x e cos x x x f x f x cos x sin x cos x x f x 2 sin x cos x f x x2 10 f x 16 11 x1 x 17 19 f x cos x 21 f x 2sin x cos x 20 Bài tập 2: Tìm nguyên hàm x 3x f x f x sin x cos5 x cos x x x 18 f x tan x sin x cos x 21 f x sin x f x e x e x 1 23 f x e3 x 1 f x 22 F x f x 2 x , F f x 2a x 3x 12 2 f x hàm số f x 4 x 3x 2, F 1 3 f x thỏa mãn điều kiện: f x 4 x x, F 0 x3 3x x 1 f x , F 1 x 2x 1 PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM PHƯƠNG PHÁP 1: ĐỔI BIẾN SỐ Tính I f u x u ' x dx Đặt t u x dt u ' x dx , đó: I f u x u ' x dx f t dt PHƯƠNG PHÁP 2: TỪNG PHẦN Công thức: I u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx (5) I udv uv vdu Hay Lưu ý: Dấu hiệu nhận biết cách đặt đã nêu phần trên HS cần nắm vững các dạng thường gặp để vận dụng vào việc giải bài tập Bài tập 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: 2x 1 xdx x 1 x x dx 3x x dx x x dx sin x dx x 2x dx ln x x dx x 1dx x e x dx 1 xe x 1 dx tan x dx x 10 cos 11 dx 13 sin x dx 14 cos x 15 e tan x dx cos x 17 cos 18 ex 16 e x 3 dx cot xdx 12 cos e x dx x x sin xdx Bài tập 2: Tìm nguyên hàm các hàm số sau: x sin xdx x cos xdx x ln xdx x 10 cos x dx 13 16 2 xdx x 3 cos xdx x sin xdx ln xdx x x e cos xdx x x xe dx ln xdx sin 11 xdx ln x dx x ln x 12 14 x x e dx x ln x 15 17 x lg xdx 18 1 dx 1 dx 2 x ln x 1 dx (6) ln x 1 dx x2 19 20 x cos xdx DÙNG ĐỊNH NGHĨA TÍNH TÍCH PHÂN Bước 1: Tìm nguyên hàm các hàm số dấu tích phân Bước 2: Dùng công thức newton – leibnizt tính các tích phân Bài tập 1: Tính các tích phân sau: 1 4 x x 1 dx 1 x x x dx 2x2 x dx x 4 x dx x 3x 2 x 5x dx x x x x 1 dx 10 16 2x 1 x dx 2x dx x x dx x x 5 dx x x 11 x 1 dx x 13 dx x 12 x 2x dx 6x x3 dx x 14 Bài tập 2: Tính các tích phân sau: cos3x cos xdx sin x sin xdx cos x sin 3xdx sin x cos5 xdx cos cos x dx 2 sin x cos x e x e 3 dx cos x Bài tập 3: Tính các tích phân sau: x sin xdx dx x cos2 x (7) 1 x dx 1 x x ln e 1dx x dx x 15 x2 x 3/2 dx x x 1 dx dx x x2 1/2 Bài tập 4: Tính các tích phân sau: 1 e x 2 e ln x xdx e 1 sin x cos xdx x e x e e dx e dx x etgx dx cos x Bài tập 5: Tính các tích phân sau: sin x dx 2cos x e e dx x /2 dx x 1 x e x sin e x dx cos x dx sin x /6 cos xdx ln ln dx ex sin x dx 3 sin x cos x 10 /2 dx x x e e ln 1 dx x ln x e 27 ex x e2 cos3 x dx 3 sin x cos x 11 Bài tập 6: Tính các tích phân sau: /2 /2 x e cos xdx e x ln x dx x sin x dx /4 ln x x sin x dx cos x /2 dx x sin x 1 cos x dx /6 (8) /2 x e sin xdx ln x e 10 sin xdx 11 e dx /2 x ln x dx 1/ e e2 x ln x dx ln 12 e x dx ln x Bài tập 7: Tính các tích phân sau: a x 2 a x dx a 0 /2 e 3 x x 4 x 1 dx dx x ln x 1 dx x2 x 3dx x2 dx x2 x 1 2 x x dx x 1 dx 2x x2 dx ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x và hai đường thẳng x a; x b tính công thức: b S f x dx a Diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong y f x ; y g x và hai đường thẳng x a; x b tính công thức: b S f x g x dx a THỂ TÍCH VẬT THỂ Thể tích vật thể giới hạn đường cong y f x quay quanh trục Ox tính theo công