7 Hai tam giác đồng dạng bằng nhau thì 2 góc tương ứng bằng nhau Dạng 3 : Chứng minh hai đường thẳng song song : ta có thể sử dụng một trong các cách sau: 1 Sử dụng điều kiện song song: [r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VŨNG LIÊM CHUYÊN ĐỀ: NĂM HỌC : 2013 – 2014 (2) I.TÓM TẮT KIẾN THỨC: Đường tròn: 1.1: Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách D O khoảng R Kí hiệu (O;R) 1.2: Tính chất đối xứng: K Tâm đối xứng đường tròn là tâm đường tròn O C Trục đối xứng đường tròn là đường kính A B 2: Các mối quan hệ: H 2.1: Đường kính là dây cung lớn 2.2: Đường kính vuông góc dây ⇔ chia đôi dây (không qua tâm) 2.3: Trong đường tròn: Hai dây thì cách tâm và ngược lại, Dây nào lớn thì dây đó gần tâm và ngược lại E a M 3: Vị trí tương đối điểm , đường thẳng với đường tròn: N 3.1: Vị trí điểm M so với đường tròn (O;R) O A Điểm K nằm đường tròn (O;R) ⇔OK < R K C B Điểm M nằm trên (∈) đường tròn (O;R) ⇔OM = R Điểm N nằm ngoài đường tròn (O;R) ⇔ON > R F 3.2: Vị trí đường thẳng a so với đường tròn (O;R) Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến a Đường thẳng a cắt đường tròn (O;R) ⇔d < R (a : cát tuyến) Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O;R) ⇔d = R (a : tiếp tuyến) Đường thẳng a không cắt đường tròn (O;R) ⇔d > R : Tiếp tuyến đường tròn: 4.1: Định nghĩa: Tiếp tuyến đường tròn là đường thẳng có M điểm chung với đường tròn đó B 4.2: Tính chất : 4.2.1: Tính chất tiếp tuyến: Nếu đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn thì A O nó vuông góc với bán kính qua tiếp điểm 4.2.2: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: Điểm đó cách hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính 4.3: Dấu hiệu nhận biết: Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn R R A (O ) a a OA A là tiếp tuyến A đường tròn (O) 5/ Vị trí đường tròn (O;R) với đường tròn (O’;r) R > r Vị trí đường tròn (O;R) với đường tròn (O’;r).(R > r) Số điểm chung Hệ thức đoạn nối tâm OO’ với R và r Số tiếp tuyến chung Tính chất Đường nối tâm (3) Cắt Tiếp xúc nhau: Tiếp xúc ngoài Tiếp xúc Không cắt nhau: Ở ngoài Đựng * Đồng tâm R– r < OO’<R+ r OO’ = R + r OO’= R – r OO’ > R + r OO’< R – r OO’ = 0 Đường nối tâm là đường trung trực dây chung Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm II.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP - MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG: @ Các dạng toán thường gặp chương: Chứng minh quan hệ song song, vuông góc hai đường thẳng Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn A (O ) a a OA A là tiếp tuyến A đường tròn (O) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau, không giao Tính toán độ dài các đoạn thẳng, diện tích @ Những cách chứng minh sau đây có thể coi là cách giải số bài toán mà giải bất kì bài toán nào ta đưa các bài toán Dạng : Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: 1) Sử dụng quan hệ bắc cầu : Chúng cùng với đoạn thẳng thứ ba 2) Sử dụng tính chất tam giác vuông : đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì nửa cạnh huyền 3) Sử dụng tính chất tam giác cân: cạnh bên ; tam giác có cạnh 4) Tính chất đường trung trực đoạn thẳng: Nếu điểm M nằm trên đường trung trực d đoạn thẳng AB thì MA=MB 5) Sử dụng tính chất tia phân giác góc: Một điểm nằm trên tia phân