DE CUONG ON TAP TOAN 9

c CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC Bài136: Cho M là điểm bất k[r]

C¸c d¹ng to¸n luyÖn thi vµo líp 10 A Căn thức và biến đổi thức A.1 KiÕn thøc c¬ b¶n A.1.1 C¨n bËc hai a C¨n bËc hai sè häc Với số dơng a, số a đợc gọi là bậc hai số học a - Số đợc gọi là bậc hai số học  x 0 x a    x a - Mét c¸ch tæng qu¸t: b So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc - Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m ta cã: a  b  a  b - A2  A A.1.2 Căn thức bậc hai và đẳng thức a C¨n thøc bËc hai Với A là biểu thức đại số , ngời ta gọi A là thức bậc hai A, A đợc gọi là biểu thức lấy c¨n hay biÓu thøc díi dÊu c¨n A xác định (hay có nghĩa)  A  A2  A b Hằng đẳng thức - Víi mäi A ta cã - Nh vËy: + A2  A A2  A nÕu A  + A  A nÕu A < A.1.3 Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng a §Þnh lÝ: + Víi A 0 vµ B  ta cã: A.B  A B 2 + §Æc biÖt víi A  ta cã ( A )  A  A b Quy t¾c khai ph¬ng mét tÝch: Muèn khai ph¬ng mét tÝch cña c¸c thõa sè kh«ng ©m, ta cã thÓ khai ph¬ng tõng thõa sè råi nh©n c¸c kÕt qu¶ víi c Quy tắc nhân các bậc hai: Muốn nhân các bậc hai các số không âm, ta có thể nhân các số dới dấu với khai phơng kết đó A.1.4 Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng A A  B a §Þnh lÝ: Víi mäi A 0 vµ B > ta cã: B b Quy tắc khai phơng thơng: Muốn khai phơng thơng a/b, đó a không âm và b dơng ta có thÓ lÇn lît khai ph¬ng hai sè a vµ b råi lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai c Quy t¾c chia c¸c c¨n bËc hai: Muèn chia c¨n bËc hai cña sè a kh«ng ©m cho sè b d¬ng ta cã thÓ chia sè a cho số b khai phơng kết đó A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a §a thõa sè ngoµi dÊu c¨n - Víi hai biÓu thøc A, B mµ B  0, ta cã + NÕu A  vµ B  th× + NÕu A < vµ B  th× b §a thõa sè vµo dÊu c¨n A2 B  A B , tøc lµ A2 B  A B A2 B  A B + NÕu A  vµ B  th× A B  A B + NÕu A < vµ B  th× A B  A B c Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B  vµ B  0, ta cã d Trôc c¨n thøc ë mÉu A AB  B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ B > 0, ta cã A A B  B B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0 vµ A  B , ta cã C C ( A B )  A  B2 A B - Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, B 0 vµ A  B , ta cã C ( A  B) C  A B A B A.1.6 C¨n bËc ba a Kh¸i niÖm c¨n bËc ba: C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x cho x3 = a 3 3 - Víi mäi a th× ( a )  a a b TÝnh chÊt 3 - Víi a < b th× a  b - Víi mäi a, b th× ab  a b a 3a  b 3b - Víi mäi a vµ b 0 th× A.2 KiÕn thøc bæ xung A.2.1 C¨n bËc n a C¨n bËc n ( n  N ) cña sè a lµ mét sè mµ lòy thõa n b»ng a b C¨n bËc lÎ (n = 2k + 1)  Mọi số có và bậc lẻ  C¨n bËc lÎ cña sè d¬ng lµ sè d¬ng  C¨n bËc lÎ cña sè ©m lµ sè ©m  C¨n bËc lÎ cña sè lµ sè c C¨n bËc ch½n (n = 2k )  Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n  C¨n bËc ch½n cña sè lµ sè  Số dơng có hai bậc chẵn là hai số đối kí hiệu là d Các phép biến đổi thức k 1 A xác định với A  2k  k 1 2k   A xác định với A 0 A2 k 1  A víi  A A2 k  A víi  A k 1 A.B 2 k 1 A.2 k 1 B víi  A, B 2k A.B 2 k A k B víi  A, B mµ A.B 0 k 1 2k A2 k 1.B  A.2 k 1 B víi  A, B A2 k B  A k B k 1 A A  k 1 B B víi  A, B mµ B 0 A 2k A  B 2k B víi  A, B mµ B 0, A.B 0 k 1  2k víi  A, B mµ B 0 2k a vµ  2k a  m n A mn A víi  A, mµ A 0 m n m n A  A víi  A, mµ A 0  A.2.2 Bất đẳng thức và bất phơng trình  Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì  f1 ( x )  f ( x )   f n ( x)  f1 ( x)  f ( x )   f n ( x) f ( x ) i 1, n §¼ng thøc x¶y i cïng dÊu  Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, đó a1  a2   an n  a1.a2 an n §¼ng thøc x¶y a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) và (b1, b2, …, bn ) là hai số bất kì, đó  ( a1b1  a2b2   anbn ) (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) a a1 a2    n bn (quy íc b == th× a = 0) §¼ng thøc x¶y b1 b2 i i  Bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x )  ( 0)     f ( x )   f ( x )  ( 0)  f ( x)    hoÆc f ( x)  A.2.3 DÊu cña nhÞ thøc bËc nhÊt vµ dÊu cña tam thøc bËc hai a Cho nhị thức f(x) = ax + b (a  0) Khi đó ta có   x - -b/a + f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a Cïng dÊu víi a  b Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a 0) Khi đó ta có  NÕu  0 x - -b/2a + f(x) = ax2 + bx + c Cïng dÊu víi a Cïng dÊu víi a  NÕu   x - x1 x2 + f(x) Cïng dÊu a Tr¸i dÊu a Cïng dÊu a A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi đó ta có b  f ( x) ax  bx  c a( x  )  2a 4a víi  b  4ac   b f ( x)  f ( x)   x 4a nªn xR 4a 2a  NÕu a > th×   b f ( x)  max f ( x)   x 4a nªn xR 4a 2a  NÕu a < th× k A A ' (k là số dơng) đó ta có * Chó ý NÕu  Amin  A’max  Amax  A’min A.3 VÝ dô minh häa A.4 Bµi tËp chän läc x x 2   P       x  x x 1   x x  x   Bµi Cho biÓu thøc: a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 3  2   2x  x  2x x  x  x   P      : 1 x 1 x x   1 x x   Bµi Cho biÓu thøc a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 7  c Tính giá trị lớn a để P > a x x 2( x  3) ( x  3) P   x x  x 1 3 x Bµi Cho biÓu thøc a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 11  c T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  x   x 3 x 2 x 2  M      :   x    x   x x  x    Bµi Cho biÓu thøc : a Rót gän M b Tìm x để M > c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị x thỏa mãn: M ( x  1) m( x  1)  A x  x2  4x  x x2  4x x  x2  x x  x2  4x Bµi 5: Cho biÓu thøc: a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Rót gän A c Tìm x để A   x  x x x  x  A      2 x   x  x    Bµi 6: Cho a Rót gän A b Tìm x để A > -6  x   10  x  B     :  x    x 2  x 2  x 2 x Bµi 7: Cho a Rót gän B b Tìm x để B > 2 − + Bµi 8: Cho C = √ x +1 x √ x +1 x − √ x +1 a Rót gän C b Chøng minh r»ng C < Bµi 9: Cho biÓu thøc: A 4 x  a Rót gän A b Tìm x để A = -15 x  12 x  Bµi 10: Cho biÓu thøc: A 2 x  x  x  a Rót gän råi t×m gi¸ trÞ cña A a = -5 b T×m x A = 15     M   1 x  :   1  1 x    x2  Bµi 11: Cho biÓu thøc: a Rót gän M x 2 b T×m gi¸ trÞ cña M c Tìm giá trị x để M M Bµi 12: Cho biÓu thøc: A 3x   x   12 x a Rót gän biÓu thøc A b Tìm giá trị x để A = A 2 x   x  x  tìm giá trị x để A = 3/2 Bµi 13: Rót gän biÓu thøc: x x  x 1   x x 6 x  3 x Bµi 14: Cho biÓu thøc: a Rút gọn tìm giá trị x để Q < b Tìm các giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên Q P 3x  x   x x  x 1 x  x  1 x Bµi 15: Cho biÓu thøc: a Rót gän P b Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x+ √x Bµi 16: Cho biểu thức : A=( + + ): x √ x −1 − √x x + √ x+1 √x− Rút gọn A Chứng minh A với x Với giá trị nào x thì A có giá trị lớn Tìm GTNN đó ? Bµi 17 Cho biÓu thøc  x x 3x    x   P     1  : x  x    x   x 3  , víi x  vµ x 9 a Rót gän P b Tìm các giá trị x để P < -1/3 c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bµi 18 Cho biÓu thøc  x3  y x  x y  y  1 A      :    y  x  y x y  x y  xy   x víi x > 0, y > a Rót gän A b Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Bµi 19 Cho biÓu thøc A x  x   x a Rót gän biÓu thøc A b Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A = -3 2 2 Bµi 20: Cho biÓu thøc: A  x  x   x  x  a Tìm điều kiện x để A có nghĩa x  b TÝnh gi¸ trÞ cña A x 1 A : x  x x x x x Bµi 21: Cho a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Rót gän A x3  x B   x  x x  x  1 x Bµi 22: Cho a Tìm điều kiện x để B có nghĩa b Tĩm x để B > 1     2x   x 2x x  x  x  x  x  x E 1      x  x x x1   Bµi 23: Cho biÓu thøc: a