Bài 5: Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE đi qua trung điểm P của OC, ED cắt CB tại Q.. Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp được một đường tròn.[r]
(1)Trường THCS Ngã Năm Toán ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2013 - 2014 PHẦN I: LÝ THUYẾT A HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: ax by c 1 a ' x b ' y c ' Dạng tổng quát: (với a, b, c, a’, b’, c’ R và a, b; a, b’ không đồng thời 0) Nghiệm Hpt (I) là cặp số (x;y) vừa là nghiệm pt(1), vừa là nghiệm pt(2) Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0, a b + Hệ có nnghiệm a ' b ' a b c + Hệ có vô số nghiệm a ' b ' c ' a b c + Hệ vô nghiệm a ' b ' c ' II/ Giải hệ phương trình bậc hai ẩn: 1) Phương pháp thế: - Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình hệ thay vào phương trình còn lại - Bước 2: Giải phương trình ẩn x (hoặc y) - Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy giá trị ẩn còn lại - Bước 4: Kết luận 2) Phương pháp cộng đại số: Chú ý: Hệ số cùng ẩn thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân B HÀM SỐ y=ax2 (a 0) I/ Tính chất hàm số y=ax2(a 0): 1/ TXĐ: x R 2/ Tính chất biến thiên: * a>0 thì hàm số y=ax2 đồng biến x>0 và nghịch biến x<0 * a<0 thì hàm số y=ax2 đồng biến x<0 và nghịch biến x>0 3/ Tính chất giá trị: * Nếu a>0 thì ymin = x=0 * Nếu a<0 thì ymax = x=0 II/ Đồ thị hàm số y=ax (a 0): 1/ Đồ thị hàm số y=ax2 (a 0): - Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng - Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía trục hoành Ox 2/ Các bước vẽ đồ thị hàm số y=ax2 (a 0): - Lập bảng giá trị tương ứng: x x1 x2 x4 x5 y=ax2 y1 y2 y4 y5 - Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định trên lên trên mặt phẳng tọa độ - Vẽ (P) qua các điểm đó III/ Quan hệ (P): y=ax2(a 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: y ax y mx n Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm Hpt: Phương trình hoành độ giao điểm (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = mx+n là: ax2= mx+n ax2- mx-n=0 (*) 1/(P) cắt (d) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt >0 (hoặc ' >0) Trang (2) Trường THCS Ngã Năm Toán 2/(P) tiếp xúc (d) phương trình (*) có nghiệm kép =0 (hoặc ' =0) 3/(P) và (d) không có điểm chung phương trình (*) vô nghiệm <0 (hoặc ' <0) C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ I/ Khái niệm phương trình bậc hai ẩn số (x): là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = (với a,b,c R và a 0) II/ Cách giải phương trình bậc hai ẩn số: Dạng khuyết c (c = 0) – Dạng ax2 + bx = (a 0): x 0 x 0 ax b 0 x b a ax2 + bx = x.(ax+b)=0 Dạng khuyết b (b = 0) – Dạng ax2 + c = (a 0): * Trường hợp ac>0: phương trình vô nghiệm c x c a ax c x a c x a * Trường hợp a c<0, ta có: ax2 + c = Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = (với a, b, c 0 : - Bước 1: Xác định hệ số a,b,c - Bước 2: Lập = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) so sánh với (Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ' ) - Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau: C«ng thøc nghiÖm thu gän C«ng thøc nghiÖm tổng quát = b - 4ac b -NÕu > : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: ' = b'2 - ac (víi b’ = 2b') NÕu ' > : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: − b+ √ Δ ; − b −√ Δ x 1= x 2= − b' + √ Δ' ; − b' − √ Δ' 2a 2a x = x = - NÕu = : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a a −b - NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x 1=x 2= 2a − b' x =x = - NÕu < : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm a - NÕu ' < : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm * Chú ý: Nếu a.c < thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) III/ Định lí Vi-ét: 1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: b S x1 x2 a P x x c a 2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm ph¬ng tr×nh: x2 - Sx + P = (§iÒu kiÖn: S2 - 4P 0) 3/ NhÈm nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0): c */ NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 = a vµ ngîc l¹i c */ NÕu a - b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = a vµ ngîc l¹i Trang (3) Trường THCS Ngã Năm Toán * Chú ý: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a0) th×: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) IV/ Giải các phương trình quy phương trình bậc hai: A( x) 0 A( x).B( x) 0 B( x) 0 1/ Phương trình tích: 2/ Phương trình chứa ẩn mẫu: - Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất các mẫu khác 0) - Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế - Bước 3: Giải phương trình nhận bước - Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ và kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = ( a 0 ) + Đặt : x2 = t , ta có PT đã cho trở thành : at2 + bt + c = (*) + Giải phương trình (*) + Chọn các giá trị t thỏa mãn t 0 thay vào: x2 = t x= t + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu 4/ Phương trình sau đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn phụ có + Giải phương trình ẩn phụ + Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy giá trị ẩn ban đầu + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu D HÌNH HỌC D o I Quan hệ cung và dây Với hai cung nhỏ đường tròn, hai dây căng hai cung nhau, C A B AB CD AB CD hai cung căng hai dây nhau: Đường kính qua điểm chính cung thì qua trung điểm dây căng cung MB IA IB MA Đường kính qua điểm chính cung thì vuông góc với dây căng cung o MB OM AB MA và ngược lại I Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây A MB IA IB OI AB ; MA M và qua điểm chính cung căng dây Đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây và điểm chính cung căng dây OI AB IA IB ; MA MB Hai cung chắn hai dây song song thì AB / /CD AC BD II Góc với đường tròn: B o C D A A B o BOC sd BC B BAC sd BC Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn BAx sd AB 10 Trong đường tròn : a) Các góc nội tiếp chắn các cung ACB DFE AB DE b) Các góc nội tiếp cùng chắn cung thì AMB ACB (cùng chắn AB ) Số đo góc tâm số đo cung bị chắn C B x o A F C M o E A Trang D B (4) Trường THCS Ngã Năm Toán c) Các góc nội tiếp chắn các cung thì AB DE ACB DFE d) Góc nội tiếp nhỏ 90o có số đo nửa số đo góc tâm cùng ACB AOB chắn cung (cùng chắn cung AB ) C o A B B C o e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp o thì chắn nửa đường tròn ACB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) A B x f) Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung thì BAx BCA ( cùng chắn cung AB) o C A 11.Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn A C AC ) BED sd ( BD (góc có đỉnh bên đường tròn) E B 12 Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn C o D A E AB) o CED sd (CD B (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) II Tø gi¸c néi tiÕp: D Đn: Tứ giác có đỉnh nằm trên đường tròn a) Tính chất: Tổng hai góc đối tứ giác 1800 b) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới góc III Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn: - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : Rn l 180 IV DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn: - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 R n lR S 360 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: V Các công thức hình học không gian: Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2 r.h (r: bán kính đáy) V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V= r2.h (r: bán kính đáy) 1 Hình nón: Sxq = rl (l: đường sinh), V= Sđáy.h , V= r2.h Hình cầu: Sxq =4 r , V= r3 Trang (5) Trường THCS Ngã Năm Toán PHẦN II: BÀI TẬP Dạng 1: Giải hệ phương trình x y 1 3x y 3 2x 5y 8 4x 3y 6 2x 3y x 3y 2x y 2x 3y 2x y 3x 2y a) b) c) d) e) i) x y 2 1 x y Dạng 2: Một số bài toán quy giải hệ phương trình 2x by a Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình bx ay 5 có nghiệm (1;3) ax 2y 2 2/ để hệ phương trình bx ay 4 có nghiệm ( ;- ) Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;3) và B(3;2) Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax2(a 0) Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x và y= x2 trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Cho hàm số y=ax2 Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số đó qua điểm A(1;-1) Vẽ đồ thị hàm số trường hợp đó Dạng 5: Quan hệ (P): y=ax2(a 0) và đường thẳng (d): y=mx+n: Bài 1: Cho hàm số y = x2 (P) và y = 3x-2 (d) a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ b) Xác định tọa độ (P) và (d) phương pháp đại số c) Lập phương trình đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) điểm có hoành độ x2 Bài 2: Cho hàm số y= (P) và y= x+m (d) a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung Dạng 6: Giải phương trình: Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = b) x - 6x2 = c) 2x2 + = d) 4x2 -1 = e) 2x2 + 5x + = f) 6x2 + x + = g) 2x2 + 5x + = h) 25x 20x 0 Bài 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – = d) 16 x – 5x – x = g) x 3x x 3 x x Bài 4: Giải phương trình: x e) h) b) 2x4 - 5x2 – = 2 3x 2x 0 c) 3x 5x 0 3x 6x x x f) 1 16 − = x +2 x −2 a) x – x 0 2x c) x b) x x 0 13 2x x 12 0 Trang (6) Trường THCS Ngã Năm Toán Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại biết trước nghiệm PTBH: Bài 1: Cho phương trình: x 8x 15 0 , không giải phương trình hãy tính: 1 x1 x2 2 x1 x2 x x x x x x x x x x1 2 2 a) b) c) d) e) f) Bài 2: Cho phương trình: x 3x 15 0 , không giải phương trình hãy tính: a) x1 x2 b) x1.x2 Bài 3: a) Cho phương trình: x 2mx 0 có nghiệm 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại b)Cho phương trình: x 5x q 0 có nghiệm 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại Dạng 8: Tìm hai số biết tổng và tích chúng Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm: Bài 1: Tìm hai số u và v biết: a) u+v = và u.v = b) u+v = -3 và u.v = c) u-v = và u.v=36 d) u2+v2 = 61 và u.v =30 Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) x1 8 và x2 3 b) x1 5 và x2 Dạng 9: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn có nghiệm phương trình bậc hai: Bài 1: Cho phương trình: x 2x m 0 , tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm 2 d) Có hai nghiệm trái dấu e) Có hai nghiệm x và x thỏa mãn x1 x2 5 2 Bài 2: Cho phương trình: 3x 2x m 0 , tìm m để phương trình: a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có hai nghiệm dương Bài 3: Cho phương trình: mx – 2(m + 1)x + = Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm; b) Có nghiệm phân biệt; c) Vô nghiệm Dạng 10: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô nghiệm) với tham số: 2 Bài 1: a) Chứng minh phương trình: x 2x m 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m x m 1 x m 0 b) Chứng minh phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt m x m x 4m 12 0 c) Chứng minh phương trình: luôn có nghiệm m 2 2 2 c x a b c x b 0 d) Chứng minh phương trình: vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Dạng 11: Toán tổng hợp: x m 1 x 4m 0 Bài 1: Cho phương trình: a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1= 2x2 2 e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x và x thỏa mãn: x1 x2 5 2 f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 cho A= x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Bước 1: Chọn ẩn (kèm theo đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn - Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết Trang (7) Trường THCS Ngã Năm Toán - Bước 3: Lập phương trình (hệ phương trình) biểu diễn tương quan các đại lượng - Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) - Bước 5: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐK và trả lời A DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Lu ý:+ Qđờng = Vtốc Tgian; Tgian = Qđờng : Vtốc; Vtốc = Qđờng : Tgian + v(xu«i)= v(riªng)+v(níc); v(ngîc)= v(riªng)-v(níc) + v(riªng)= [v(xu«i) + v(ngîc)]:2; v(níc)= [v(xu«i) - v(ngîc)]:2 * Chú ý: - Vận tốc dòng nớc là vận tốc đám bèo trôi, bè trôi - VËn tèc thùc cña can« cßn gäi lµ vËn tèc riªng (hay vËn tèc cña can« níc yªn lÆng) Bài 1: Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người đó tăng vận tốc thêm km/h, vì thời gian ít thời gian là 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Bài 2: Hai thành phố A và B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau đó 1giờ 