Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện trước mà sử dụng các phép biến đổi tương đương, nếu.. đúng vẫn cho điểm tối đa.1[r]
(1)SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
Đề số 2
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2004 - 2005
Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 15/7/2004 Bài 1: (1,5 điểm).
Giải phương trình:
0
1
x x x
x Bài 2: (2,0 điểm).
Xác định hệ số a b để đa thức: x4 6x3ax2bx1 bình phương đa thức khác
Bài 3: (2,5 điểm).
Cho 100
1
1
S
Chứng minh S số tự nhiên Bài 4: (2,5 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD với O trung điểm cạnh AB M, N theo thứ tự điểm di động cạnh AD BC hình chữ nhật cho OM ln ln vng góc với ON Định vị trí M N để tam giác MON có diện tích nhỏ
Bài 5: (1,5 điểm).
Một đồn học sinh gồm 50 em qua sơng lúc hai loại thuyền; loại thứ nhất, chở em loại thứ hai, chở em Hỏi loại thuyền có chiếc?
(2)
HƯỚNG DẪN CHẤM
MƠN: TỐN (Dành cho lớp chuyên) -Bài 1: (1,5 điểm).
Điều kiện x > (*) (0,25 điểm).
Với điều kiện (*) ta có:
x x x x 4 x x x x (0,5 điểm). 2 x x
1 x x (0,25 điểm). 1
2
x x 1 x = (0,25 điểm).
Đối chiếu với điều kiện (*) ta kết luận phương trình có nghiệm x = (0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh không đặt điều kiện trước mà sử dụng phép biến đổi tương đương, nếu
đúng cho điểm tối đa Bài 2: (2,0 điểm).
Đặt P = x4 6x3ax2bx1
Để ý biểu thức x4 6x3 hai số hạng khai triển bình phương biểu thức
x2 3x (0,25 điểm).
Do ta viết:
x4 6x3ax2bx1 = x x
2
2 3
x4 6x3ax2bx1 = x49x22 6x32x2 6x
x4 6x3ax2bx1 = x x x x
4 6 (9 ) 6
(0,5 điểm).
Đồng hai vế ta được:
b a
(*) (0,25 điểm).
Từ điều kiện 12 ta 1
Nếu = –1 từ hai điều kiện (*) ta suy a = b =
Khi P = x4 – 6x3 + 7x2 + 6x + = (x2 – 3x – )2 (0,25 điểm).
Nếu = từ hai điều kiện (*) ta suy a = 11 b = –
Khi P = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + = (x2 – 3x + )2 (0,25 điểm).
Kết luận:
b a
11 b a (0,5 điểm). Bài 3: (2,5 điểm).
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức kép sau: 2
2 n n
n n n
(với n N*) (1) (0,25 điểm). Thật vậy: n n n n n n n n 1 2
= n n n n n
1 2
(3)
1
1
2 2
n n
n n n
n n
n
= n n n n n
1
1
(3) (0,5 điểm).
Từ (2) (3) suy (1) chứng minh Vậy:
101 100
2 100
1
1
S
12 101 212.10 2 21 318 (0,5 điểm).
100 99
2 100
1
1
S
12 100 112.919 (0,5 điểm). Do 18 < S < 19, chứng tỏ S số tự nhiên (đpcm) (0,25 điểm). Chú ý: Nếu học sinh không chứng minh (1) sử dụng kết qủa (1) để làm chấm bình thường phần có làm mà cho điểm phần theo quy định
Bài 4: ( 2,5 điểm).
A B
C D
O
M
N
y
1
x
Đặt AB = a, AM = x, BN = y, ta có:
SOMN = SABNM – ( SOAM + SOBN ) (0,25 điểm). SOMN =
4
ay ax a y x
(0,25 điểm). SOMN =
x y a
(0,25 điểm). Do hai tam giác vuông OAM NBO đồng dạng (
O1N1
hai góc có cạnh tương ứng vng góc) nên:
2 a xy OB OA BN AM OB
AM NB OA
(0,5 điểm).
Ta lại có: a
a xy
y
x
4 2
2
(0,25 điểm).
Suy ra: SOMN a
SOMN = a
x = y = a
(0,5 điểm). Kết luận: M nằm cạnh AD, N nằm cạnh BC hình chữ nhật cho chúng lần lượt cách A B đoạn
1
AB tam giác MON có diện tích nhỏ (0,5 điểm). Chú ý: Nếu thiếu hình vẽ hình vẽ sai, khơng phù hợp với lời giải khơng chấm.
Bài 5: ( 1,5 điểm).
Gọi x số thuyền loại chở em học sinh y số thuyền loại chở em học sinh
(điều kiện x, y nguyên dương)
(4)Từ (1) suy
y Z y
y , 50
5
Z y y y
,
(7,5) = y = Do x = 3.
Vậy có thuyền loại chở em học sinh có thuyền loại chở em học sinh