Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F.. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB..[r]
(1)TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Năm Học : 2014 – 2015 Câu (4 điểm) : Thực phép tính 10 5 3 0,9 11 23 13 A 26 13 13 403 0, 11 23 91 10 a/ 155 A b/ 212.35 46.92 3 84.35 510.73 255.492 125.7 59.143 Câu (5 điểm) : n 2 n2 n n a/ Chứng minh với số nguyên dương n thì chia hết cho 10 b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A 2014 x 2015 x 2016 x c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y 8 x 2015 Câu (4 điểm) : x 16 y 25 z 49 16 25 và x 29 Tính x – 2y + 3z a/ Cho b/ Cho f ( x) ax x x và g ( x ) x x bx 1 c Trong đó a, b, c là số Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Câu (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC) Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác goca BAC N, cắt tia AB E và tia AC F Chứng minh a/ BE = CF b/ AE AB AC Câu (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B 45o , góc C 120o Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB - (2) LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 3 10 5 3 31 0,9 11 23 13 11 23 13 A 26 13 13 1 1 403 0, 13 31 11 23 91 10 11 23 13 155 Câu A 2.0 1 1 31 3 11 23 13 10 A 3 1 1 13 13 13 31 13 10 11 23 12 10 3 255.492 212.35 212.34 510.73 510.7 A 9 3 12 12 125.7 14 Câu 10 10 212.34 1 212.35 1 a/ Ta có : = 510.73 59.73 23 2.0 10 21 3.4 6 3n 2 2n 2 3n 2n 3n.9 2n.4 3n 2n 3n.9 3n 2n.4 n 3n 1 2n 1 3n.10 2n.5 3n.10 n 1.10 10 3n n 1.5 chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM) b/ A 2014 x 2015 x 2016 x 2.0 Cách : Ta xét trường hợp xảy TH : x < 2014 A = 2014 – x + 2015 – x + 2016 – x = 6045 – 3x > (Vì x < 2014)(1) TH : 2014 ≤ x < 2015 A = x – 2014 + 2015 – x + 2016 – x = 2017 – x > (Vì x < 2015)(2) TH : 2015 ≤ x < 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ (Vì x ≥ 2015)(3) TH : x > 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4) Từ 1,2,3,4 => A ≥ Vậy A nhỏ = x = 2015 Cách : Sử dụng BĐT Do 2015 x 0 => A B AB , Dấu = xảy AB ≥ A 2014 x 2015 x 2016 x 2014 x 2016 x Dấu = xảy x = 2015 (1) Ta có : 2014 x 2016 x x 2014 2016 x x 2014 2016 x 2 Dấu = xảy (x – 2014)(2016 – x) ≥ => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2) (3) Từ 1,2 => A ≥ Dấu = xảy x = 2015 Vậy A nhỏ = x = 2015 c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25 y 8 x 2015 Ta có 25 – y ≤ 25 => x 2015 1.5 2 ≤ 25 => x 2015 < Do x nguyên nên x 2015 là số chính phương, nên có trường hợp x 2015 0 x 2015 TH : thay vào => y = ; y = -5 x 2015 TH : x 2015 1 x 2016 1 x 2015 x 2014 Thay vào => y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = và x = 2015, y = -5 x 16 y 25 z 49 16 25 và x 29 Tính x – 2y + 3z a/ Cho 2.0 3 Ta có : x 29 => x 32 x 8 x 2 Thay vào tỷ lệ thức 16 y 25 z 49 y 25 z 49 2 y 7, z 1 16 25 16 25 => => x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = + 14 + = 19 b/ Cho f ( x) ax x x và g ( x) x x bx 1 c Câu Trong đó a, b, c là số Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Ta có : f ( x) ax x x ax x3 x a x3 x g ( x) x x bx 1 c x 4bx x c Do f(x) = g(x) => f(0) = g(0) => = c – => c = 11 => g ( x) x 4bx x => f(1) = g(1) => a + – + = – 4b – + => a + 4b = -3 (1) => f(-1) = g(-1)=> -a – + + = -1 - 4b + + => - a + 4b = 3(2) Từ 1,2 => b = 0, a = -3 Vậy : a = -3 , b = ; c = 11 2.0 (4) A B F 1 C M N D E a/ BE = CF Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME D Câu F (1) D 1 BD//AC => D1 F1 (2) 3.0 Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam giác AEF cân A => E F1 (3) Từ (1) và (3) => E D1 BE BD(4) Xét BDM và CFM có : MB = MC (5), M M (6) Từ 2,5,6 =>BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) b/ AE AB AC Tam giác AEF cân A => AE = AF 2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF) 2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AE AB AC (ĐPCM) o o Câu Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 120 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB 2.0 (5) 2.0 B 15o C 120 o 2 E F 15o A D o Trên CA lấy điểm E cho B1 ECA 15 , Gọi F là trung điểm CD o o => B 30 mà C1 120 => Tam giác CBE cân C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD o o Do C1 120 => C 60 => Tam giác CEF => FE = CF = FD o o => D1 E mà D1 E F 60 ( CEF đều) => D1 30 Xét tam giác CDE ta có D 900 CED 180o C (1) Ta có : D1 B => EB = ED, A1 B1 => EA = EB => ED = ED (2) o Từ 1, => Tam giác EDA vuông cân E => D 45 o o o Vậy ADB D1 D2 30 45 75 Học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa Giáo viên : Nguyễn Đức Tính Nhận dạy HS TP Thanh hóa - Dạy toán 6,7,8,9 - Ôn thi lớp 10 THPT và THPT Lam Sơn Địa : 07/335 – Đường Nguyễn Tĩnh – Đông Hương TP Thanh hóa, 0914853901 (6)