DeLoi giai HSG Tran Mai Ninh TH 1415

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của goca BAC tại N, cắt tia AB tại E và tia AC tại F.. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB..[r]

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Thời gian : 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Năm Học : 2014 – 2015 Câu (4 điểm) : Thực phép tính 10 5 3     0,9 11 23  13 A 26 13 13 403     0,  11 23 91 10 a/ 155  A b/ 212.35  46.92  3  84.35  510.73  255.492  125.7   59.143 Câu (5 điểm) : n 2 n2 n n a/ Chứng minh với số nguyên dương n thì    chia hết cho 10 b/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  2014  x  2015  x  2016  x c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25  y 8  x  2015  Câu (4 điểm) : x  16 y  25 z  49    16 25 và x  29 Tính x – 2y + 3z a/ Cho b/ Cho f ( x) ax  x x     và g ( x ) x  x  bx  1  c  Trong đó a, b, c là số Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Câu (5 điểm) : Cho tam giác ABC có (AB < AC) Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác goca BAC N, cắt tia AB E và tia AC F Chứng minh a/ BE = CF b/ AE  AB  AC Câu (2 điểm) : Cho tam giác ABC có góc B 45o , góc C 120o Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB - LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1  3  10 5 3  31         0,9   11 23  13  11 23 13 A    26 13 13 1  1  403     0,    13  31     11 23 91 10 11 23  13  155  Câu A 2.0 1   1   31     3    11 23  13 10    A    3 1 1  13 13    13  31     13 10 11 23   12 10 3   255.492 212.35  212.34 510.73  510.7 A    9 3 12 12   125.7  14     Câu 10 10  212.34   1 212.35   1 a/ Ta có : =  510.73    59.73  23   2.0    10 21       3.4 6 3n 2  2n 2  3n  2n 3n.9  2n.4  3n  2n  3n.9  3n  2n.4  n    3n  1  2n  1 3n.10  2n.5 3n.10  n  1.10 10 3n  n     1.5 chia hết cho 10 với n là số nguyên dương (ĐPCM) b/ A  2014  x  2015  x  2016  x 2.0 Cách : Ta xét trường hợp xảy TH : x < 2014 A = 2014 – x + 2015 – x + 2016 – x = 6045 – 3x > (Vì x < 2014)(1) TH : 2014 ≤ x < 2015 A = x – 2014 + 2015 – x + 2016 – x = 2017 – x > (Vì x < 2015)(2) TH : 2015 ≤ x < 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + 2016 – x = x - 2013 ≥ (Vì x ≥ 2015)(3) TH : x > 2016 A = x – 2014 + x – 2015 + x – 2016 = 3x – 6045 >3 (Vì x > 2016)(4) Từ 1,2,3,4 => A ≥ Vậy A nhỏ = x = 2015 Cách : Sử dụng BĐT Do 2015  x 0 => A  B  AB , Dấu = xảy AB ≥ A  2014  x  2015  x  2016  x  2014  x  2016  x Dấu = xảy x = 2015 (1) Ta có : 2014  x  2016  x  x  2014  2016  x  x  2014  2016  x 2 Dấu = xảy (x – 2014)(2016 – x) ≥ => 2014 ≤ x ≤ 2016 (2) Từ 1,2 => A ≥ Dấu = xảy x = 2015 Vậy A nhỏ = x = 2015 c/ Tìm x, y thuộc Z biết : 25  y 8  x  2015  Ta có 25 – y ≤ 25 =>  x  2015 1.5 2 ≤ 25 =>  x  2015  < Do x nguyên nên  x  2015  là số chính phương, nên có trường hợp x  2015  0  x 2015 TH :  thay vào => y = ; y = -5  x  2015 TH :  x  2015 1  x 2016 1      x  2015   x 2014 Thay vào => y2 = 17 (loại) Vậy x = 2015, y = và x = 2015, y = -5 x  16 y  25 z  49    16 25 và x  29 Tính x – 2y + 3z a/ Cho 2.0 3 Ta có : x  29 => x 32  x 8  x 2 Thay vào tỷ lệ thức  16 y  25 z  49 y  25 z  49     2  y  7, z 1  16 25  16 25 => => x – 2y + 3z = – 2.(-7) + 3.1 = + 14 + = 19 b/ Cho   f ( x) ax  x x   và g ( x) x  x  bx  1  c  Câu Trong đó a, b, c là số Xác định a, b, c để f(x) = g(x) Ta có : f ( x) ax  x x   ax  x3  x   a   x3  x    g ( x) x  x  bx 1  c  x  4bx  x  c  Do f(x) = g(x) => f(0) = g(0) => = c – => c = 11 => g ( x) x  4bx  x  => f(1) = g(1) => a + – + = – 4b – + => a + 4b = -3 (1) => f(-1) = g(-1)=> -a – + + = -1 - 4b + + => - a + 4b = 3(2) Từ 1,2 => b = 0, a = -3 Vậy : a = -3 , b = ; c = 11 2.0 A B F 1 C M N D E a/ BE = CF Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt ME D Câu  F  (1)  D 1    BD//AC =>  D1 F1 (2) 3.0 Tam giác AEF có AN vừa là đường phân giác vừa là đường cao => Tam   giác AEF cân A => E F1 (3)   Từ (1) và (3) => E D1  BE BD(4)   Xét BDM và CFM có : MB = MC (5), M M (6) Từ 2,5,6 =>BDM = CFM (g.c.g) => BD = CF (7) Từ 4,7 => BE = CF (ĐPCM) b/ AE  AB  AC Tam giác AEF cân A => AE = AF  2AE = AE + AF = (AB + BD) + (AC – CF)  2AE = ( AB + AC ) + (BD – CF) = AB + AC ( Do BE = CF) AE  AB  AC (ĐPCM)  o o Câu Cho tam giác ABC có góc B 45 , góc C 120 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADB 2.0 2.0 B 15o C 120 o 2 E F 15o A D o   Trên CA lấy điểm E cho B1 ECA 15 , Gọi F là trung điểm CD o o   => B 30 mà C1 120 => Tam giác CBE cân C => CB = CE Mà CD = 2CB => CB = CE = CF = FD o o   Do C1 120 => C 60 => Tam giác CEF => FE = CF = FD o o       => D1 E mà D1  E F 60 (  CEF đều) => D1 30 Xét tam giác CDE ta có     D  900 CED 180o  C (1)     Ta có : D1 B => EB = ED, A1 B1 => EA = EB => ED = ED (2) o  Từ 1, => Tam giác EDA vuông cân E => D 45 o o o    Vậy ADB D1  D2 30  45 75 Học sinh làm cách khác đúng đạt điểm tối đa Giáo viên : Nguyễn Đức Tính Nhận dạy HS TP Thanh hóa - Dạy toán 6,7,8,9 - Ôn thi lớp 10 THPT và THPT Lam Sơn Địa : 07/335 – Đường Nguyễn Tĩnh – Đông Hương TP Thanh hóa, 0914853901