De thi Toan chung chuyen Thai Binh 1516

7 c Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P chỉ nhận một giá trị nguyên.. Cho phương trình.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016 THÁI BÌNH MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3,0 điểm) x  x x  x2  x P   x x  x x x x Cho biểu thức:  x  0; x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x 3  2 c) Chứng minh rằng: với giá trị x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức P nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) Cho phương trình x  2mx   m  1 0 ( m là tham số) a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm bình phương nghiệm còn lại Bài (1,0 điểm) 2x   0 2 x x  Giải phương trình: Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông đỉnh A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC E và F Gọi M là trung điểm cạnh HC a) Chứng minh AE.AB = AF.AC b) Chứng minh MF là tiếp tuyến đường tròn đường kính AH   c) Chứng minh HAM HBO d) Xác định điểm trực tâm tam giác ABM Bài (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 3 Chứng minh rằng: 1    a 1 b 1 c 1 Hết Họ và tên thí sinh:……………………………………………………SBD:………………… ĐÁP ÁN CÂU 1a NỘI DUNG P  1b x  x x  x x 1   x x x x x 2x   x   x 0,25   x x  x  x 1  x1     x  x 1 x 2x    x x  2x  2x  x  2  x x Ta có x 3  2  Thay vào biểu thức x 1 x  2b  x 1 0,5  x 1 x 0,5 0,25  0,25   2 21 0,25 Tính kết P 4  0,25 7 x  Đưa P x   x 0,25 x  2x   x 0,25 Vậy P nhận giá trị nguyên đó là  x 2  x 4  x 2 x   x  x  x     x 1  x 1   0,25 Đánh giá x   x  x , suy 2a  x 1 x  21 P 2 1c ĐIỂM 0 Khi m  ta có phương trình x  x  0 Giải phương trình ta hai nghiệm: x1 2; x2  Tính  ' m   m  1 0,5 0,5 0,25  m   m  1  (*) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình, theo Viet ta có 0,25  x1  x2 2m (1)   x1 x2  m  1 (2) Giả sử x1  x2  x2 m  1; x1  m  1 thay vào (2) ta Thay hai nghiệm x1 ; x2 vào (1) ta 0,25  m 0   m  1 2m  m  3m 0    m 3 Khẳng định hai giá trị m vừa tìm thỏa mãn điều kiện (*), kết luận  m  1 0,25 2x  x 2  0 2 x x  x  Điều kiện: , đưa phương trình trở thành: x Đặt ẩn phụ: 2x2  0,25 t , phương trình trở thành:  t 1 2 2t  3t  0   t  1  2t  t  1 0    t 1  0,25 Trường hợp: t 1 ta có x  x  (vô nghiệm) 0,25 t  ta có Trường hợp: x 0 2 x   x    x   x 9 0,25 4a Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung       Ta có AEF  AHF ; AHF  ACB suy AEF  ACB       (hoặc AFF  AHE; AHE  ABC suy AFE  ABC ) Suy hai tam giác AEF và ACB đồng dạng 4b 4c AE AF  AC AB ta có AE.AB = AC.AF Từ tỷ số đồng dạng Xét hai tam giác OHM và OFM có OM chung, OF = OH Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông F, trung tuyến FM) Suy OHM OFM (c.c.c)  Từ đó MFO 90 , MF là tiếp tuyến đường tròn đường kính AH   Xét hai tam giác AHM và BHO có AHM BHO 90 Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có AH HM AH HB.HC  AH 2OH HB.2 HM   HB HO Suy HBO HAM 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25  4d  Suy HAM HBO Gọi K là giao điểm AM với đường tròn    Ta có HBO HAM MHK , suy BO // HK Mà HK  AM , suy BO  AM , suy O là trực tâm tam giác ABM Giả sử a b c , từ giả thiết suy ab 1 Ta có bất đẳng thức sau: a  b   ab  1 1     0  a  b  ab   a    b2    ab  (luôn đúng)   2 Vậy ta cần chứng minh:  ab  c 0,25 0,25 0,25 0,25  c   ab 3abc  c  ca  bc 3abc  a  b  c 3abc  a  b  c  3  ab  bc  ca  9   ab  bc  ca 3  abc  Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì hay a  b  c 3 3abc 0,25 Dấu xảy a b c 1 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: ab c2   a  b  c Ta có ab Ta có c2    bc a2   ca b2   2 ab  bc  ca  ab  bc  ca 3 ab c  ab  bc  ca  ab  a  c  b  c  0,25  ab  1      a c b c   ab ab bc ca ca  VT          a  b  c  2 a c b c c a c b a b  2 (đpcm) Dấu xảy a = b = c = 0,25