Chuyên đề Các bài toán về phân số - Toán lớp 6

Dưới đây là Chuyên đề Các bài toán về phân số, mời các bạn cùng tham khảo để có thêm Tài liệu học tập và ôn thi. Nội dung Tài liệu gồm 38 bài toán về phân số. Hy vọng nội dung Tài liệu phục vụ hữu ích cho các bạn.

1   CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phân số là sự biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tỉ lệ của hai số ngun, trong đó số ở trên  được gọi là tử số, cịn số ở dưới được gọi là mẫu số. Điều kiện bắt buộc là mẫu số phải khác 0 a Kí hiệu   trong đó:  a  là tử số;  b là mẫu số ( a , b là số nguyên,  b  ).  b Tính chất phân:  a  a 1 ;     a a So sánh phân số a c Cho   phân số  , trong đó  b, d  b d Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.  Muốn so sánh hai phân số khơng cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu dương  rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.  Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau:  Phân số có tử và mẫu là   số ngun cùng dấu thì lớn hơn    Phân số có tử và mẫu là 2 số ngun khác dấu thì nhỏ hơn    Nếu  ad  bc  thì  a c   a, b, c, d     b d Nếu  ad  bc  thì  a c   a, b, c, d     b d Nếu  ad  bc  thì  a c   a, b, c, d     b d Nếu hai phân số có cùng mẫu số thì phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.  Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.  Kết hợp vận dụng Tính chất bắc cầu của thứ tự:  a c c m a m   và    thì   , trong đó việc phát  b d d n b n hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng.  Một số tính chất tỉ số Với các số thực dương  a , b  bất kì ta ln có   a  b  Với các số thực dương  a, b, c, d bất kì, ta có:   Nếu      a a a c     thì   b b bc 1    a b   Nếu  a a ac     thì   b b bc Nếu  a c a ac c   thì      b d b bd d Một số công thức hay dùng 1 a 1     ;   n  n  1 n n  n  n  a  n n  a 2a 1     n  n  a  n  2a  n  n  a   n  a  n  2a  1 1        1 1.2 2.3 n  n  1 n 1 1 k     n  n  a   n  a  n  2a   n   k  1 a   n  ka  n  n  ka   1 1 1         1.2.3 2.3.4 n  n  1 n   1.2  n  1 n     1 1 1           1.2.3.4 2.3.4.5  n  1 n  n  1 n   1.2.3 n  n  1 n    II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Rút gọn phân số Ví dụ 1.1: Rút gọn phân số sau:  10.11  50.55  70.77   11.12  55.60  77.84 Phân tích: Để giải ta cần phân tích tử mẫu thành tích cách áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng trừ a  b  c   ab  ac    Lời giải: Ta có:  10.11  50.55  70.77 10.11  5.10.11.5  7.10.11.7 10.111  5.5  7.7  10       11.12  55.60  77.84 11.12  11.5.12.5  11.7.12.7 11.12 1  5.5  7.7  12   Ví dụ 1.2: Tìm các số tự nhiên  a  và  b  biết   Lời giải: Ta có:      a 36  , BCNN  a, b   300   b 45    a  4k a 36 ,  (k  * )      b  k b 45  Mà  BCNN  a, b   300  BCNN  4k ,5k   4.5.k  300    k  15   a  4.15  60    b  5.15  75 Vậy  a  60; b  75   Ví dụ 1.3: Tìm số tự nhiên  n  để phân số  A  n  10  có giá trị là một số nguyên.  2n  Lời giải: Để phân số  A  có giá trị là một số ngun thì    n  10    2n  8   n  10    n     n    14    n    14   n  4     n   Ư 14    Ư 14   1;  2;  7;  14   Mặt khác,  n  là số tự nhiên nên  n   4  n   2; 1;1; 2; 7;14    Ta có bảng sau:  n  4  1  1   2  2   7  14   n  5  3  6  2  11   18   A  15   13   2 16  4  3   21   14 1  ( loại )  ( loại)  ( loại)  Vậy  n  2; 6;18    Bình luận: Ngồi cách lập bảng ta để ý rằng: -   n  10    2n  8   n  10     n      n  10  Kết hợp với  n    2; 1;1; 2; 7;14  n  2; 3; 5; 6;11; 18  n  2; 6;18       Đối với toán với n 5;3;11 số nguyên thay vào A khơng -  giá trị ngun vì: theo  n  10    2n  8   n  10    n     khơng có điều ngược lại Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên  n  sao cho  An  có giá trị nguyên.  