7 c Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P chỉ nhận một giá trị nguyên.. Cho phương trình.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 THÁI BÌNH MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3,0 điểm) x x x x2 x P x x x x x x Cho biểu thức: x 0; x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x 3 2 c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x 2mx m 1 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại Bài (1,0 điểm) 2x 0 2 x x Giải phương trình: Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC E và F Gọi M là trung điểm cạnh HC a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh MF là tiếp tuyến đường tròn đường kính AH c) Chứng minh HAM HBO d) Xác định điểm trực tâm tam giác ABM Bài (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3 Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 Hết (2) Họ và tên thí sinh:……………………………………………………SBD:………………… ĐÁP ÁN CÂU 1a NỘI DUNG P 1b x x x x x 1 x x x x x 2x x x 0,25 x x x x 1 x1 x x 1 x 2x x x 2x 2x x 2 x x Ta có x 3 2 Thay vào biểu thức x 1 x 2b x 1 0,5 x 1 x 0,5 0,25 0,25 2 21 0,25 Tính kết P 4 0,25 7 x Đưa P x x 0,25 x 2x x 0,25 Vậy P nhận giá trị nguyên đó là x 2 x 4 x 2 x x x x x 1 x 1 0,25 Đánh giá x x x , suy 2a x 1 x 21 P 2 1c ĐIỂM 0 Khi m ta có phương trình x x 0 Giải phương trình ta hai nghiệm: x1 2; x2 Tính ' m m 1 0,5 0,5 0,25 m m 1 (*) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình, theo Viet ta có 0,25 x1 x2 2m (1) x1 x2 m 1 (2) Giả sử x1 x2 x2 m 1; x1 m 1 thay vào (2) ta Thay hai nghiệm x1 ; x2 vào (1) ta 0,25 (3) m 0 m 1 2m m 3m 0 m 3 Khẳng định hai giá trị m vừa tìm thỏa mãn điều kiện (*), kết luận m 1 0,25 2x x 2 0 2 x x x Điều kiện: , đưa phương trình trở thành: x Đặt ẩn phụ: 2x2 0,25 t , phương trình trở thành: t 1 2 2t 3t 0 t 1 2t t 1 0 t 1 0,25 Trường hợp: t 1 ta có x x (vô nghiệm) 0,25 t ta có Trường hợp: x 0 2 x x x x 9 0,25 4a Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung Ta có AEF AHF ; AHF ACB suy AEF ACB (hoặc AFF AHE; AHE ABC suy AFE ABC ) Suy hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 4b 4c AE AF AC AB ta có AE.AB = AC.AF Từ tỷ số đồng dạng Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông F, trung tuyến FM) Suy OHM OFM (c.c.c) Từ đó MFO 90 , MF là tiếp tuyến đường tròn đường kính AH Xét hai tam giác AHM và BHO có AHM BHO 90 Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có AH HM AH HB.HC AH 2OH HB.2 HM HB HO Suy HBO HAM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) 4d Suy HAM HBO Gọi K là giao điểm AM với đường tròn Ta có HBO HAM MHK , suy BO // HK Mà HK AM , suy BO AM , suy O là trực tâm tam giác ABM Giả sử a b c , từ giả thiết suy ab 1 Ta có bất đẳng thức sau: a b ab 1 1 0 a b ab a b2 ab (luôn đúng) 2 Vậy ta cần chứng minh: ab c 0,25 0,25 0,25 0,25 c ab 3abc c ca bc 3abc a b c 3abc a b c 3 ab bc ca 9 ab bc ca 3 abc Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì hay a b c 3 3abc 0,25 Dấu xảy a b c 1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: ab c2 a b c Ta có ab Ta có c2 bc a2 ca b2 2 ab bc ca ab bc ca 3 ab c ab bc ca ab a c b c 0,25 ab 1 a c b c ab ab bc ca ca VT a b c 2 a c b c c a c b a b 2 (đpcm) Dấu xảy a = b = c = 0,25 (5)