* Phương pháp giải: Phân tích đề bài; suy luận để đưa về việc tìm ƯCLN; BCNN của 2 hay nhiều số.. Muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ.[r]
(1)Các bài toán ưcln; bcnn số học PHẦN II: NỘI DUNG Kiến thức sở: * Qui ước: ƯCLN(a; b) : Ước chung lớn số tự nhiên a và b BCNN( a; b): Bội chung nhỏ số tự nhiên a và b 1) :CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT * Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; Học sinh nắm vững các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 2) ƯỚC VÀ BỘI: +Nếu số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì: a gọi là bội b, b gọi là ước a + Muốn tìm bội số tự nhiên, ta nhân số đó với 0; 1; 2; 3;… + Muốn tìm ước số tự nhiên , ta chia số đó cho các số tự nhiên từ đến số đó Nếu nó chia hết cho số nào thì đó là ước số đó 3) SỐ NGUYÊN TỐ; HỢP SỐ .CÁCH PHÂN TÍCH SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ 4)CÁCH TÌM ƯCLN; BCNN CỦA HAY NHIỀU SỐ: Thực trạng vấn đề Các bài tập đưa chưa đưa các dạng toán Học sinh có thể chưa biết cách làm các dạng bài tập Mô tả giải pháp Chuyên đề nhằm đưa các bài toán các dạng toán bản; phân loại các em cách nhìn và giải các bài toán nhanh A Bài tập vận dụng I TÌM ƯCLN; BCNN CỦA HAY NHIỀU SỐ BÀI TOÁN1 Tìm ƯCLN ; BCNN của: 56; 140 và 84 * Giải: Ta có: 56 = 23.7; 140 =22.5.7 ; 84 =22.3.7 Các thừa số nguyên tố chung là: 2; Các thừa số nguyên tố riêng là: 3; (2) ƯCLN( 56; 140; 84) = 22.7 = 28 BCNN ( 56; 140; 84) = 23.3.5.7 = 840 BÀI TOÁN Tìm ƯC; BC 56; 140 và 84 *Giải: Để tìm ƯC; BC các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm ƯC( 56; 140; 84) = Ư(28) = { 1; 2; 4; 7; 14; 28} BC ( 56; 140; 84) = B(840) ={0; 840;1680; } II GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG VIỆC TÌM ƯCLN; BCNN CỦA HAY NHIỀU SỐ * Phương pháp giải: Phân tích đề bài; suy luận để đưa việc tìm ƯCLN; BCNN hay nhiều số BÀI TOÁN 3: a) Tìm số tự nhiên a lớn biết 420 a và 700 a b) Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a 15 và a 18 *Giải: a) Theo đề bài: a là ƯCLN 420 và 700 ƯCLN ( 420; 700) = 140 Vậy a = 140 b) Theo đề bài a là BCNN 15 và 18 BCNN ( 15; 18) = 90 Vậy a = 90 BÀI TOÁN Đội văn nghệ trường có 48 nam và 72 nữ Muốn phục vụ nhiều địa điểm , đội dự định chia thành các tổ gồm nam và nữ Số nam và nữ chia Có thể chia nhiều thành bao nhiêu tổ? Khi đó tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ * Giải Gọi số tổ là a ( a N*) Vì muốn phục vụ nhiều địa điểm , đội dự định chia thành các tổ gồm nam và nữ Số nam và nữ chia nên a là ước chung 48 và 72 (3) Mà cần tìm số tổ là nhiều nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ) Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = ( nữ) Đáp số: 24 tổ; tổ nam và nữ BÀI TOÁN Hai bạn An và Bách cùng học trường lớp khác An 10 ngày lại trực nhật lần; Bách 12 ngày lại trực nhật lần Lần đầu người cùng trực nhật vào ngày Hỏi sau ít bao nhiêu ngày thì bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó bạn đã trực nhật lần? * Giải: Gọi số ngày mà ít bạn lại cùng trực nhật là a( a N*) Vì An 10 ngày lại trực nhật lần; Bách 12 ngày lại trực nhật lần Lần đầu người cùng trực nhật vào ngày nên a là bội chung 10 và 12 Mà cần tìm số ngày ít mà bạn lại cùng trực nhật nên a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày ) Lúc đó An đã trực nhật 60 : 10 = ( lần) Bách đã trực nhật 60 : 12 = ( lần) Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật lần; Bách đã trực nhật lần III GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẰNG VIỆC TÌM ƯC; BC CỦA HAY NHIỀU SỐ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC * Phương pháp giải: - Phân tích đề bài , suy luận để đưa việc tìm BC; ƯC hai hay nhiều số cho trước - Tìm BCNN; ƯCLN các số đó - Tìm các bội BCNN này; Tìm các ước ƯCLN này - Chọn các số đó các bội và các ước thoả mãn điều kiện đã cho BÀI TOÁN a) Tìm số tự nhiên x biết rằng: 112 x; 140 x và 1< x < 25 b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: x 12; x 21; x 28 và 150 < x < 305 * Giải: a) x N ; 112 x; 140 x nên x ƯC ( 112; 140) (4) ƯCLN ( 112; 140) = 28 nên x Ư ( 28) = { 1; 2; 4; 7;14; 28} Mà 1< x < 25 nên x {2; 4; 7; 14 } b) x N; x 12; x 21; x 28 nên x BC( 12; 21; 28) BCNN( 12, 21, 28) = 84 nên x B( 84) = { 0; 84; 168; 252; 336; } Mà 150 < x < 305 nên x { 168; 252} BÀI TOÁN Một đơn vị đội xếp hàng 20; 25; 30 dư 15; xếp hàng 41 thì vừa đủ Tính số người đơn vị đó biết số người chưa đến 1000 người *Giải: Gọi số người đơn vị là a( người) ( a N; a 1000) Khi xếp hàng 20; 25; 30 dư 15 người Do đó : (a – 15) BC (20; 25; 30) BCNN ( 20; 25; 30) = 300 => ( a – 15) B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200; } => a {15 ; 315; 615; 915; 1215; } Do xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a 41; a 1000 nên a = 615 KL: Số người đơn vị là 615 người IV GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỔNG QUÁT BẰNG VIỆC TÌM ƯCLN; BCNN CỦA HAY NHIỀU SỐ BÀI TOÁN CMR: 14n + và 21n + ( n N) là số nguyên tố cùng Chứng minh: Để chứng minh số là nguyên tố cùng ta chứng minh ƯCLN chúng Đây là dạng toán quen thuộc còn lạ với các em lớp Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư suy luận logic các em Gọi d = ƯCLN ( 14n + 3; 21n + 4) => 14n + d và 21n + 4 d => 3( 14n + 3) d và 2( 21n+4) d => 3( 14n + 3) – 2( 21n+ 4) d => d ( d N*) (5) => d = Do đó 14n + và 21n + là số nguyên tố cùng * Gv cần nhấn mạnh việc làm nào ta lại nhân (14n + 3) với còn (21n +4) với để làm triệt tiêu n BÀI TOÁN Tìm ƯCLN 2n – và 9n + ( n N*) * Cách làm tương tự bài trên mức độ khó vì ta chưa thể tìm ƯCLN mà phải suy luận Chứng minh: Gọi d = ƯCLN ( 2n - 1; 9n + 4) ( d N*) => 2n - d và 9n + 4 d => 9( 2n - 1) d và 2( 9n+4) d => 2( 9n + 4) – 9( 2n - 1) d => 17 d => d Ư ( 17) = { 1; 17} Ta có : 2n – = 2n – 18 + 17 = ( n- 9) + 17 Nếu d = 17 => 2n – = ( n- 9) + 17 17 => 2( n- 9) 17 Vì và 17 là số nguyên tố cùng nên suy n- 17 => n - = 17k ( k N) => n = 17k + ( k N) Lúc đó 9n + = 9( 17k + 9) + = 17k + 85 17 KL: + Nếu n = 17k + ( k N) thì ƯCLN ( 2n – 1; 9n + 4) = 17 + Nếu n 17k + ( k N) thì ƯCLN ( 2n – 1; 9n + 4) = V MỘT SỐ KẾT QUẢ Nếu a b thì ƯCLN( a; b) = b; BCNN ( a; b) = a Nếu ƯCLN (a; b) = thì BCNN( a; b) = a.b ƯCLN( a; b) BCNN( a; b) = a.b a b ; Nếu ƯCLN( a; b) = d => ƯCLN ( d d ) = Nếu ba số a; b; c đôi nguyên tố cùng thì BCNN( a; b; c) = abc (6) Nếu a = bq+ r ( r N; r < b) => ƯCLN( a; b) = ƯCLN( b ; r) ( Thuật toán Ơclit) BÀI TOÁN 10 Tìm a; b biết a.b = 2400 và BCNN ( a; b) = 120 *Giải: Ta có : ƯCLN ( a; b) BCNN( a; b) = a.b Do đó: ƯCLN( a; b) 120 = 2400 => ƯCLN( a; b) Đặt a = 20 x; = 20 b = 20.y với ƯCLN( x; y) = và x; y N Ta có: a.b = 20x.20y = 400 xy =2400 xy = +Với x= => y = Vậy a = 20; b = 120 + Với x = => y =3 Vậy a = 40; b = 60 + Với x = => y = Vậy a = 60; b = 40 + Với x = => y = Vậy a = 120; b = 20 BÀI TOÁN 11 Tìm ƯCLN (a; b) biết a là số gồm 1991 chữ số 2; b là số gồm chữ số *Giải: Ta có 1991 chia cho dư 7; còn chia dư Theo thuật toán Ơclit ƯCLN ( a;b) = ƯCLN ( 22 2; 22 2) 1991c / so c / so ƯCLN ( 22 2; 22 c / so c / so )=ƯCLN( 22 2; c / so ) = * Rõ ràng để giải bài toán này ta đã vận dụng linh hoạt thuật toán Đây là bài toán khó ta làm thông thường mà không sử dụng thuật toán thì khó làm Kết thực Chuyên đề này tôi đã dạy cho học sinh mình, các em tiếp thu tốt và vận dụng thành thạo Rất mong các thầy cô góp ý thêm cho chuyên đề tôi để giúp tôi dạy cho các em hiệu và chất lượng (7)