Tìm điều kiện để E có nghĩa b Rót gän E  a  b3  a  b A   ab  :    a b  a b   Bµi 24: Cho a Tìm điều kiện a, b để A có nghĩa b Rót gän A Bµi 25: Cho biÓu thøc: A  x  x   a Rót gän A b Tìm các giá trị x để A = A x  x2  x  x  x2  x Bµi 26: Cho biÓu thøc: a Tìm điều kiện xác định A b Rót gän A c Tìm x để A < Bµi 27 XÐt biÓu thøc a B (1  ):(  a 1 a1 a a Rót gän B b T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho B c TÝnh gi¸ trÞ cña B nÕu a 6  Bµi 28 XÐt biÓu thøc a 3 b A  ab  a  b  a Rót gän A x2  x  x x2  x x  x2  x a ) a  a  a >1  ab ab  a  b  b  10 (b 10) b Cho giá trị biểu thức A sau đã rút gọn b  10 Chøng minh r»ng a/b = 9/10 Bµi 29 XÐt biÓu thøc  2 x 2 x 4x  x P     :  2 x 2 x x  x  x a Rót gän P b Tìm các giá trị x để P > 0, P < c Tìm các giá trị x để |P| = Bµi 30 Cho biÓu thøc A 4 x  x  12 x  a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A x = 2/7 Bµi 31 Cho biÓu thøc A 5 x  x  x  a Rót gän B b Tính giá trị x để B = -9 x P   x 2 x  x  3 x Bµi 32: Cho biÓu thøc: a Rót gän P b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P  x y x y  x  y  xy  P   : 1      xy  xy   xy    Bµi 33: Cho a Rót gän P x b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P 2 B HÖ ph¬ng tr×nh B.1 KiÕn thøc c¬ b¶n b.1.1 HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn a Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn  Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax + by = c víi a, b, c  R (a2 + b2  0)  TËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm nó đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c a c y  x  b b - Nếu a 0, b 0 thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số  Nếu a 0, b = thì phơng trình trở thành ax = c hay x = c/a và đờng thẳng (d) song song trùng víi trôc tung Nếu a = 0, b 0 thì phơng trình trở thành by = c hay y = c/b và đờng thẳng (d) song song trùng víi trôc hoµnh b HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn  ax  by c   Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn:  a ' x  b ' y c ' đó a, b, c, a’, b’, c’  R  Minh häa tËp nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, đó ta có  (d) // (d’) th× hÖ v« nghiÖm  A th× hÖ cã nghiÖm nhÊt  (d)  (d’) =  (d)  (d’) th× hÖ cã v« sè nghiÖm  Hệ phơng trình tơng đơng Hệ hai phơng trình tơng đơng với chúng có cùng tập nghiệm c Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Quy t¾c thÕ  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Dùng quy tắc biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc hệ phơng trình đó có ph¬ng tr×nh mét Èn  Gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn võa cã råi suy nghiÖm cña hÖ d Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số  Quy t¾c céng  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ  Nh©n hai vÕ cña mçi ph¬ng tr×nh víi mét sè thÝch hîp (nÕu cÇn) cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo đó hai phơng trình đối  áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, đó có phơng trình mà hệ số mét hai Èn b»ng (ph¬ng tr×nh mét Èn)  Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ đã cho b.1.2 HÖ ph¬ng tr×nh ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai - Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2  4P) đó hai số x, y là nghiệm phơng tr×nh: x2 + SX + P = B.2 KiÕn thøc bæ xung b.2.1 Hệ phơng trình đối xứng loại a §Þnh nghÜa: Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì phơng trình hệ không đổi b C¸ch gi¶i  §Æt S = x + y, P = x.y, §k: S2  4P  Giải hệ để tìm S và P  Víi mçi cÆp (S, P) th× x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 – St + P = c VÝ dô  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  y  xy 7  x  y  xy  0  x  y  x  y 8    2  x  y  xy 13  x  y  x  y 22  xy( x  1)( y 1) 12 b.2.2 Hệ phơng trình đối xứng loại a §Þnh nghÜa Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phơng trình nµy trë thµnh ph¬ng tr×nh vµ ngîc l¹i b C¸ch gi¶i  Trừ vế theo vế hai phơng trình hệ để đợc phơng trình hai ẩn  Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích  Giải phơng trình tích trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)  Thế x y (hoặc y x) vào phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn  Giải phơng trình ẩn vừa tìm đợc ròi suy nghiệm hệ c VÝ dô  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  y  y   x 13 x  y    y  x  x   y 13 y  x b.2.3 Hệ phơng trình đẳng cấp bậc a §Þnh nghÜa ax  bxy  cy 0  a ' x  b ' xy  c ' y 0 - Hệ phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:  b C¸ch gi¶i - XÐt xem x = cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phơng trình hệ - Khö x råi gi¶i hÖ t×m t - Thay y = tx vào hai phơng trình hệ để đợc phơng trình ẩn (ẩn x) - Giải phơng trình ẩn trên để tìm x từ đó suy y dựa vào y = tx * Lu ý: ta có thể thay x y và y x phần trên để có cách giải tơng tự c VÝ dô Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  xy  y 1 2 x  xy  y 3   2  y  xy 4  x  xy  y 6 B.3 VÝ dô minh häa B.4 Bµi tËp chän läc Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh ( x  2)( y  2)  xy  ( x  4)( y  3)  xy   2x  y  x  y  16  11   x  y  2( x  1) 31    x   y  10     18  x  y  ( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3) 4  ( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5) 18  9x y    28   3x  12 y 15    x  y  x  y 1    20  1  x  y x  y   3x  y  x  y 3     3  3x  y x  y 5   x   y  3     13  x  y 6 ( x  5)( y  2)  xy  ( x  5)( y  12)  xy 4x    x  y    x  y 15  y  14 13   x  y  36     10 1  x y   x  y   x  y  8     1,5  x  y  x  y  Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh  x   y  1   x   y 3  x  10 x  25  x    x  10 x  25 5  x   x   y  9   x  y    x  y 2( xy  2)   x  y 6  x  y 10   x  y 4  x  y  xy  0  2  x  y  x  y 22  x  y 65  ( x  1)( y  1) 18  x  y  xy 7  2  x  y  xy 13  x y  xy 6   xy  x  y 5 3  x  y 1  5 2  x  y  x  y  x  y 5   x y 13 y  x 6   x  y 1  3 2  x  y x  y ( x  1)( y  1) 10  ( x  y )( xy  1) 25 3  x  y 2  2  x y  xy 2 4  x  y 97  2  xy ( x  y ) 78 C¸c bµi HPT cã chøa tham sè Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh 3x  y  m  9 x  m y  3 a Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b Với giá trị nào m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm cña hÖ ph¬ng tr×nh c Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt Bµi Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh  mx  y 4   x  my 1 x y  m  Khi đó hãy tìm các giá trị x và y Cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn Bài Tìm các giá trị nguyên m để hệ phơng trình  2mx  y m   x  y m  Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh  x  y 6  2 x  y 2 a Giải hệ phơng trình đã cho phơng pháp đồ thị b Nghiệm hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm phơng trình 3x - 7y = - không ? c Nghiệm hệ phơng trình đã cho có phải là nghiệm phơng trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài Cho hai đờng thẳng (d1): 2x - 3y = và (d2): 7x - 5y = -5 Tìm các giá trị a để đờng thẳng y = ax qua giao điểm hai đờng thẳng (d1) và (d2) Bài Cho ba đờng thẳng (d1): y = 2x - (d2): y = (d3): y = (2m - 3)x -1 Tìm các giá trị m để ba đờng thẳng đồng quy  x  ay 2  Bµi Cho hÖ ph¬ng tr×nh  ax  y 1 Tìm các giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài Tìm các giá trị a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1) Bài Tìm các giá trị m để mx  y 5  a HÖ ph¬ng tr×nh: 2 x  3my 7 cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y <  mx  y 3  b HÖ ph¬ng tr×nh:  x  my 6 cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > Bµi 10 Cho hÖ ph¬ng tr×nh  mx  y 2m   x  my m  Tìm các giá trị nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm x, y là các số nguyên Bµi 11 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m  1) x  my 2m   mx  y m  Tìm các giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bµi 12 H·y t×m gi¸ trÞ cña m vµ n cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2) Bµi 13 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m  1) x  y m    x  ( m  1) y 2 Tìm các giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn Bµi 14 Cho hÖ ph¬ng tr×nh  mx  my m   mx  y 2m m, n lµ c¸c tham sè a Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh b trờng hợp hệ có nghiệm hãy tìm giá trị m để nghiệm phơng trình thỏa mãn ®iÒu kiÖn x > 0, y < Bài 15 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với giá trị tham số m (m  3) x  y 5a  3b  m   x  my am  2b  3m   y  x  x  a.x  x  y  y  ay Bài 16 Tìm tham số a để hệ phơng trình sau có nghiệm nhất:   x  y m  y  x  m  Bµi 17 BiÕt cÆp sè (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:  H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = xy + 2(x + y)  x  y 2a   y  x a  2a  Bµi 18 Gi¶ sö (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định giá trị tham số a để hệ tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt  xy a  1 1  x  y b Bµi 19 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Giải và biện luận hệ phơng trình biết x, y là độ dài các cạnh hình chữ 2 x  my 1  Bµi 20 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 2 y 1 a Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m b Tìm các số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên  x  my 4  Bµi 21 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx 4 y 10  m (m lµ tham sè) a Gi¶i vµ biÖn luËn theo m b Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ cã nghiÖm (x; y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ( m  1) x  my 3m   Bµi 22 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2 x  y m  Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhÊt (m  1) x  my 2m   mx  y m  Bµi 23 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn mx  y 2m  x  my m  Bµi 24 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a Gi¶i hÖ m = -1 b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, đó có nghiệm: x = 1, y = mx  y m   Bµi 25 Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh sau ®©y theo tham sè m: 2 x  my 3  x  my 2  Bµi 26 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 1 a Gi¶i hÖ m = b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > và y < c Tìm số nguyên n để có nghiệm (x; y) mà x, y là các số nguyên  x  my 1  Bµi 27 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  3my 2m  a Gi¶i hÖ m = - b Giải và biện luận hệ đã cho theo m 2 x  y m  Bµi 28 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3x  y 5 (m lµ tham sè nguyªn) Xác định m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > 0, y <  mx  y 2  Bµi 29 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x  my 5 a Giải và biện luận hệ đã cho x  y 1  m2 m2  b Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:  mx  2my m   Bµi 30 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  ( m  1) y 2 a Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc đờng thẳng cố định m thay đổi b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính mx  y m   Bµi 31 Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m, hÖ ph¬ng tr×nh:  x  my m cã nghiÖm nhÊt (x; y) víi x; y lµ c¸c sè nguyªn  x  my 1  Bµi 32 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 1 a Gi¶i vµ biÖn luËn theo m b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y là các số nguyên c Chứng minh hệ có nghiệm (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên đờng thẳng cố định d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính Bµi 33 Gi¶i vµ biÖn c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: 2m x  3( m  1) y 3  m( x  y )  y 2 a   x  y m   x  my 1   b  x  y 2  m c  x  y m  2mx  y 5  Bµi 34 Cho hÖ ph¬ng tr×nh: mx  y 1 a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lóc m = b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè mx  y 1  Bµi 35 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (m lµ tham sè ):  x  y  m a Chøng tá lóc m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm b Gi¶i hÖ lóc m kh¸c Bài 36 Với giá trị nào x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 =  x  y 25  mx  y 3m  Bµi 37 Víi gi¸ trÞ nµo cña m, hÖ ph¬ng tr×nh: cã nghiÖm? 2  x  y 2a  xy  2a Bµi 38 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm các nghiệm đó x y   m y x  x  y 8 Bµi 39 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm kép x  y  m   y  x 1 Bµi 40 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  Xác định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm đó  xy  x  y 71  x y  xy 880 Bµi 41 Cho x, y lµ hai sè nguyªn d¬ng cho:  T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M = x2 +y2  x  my m   Bµi 42 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 3m  a Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh trªn b Kh«ng gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh, cho biÕt víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt? ( a  1) x  y a   Bµi 43 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  (a  1) y 2 (a lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh c Tìm giá trị nguyên a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên d Tìm giá trị a để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ Bài 44 Lập phơng trình đờng thẳng qua gốc O và song song với AB biết: A(-1; 1), B(-1; 3) A(1; 2), B(3; 2) A(1; 5), B(4; 3) Bài 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Bµi 46 Cho bèn ®iÓm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chøng minh r»ng bèn ®iÓm A, B, C, D th¼ng hµng Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?  2(m  1) x  ( m  2) y m   Bài 48 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: (m  1) x  my 3m  (m  1) x  2my  0  Bµi 49 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  2mx  (m  1) y  (m  1) 0 (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn b Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn x < 0, y < (m  1) x  y 3m   Bµi 50 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  x  ( m  1) y m (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nguyên c Tìm giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm dơng  x  my m   Bµi 51 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  mx  y 3m  (m lµ tham sè) a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy nhỏ  x  y 2a   x  y 4a Bài 52 Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm nhất:  Bµi 53 a Tìm các giá trị nguyên tham số a m để hệ phơng trình có nghiệm là số dơng, số ©m  ax  y 1   x  ay 2 ; 3x  y m  2 x  y 1 2 x  y m  b Tìm giá trị nguyên m để hệ phơng trình sau: 3 x  y 5 có nghiệm x > và y < mx  y 2 m2  x  y 1  m 3 c Víi gi¸ trÞ kh¸c nµo cña m 0 th× hÖ ph¬ng tr×nh: 3x  my 5 cã nghiÖm tháa m·n Bµi 54  a.x  y 3  x   y 2 Cho hÖ ph¬ng tr×nh:  a Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Tìm các giá trị a để hệ phơng trình sau vô nghiệm C Ph¬ng tr×nh C.1 KiÕn thøc c¬ b¶n C.1.1 Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn a §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng ax + b = Trong đó a, b  R và a 0 b C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - Nếu a = Khi đó: + b = thì phơng trình có VSN + b 0 th× phong tr×nh VN Nếu a 0 Khi đó phơng trình có nghiệm x = - b/a C.1.2 Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn a §Þnh nghÜa - Phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong đó a, b, c  R và a 0 b C¸ch gi¶i vµ biÖn luËn - NÕu a = Ph¬ng t×nh cã d¹ng bx + c = 0: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Nếu a 0 Khi đó  b  4ac (hoặc  ' b '  ac ) +   (hoÆc  '  ): Pt v« nghiÖm b b' x1  x2  x1  x2  2a (hoÆc a) +  0 (hoÆc  ' 0 ): Pt cã nghiÖm kÐp +   (hoÆc  '  ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt  b'   ' b  x1,2  a 2a ) (hoÆc  Chó ý: NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2) §Þnh lÝ Viet x1,2  a §Þnh lÝ thuËn S  x1  x2  b a - Nếu phơng trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là c P  x1.x2  a vµ b Định lí đảo - NÕu hai sè x vµ y cã tæng x1  x2 S vµ tÝch x1.x2 P tháa m·n S 4 P th× hai sè x vµ y lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t2 - St + P = Bµi tËp chän läc Bài Tìm các giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung x2 + mx + = 0; x2 + x + m = Bµi Cho hai ph¬ng tr×nh x + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = Chứng minh p1 p2 2(q1  q2 ) thì ít hai phơng trình đã cho có nghiệm Bµi Víi gi¸ trÞ bµo cña k th× hai ph¬ng tr×nh sau: 2x2 + (3k + 1)x - = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = Có ít nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó Bµi Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm víi mäi a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Bài Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh m ột tam giác Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = Bµi Cho ba ph¬ng tr×nh x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm Bài Cho phơng trình: ax2 + bx + c = Chứng minh phơng trình đã cho có nghiệm hai điều kiện sau đợc thỏa mãn a(a + 2b + c) < 5a + 3b + 2c = Bài Tìm các giá trị k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = có nghiệm là số hữu tỉ Bµi Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 - 3x + = Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y t×m gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: 1  x1  x2 x x A  B  D  2 C  x1  x2 x1 x2 x1 x2 x2  x1  a b c d Bµi 10 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + (2m - 1)x - m = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2 b Gọi x1, x2 là các nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để biểu thức A x1  x2  x1 x2 đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 11 Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 + 5x - = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y lËp ph¬ng tr×nh bËc hai Èn y cã c¸c nghiÖm 1 y1  x1  y2  x2  x2 ; x1 Bµi 12 Cho ph¬ng tr×nh x  x  0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 3x  x x  3x a A x1  x2 B 32 x1 x2  x1 x2 b Bµi 13 Cho ph¬ng tr×nh (k – 1)x2 – 2kx + k – = Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn, h·y lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo k Bài 14 Tìm các giá trị m để các nghiệm x1, x2 phơng trình: 2 a x2 + (m - 2)x + m + = tháa m·n x1  x2 10 b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = tháa m·n x1 = 2x2 c x2 - mx + m + = tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = Bµi 15 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - = a Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối b Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Bµi 16 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = Tìm các giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn A 10 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó Bµi 17 Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2| Bµi 18 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: x1 x2  P x1  x22  2( x1 x2  1) Bµi 19 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + px + q = T×m c¸c gi¸ trÞ cña p vµ q cho hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tháa m·n  x1  x2 5  3  x1  x2 35 Bµi 20 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 2x - m2 = cã c¸c nghiÖm x1, x2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm y1, y2 cho: a y1 = x1 - 3, y2 = x2 - b y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - Bµi 21 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm tháa m·n:  x1  x2 2  3  x1  x2 26 Bµi 22 Chøng minh r»ng ba ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm x2 + ax + b - = x2 + bx + c - = x2 + cx + a - = Bµi 23 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2x + a = (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = (2) Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm Bµi 24 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b Chứng minh biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm phơng trình kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 25 Cho ph¬ng tr×nh (m - 1)x2 - 2mx + m + = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có tích 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm cña ph¬ng tr×nh c T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2   0 x x1 2 d Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: Bài 26 Tìm các giá trị m và n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 + (4m + 3n)x - = x2 + (3m + 4n)x + 3n = Bµi 27 Cho ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt x1, x2 a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cx2 + bx + a = còng cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x4  Bµi 28 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = a BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 2,t×m m råi t×m nghiÖm cßn l¹i b Tìm các giá trị m để các nghiệm phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức -2 < x1 < x2 < Bµi 29 T×m a cho nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 30 Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng kh¸c cã tæng b»ng 12 Chøng minh r»ng ba ph¬ng tr×nh sau: x2 + ax + b = x2 + bx + c = x2 + cx + a = Cã mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm, mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm  Bµi 31 Cho biÕt ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0, víi b, c lµ c¸c sè h÷u tØ cã mét nghiÖm lµ T×m c¸c cÆp sè (b, c) Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông là nghiệm phơng trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là Bài 33 Tìm giá trị m để các nghiệm x1, x2 phơng trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 2 tháa m·n ®iÒu kiÖn: x1  x2 1 : Bµi 34 Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham sè) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lín h¬n Xác định m để các nghiệm x1, x2 phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 35 Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 1 x1  x2   x Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn x2 -Bµi 36 Cho ph¬ng tr×nh x + 5x - = (1) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh (1), h·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ lòy thõa bËc bèn cña c¸c nghiÖm ph¬ng tr×nh (1) Bµi 37 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a vµ b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = Bµi 