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm người xe đạp 1giờ Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy lớn vận tốc người xe đạp là 18km/h Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chạy ngợc dòng từ B A hết tổng thời gian là Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là km/h Tính vận tốc thùc cña ca n« Bài 4: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/giờ thì đến muộn giờ.Tính vận tốc dự định và thời gian dự định Bài 5: Một ngời từ tỉnh A đến tỉnh B cách 78 km Sau đó ngời thứ hai từ tỉnh B đến tỉnh A hai ngời gặp địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian ngời đã từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ngời thứ hai lớn vận tốc ngời thứ là km/h C DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG Lu ý: + Thời gian hoàn thành và suất là số nghịch đảo + Được cộng suất, không cộng thời gian Bài 1: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê, ngời thợ thứ hai làm thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc Hỏi ngời thợ làm mình công việc đó bao lâu Bài 2: Hai tổ niên tình nguyện cùng sửa đờng thì xong Nếu làm riêng thì tổ làm nhanh tổ là Hỏi đội làm mình thì bao lâu xong việc ? Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào bể (ban đầu không chứa nước) thì sau đầy bể Nếu chảy mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian vòi II là Hỏi chảy mình để đầy bể thì vòi cần bao nhiêu thời gian ? D DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU Bài 1: Một đoàn học sinh gồm cú 180 học sinh đợc điều thăm quan diễu hành Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lợt hết số học sinh thì phải điều động ít dùng loại xe nhỏ là Biết xe lín nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi TÝnh sè xe lín ? Bài 2: Trong buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây Vì có bạn tổ đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại tổ trồng tăng thêm cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho bạn Bài 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành dãy và số ghế dãy nh NÕu sè d·y t¨ng thªm vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× phßng cã 400 ghÕ Hái phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ? Bài 4: Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân đội, biết đội tăng thêm ngời thì số ngày để hoàn thành công việc giảm ngày E DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Trang (8) Trường THCS Ngã Năm Toán Bài 1: Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiÒu dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không đổi Bài 2: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2 TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy Bài 3: T×m hai c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹n huyÒn b»ng 13 cm vµ tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng 17 F MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Bµi 1: B¹n H¶i ®i mua trøng gµ vµ trøng vÞt LÇn thø nhÊt mua n¨m qu¶ trøng gµ vµ n¨m qu¶ trøng vÞt hÕt 10.000® LÇn thø hai mua ba qu¶ trøng gµ vµ b¶y qu¶ trøng vÞt hÕt 9.600® Hái gi¸ mét qña trøng mçi lo¹i lµ bao nhiªu? Bài 2: Tổng số công nhân hai đội sản suất là 125 ngời Sau điều 13 ngời từ đội thứ I sang đội thứ II thì số công nhân đội thứ I 2/3 số công nhân đội thứ II Tính số công nhân đội lúc ban đầu BÀI TẬP HÌNH HỌC: Bài 1: Cho ABC vuông A (AB < AC), vẽ AH BC Gọi D là điểm đối xứng B qua H, E là hình chiếu C trên AD Chứng minh: a) Tứ giác AHEC nội tiếp, xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác này b) AHE cân c) Biết BC = 2a, ACB = 300, tính theo a: c1) Diện tích xung quanh và thể tích hình tạo quay ABC vuông A quanh cạnh AB c2) Diện tích hình giới hạn các đoạn AC, CH và cung AH (O) Bài 2: Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là tiếp điểm) cho góc BAC = 450 a) Tính độ dài các cung AB đường tròn (O); b) Tia CO cắt AB D, chứng minh: BOD và ACD là các tam giác vuông cân; c) Tính độ dài đoạn AC; d) Tính d.tích hình giới hạn các đoạn AC, AB và cung BC (O) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Đường phân giác góc C cắt AB E Kẻ AH