B  n Cách làm: An  d    b    a, b, d     C  n   Ö  d  B n a  C  n   Nếu a  ta tìm n kết luận Nếu a  ta tìm n cần thử lại kết luận Ví dụ 1.4: Chứng minh rằng phân số  2n  tối giản với mọi số tự nhiên n   4n  Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Thật vậy,   2n  3 d  4n  6 d  2 d  d  1; 2   Giả sử  ÖCLN  2n  3, 4n  8  d         4n  8 d  4n  8 d Vì  n   là số tự nhiên lẻ nên  d    Vậy  d   nên phân số  2n   là phân số tối giản với mọi số tự nhiên  n    4n  Ví dụ 1.5: Tìm số tự nhiên  n  để phân số  A  21n   rút gọn được.  6n  Lời giải: Gọi  d  là ước nguyên tố của  21n   và  6n      21n  3  d  42n   d    22 d  d 2;11      6n   d  42n  28  d       Nếu  d   ta thấy   6n   n  còn   21n  3  khi  n  lẻ.  Nếu  d  11  thì   21n  311   22n  n  311     n  311    n   11k  n  11k   k       Với  n  11k   thì  6n   11k  3    66k  22 11     6n  11    Vậy  n  lẻ hoặc  n  11k   thì phân số  A  21n   rút gọn được.  6n  Bài tốn tổng qt: Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản rút gọn được” ta làm sau:  Gọi d ước nguyên tố tử mẫu  Dùng phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ tìm d Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số mẫu số khơng chia hết cho ước nguyên tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số mẫu số chia hết cho ước nguyên tố Ví dụ 1.6: Tìm các số tự nhiên   a, b, c, d  nhỏ nhất sao cho:  a b 12 c  ;  ;    b c 21 d 11 Lời giải: Ta có:  a b  a  3m  b  5m  4n  b 12      c  n  6k  c 21 d  11k c  d  11   m, n, k       4n  n Suy ra    mà   4,5  1;  6,7        n  BC  5,   mặt khác  a, b, c, d  nhỏ nhất nên  7 n  n n  BCNN  5,   n  5.6  30  m  24; k  35     a  72; b  120; c  210; d  385    Dạng 2: Tính nhanh tổng phân số Phương pháp khử liên tiếp       Áp dụng công thức  1 1 1       a.b b  a  a b  Ví dụ 2.1: Tính tổng sau a)  S 1 1     1.2 2.3 3.4 98.99 b)  S 1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 c)  11 19 649 S      12 20 650 Lời giải: a) S  1 1 1 1 1 1 98               1  1.2 2.3 3.4 98.99 2 3 98 99 99 99 b) S  1 1      1.3 3.5 5.7 7.9 97.99 1 1 1 1 1  49  S                 1 3 5 7 97 99  99 c) S   11 19 649    12 20 650 1 1 S  1 1  1    12 20 650 1 1  1 1  S  25      25          2.3 3.4 25.26 25 26    2 3 319 1   S  25      25   13 13  26  Ví dụ 2.2: Tính tổng sau S 1 1     1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Lời giải: S 1 1 2 2      2S      1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 1   1   1   1   S                    1      98  97 98  1   1   1   1  1 2425    S                     1      98  97 99  98.99 4851       S 2425 9702 Ví dụ 2.3: Tính tổng sau S  1 11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90 Lời giải: S  1 11 19 29 41 55 71 89 109        12 20 30 42 56 72 90 11 13 15 19 19  S      1              12 20 30 42 56 72 90  S  1 11 13 15 17 19          12 20 30 42 56 72 90  S  1  3  4  5  6  7  8  9  10          2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1           S                     4 5 6 7 8 9 10 10 Ví dụ 2.4: Tính tổng sau  S  19  2  2  2   2 2 3 4 10 Lời giải: S 2  12 32  22  32 52  