38 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 4 x  y 7  2 x  y m Bài 39 Tìm giá trị m để hệ phơng trình sau có nghiệm:  Bài 40 Tìm giá trị a để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + ax + = (1) vµ x2 + x + a = (2) Bài 41 Tìm giá trị m để phơng trình sau có ít nghiệm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = Bài 42 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = có hai nghiệm cùng âm, cùng dơng, vµ tr¸i dÊu Bài 43 Tìm giá trị m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + = Bµi 44 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi a, b vµ c: x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 2b c  4 Bµi 45 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiÖm nÕu a a Bµi 46 Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm nÕu bm = 2(c + n): x2 + bx + c = vµ x2 + mx + n = Bµi 47 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc α mµ af(α) ≤ th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bài 48 Cho biết các phơng trình ax2 + bx +2 c = và ax2 + bx - c = (a ≠ 0) có nghiệm Vận dụng bài 22 để chøng minh ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = cã nghiÖm 3x  y 1  x  y a Bµi 50 Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:  Bài 51 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) vµ x2 + mx + = (2) Bài 52 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: x2 + (m - 2)x + = vµ 2x2 + mx + m + = Bài 53 Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: 2x2 + (3m - 5)x - = vµ 6x2 + (7m-15)x -19 = Bài 54 Tìm giá trị nguyên a để hai phơng trình sau có ít nghiệm chung: 2x2 + (3m - 1)x - = vµ 6x2 - (2m - 3)x - = Bài 55 Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình 2x2 - 13x + 2m = (1) gấp đôi nghiệm phơng trình x2 - 4x + m = (2) Bài 56 Cho các số a, b, c khác đôi một, c ≠ Biết các phơng trình x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = (2) có ít nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó Bµi 57 Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2) BiÕt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm d¬ng m, Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm n cho m + n ≥ Bµi 58 Cho c¸c ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2) T×m liªn hÖ gi÷a c¸c sè a, b, c biÕt r»ng c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh (1), c¸c nghiÖm x3, x4 cña ph2 2 ơng trình (2) thỏa mãn đẳng thức: x1  x2  x3  x4 4 Bµi 59 Ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = cã nghiÖm x1, x2 Ph¬ng tr×nh x2 - b2x + bc = cã nghiÖm x3, x4 Biết x3 - x1 = x4 - x2 = Xác định b và c Bµi 60 T×m c¸c sè a, b cho c¸c ph¬ng tr×nh: x2 + ax + = vµ x2 + bx + 12 = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ab chung vµ nhá nhÊt Bài 61 Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m - = có ít nghiệm không âm x  2m x   x  m  0 Bài 62 Tìm m để phơng trình cã nghiÖm Bài 63 Tìm m để phơng trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ Bài 64 Tìm m để phơng trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = có hai nghiệm phân biệt lớn -1 Bài 65 Với giá trị nào m thì hai nghiệm phơng trình x2 + x + m = lớn m? Bài 66 Tìm giá trị m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 - (m + 1)x2 + (m2 + m - 3)x - m2 + = Bài 67 Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm: (m - 3)x4 - 2mx2 + 6m = Bài 68 Tìm giá trị m để phơng trình: mx4 - 10mx2 + m + = Cã bèn nghiÖm ph©n biÖt Cã bèn nghiÖm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) tháa m·n ®iÒu kiÖn:x4 - x3 = x3 - x2 = x2 - x1 Bµi 76 Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 - 2(m - 1)x - - m = Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè víi mäi m x  x22 10 T×m m cho nghiÖm x1, x2 cña ph¬ng tr×nh tháa m·n ®iÒu kiÖn: Bµi 78 Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x2 + 2(m -1)x - m = a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt âm Bµi 79 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = a Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm m thay đổi b Định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: < x1 < x2 < Bµi 80 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2) Tìm các giá trị a để hai phơng trình: a Tơng đơng với b Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung Bµi 81 a Chứng minh đẳng thức: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2 b Cho phơng trình: mx2 - (m2 + m + 1)x + m + = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm ph©n biÖt kh¸c -1 Bµi 84 Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - + m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m Tìm tất các giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và đó hãy tìm giá trị m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm Bµi 85 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x + m + = Định m để phơng trình có nghiệm 2 T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 tháa m·n: x1  x2 10 Bµi 85 Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx + m + = Xác định m để phơng trình có nghiệm không âm E  x1  x2 Khi đó hãy tính giá trị biểu thức: theo m Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 - Bµi 88 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x - m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m 1 y1  x1  y2  x2  x2 , x1 Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng tr×nh Èn y tháa m·n: Bài 89 Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: Bài 90 Cho phơng trình: x2 - 2(m + 4)x + m2 - = Xác định m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn B  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ T×m hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 91 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 4x - (m2 + 3m) = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1, x2 víi mäi m 2 Xác định m để: x1  x2 4( x1  x2 ) x12  x22  Bài 92 Cho phơng trình: x2 + ax + = Xác định a để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2  x1   x2         x2   x1  Bµi 93 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 2(m + 2)x + m2 + 4m + = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2  2 x1  x2  x1 x2      Chứng minh các nghiệm x1, x2 thỏa mãn bất đẳng thức: Bài 94 Cho phơng trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là: 9ac = 2b2 Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiÖm mµ nghiÖm nµy gÊp k lÇn nghiÖm (k > 0) lµ: kb2 = (k + 1)2 ac Bµi 96 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a Định m để hai phơng trình có ít nghiệm chung b Định m để hai phơng trình tơng đơng c Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bµi 100 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ, a ≠ Cho biÕt ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm  H·y t×m nghiÖm cßn l¹i Bài 101 Tìm tất các số nguyên k để phơng trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ Bài 102 Cho phơng trình: 3x2 + 4(a - 1)x + a2 - 4a + = xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1  x2 1   x1 x2 x1, x2 tháa m·n hÖ thøc: Bµi 105 Cho hai ph¬ng tr×nh: 2x2 + mx - = (1) mx2 - x + = (2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm chung Bµi 106 Gi¶ sö x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x2 - cx + 2c -1 = TÝnh theo c gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 1 S 3 x1 x2 Bài 107 Xác định a để phơng trình: x2 + ax + = và x2 + x + a = có nghiệm chung Bµi 108 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + 6x + m = Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n x1 x2  2 biÖt x1, x2 tháa m·n: x2 x1 Bµi 109 Cho biÕt x1, x2 lµ hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c cña ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = ( 1 , a 0; a, b, c  R ) H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: x12 x22 Bµi 110 BiÕt r»ng x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = H·y viÕt ph¬ng tr×nh bËc hai nhËn x13 , x23 lµm hai nghiÖm Bµi 111 Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn h¬n Bµi 112 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - Định m để phơng trình có hai nghiệm âm x  x23 50 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Bµi 114 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 6x + m = Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1, 3 x2 tháa m·n x1  x2 72 Bµi 116 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m - 1)x - m2 + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m 2 Với giá trị nào tham số m, biểu thức: E x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 117 Cho hai ph¬ng tr×nh: x2 + a1x + b1 = vµ x2 + a2x + b2 = Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít hai phơng trình đã cho có nghiệm Bµi 119 Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + = 1  1 x x2 1 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn: Lập hệ thức x1 và x2 độc lập với m Bµi 120 Cho ph¬ng tr×nh: (m + 2)x2 - 2(m - 1)x + - m = 2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x2  x1  x2 LËp mét hÖ thøc gi÷a x1 vµ x2 kh«ng phô thuéc vµo m x 1 x 1 X1  , X  x1  x2  LËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: Bµi 121 Cho ph¬ng tr×nh: x + (m + 1)x + m = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m 2 Với giá trị nào tham số m, biểu thức: E x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 122 Cho ph¬ng tr×nh: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - = Gi¶i ph¬ng tr×nh a = 13 Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bµi 123 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 + (2m - 1)x + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2, h·y lËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng cã m Bµi 124 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 1)x + m - = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 3 mãn: x1 - x2 = và x1  x2 35 Tính các nghiệm đó Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt đó có đúng nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = có hai nghiệm phân biệt đó t1 > thỏa mãn: x1 + t1 ≥ Bµi 130 Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – (2m + 1)x + m2 – 9m + 39 = Gi¶i ph¬ng tr×nh m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b Bµi 132 Cho f(x) = (4m - 3)x2 - 3(m + 1)x + 2(m + 1) Khi m = 1, t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh f(x) = Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng bình phơng Gi¶ sö ph¬ng tr×nh f(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 LËp mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bài 138 Giả sử phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác định m để biểu 2 thức: E  x1  x2  10 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Tính E Bµi 140 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 4m = a Chứng minh với m, phơng trình luôn luôn có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó b Xác định m để phơng trình có nghiệm x = Tính nghiệm còn lại Bµi 141 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + m -1 = Cã nghiÖm x1, x2 Víi gi¸ trÞ nµo cña m, biÓu thøc: x1 x2  R x1  x22  2(1  x1 x2 ) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó Bµi 142 Cho a lµ sè thùc kh¸c -1 H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n c¸c hÖ thøc: a 4x1x2 + = 5(x1 + x2) (1)  x1  1  x2  1  a  (2) b Bµi 145 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a Víi gi¸ trÞ nµo cña a, ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp TÝnh c¸c nghiÖm kÐp b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn -1 Bµi 146 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - ax + a + = cã hai nghiÖm lµ x1 vµ x2 3x  3x22  M  12 x1 x2  x1 x22 a Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 b Tìm giá trị a để: P x1  x2 đạt giá trị nhỏ Bµi 147 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1= a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b Chøng minh r»ng cã mét hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 148 Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + (ab + 1)x + b = a Chứng minh với a, b phơng trình đã cho có nghiệm b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm 1/2 thì a và b phải bao nhiêu? Bµi 149 Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2mx - 2m - = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm x1, x2 víi mäi m b T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m x1 x2   c Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x2 x1 Bµi 150 Cho ph¬ng tr×nh: (m - 1)x - 2(m + 1)x + m = a Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m b Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2:  Tìm hệ thức x1, x2 độc lập với m x  x 2  T×m m cho: Bµi 151 Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x - (m -1)(m - 3) = a Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm không âm c Gọi x1, x2 là hai nghiệm Xác định m để biểu thức: E ( x1  1) x2 đạt giá trị lớn Bµi 152 Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m + 2)x - 4m - 12 = a Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m x  x22 b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Bµi 153 Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - 3x + a = Gäi t1, t2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: t2 - 12t + b = x1 x2 t1   Cho biÕt: x2 t1 t2 TÝnh a vµ b D Hàm số và đồ thị KiÕn thøc c¬ b¶n Hµm sè a Kh¸i niÖm hµm sè - Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng x và x đợc gọi là biến số - Hµm sè cã thÓ cho bëi b¶ng hoÆc c«ng thøc b §å thÞ hµm sè - Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R NÕu x1 < x2 mµ f(x1) > f(x2) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R * Tæng qu¸t f ( x2 )  f ( x1 )  0, x1 , x2  D, x1  x2  x  x + Hàm số f(x) đồng biến trên D f ( x2 )  f ( x1 )  0, x1 , x2  D, x1  x2  x2  x1 + Hµm sè f(x) nghÞch biÕn trªn D Hµm sè bËc nhÊt a Kh¸i niÖm hµm sè bËc nhÊt - Hàm số bậc là hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 b TÝnh chÊt Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R và có tính chất sau: - §ång biÕn trªn R a > - NghÞch biÕn trªn R a < c §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) là đờng thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b Song song với đờng thẳng y = ax, b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bớc Cho x = thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó  a a ' d // d '   b b ' + + d ' d '  A  a a ' a a ' d d '   b b ' + + d  d '  a.a '  e Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0)  Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox - Góc tạo đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo tia Ax và tia AT, đó A là giao điểm đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng  Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b - Hệ số a phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc đờng thẳng y = ax +b f Một số phơng trình đờng thẳng - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm M0(x0;y0)cã hÖ sè gãc k: y = k(x - x0) + y0 x y  1 - §êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 0 lµ x0 y0 Hµm sè bËc hai a §Þnh nghÜa - Hµm sè cã d¹ng y = ax2 (a 0) b TÝnh chÊt - Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®inh víi mäi gi¸ trÞ cña c thuéc R vµ: + Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > + Nếu a < thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > c §å thÞ cña hµm sè y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị + Nếu a < thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao đồ thị KiÕn thøc bæ xung Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó - Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính công thức AB  ( xB  x A )  ( yB  y A ) - Tọa độ trung điểm M AB đợc tính công thức x x y  yB xM  A B ; yM  A 2 Quan hệ Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó - Tọa độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm hệ phơng trình  y ax   y mx  n - Hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phơng trình ax2= mx + n (*) - Sè giao ®iÓm cña (P) vµ (d) lµ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) + NÕu (*) v« nghiÖm th× (P) vµ (d) kh«ng cã ®iÓm chung + NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (P) vµ (d) tiÕp xóc + NÕu (*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt th× (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) Đồ thị (C1): y = f(x) + b đợc suy cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị Đồ thị (C2): y = f(x + a) đợc suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị §å thÞ (C3): y = f(|x|) gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy §å thÞ (C4): y = |f(x)| gåm hai phÇn + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dới Ox + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox Hµm sè ch½n, hµm sè lÎ d Hµm sè ch½n, Hµm sè lÎ - Hàm số y = f(x) đợc gọi là chẵn + x  D   x  D + f(-x) = f(x) x  D - Hàm số y = f(x) đợc gọi là lẻ + x  D   x  D + f(-x) = - f(x) x  D e Chó ý - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ S¬ lîc vÒ hµm bËc hai tæng qu¸t y = ax2 + bx + c (a 0) a TÝnh chÊt Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a 0) xác định với giá trị x thuộc R b b x  (  ;  ] x  [  ; ) 2a , đồng biến 2a - NÕu a > 0: Hµm sè nghÞch biÕn b b x  ( ;  ] x  [  ; ) 2a , nghÞch biÕn 2a - Nếu a < 0: Hàm số đồng biến a §å thÞ b  S ( ; ) 2a 4a có trục đối xứng Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) là Parabol có đỉnh b x  2a - NÕu a > 0: Parabol cã bÒ lâm quay lªn trªn nhËn S lµm ®iÓm thÊp nhÊt - NÕu a < 0: Parabol cã bÒ lâm quay xuèng díi nhËn S lµm ®iÓm cao nhÊt nhÊt a Chó ý - Tọa độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm hệ  y ax  bx  c   y mx  n Hoành độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) và (D): y = mx + n là nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = mx + n Giao ®iÓm cña (P): y = ax2 + bx + c (a 0) vµ trôc hoµnh lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = VÝ dô minh häc Bµi tËp chän läc Bµi Cho hai hµm sè: y = x vµ y = 3x a Vẽ đồ thị hai hàm số đó trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy điểm có tung độ 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt A và B Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB y x Bµi 2: Cho hµm sè y = - 2x vµ a Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số trên; y x vµ y = - 2x lÇn lît t¹i b Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng A và B Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích tam giác đó yx Bµi 3: Cho hµm sè a Vẽ đồ thị hàm số; y x b Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số ë A vµ B Tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c g×? V× sao? TÝnh chu vi và diện tích tam giác đó Bµi 4: Cho hµm sè: y = (m + 4)x - m + (d) a Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến - b Tìm các giá trị m, biết đờng thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc m c Chứng minh m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố định Bµi 5: Cho hµm sè: y = (3m – 2)x – 2m a Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ c Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị ứng với giá trị m tìm đợc câu a, b Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + và y = -1 a Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng y = -x + và y = x + là A, giao điểm đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + và y = x + theo thứ tự là B và C Tìm tọa độ các điểm A, B, C c Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + a Xác định tọa độ giao điểm A và B đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d b Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d Bài 9: Tìm giá trị k để ba đờng thẳng: y  x  y  x  3 (d2) k k (d3) y = 2x + (d1) đồng quy mặt phẳng tọa độ Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x - và y = (2m - 1)x + m  thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với a Chøng minh r»ng b Tìm tất các giá trị m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trờng hợp sau: a Khi a  , đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ  b Khi a = - 5, đồ thị hàm số qua điểm A(- 2; 3) c §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm M(1; 3) vµ N(- 2; 6) 1;7  d Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y  x và qua điểm Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d) a Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc 10 b Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox điểm có hoành độ b»ng – c Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox A, cắt trục Oy B và diÖn tÝch tam gi¸c AOB b»ng y  x  2 Bµi 13: Cho hµm sè: y = 2x + (d1) (d2) a Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm đờng thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm đờng thẳng (d1) và (d2) là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C c TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC y x (d2); y = 4x (d3) Bµi 14: Cho c¸c hµm sè sau: y = - x - (d1) ; a Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B Tìm tọa độ các điểm A, B c Tam gi¸c AOB lµ tam gi¸c g×? V× sao? d TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + (d1) và y = 3x + (d2) a Vẽ đồ thị các hàm số đã cho trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b Gọi giao điểm đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B Tìm tọa độ trung điểm I ®o¹n AB c Gọi J là giao điểm hai đờng thẳng (d1) và (d2) Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông Tính diện tích tam giác đó Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + (d1) và y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm các giá trị k để: a (d1) vµ (d2) c¾t b (d1) vµ (d2) c¾t t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi e (d1) vµ (d2) trïng   Bài 17: Cho hàm số y = (m + 3)x + n (m ≠ - 3) (d) Tìm các giá trị m, n để đờng thẳng (d): a §i qua ®iÓm A(1; - 3) vµ B(- 2; 3) b Cắt trục tung điểm có tung độ  , cắt trục hoành điểm có hoành độ  c Cắt đờng thẳng 3y - x - = d Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - e Trùng với đờng thẳng y - 3x - = 1 F (0; ) y  4a và đờng thẳng (d): 4a (a ≠ 0) Gäi M(x; y) lµ Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu điểm