vuông góc với BC và AK vuông góc với CE, gọi I là giao điểm AH và CE Chứng minh: a/ Bốn điểm A, K, H, C cùng nằm trên đường tròn Xác định tâm O đường tròn b/ OK vuông góc AH c/ Tam giác AEI cân Bài 4: Cho tam giaùc vuoâng ABC coù caïnh huyeàn BC baèng 2a vaø goùc B baèng 600 Treân caïnh AC laáy điểm M ( M khác A;C) Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC Đường tròn này cắt tia BM D và cắt cạnh BC điểm thứ hai là N a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn b Chứng minh DB là tia phân giác góc ADN c Khi tứ giác ABCD là hình thang , tính diện tích hình tròn tâm I theo a Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn Kẻ đường cao AH Trên đoạn AH lấy điểm M Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB D và AC E a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp b) Chứng minh : AMD ABC c) Cm: AD.AB = AE.AC o d) Cho HAC 30 , AM= cm Tính diện tích phần hình tròn ( O) nằm ngoài tam giác AEM (lấy = 3,14) Bài 6: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp (O;R) Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC Đường thẳng AM cắt đường thẳng BC S a) Chứng minh: SMC ACB b) Cm: AC2 = AM.AS c) Trường hợp  = 600 Tính độ dài BAC , độ dài dây AB và diện tích phần hình tròn nằm ngoài ABC theo R Trang (9) Trường THCS Ngã Năm Toán BC Bài 7: Cho ABC nội tiếp (O; ) có AB>AC, Hai tiếp tuyến đường tròn A và B cắt M a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp Xác định tâm I đường tròn đó b) Chứng minh: OAB IAM c) Đường cao AH ABC cắt CM N Chứng minh : N là trung điểm AH d) Giả sử ACB = 600 Tính diện tích hình giới hạn dây AC và cung nhỏ AC (O) theo R BÀI TẬP ÔN THI HỌC KỲ II – TOÁN (2013 – 2014) Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 3x y 1 3 x y 1 5 x x x x y 2 x y x y y y a/ b/ 3 x y 1 3x y 1 x y 10 x y 20 c/ 4 x y 15 3x y 10 d/ 3 x y 5 9 x y 15 11 x 33 2 x y 18 2 x y 18 2 x y 18 x 3 2.3 y 18 1 x y 8 3 x y e/ 7 x 21 x 2 x y 2.( 3) y x y 30 9 x y 30 x 3 y 4 x 0 3 x y 20 x 0 3.0 y 10 x 3 y 2 x 0 y 5 x 9 y 16 1 x 2 Cộng vế hai phương trình ta được: x 1 5 1 y 8 y Thay x 2 vào x y được: y Vậy nghiệm hệ phương trình là (2 ; 8) x y x y 1 x y 1 y 6 a ;b x x y x y x y x y f/ Đặt Điều kiện a b a Ta có hệ phương trình 5a b 6 Giải ta b 1 x y 1 2 x y 1 1 x y 1 Giải hệ phương trình x y 2 x x y y ( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)= Trang (10) Trường THCS Ngã Năm Toán 5( x y ) 3x 5 x 10 y 3x x 3x 15 y 12 h/ 2 x 3( x y ) 12 33 y 40 x 15 y 16 29 33 40 y 33 x 29 ( x; y ) ( ; ) Vậy 40 Bài 2: 2 x 10 y x 15 y 16 2 x 10 y x 30 y 32 2ax by 12 Câu 1: Với giá trị nào a và b thì hệ phương trình ax 2by Có nghiệm là ( x 2; y 1) mx y 1 Câu 2: Với giá trị nào m và n thì hệ phương trình x ny nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm 2ax by 12 Giải câu 1: ax 2by Do ( x 2; y 1) là nghiệm hệ phương trình 9 a b 4a b 12 4a b 12 5a 9 a b a b Nên 2a 2b mx y 1 Câu 2: x ny Do ( x 2; y 3) là nghiệm hệ phương trình 2m 3.3 1 2m 1 2m m 4 n n n n 0 Nên 9 a b 24 Bài 3: mx y 5 Câu 1: Cho hệ phương trình: 4 x y 9 Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x y 5 Câu 2: Tìm giá trị a để hệ phương trình ax y a a/ Có nghiệm ; b/ Vô nghiệm x y m Câu 3: Cho hệ phương trình 2 x y 8 Tìm giá trị m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm Giải mx y 5 m 3.4 m x y 6 m 2 Câu 1: Hệ phương trình có nghiệm x y 5 3.1 a a a 2 Câu 2: ax y a a/ Hệ phương trình có nghiệm a a a b/ Hệ phương trình vô nghiệm x y m 3 m m 4 Câu 3: x y 8 Ta có Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm m m 4 Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm Trang 10 (11) Trường THCS Ngã Năm Toán Bài 4: Câu 1: Xác định hàm số y ax b biết đồ thị nó qua hai điểm a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9) Câu 2: Xác định đường thẳng y ax b biết d0ồ thị nó qua điểm A(2 ; 1) và qua giao điểm B hai đường thẳng y x và y x 1 Giải Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số qua A(2; -4) nên 2a b 4 2a b 4 7a 0 a 0 2a b 4 b 4 Vậy y 4 Và qua B(-5 ; 4) nên 5a b 4 Ta có hệ pt 5a b 4 b/ Vì đường thẳng y ax b qua A(3 ; -1) nên 3a b Và qua