2 Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: o Đặt thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.. o Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để[r]
(1)Chương IV.GIỚI HẠN BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A- TÓM TẮT KIẾN THỨC Định nghĩa giới hạn hữu hạn Dãy số (un) gọi là có giới hạn n dần tới dương vô cực, tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở Kí hiệu: lim un= hay un →0 n→+∞ Dãy số (un) gọi là có giới hạn a n→+∞ Kí hiệu: lim un= a hay un → a n→+∞ Định nghĩa giới hạn vô cực Dãy số (un) gọi là có giới hạn + ∞ hạng nào đó trở Kí hiệu: lim un =+ ∞ hay un →+∞ Dãy số (un) gọi là có giới hạn −¿ ∞ Kí hiệu: lim un= −¿ ∞ hay un →−∞ |un| có thể nhỏ số dương bé lim (un −¿ a)= n→+∞ , un có thể lớn số dương bất kì, kể từ số n→+∞ n→+∞ , lim ( −¿ un) = + n→+∞ ∞ Các giới hạn đặc biệt ∙ lim q n= nếu|q|<1 +∞ q>1 +¿ ∙ lim nk =+∞ , k ∈ Z ¿ u n=¿ lim c=c Nếu un =c ( c làhằng số ) thì lim ¿ { ∙ lim =0 , lim n 0 n +¿ =0, k ∈ Z nk ∙ lim ¿ Định lí giới hạn hữu hạn a) Nếu lim un = a và lim = b, thì: o lim(un+ vn) = a + b ; o lim unvn = ab ; b) Nếu un ≥0 ∀ n và lim un=a thì a≥ và c) Nếu |un| ≤ vn, n và lim = thì lim(un - vn) = a - b un a = lim v n b √ u =√ a n lim lim un = B- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Tính giới hạn dãy số nhờ vào các định lý giới hạn Phương pháp: Biến đổi biểu thức biễu diễn dãy số dạng có thể áp dụng định lí 1) Nếu biểu thức có dạng phân thức, ta thường chia tử số và mẫu số cho nk, đó k là số mũ cao n (hoặc qn với q là số lớn có luỹ thừa n) 2) Nếu biểu thức không có dạng trên, tuỳ trường hợp có thể dùng các phép biến đổi sau: o Đặt thừa số chung để áp dụng định lí giới hạn vô cực o Nhân và chia cho biểu thức liên hợp để đưa dạng phân thức, biểu thức chứa biến n dấu Chú ý: ∙ lim ( un + v n )=lim un +lim v n ∙ lim ( un −v n ) =lim u n−lim v n ∙ lim ( un v n ) =lim un lim v n Các giới hạn đặc biệt: với a là số: lim u n lim un = , v n ≠ lim v n ∙ lim ( k un ) =k lim un ∙ lim k =k , ( k làhằng số ) ∙ (2) −¿ →−∞ a 0+¿ →+∞ , ¿ a ¿ Nếu a > 0: −¿ →+ ∞ a 0+¿ →−∞ , ¿ a ¿ Nếu a < 0: +) Nếu lim un = + thì lim =0 un lim un lim = a a >0 lim(unvn) a<0 a >0 a<0 ∞ ∞ ; +∞−(+∞ ) ; −∞+(+∞) ; ta phải khử các dạng vô Chú ý : gặp các dạng vô định: ±∞ ; định đó cách: chia tử và mẫu cho n x mũ lớn nhất; phân tích tử mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân tử và mẫu với lượng liên hợp;… * Liên hợp biểu thức: 3 n −2n+5 1+2 n3 VD1 Tính lim n3 2n lim n − 3+ n3 n n 3 n 3−2n+5 1+2 n3 Giải: Ta có: lim = ( ( n3 n 3+ n n ) ) 5 + 3) 3− + n n n n = 1 n3 ( +2 ) +2 n n = lim n3 (3− =¿ lim n +2 n n VD2 Tính lim +1 n +2 n Giải: Ta có: lim +1 5n n = lim ( n 2.3 n + n 5n 4n n+ n 5 n ( ) = ) n n [ ( )] [( ) ( ) ] lim 5n 1+2∙ n + 5 n + 5 n () ()() 1+2 ∙ = lim n n Vì n n + 5 n lim n [ ( )] [ ( )] [( ) ( ) ] ( ) ( ) lim 1+ 2∙ =lim 1+lim 2∙ n n = lim + lim =0+0=0 5 n +2 n +∞ n Vậy : lim +1 = √ n2+1−n VD3 Tính lim =1+2 lim 1+2 n n 3 n =1+2.0=1>0 <1 nên lim =0 5 () ( mà n n + >0 5 ()() () ) (3) lim n √ n +1−n 1+2 n Giải: Ta có: lim lim ¿ √ = ( n √ n2 + − n n n ) ( 1n + 2nn ) lim √ n2 +1 − n n 2n + n n = n lim = √ n2+ −1 lim √ n2 = +2 n √ n2 +1 −1 n2 +2 n n2 1 + −1 lim 4+ −1 n n n 2−1 = = = 1 2 +2 +2 n n √ n +3 n−7 n+1 VD4 Tính lim( n) n +3 n−7 n ( n+1 ) n2+3 n−7 lim n ( n+1 ) −( n2 +3 n−7 ) lim − = n+1 n+1 n+1 n+1 Giải: Ta có : lim(n )= −2+ n −2 lim n −2+ =lim = =−2 2 n lim n +n−n −3 n+7 lim −2 n+7 1 ¿ = = 1+ n+1 n+1 n n 1+ ( ) ( ) ( n) VD5 Tính lim( 2n3+3n-1) − n3 n Giải: Ta có lim (2n3+3n-1) = lim n n3 + n − n3 =¿ lim n3( 2+ n n ) = + VD6 Tính lim( -2n2+n √n Giải: Ta có : lim(-2n2+n VD7 Tính lim( ( - n+4) −2 n2 n √n n lim n + − + =¿ -n+4) = lim n2( -2 + n2 n n n √n √ n2+1+√ n2−n ) 1 ¿ lim n 1+ +n 1− =¿ n lim n n (√ √ ) √ n2+1−√ n2−n) 2 lim ( √ n2 +1 ) −( √ n2−n ) = ( ) 1 − + )=−∞ √ n n n2 1 + n2 1− n n (√ ( ) √ (√ √ ) = lim 1+ n2 1+ ( )) 1 + 1− =+ ∞ n n2 √ n2+1−√ n2−n) Giải: Ta có : lim( ∞ √ n2+1+ √ n2−n ) Giải: Ta có : lim( VD8 Tính lim( ) √ n +1+ √ n −n = ( √ n2 +1−√ n2−n)( √ n2 + 1+ √ n 2−n) √n 2+1+√ n2−n =lim lim ( n2 +1 ) −( n2−n ) 2 √ n +1+√ n −n = lim n2 +1−n2 +n √ ( n1 )+ √ n ( 1− 1n ) n 1+ 2 = lim 1+n 1 n 1+ +n 1− n n √ √ (4) lim n ¿ n (√ 1+ +1 n ( 1n +1) 1 + 1− n n √ ) = lim 1 + 1− n n √ √ 1+ = LUYỆN TẬP Bài 1: Tính n2 - 3n + 1- a)lim 1- 4n 4n2 - 3n + 1- a)lim 2- 3n Bài 2: Tính b ¿ lim lim b) n −2 n+3 c¿ 1−4 n 4n3 3n n +4 3n +1 c) lim lim n +2 n−1 a ¿ lim ( −5 ) b ¿ Bài 3: Tính: n +4 n−7 n Bài 4: Tính: n n −2n b) lim 1−3 n n−5 n lim( √ 3n−1−√ 2n−1) e) lim n +3 n d¿ n3 3n ¿ b) lim 2n Bài 5: Tính: a ¿ lim ¿ h) lim n2 n n c ) lim l ) lim c) lim (n – 2n3) 3n n 2n e) lim 2.3n 5.4n d ) lim 3n n n (1+2 n)(2−3 n ) ( n−5)2 lim a¿ c ¿ lim ( 4n + (−1 )n ) n3 n n 3n n f ) lim 3n 2n (5)