102       12.22 22.32 32.4 42.52 2.10 S 1 1 1 1 99            2 3 10 100 100   Tính nhanh dạng tích Ví dụ 2.5: Tính tổng sau a)          S     1     1     1            99  b)           S     1   1                100  Lời giải: 1     15 24 35 9800  1  1  a ) S  1      1      1           99      16   25   36   9901  16 25 36 1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100 1.2.3.4.5 98 3.4.5.6.7 100 100 50             2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 99.99 2.3.4.5.6 99 2.3.4.5.6 99 99 99        b) S  1   1   1   1   1            100        101 101    S   100 Tính tổng dãy số có số sau số hạng liền trước nhân với số không đổi Phương pháp: Tính  S  u1  u1q  u1q   u1q n  q  1  qS  u1q  u1q  u1q   u1q n 1  1  q  S  u1  u1q n1  S    u1 1  q n1  1 q Ví dụ 2.6: Tính tổng sau S 1 1      16 512 Lời giải: S 1 1 1 1 1       S        16 512 16 256  S  1 511  512 512 Dãy có số cách Ví dụ 2.7: Tính tổng sau  S 1 1     1 1  1       50 Lời giải: Sử dụng kết quả     n  S n (n  1) , n  * 1 1     2.3 3.4 4.5 50.51 2 2 S 2 2       2.3 3.4 4.5 50.51 1  1 1  1  49  S               50 51  2 3  51  51 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức phân số Ví dụ 3.1: Chứng minh:      11 12 13 20     1.3.5 17.19   2 2   Phân tích: Vế trái tích phân số với tử số số tự nhiên liên tiếp, mẫu số Vế phải tích số tự nhiên lẻ liên tiếp Từ nhận xét này, ta nghĩ đến việc biến đổi vế phải thành vế trái cách thêm bớt số chẵn xen kẽ chúng.  Lời giải VP  1.3.5 17.19   1.2.3.4.5 17.18.19.20 1.2.3.4.5 17.18.19.20  2.4.6.8 18.20 1.2   2.2   2.3  2.4   2.9   2.10  1.2 9.10.11.12 19.20 11 12 13 20      VT (Đpcm).  1.2 9.10 2.2 2 2  10 thừa số Bình luận: Đây dạng toán hay gặp chứng minh đẳng thức liên quan đến phân số, giá trị cụ thể vế khó tính, có nhiều chữ số Tuy nhiên cách sử dụng thêm bớt, tính chất giao hốn, kết hợp phép nhân, ta chứng minh đẳng thức mà khơng cần tính giá trị cụ thể vế Tổng quát hóa: Chứng minh: 1.3.5  2n  1  Ví dụ 3.2: Chứng minh: n 1 n  n  2n    với n  1, n   2 2 7.9  14.27  21.36    21.27  42.81  63.108 Phân tích: Tử số mẫu số vế trái có dạng tổng tích, ta nghĩ tới việc phân tích tử, mẫu để nhân tử chung rút gọn.  Lời giải Ta  có  VT  7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36 7.9  14.27  21.36      2 21.27  42.81  63.108 7.9  14.27  21.36  7.9  14.27  21.36  (Đpcm)  Bình luận: Đối với dạng toán này, ta phải để ý xem tử số mẫu số có đặc điểm giống khác nhau, từ vận dụng tính chất học để đưa chúng dạng tích để rút gọn 18 19       20    Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng: 19 18 17 1 1     20 Phân tích: Nhận thấy mẫu số vế trái tổng phân số có tử 1, cịn mẫu số số tự nhiên liên tiếp, nên việc tính kết mẫu số gặp nhiều khó khăn, việc phân tích mẫu số khơng khả thi, từ ta nghĩ đến việc phân tích tử số theo mẫu số Tử số tổng     10   phân số có tính chất đặc biệt: tử cộng mẫu phân số tử giống 20, nên ta nghĩ đến việc cộng tất phân số tử số cho 1.  Lời giải Ta có   18 19        18   19          1             1      19   19 18 17  19   18   17      20 20 20 20 20 1  20 1 1 1 1       19  20         20          19 18 17 2  20  19 18 17  19 18 17 1 1   20          2  20 19 18 17 18 19 20               2  20 19 18 17  Vậy  19 18 17  20  (Đpcm) 1 1 1 1         20 20 Bình luận: Tử số tổng phân số có tính chất đặc biệt, tổng tử mẫu phân thức ta cộng phân thức cho 1, hiệu tử mẫu phân thức ta trừ phân thức cho 1 1 1 1 1 Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng:               19 20 11 12 13 20 Phân tích: Vế trái tổng hiệu xen kẽ phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp, vế phải tổng phân số mà mẫu số số tự nhiên liên tiếp Từ ta nghĩ đến việc biến đổi vế trái thành vế phải cách tách tổng hiệu với thêm bớt đại lượng thích hợp.  