B(-2 ; 9) nên 2a b 9 3a b Ta có hệ phương trình 2a b 9 a 5a 10 2a b 9 2( 2) b 9 Vậy y x a b 5 Câu 2: Xác định giao điểm B hai đường thẳng : y x và y x Phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng: x x 1 x 1 y Vậy B(1 ; -1) Xác định tiếp đường thẳng qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) y 2 x Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d) a/ Xác định m biết (d) qua điểm A trên (P) có hoành độ b/ Trong trường hợp m = -3 Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm chúng c/ Với giá nào m thì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) Giải ìïï A Î (P ) ïìï y A = x A Û í Û A (1; - 1), A Î (d ) Û - = - 2.1 + m Û m = í ïîï x A = ïîï x A = a/ b/ Bảng giá trị y=-2x-3 và y = - x2 x y=-2x-3 x -3 y=-x -9 -3 -2 -4 -3/2 -1 00 -1 -1 -4 -9 éx = - - x = - 2x - Û x - x - = Û ê ê ëx = Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là : Tọa độ giao điểm (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9) 2 c/ Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là : - x =- x + m Û x - 2m + m = (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Û D ' = 1- m > Û m < Với m<1 thì (d) cắt (P) hai điểm phân biệt d/ (d) tiếp xúc với (P) Û D ' = Û 1- m = Û m = (d) không cắt (P) Û D ' < Û 1- m < Û m > a / x 75 0; b / x 384 0; c / x( x 15) 3(27 x) 2 Bài 6: Giải phương trình : d / x(2 x 7) 12 4(3 x); e /(3x 2) 2( x 1) 2 Giải : Trang 11 (12) Trường THCS Ngã Năm Toán 2 1/ 3x + 75 = 0;3x + 75 > " x Nên phương trình vô nghiệm é x = 24 2 x - 384 = Û x = 1152 Û x = 576 Û ê ê ë x2 =- 24 2/ éx = x (x - 15) = 3(27 - 5x ); Û x = 81 Û ê êx = - ë 3/ 4/ éx = x (2x - 7) - 12 = - 4(3 - x ) Û 2x - 7x - 12 = - 12 + 4x Û 2x - 11x = Û x (x - 11) = Û ê êx = 11 ë 5/ éx = ê 2 2 (3x - 2) - 2(x - 1) = Û 9x - 12x + - 2x + x - = Û 7x - 8x = Û x (7x - 8) = Û ê êx = ê ë Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn ) 1/ x 5 x 14; / x 10 x 80 0;3 / 25 x 20 x 0 Giải : 1/ x 5 x 14 Û x + 5x - 14 = 0(a = 1; b = 5; c =- 14); D = 25 + 56 = 81 > Þ x = 2; x = - 2/ x 10 x 80 0 (a 3; b 10; c 80) ; D ' = 25-240 = -215<0 Phương trình vô nghiệm 3/ 25 x 20 x 0( a 25; b 20; c 4) ; D ' =(-10)2 -25.4 =0 b ' 10 x1 x2 a 25 Phương trình có nghệm kép : Bài 8: Định m để phương trình : a / 3x 2x m 0 voâ nghieäm ;b/ 2x mx m 0 coù nghieäm phaân bieät c/ 25x +mx + = coù nghieäm keùp Giải a/ x x m 0(a 3; b ' 1; c m) ; D ' = (-1)2 -3m = 1-3m m Để phương trình vô nghiệm D ' <0 suy 1-3m<0 hay m thì phương trình đã cho vô nghiệm Với b/ 2x + mx - m2 = (a = 2;b = m; c =- m2) ; D = m2 -4.2(-m2)= m2 +8 m2=9 m2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D > Û 9m > Û m ¹ c/ 25 x2 + mx +2 = (a = 25;b = m;c = 2); D = m2 -4.25.2= m2 -200 é m = 10 Û m - 200 = Û ê ê ê ëm2 =- 10 Để phương trình có nghiệm kép thì D =0 Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = (1) 1/ Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m 2/ Tìm m cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm Tính nghiệm còn lại 3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối 4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo 5/ Tìm m cho x1 - x2 = ; 2 6/ Tìm m để x1 x2 đạt gía trị lớn Trang 12 (13) Trường THCS Ngã Năm Toán 7/ Tìm m để hai nghiệm dương ; 8/ Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m x x2 9/ Tính Giải: 1/ x2 + (m+1)x + m = (a = 1;b = m+1;c = m) D =(m+1)2 -4.1.m= (m+1)2 ³ với m 2/Thay x = -2 vào (1) ta (-2)2 +(m+1)(-2) + m = 4-2m-2+ m = Û m = c x x = = m Û - 2.x = Û x = - a 3/ Phương trình có hai nghiệm đối Û x1 +x2 =0 Û -(m+1) = Û m = -1 4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo Û x1 x2=1 Û m = 5/Theo hệ thức Vi-et ìïï x1 + x = - (m +1)(1) í ïïî x1 .x = m(2) 6/ Theo hệ thức Vi-et ïìï x1 + x =- (m +1)(1) í ïïî x1 .x = m(2) x1 - x = x 21 + x 2 = (x1 + x )2 - 2x1x Û (x1 - x )2 = Û (x1 + x )2 - 4x1x = = m + 2m +1- 2m = m +1 ³ Û m + 2m +1 - 4m = Û m - 2m - = ém = - Û ê ê ëm = Dấu ‘ =’ xảy m=0 Vậy : GTNN là m=0 Vậy với m = -1 m = thì x1 x2 2 ìï D ³ ìïï (m - 1)2 ³ ìï m ³ ï ï ï ïí P > Û ïí m>0 Û ïí m > ïï ïï ïï S > ( m + 1) > ï ï ïîï m <- ïî 7/ Phương trình có hai nghiệm dương Û