Phần tử bất khả quy trên miền nguyên

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÝ NGÂN PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÝ NGÂN PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS MAI VĂN TƢ Nghệ An – 2012 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ………………………………………………………….1 Chƣơng KIẾN THỨC CƠ BẢN …………………………… 1.1 Vành số nguyên phức Gauss……………………………… 1.2 Vành đa thức trường số……………………………… Chƣơng PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN………7 2.1 Số nguyên tố vành số nguyên…………………………7 2.2 Số nguyên tố vành số nguyên phức Gauss…………….12 2.3 Đa thức bất khả quy……………………………………… 15 2.4 Mối quan hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố……30 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… MỞ ĐẦU Phần tử bất khả quy đóng vai trị quan trọng mơn số học Rất nhiều kết đặc sắc phần tử bất khả quy miền nguyên gắn liền với tên tuổi nhiều nhà Toán học Tsebesep, Gauss, J Hadamard L.V Poussin, Einsenstein Năm 1896, báo nhan đề: “Về số số nguyên tố bé giá trị cho” nhà toán học B Riman đưa hàm số zêta  ( s) có liên hệ chặt chẽ hàm zêta số nguyên tố Giả thuyết Riman nhà toán học Nhật Bản H Matsumoto chứng minh thành công vào năm 1984 Luận văn dựa tài liệu [1], [3], [5] để tìm hiểu dấu hiệu nhận biết, tính chất phần tử bất khả quy, mối liên hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố Mục đích luận văn nhằm trình bày số kết với chứng minh chi tiết số nguyên tố đa thức bất khả quy mối quan hệ chúng Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức vành số nguyên phức Gauss vành đa thức trường số Chương trình bày đa thức bất khả quy miền nguyên số nguyên tố vành số nguyên, số nguyên tố vành số nguyên phức Gauss, đa thức bất khả quy mối quan hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - TS Mai Văn Tư - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Tốn, Phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, người giảng dạy hướng dẫn cho học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Tơi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia đình động viên giúp đỡ tơi suốt khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Trung học Cơ sở Đặng Trần Côn, thầy đồng nghiệp, Phịng Gián (Trong chứng minh số  i 35 b 1, P  b  1  theo giả thiết suy b   i  phép chia hồn tồn có nghĩa) 2.4.4 Định lý Cho b  số nguyên p số nguyên tố Ta viết p hệ số số b , nghĩa có dạng p  a0bn  a1bn1   an , n số tự nhiên, a0    b(i  0,1, , n) ta xét đa thức P  x   a0 x n  a1 x n1   an Khi đa thức P  x  bất khả quy ( hiển nhiên giả thiết p  b với p  b đa thức số ) Chứng minh Ta sử dụng tiêu chuẩn Perron từ định lí trước Hiển nhiên P  b   p P  b  1  b   , tất hệ số lớn chúng số dương Ta chứng minh nghiệm  P  x  thỏa mãn bất đằng thức   b  Ta tìm thêm thơng tin cho  Ta cho   , với   bất đẳng thức   b  hiển nhiên Ta kí hiệu r module  , nghĩa   r Ta giả thiết r  1, trường hợp ngược lại, r  , từ bất đẳng thức hiển nhiên     r   b  1 suy   b  , b  hiển nhiên 2 Hiển nhiên với điều kiện   suy đằng thức P    ta chia hai vế cho  n nhận a0  Từ ta có a1   a2    an n  36 a0  a1 an    a2 2   an n Theo bất đẳng thức cho module cho vế phải ta có a2    an  n  a2     n a2 a   nn r r  a  a Ta ý   a0    a0  ta nhận     a  a a   a0    22   nn  r r  Ta biết  b  1, ta đánh giá vế phải bất đẳng thức 1  a2 a3 an  b 1 1 r n1     b         r2 r3 rn rn  r2 1 r r Bởi ta giả thiết r  , từ bất đẳng thức cuối ta nhận a2 a3 a 1 ,    nn   b  1   b  1 r r r r 1 r  r  1 r từ suy  a    a0     b  1  r  r  1  Nhưng ta giả thiết   suy  a1  (vì a1 số khơng âm) a0  a    a  a  số nguyên dương,   a0    Suy   a0      a0    cuối       ta nhận bất đẳng thức   b  1 r  r  1 Ta biến đổi bất đẳng thức cuối Bởi r  , nên r  r  1  Suy 37 Giả sử   b  r  r  1  b  1 từ bất đẳng thức suy r  b  r   b  2 Bằng cách nhân hai bất đẳng thức r  b  r   b  , ta nhận 2 r  r  1  b  2b  , từ có b  2b   b  b  3b   4 Bởi b số nguyên lớn nên bất đẳng thức sau xảy Điều vơ lí định lí chứng minh 2.4.5 Nhận xét Cho trước p số nguyên tố p  b  Khi xây dựng p  đa thức bất khả quy Ví dụ: Với p  101 +) b   101  1.26  1.25  1.22   P( x)  x6  x5  x  đa thức bất khả quy +) b   101  1.34  2.32   P( x)  x  x  đa thức bất khả quy +) b   101  1.43  2.42  1.4   P( x)  x3  x  x  đa thức bất khả quy 38 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày số kiến thức sở đa thức bất khả quy miền nguyên Cụ thể luận văn thực nội dung sau: Trình bày kiến thức về: - Vành số nguyên phức Gauss - Vành đa thức trường số Trình bày số tính chất về: - Số nguyên tố vành số nguyên Z - Số nguyên tố vành số nguyên phức Gauss - Đa thức bất khả quy - Mối quan hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức ứng dụng , Nhà xuất Giáo dục [2] Phan Huy Khải (2006), Các chuyên đề Số học bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [3] Hà Huy Khoái (2003), Số học, Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng [4] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Lại Đức Thịnh (1977), Giáo trình số học, Nhà xuất Giáo dục TIẾNG ANH [6] A B Gonrachov (1985), The arithmetic of Gaussian integers, Kvant, No.12, pp 8-13 [7] D M Burton (2002), elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Company, New Delhi [8] Ribenboim (Paulo) (1996), The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag, New York [9] S G Telang (2001), Number Theory, Tata McGraw-Hill Company Limited, New Delhi ... số nguyên phức Gauss……………………………… 1.2 Vành đa thức trường số……………………………… Chƣơng PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN………7 2.1 Số nguyên tố vành số nguyên? ??………………………7 2.2 Số nguyên tố vành số nguyên. .. Đa thức bất khả quy? ??…………………………………… 15 2.4 Mối quan hệ đa thức bất khả quy số nguyên tố……30 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… MỞ ĐẦU Phần tử bất khả quy đóng... vành số nguyên phức Gauss vành đa thức trường số Chương trình bày đa thức bất khả quy miền nguyên số nguyên tố vành số nguyên, số nguyên tố vành số nguyên phức Gauss, đa thức bất khả quy mối