Lời giải 1 1  1  1 1  Ta có  VT                      19 20  19   20   1  1 1   1  1                    19   20   20  2  1   1   1          1        19 20   10    1 1      VP  (Đpcm).  11 12 13 20 Bình luận: Với dạng tốn này, ta việc nhóm tổng, hiệu thêm bớt phân số cách thích hợp     39   HƯỚNG DẪN     40     Bài Tìm tất cả các số tự nhiên  n để phân số  18n  có thể rút gọn được  21n  Lời giải Giả sử  18n  và  21n  cùng chia hết cho số nguyên tố  d    18n  3 d, 21n   d   21n    18n   d  21 d  d  U(21)  3; 7   Mà  21n  không chia hết cho 3 nên  d    Ta lại có  21n  7  18n  3  18n   21    18  n  1 mà  18,7    n  1  n  7k  1 k      Vậy để phân số  18n  có thể rút gọn được thì  n  7k  1 k      21n  Bài Tìm các số tự nhiên  a, b  thỏa mãn điều kiện:  11 a 23 và  8b  9a  31     17 b 29 Lời giải 8b  9a  31  b  31  9a 32   8a  a      a  1 8 8  a  8q  1 q    b 31   8q  1 11 8q  23  9q     17 9q  29 11 9q    17  8q  1  37q  38  q  29  8q  1  23  9q    25q  86  q   q  2;3 q 2 a 17  b 23 q 3 a 25  b 32 Bài Tìm  x, biết:  A x  5     x  1 9    x 1   B.  x  7     C.  x  5; 7  D.  x     Lời giải 3. C      41   Bài Tìm  x, biết:  3 2x       4.3 4.11 7.11 7.23 69 A x       B.  x  10     C.  x  20   Lời giải 4. C  Bài Tìm  x, biết:  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2      20   10 15 21 28 36 Lời giải x 2 x 2 x 2 x 2 x 2      20 10 15 21 28 36  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2      10   20 30 42 56 72  x 2 x 2 x 2 x 2 x 2      20   4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1   x       20    9   x    20   36  x   72  x  74 Bài Chứng tỏ rằng  12n  là phân số tối giản.  30n  Lời giải Chứng tỏ rằng  12n  là phân số tối giản  30n  Gọi  d là ước chung của  12n  và  30n  ta có:  12n  1   30n    chia hết cho  d   Vậy  d  nên  12n  và  30n  nguyên tố cùng nhau  Do đó:  12n  là phân số tối giản  30n  Bài Cho phân số  A  n 1 n     n 3 a) Tìm  n để  A là phân số        D.  x  40   42   b) Tìm  n để  A là phân số tối giản  Lời giải a) A là phân số khi  n    n    b) Để A là phân số tối giản thì UCLN  (n  1, n  3)  1  Hay  UCLN   n    4; n  3    Vì   (2 là ước nguyên tố)  Nên để  UCLN   n  3  4; n    thì  n  khơng chia hết cho 2  Suy ra  n   2k  (k là số nguyên)  Hay  n là số chẵn.  Bài Tìm số nguyên  x, biết:  x x x x x x x x x x 220             10 15 21 28 36 45 55 66 78 39                                                                          Lời giải x x x x x x x x x x 220           10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 1 1  220 1 1 1  x                10 15 21 28 36 45 55 66 78  39 1 1 1 1  220   2x               12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39 1 1 1 1  220   2x.            3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39 1  220 1 1  2x          4 12 13  39   1  220  2x      x  11  13  39 Bài Tìm số ngun  n để phân số  4n  có giá trị là một số ngun  2n  Lời giải Ta có:  4n  4n   7    n 2n  2n  2n  Vì  n   nên để      4n  nguyên thì   2n  1  U(7)  