giác góc thì cách cạnh góc 6) Đường trung bình tam giác nửa cạnh tương ứng 7) Hai tam thì cạnh tương ứng 8) Sử dụng tính chất các tứ giác đặc biệt: * Trong hình thang cân: cạnh bên nhau; đường chéo * Trong hình bình hành (hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật): Các cạnh đối nhau; đường chéo cắt trung điểm đường * Trong hình vuông, hình chữ nhật : đường chéo 9) Sử dụng tính chất đối xứng: đoạn thẳng đối xứng qua điểm (1 đường thẳng) thì 10) Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: Điểm đó cách hai tiếp điểm 11) Quan hệ đường kính-dây-cung-khoảng cách từ tâm đến dây: * Hai dây cách tâm thì * Đường kính vuông góc dây( chia đôi cung) thì chia đôi dây (4) Dạng : Chứng minh hai góc nhau: 1) Sử dụng quan hệ bắc cầu : Chứng minh chúng cùng (cùng bù cùng phụ) với góc thứ ba 2) Sử dụng tính chất tia phân giác 3) Sử dụng tính chất tam giác cân: góc đáy 4) Sử dụng tính chất đường thẳng song song: góc so le (đồng vị) 5) Hai góc đối đỉnh thì 6) Hai góc cùng nhọn (hoặc cùng tù) có cạnh tương ứng song song (hoặc vuông góc) thì 7) Hai tam giác đồng dạng (bằng thì góc tương ứng nhau) Dạng : Chứng minh hai đường thẳng song song : ta có thể sử dụng các cách sau: 1) Sử dụng điều kiện song song: góc so le góc đồng vị góc cùng phía bù 2) Cùng song song cùng vuông góc đường thẳng thứ ba 3) Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác , hình thang , 4) Hai đường thẳng chứa hai cạnh đối hình bình hành , hình chữ nhật , 5) Sử dụng định lí Talet đảo “Một đường thẳng cắt hai cạnh tam giác và định trên hai cạnh đó đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại” 6) Hai đường thẳng đối xứng qua điểm thì song song Dạng : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc : ta có thể sử dụng các cách sau: 1) Hai đường thẳng là hai tia phân giác hai góc kề bù 2) Sử dụng quan hệ với đường thẳng thứ ba: Nếu a⊥c và b//c thì a⊥b 3) Sử dụng tính chất tam giác cân: Đường trung tuyến (phân giác) xuất phát từ đỉnh là đường cao, là trung trực cạnh đáy 4) Sử dụng tính chất đồng quy ba đường cao 5) Sử dụng tính chất các tứ giác đặc biệt : hai cạnh kề hình chữ nhật , hình vuông; hai đường chéo hình thoi , hình vuông 6) Hai đường thẳng chứa hai cạnh góc vuông tam giác vuông 7) Sử dụng tính chất tiếp tuyến 8) Sử dụng quan hệ : Nếu đường kính chia đôi dây (không qua tâm) thì vuông góc dây Dạng 5: Chứng minh các hệ thức : 1) Chứng minh các đẳng thức bậc các đoạn thẳng (hoặc các góc) : ta đưa việc chứng minh các đoạn thẳng (hoặc các góc) 2) Chứng minh các đẳng thức có chứa bình phương các đoạn thẳng: ta nên vận dụng các kiến thức hệ thức lượng , py- ta -go tam giác vuông 3) Chứng minh các đẳng thức dạng tích tỉ số: chẳng hạn AB.CD = A’B’.C’D’ AB2 = A’B’.C’D’ ta nên sử dụng định lí Talet các trường hợp đồng dạng tam giác Dạng : Chứng minh các điểm thẳng hàng : chẳng hạn A, B, C 1) Sử dụng diều kiện điểm nằm hai điểm : A,B,C thẳng hàng ⇔AC=AB+BC 2) Sử dụng tiên đề Ơclit : ta cần chứng minh AB và AC cùng song song (vuông góc) vơi đường thẳng thứ ba 3) Sử dụng tính chất hai góc kề bù: ABC = 1800 Dạng : Chứng minh đường thẳng đồng quy: (ba đường thẳng) 1) Chứng minh đường thẳng qua giao điểm đường thẳng kia: ta thường đưa chứng minh các điểm thẳng hàng (5) 2) Sử dụng tính chất các đường thẳng đồng quy tam giác: ta