thức: và hai đường thẳng x a; x b (9) b VOx f x dx a Thể tích vật thể giới hạn đường cong y f x ; y g x và các đường thẳng x a; x b quay quanh trục Ox tính công thức: b VOx f x g x dx a Thể tích vật thể giới hạn đường cong x f y và hai đường thẳng y c; y d quay quanh trục Oy tính theo công thức: d VOy f y dy c Thể tích vật thể giới hạn đường cong x f y ; x g y và các đường thẳng y c; y d quay quanh trục Oy tính công thức: d VOy f y g y dy c Bài tập 8: Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn các đồ thị sau: y x x, x 1, x 2, Ox y x x, x 1, x y ln x , y 0, x 1, x 2 x2 x y xe , y 0, x 1, x 2 y tgx, x 0, x , y 0 x 1, x e, y 0, y x 3x y , x 0, x 1, y 0 x 1 ln x x y sin x cos3 x, y 0, x 0, x Bài tập 9: Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn các đồ thị sau: y x 1 , y e x , x 0, x 1 y 1 ,y ,x ,x sin x cos x (10) y 2 sin x, y 1 cos x, x 0; x2 C :y x và các Tìm b cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường thẳng y 1, x 0, x b Bài tập 10: Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn các đồ thị sau: 2 y x x, y x x 2 y x x và y x y y x 0 và x y 0 y x 0 và x y 0 y x2 x và y x x2 x2 y y 4 4 và Bài tập 11: D y tgx, y 0, x 0, x 3 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh D quay quanh trục Ox P : y 8 x D Cho hình phẳng giới hạn bởi: và x 2 Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn các x 1; x 2; y ; y x x đường: 2 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: y 4 x và y x Quay D xung quanh Ox ta vật thể, tính thể tích vật thể này Bài tập 12: D y tg x, y 0, x 0, x 4 Cho hình phẳng D giới hạn bởi: (11) a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh D quay quanh trục Ox Tính VOx , biết D y x ln x, y 0, x 1, x e x3 D y , y x Tính VOx , biết D y 0; y sin x cos x ; x 0; x 2 Tính VOx , biết D x y 5 0; x y 0 V Ox Tính , biết D y 2 x ; y 2 x 4 V Ox Tính , biết 2 D y x x 6; y x x 6 V Tính Ox , biết D y x2 ; y x V Tính Ox , biết TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG SAU x y x e ; Ox; x 1; x 2 y ln x; x 1; x 2; Ox y tgx; y 0; x 0; x y x ; y 0; x 1; y sin x 3 y x 1; Ox; Oy; x 1 y 0; x 0; x y 1 x ; y 0 x y xe ; y 0; x 0; x 1 y cos x; y 0; x 0; x 10 y x x; Ox TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU e ln x dx x 1 e x ln xdx x ln x 1 dx (12) /2 e x ln xdx ln x x dx x tan xdx ln x x /4 /2 /2 x xe dx 11 dx 1 x cos xdx 10 1 x x ln xdx /3 e x cos x sin xdx e 12 x cos xdx TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU /2 1 3x xe dx /2 x sin xdx /6 x 1 cos xdx x ln xdx x ln xdx 4 x ln xdx x ln x dx x cos xdx 16 11 ln x x dx 14 sin xdx 17 x sin x cos x 1 xdx ln x x 1 1/ e 20 x cos xdx 15 xdx 18 e dx 23 dx 26 x sin xdx x 1 dx x ln x e x /3 x sin x dx x sin xdx cos x 2cos e 2x e 25 22 12 x /4 19 x ln 1 e x dx /2 x cos xdx e 2 /2 x /2 13 2 e 10 e x sin 3xdx ln x dx x 21 /2 dx 24 cos x ln cos x dx 1 x tan xdx x e 27 2x dx (13) e x ln x dx 28 31 ln x dx x 29 x ln x 1 dx ln x 32 2 x dx /2 x cos x sin xdx 30 (14)