1; 7  n  3; 0;1; 4   2n  43   Bài 10 Tìm số nguyên  n để  P  n  là số nguyên  n 1 Lời giải P n  n   1   1  n 1 n 1 n 1 P     n  1     n  1  U(1)  1  n  0; 2   Bài 11 Tìm số nguyên  n để phân số  M  2n  có giá tri là số nguyên  n 5 Lời giải M 2n  2n  10  3   2    n   U(3)  1; 3   n 5 n 5 n 5  n  2; 4; 6;8 Bài 12 1  Tìm  x biết:   x        3                                                                              Lời giải  1   x  x   1  1    Từ giả thiết ta có:   x           3  2  x    x     2 Bài 13 Tìm  x là các số tự nhiên, biết:  a) x 1    x 1 2 0,    3 11   b)x :      2  1,   11 Lời giải a) x 1 2    x  1  16   4  x 1 )x    x    )x   4  x  5(ktm) Vậy  x        44   2 2 0,   0,   19  3   11  x : 11   b)x :         2  1,    2   0,      11 11    x   x  2  Bài 14 Cho  A  n 1   n4 a) Tìm  n nguyên để  A là một phân số  b) Tìm  n nguyên để  A là một số nguyên.  Lời giải a) A  n 1 là phân số khi  n    n  4   n4 b) A  n 1 n   5    1 n4 n4 n4 Với  n nguyên, A nhận giá trị nguyên   5 n    n    U    1; 5   Lập luận tìm ra được  n  9; 5; 3;1   Bài 15 Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số của phân số đó 4  đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số  Phân số lúc đầu là:  A.  84     52   B.  76    60         C.  75   61   Lời giải 15. D  Bài 16 Tìm các cặp số nguyên   x; y  biết: x   1  y 1 Lời giải Ta có:  x x 5 1      x  5 y  1  5.1   y 1 y 1   x   y  1  5.1  1.5  5.(1)  (1).( 5)   Thay hết tất cả các trường hợp ta có:   x; y    0;  ;  4;6  ;  10;  ;  6; 4           D.  80   56 45   Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên  n để:  a) Phân số  n 1 có giá trị là một số nguyên  n2 b) Phân số  12n  là phân số tối giản  30n  Lời giải a)  n 1 là số nguyên khi   n  1  n     n2 Ta có:  n    n    , vậy   n  1  n   khi  3  n      n    U(3)  3; 1;1;3  n  1;1;3;5   b) Gọi  d là ƯC của  12n  và  30n   d   *  12n  1 d,30n  2 d   5 12n  1   30n     d   60n   60n   d  1 d mà  d  *  d    Vậy phân số đã cho tối giản.  Bài 18 Tìm số tự nhiên  n  nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.  100   ; ; ; ; n  n  10 n  11 n  102 Lời giải Các phân số đã cho đều có dạng  a  , vì các phân số này đều tối giản nên  n   và  a  phải là  a   n  2 hai số nguyên tố cùng nhau.  Như vậy  n   phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số  7;8;9; ;100  và  n   phải là số  nhỏ nhất.  Nên  n   là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100   n   101  n  99   Bài 19 Cho hai số  a và  b  thỏa mãn:  a  b   a  b   a   b a Chứng minh  a  3b, Tính  Tìm  a, b   b Lời giải a  b    a  b      a   b 46    a  b  2.a  2b    a  3b  a 3    b Từ đó tính được  a  9 ,b    4 Bài 20 Chứng minh rằng 1 1     1 2 100 Lời giải Ta có:  11 44   U(60)  1; 2;3; 4;5; 6;10;1215; 20;30;60 1 1 15 60   2     ; 44 10 30 11 1 1.2 30 10   44         60 60 60 60 15 15 1 1 1 1    ; ;    2 3.4 100 99.100 99 100;   Vậy  1 1 1 1           22 32 42 10 02 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 99         1           2 3 99 100 100 Bài 21 Chứng minh rằng   1 1     n   .  2 2 Lời giải Ta có :           1 1       n n  n  1 n  n Áp dụng  2a3b ,   b 0; 2; 4; 6;8   2a3b   2030  10a  b    a  b    a  b  1; 4; 7;10;13;16    2030  10a  b    2a  b    b   2a   a  0; 7  a  b 0;7   a    b    2a     a   a  b    b    2a  4   a   a  b    b    2a     a   a  b  10   b    2a  8   a   a  b  11       47    1 1     n