cần chứng minh chúng là các đường trung tuyến, phân giác , đường cao hay các đường trung trực tam giác nào đó 3) Sử dụng định lí đảo định lí Talet đảo mở rộng: Nhiều đường thẳng định trên hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy điểm III/ MỘT SỐ VÍ DỤ - BÀI TẬP CƠ BẢN Ví dụ 1: Từ điểm A ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B ,C thuộc (O)) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OB và cắt AC D 1/ Chứng minh AB // DO 2/ Chứng minh DA = DO 3/ Nếu OA = 2R và I là giao điểm (O) với OA Chứng minh DI là tiếp tuyến (O;R) Giải 1/ AB là tiếp tuyến (O) (gt) ⇒ AB⊥OB mà DO ⊥OB (gt) Do đó AB // DO 2/ AB // DO (cmt) ⇒ BAO AOD (so le trong) B A AB , AC là tiếp tuyến (O) (gt) R I O R D ⇒ BAO DAO ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) AOD DAO C ⇒ nên ∆AOD cân D Vậy DA = DO 3/ OA = 2R (gt) , OI = R nên I là trung điểm OA suy ∆AOD cân D có DI là trung tuyến nên là đường cao ⇒ DI⊥OI , I ∈ (O) Vậy DI là tiếp tuyến I (O) Ví dụ : Cho (O; 6cm) và điểm A trên đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến Ax , trên đó lấy điểm B cho AB = cm a/ Tính OB ; b/ Qua A kẻ đường vuông góc với OB , cắt đường tròn (O) C Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn (O) B Hdg: a/ AB là tiếp tuyến đường tròn tâm A nên AB ^ AO 8cm Tam giác ABC vuông A: OB2 = OA2+ AB2 = 62+ 82 = 100 Suy OB = 10 cm A C b/ OB là đường cao tam giác cân AOC nên là phân giác góc 6cm µ µ AOC, đó O1 = O O · · = OAB = 90 , suy BC ^ OC C D AOB = D COB (c.g.c) nên OCB Vậy BC là tiếp tuyến đường tròn (O) Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA là M, N, S A a/ Chứng minh AB +AC - BC = 2AM; b/ Cho AB = 4cm, BC =7cm, CA = (cm).Tính độ dài S M các đoạn AM, BM, CS Hdg: O C B N (6) a/ Theo tính chất hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm, ta có: AM= AS , BM =BN , CN = CS Do đó: AB +AC - BC = (AM +BM)+(AS + SC) – (BN +NC) = AM + AM +(BM– BN)+ (SC – NC ) = 2AM Vậy AB +AC - BC = 2AM b/ Theo câu a, ta có: Þ AM =1 cm 2AM = AB +AC - BC = + – = Þ BM = AB – AM = – = (cm) CS = AC – AS = AC – AM = – = (cm) Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB Hai tiếp tuyến Ax , By trên cùng mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Trên cung AB lấy điểm M , tiếp tuyến M cắt Ax, By, C, D Chứng minh: 1/ AC // BD ; 2/ OC ⊥OD ( COD 90 ) 3/ CD = AC + BD ; 4/ Vẽ OC cắt AM H, OD cắt MB K Tứ giác OHMK là hình gì ? Vì sao? 5*/ Gọi N là giao điểm AD và BC Chứng minh AC // MN 6/ Tích AC.BD không đổi M di chuyển trên nửa đường tròn 7*/ Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Giải 1/ Ax, By là các tiếp tuyến đường tròn (O) (gt) ⇒ Ax ⊥AB , By ⊥AB ⇒ Ax // By Vậy AC // BD 2/ Do Ax, By , CD là các tiếp tuyến cắt C, D nên : CA = CM ; OC là tia phân giác góc AOM DB = DM ; OD là tia phân giác góc BOM Mà góc AOM và góc BOM kề bù y x D M C Suy COD = 900 hay OC⊥OD 3/ Do CA = CM ; DB = DM (cmt) nên CA + DB = CM + DM Vậy CD = AC + BD A 4/ Do CA = CM ; DB = DM (cmt) và OA =OM = OB = R nên OC , OD là đường trung trực AM và MB O' K H N O ⇒ OHM OKM 90 (t/c đưởng trung trực) đồng thời COD = 900( cmt) Vậy tứ giác OHMK là hình chữ nhật (3 góc vuông) {Chú ý thêm : OHMK là hình vuông ⇒ M là điểm chính cung AB} 5/ Do AC//BD (cmt) nên ∆ACN ∆DBN (hệ Talet) AC AN CN ⇒ BD DN BN (đ/n ∆ ) CM AN Mà AC = CM , BD = DM (cmt) Do đó : DM DN ⇒ AC // MN (định lí Talet đảo) COD 900 6/ Xét ∆CDO vuông O ( ) đường cao OM = R (CD là tiếp tuyến M): Theo hệ thức đường cao và hình chiếu : OM2 = CM.MD = AC.BD = R2 (vì AC = CM , BD = DM) Vậy tích AC.BD không đổi M di chuyển trên nửa đường tròn 7/ Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆COD B (7) Do tam giác COD vuông O nên O’ là trung điểm cạnh huyền CD Do AB là đường kính đương tròn (O) nên O là trung điểm AB Vì OO’ là đường trung bình hình thang ACDB (AC//DB) ⇒ OO’ // AC , mà AC⊥AB (t/c tiếp tuyến) suy OO’⊥AB O.Vậy AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC D, E (D khác B, E khác C) Vẽ AF vuông góc BC F Đường thẳng vuông góc với DE D cắt đường tròn (O) K (khác D) Chứng minh: 1/ Ba đường thẳng AF, BE, CD đồng quy ; 2/ Ba điểm E, O, K thẳng hàng Giải 1/ A Xét (O): BDC 90 (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥CD Hay CD là đường cao ∆ABC D H BEC 900 (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AC⊥BE Suy BE là đường cao ∆ABC Do đó ba đường cao CD, BE, AF ∆ABC đồng quy H (trực tâm) O B E F K 2/ Xét (O): Góc EDK là góc nội tiếp mà EDK 90 (DE⊥DK) ⇒ EK là đường kính đường tròn (O).Vậy E, O, K thẳng hàng Ví dụ 6: Cho đường tròn (O;R), A là điểm thuộc đường tròn (O), vẽ đường tròn tâm I đường kính OA Dây AB (O) cắt (I) C (C khác A) 1/ Hãy xác định vị trí hai đường tròn (O) và (I) 2/ Chứng minh AC = BC 3/ Cho biết AB = R Tính số đo góc AOB và tính diện tích tam giác AOB theo R B Giải C 1/ Ta có OI = OA – IA hay d = R – r Vậy đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc 2/ 3/ Xét (I): ACO 90 (gnt chắn nửa đường tròn) ⇒AB⊥OC ⇒ AC = BC ( định lí đường kính vuông góc dây) A I O R Ta có AC = BC = AB = R AC R = sin 600 ⇒ AOC 600 Xét ∆AOC vuông C : sinAOC = AO OC = OA cosAOC = R.cos 600 = R Bên cạnh ∆AOB cân O (vì OA = OB =R) AOB 2 AOC 2.600 1200 có OC là đường cao nên là phân giác góc AOB ⇒ 1 R2 Vậy diện tích tam giác OAB : SOAB = AB OC = R R = IV/ BÀI TẬP RÈN LUYỆN: (đvdt) C (8) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn (O) đường kính AB cắt BC D (D khác B).Vẽ AH ⊥OC H, AH cắt (O) E (E khác A) Chứng minh rằng: a/ OC // BE ; b/ CE là tiếp tuyến đường tròn (O) (9) ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2009 – 2010 -Bài (4 đ) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn Gọi M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn không trùng với A, B Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By C và D a/ Chứng minh tứ giác OACM là tứ giác nội tiếp b/ Chứng minh CD = AC + BD c/ OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh FE = R d/ Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD - Hết ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2010 – 2011 Bài (2 đ) Cho đường tròn (O) bán kính R = và A là điểm nằm ngoài đường tròn cho OA = Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) a/ Chứng minh OA⊥BC b/ Đường thẳng CO cắt (O) D Chứng minh BD // AO c/ Tính chu vi tam giác ABC Hết - ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT TỈNH VĨNH LONG NĂM HỌC : 2011 – 2012 -Bài (2 đ) Cho đường tròn (O) bán kính OA = R và dây CD là đường trung trực OA a/ Chứng minh OCAD là hình thoi Tính COD b/ Tiếp tuyến với đường tròn (O) C cắt đường thẳng OA I Tính CI theo R Hết - (10)