îï Vậy không có giá trị nào m để phương trình có hai nghiệm dương 8/Ta có 9/Ta có ìïï x + x = - (m +1) ìïï x + x = - m - x 13 + x = (x + x )(x 12 - x x + x 2 ) Û í í ïîï ïîï x x = m x x = m Û x 13 + x 23 = (- m - 1)(m +1 - m ) Þ x + x + x x = - Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m Bài 10: Giải phương trình : 1/ x Û x 13 + x 23 = - (m +1)(m - m +1) Û x 13 + x 23 = - (m +1) 15 1 2;2 / 1;3/ x x 0; / x x x 0 x x 1 x 3/ 2x4 - 7x2 – = 1/ 15 x= 2(x ¹ 0) x t = x2 ³ Đặt éx = - Û x - 15 = 2x Û x - 2x - 15 = Û ê ê ëx = (Thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x1 =-3 và x2 = 2/ Trang 13 .Ta có phương trình : (14) Trường THCS Ngã Năm Toán 1 2t - 7t - = 0; D = 49 - 4.2(- 4) = 49 + 32 = 81 = 1(x ¹ ±1) x +1 x - +9 7- - - t1 = = 4(tmñk )t = = = (ktñk ) 2 Þ x - - (x +1) = x - Û x - - x - = x - 4 éx = Û x =- Þ x2 =4Û ê Vậy phương trình vô nghiệm êx = - ë Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = và x2 = -2 4/ x - x - x +1 = Û x (x - 1) - (x - 1) = Û (x - 1)(x - 1) = éx = éx - = éx = ê Û ê3 Û ê3 Û êx = - êx - = êx = ê ë ë êx = ë Vậy nghiệm phương trình là x1 1; x2 Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là N Đường thẳng d vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến đường tròn (O) N điểm P Chứng minh : a/ Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn b/ Tứ giác CMPO là hình bình hành c/ Tích CM.CN không đổi C d GT B A O x N D KL P Cho đường tròn(O;R) AB, CD: đường kính, AB CD O M AB, CM cắt (O) N Đường thẳng d AB M Tiếp tuyến (O) N cắt d P a/ OMNP nội tiếp đường tròn b/ CMPO là hình bình hành c/ CM.CN không đổi a/ Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn: 0 Ta có: OMP 90 ( d AB)Và ONP 90 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) OMP ONP Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc không đổi) b/ Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành: AMC AC BN sđ Ta có: ( Định lí góc có đỉnh bên đường tròn(O)) BN CNx BC và sđ ( Định lí góc tạo tiếp tuyến và dây cung) AC BC 900 mà sđ = sđ = ( AB CD) Trang 14 (15) Trường THCS Ngã Năm Toán Do đó: AMC = CNx (1) Ta lại có: CNx = MOP ( cùng bù với MNP ) (2) Từ (1), (2) AMC = MOP Mà AMC , MOP vị trí so le =>: CM // OP (3) Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4) Từ (3), (4) CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có cặp cạnh đối song song) c/ Chứng minh tích CM.CN không đổi: Ta có: CND 90 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) CM CO Nên ta chứng minh được: OMC NDC (g.g) CD CN Hay CM.CN = CO CD = R.2R= 2R Mà R không đổi 2R không đổi Nên: CM.CN không đổi (đpcm) Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, điểm A trên nửa đường tròn cho BA = R Lấy M là điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC I Tia BA cắt tia CM D a/ Chứng minh: DI BC b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn c/ Giả sử AMB 45 Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM D GT A M I B C O KL Cho đường tròn (O), đường kính : BC = 2R A (O): BA = R; M cung AC nhỏ BM cắt AC I, BA cắt CM D ABM 450 : (c) a/ DI BC b/ AIMD nội tiếp (O) c/ Tính độ dài AC và S quatAOM ? a/ Chứng minh : DI BC: Ta có: BAC 90 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) CA BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC BMC 900 ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) Và BM CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC Từ (1), (2) I là trực tâm tam giác BDC DI là đường cao thứ ba tam giác BDC Nên DI BC b/ Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn: Ta có: IAD 90 ( CA BD ) Và IMD 90 ( BM CD Trang 15 (1) (2) (16) Trường THCS Ngã Năm Toán 0 IAD + IMD 90 + 90 180 Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có tổng góc đối diện 180 ) c/ Tính độ dài AD Diện tích hình quạt AOM: *Tính AD: 0 Nếu ABM 45 thì ABI vuông cân A ( Tam giác vuông có góc nhọn 45 ) AB = AI = R Xét tam giác ADI vuông A ,ta có: ADI AMI ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI…) AMI 60 300 sđ AB = Mà ( sđ góc nội tiếp nửa sđ cung bị chắn và AOB đều) Nên: ADI 30 Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác ID = 2R 2 Lúc đó: AD = ID AI 3R R (đvđd) * Tính diện tích hình quạt AOM: R2n Ta có: S quatAOM = 360 , với n = AOM 2 ABM 90 Nên: S quatAOM R 90 R (đvdt) = 360 Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm trên đường tròn cho CA > CB Vẽ hình vuông ACDE có đỉnh D trên tia đối tia BC Đường chéo CE cắt đường tròn điểm F ( khác điểm C) a/ Chứng minh : OF AB b/ Chứng minh : Tam giác BDF cân F c/ CF cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) điểm M Chứng minh ba điểm D, E, M thẳng hàng C Cho đường tròn (O), đường kính AB C (O): CA>CB D tia đối tia BC: ACDE là hình A O vuông B GT CE cắt (O) F D CF cắt tiếp tuyến A (O) M: (c) F E KL M a/ OF AB b/ Tam giác BDF cân F c/ D, E, M thẳng hàng a/ Chứng minh: OF AB Ta có: ACF BCF 45 ( Tính chất đường chéo hình vuông) AF BF ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhau) AF = BF AFB cân F Mà O là trung điểm AB FO là trung tuyến là đường cao ( Tính chất tam giác cân) Hay : FO AB Trang 16 (17) Trường THCS Ngã Năm Toán b/ Chứng minh tam giác BDF cân F: F đường chéo CE hình vuông ACDE FA = FD ( Tính chất đường chéo hình vuông) (1) Mà: FA = BF ( cmt) FD = FB (2) Hay: Tam giác BDF cân F c/ Chứng minh: D, E, M thẳng hàng: Xét tam giác ABM, ta có: O là trung điểm AB Mà OF // AM ( cùng vuông góc với AB) F là trung điểm B FM = FB (3) Từ (1),(2),(3) FA = FB = FD = FM ABDM là tứ giác nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh cách F) BAM BDM 1800 Mà BAM 90 ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính) BDM 900 DM BD (4) Ta lại có: DE BD ( BDE 90 ) (5) Từ (4),(5) DM trùng với DE ( hệ qủa tiên đề Ơ- Clit) Hay: D, E, M thẳng hàng ( Chú ý: Học sinh có thể chứng minh DEM 180 cách xét: AEM và ACB ) Trang 17 (18) Trường THCS Ngã Năm Toán Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao và AM là trung tuyến ( H, M cạnh BC ) Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt AB P và AC Q a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng b/ Chứng minh: MA PQ c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn A Cho ABC vuông A AM: trung tuyến, AH: đường cao GT Q Đường tròn (H; HA) cắt AB P và I C B AC Q H M P a/ Chứng minh : P, H, Q thẳng hàng KL b/ MA PQ c/ BPCQ nội tiếp đường tròn a/ Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng: Ta có: PAQ 90 (GT) Mà PAQ là góc nội tiếp PAQ chắn cung nửa đường tròn PQ là đường kính đường tròn tâm H P, H, Q thẳng hàng ( đường kính qua tâm) b/ Chứng minh: MA PQ: Gọi I là giao điểm AM và PQ Ta có: C MAC ( Tam giác MAC cân M) Mà C HAC 90 ( Tam giác AHC vuông H) Và HAC AQH ( Tam giác AHQ cân H) MAC AQH 90 Nên: Tam giác AIQ vuông I Hay PQ vuông góc với AM I c/ Chứng minh tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn: Ta có: C BAH ( cùng phụ với CAH ) mà P BAH ( Tam giác AHP cân H) P C Tứ giác BPCQ nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh góc không đổi) Trang 18 (19) Trường THCS Ngã Năm Toán Bài 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và CD vuông góc với nhau, dây AE qua trung điểm P OC, ED cắt CB Q a/ Chứng minh tứ giác CPQE nôi tiếp đường tròn b/ Chứng minh : PQ // AB c/ So sánh diện tích tam giác CPQ với diện tích tam giác ABC Cho đường tròn (O) C AB, CD là đường kính:AB CD E GT O P Q AE cắt OC P ( P: trung điểm OC) ED cắt BC Q B A O KL a/ CPQE nội tiếp đường tròn b/ PQ // AB S c/ So sánh CPQ và S ABC ? D a/ Chứng minh: CPQE nội tiếp đường tròn: Ta có: PCQ chắn cung BD PEQ chắn cung AD Mà: BD AD ( BOD AOD 90 ) Nên: PCQ = PEQ Vậy: Tứ giác CPQE nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh góc không đổi) b/ Chứng minh: PQ // AB: Ta có: Tứ giác CPQE nội tiếp đường tròn (cmt) CEP CQP ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CP) Ta lại có: CEP = B ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC đường tròn(O)) CQP B Mà CQP, B vị trí đồng vị Nên: PQ // AB S c/ So sánh CPQ và S ABC ? Ta có: P là trung điểm OC (GT) Mà PQ // AB (cmt) Q là trung điểm BC Nên: PQ là đường trung bình tam giác BOC S CPQ = S BOC Mà CO là trung tuyến tam giác ABC 1 1 S ABC S ABC S ABC S S BOC = Do đó: CPQ = = Trang 19 (20)