M trên đờng thẳng (d) a Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ điểm M b BiÕt MF = MH, h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y Bµi 19: Cho hµm sè: y = (m2 - 6m + 12)x2 a Chứng tỏ hàm số nghịch biến khoảng (-2005; 0), đồng biến khoảng (0; 2005) b Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = và y = - 1 x 1 c Khi m = 5, h·y t×m gi¸ trÞ cña y, biÕt x 1  2, x = 1- vµ 2 Bµi 20: Cho hµm sè: y = - (k – 2k + 3)x a Chứng tỏ hàm số đồng biến khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến khoảng (-∞; 0) 2 x 2 b Khi k = 1, tÝnh gi¸ trÞ cña y, biÕt x 2  , x 2  vµ c T×m c¸c gi¸ trÞ cña k x = 2, y = 10 Bµi 21: Cho hµm sè: y = (2m + 1)x2 a Tìm m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – điểm A có hoành độ b Với giá trị tìm đợc m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – trên cùng mặt phẳng tọa độ c Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai hai đồ thị vẽ ý b Bài 22 Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Tìm các giá trị a, b, c biết đồ thị hàm số thỏa mãn c¸c ®iÒu kiÖn sau: a Hµm sè nhËn gi¸ trÞ – x = 0, x = vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng x = -1 b Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ và cắt trục hoành điểm có hoành độ 1/2 vµ c §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm A(-1, 0), B(1, 3) vµ C(3, 2) Bài 23 Cho đờng thẳng (d): y = (k - 2)x + q Tìm các giá trị k và q biết đờng thẳng (d) thỏa mãn c¸c ®iÒu kiÖn sau: a §i qua ®iÓm A(-1; 2) vµ B(3; 4) b Cắt trục tung điểm có tung độ  và cắt trục hoành điểm có hoành độ  c Cắt đờng thẳng -2y + x - = d Song song với đờng thẳng 3x + 2y = Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x - a Chøng minh A  (d) b Tìm các giá trị a để Parabol: y = ax2 qua A c Tìm đờng thẳng qua A và vuông góc với đờng thẳng (d) d Gọi A và B là giao điểm (P) với đờng thẳng tìm đợc câu c, và C là giao điểm đờng thẳng (d) với trục Oy Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n Tìm các giá trị m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn các điều kiện sau: a Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) và (d) b §i qua ®iÓm A(1,5; -1) vµ tiÕp xóc víi (P) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) và (d) trờng hợp trên y  x 2 Bµi 26 Cho hµm sè: Vẽ đồ thị (P) hàm số trên Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; Viết phong trình đờng thẳng MN Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đờng thẳng MN và cắt (P) ®iÓm y  x 2 Bµi 27 Cho hµm sè Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bµi 28 Cho hµm sè: y  f ( x) 2  x  x  Vẽ đồ thị hàm số trên T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x cho f(x) ≤ Bµi 29 Cho hµm sè: y = x2 vµ y = x + m (m lµ tham sè) Tìm m cho đồ thị (P) hàm số y = x2 và đồ thị (D) y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B Tìm phong trình đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P) a) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm theo tọa độ hai điểm b) ¸p dông: T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B (ë c©u 1) lµ 3 Bài 30 Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m Tìm a biết (P) qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm Gọi B là giao điểm (D) (ở câu 2) với tung độ C là điểm đối xứng A qua trục tung Chứng tỏ r»ng C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n Bài 31 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + = Tìm tọa độ giao điểm A (D1) và (D2) đồ thị và kiểm tra lại phép toán Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc Tìm phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) A Bài 32 Cho (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) cùng hệ trục Tìm a cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm đợc Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là Viết phong trình đờng thẳng AB Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB y  x2 và đờng thẳng (D) qua điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là Bµi 33 Cho parabol (P): - vµ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên ViÕt phong tr×nh cña (D) x    2; 4 Tìm điểm M trên cung AB (P) (tơng ứng hoành độ) cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt y  x Bµi 34 Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1 VÏ (P) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) y  x2 I ( ;  1) và đờng thẳng (D) qua điểm Bµi 35.Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc cã parabol (P): cã hÖ sè gãc m VÏ (P) vµ viÕt phong tr×nh cña (D) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) T×m m cho (D) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt 1 y  x2 y  x  và đờng thẳng (D): Bài 36 Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): VÏ (P) vµ (D) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm (P) và (D) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song với (D) Bài 37 Cho họ đờng thẳng có phong trình: mx + (2m - 1)y + = (1) Viết phong trình đờng thẳng qua A(2; 1) Chứng minh các đờng thẳng trên luôn qua điểm cố định M với m Tìm tọa độ M x3  x  8x  y  f ( x)  x2  Bµi 38 Cho hµm sè: Tìm tập xác định hàm số Vẽ đồ thị (D) hàm số Qua điểm M(2; 2) có thể vẽ đợc đờng thẳng không cắt đồ thị (D) hàm số? Bµi 39 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + Chứng minh đờng thẳng y = 2x - tiếp xúc với (P) Giải đồ thị bất phong trình: x2 - 4x + > 2x - y  x2 (P), ®iÓm I(0; 2) vµ ®iÓm M(m; 0) víi m ≠ Bµi 40 Cho parabol VÏ (P) Viết phong trình đờng thẳng (D) qua hai điểm M, I Chứng minh đờng thẳng (D) luôn luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m ≠ Gäi H vµ K lµ h×nh chiÕu cña A vµ B lªn trôc hoµnh Chøng minh r»ng tam gi¸c IHK lµ tam gi¸c vu«ng Chứng minh độ dài đoạn AB > với m ≠ y  x Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho parbol (P): và điểm I(0; -2) Gọi (D) là đờng th¼ng ®i qua I vµ cã hÖ sè gãc m Vẽ đồ thị (P) Chøng tá r»ng víi mäi m, (D) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña AB Với giá trị nào m thì AB ngắn nhất? Tìm giá trị nhỏ đó Bài 42 Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) Vẽ đồ thị (P) Tìm quỹ tích điểm M qua đó có thể vẽ đợc hai đờng thẳng vuông góc với và cùng tiếp xúc víi (P) Bài 43 Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; -1) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc câu 1) và 2) 3  C  ;  1  vµ cã hÖ sè gãc m Gọi (d) là đờng thẳng qua điểm  a Viết phong trình đờng thẳng (d) b Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với Bài 44 Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy VÏ (P) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lợt có hoành độ -1 và Chứng minh rằng; tam giác OAB vu«ng Viết phong trình đờng thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P) Cho đờng thẳng (d): y = mx + (với m là tham số) a Chứng minh rằng; (d) luôn luôn qua điểm cố định với m 1  11 x x2 b Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn: VÏ (d) víi m tìm đợc 2 Bµi 45 Cho hµm sè: y  x  x   x  x  Vẽ đồ thị hàm số T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ c¸c gi¸ trÞ cña x t¬ng øng Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y ≥ x2  4x y Bµi 46 Cho hµm sè: có đồ thị (P) VÏ (P) Viết phong trình các đờng tiếp tuyến từ điểm A(2; - 2) đến (P) Tìm tập hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến vuông góc đến (P) Bµi 47 Cho hµm sè: y = 2x2 (P) Vẽ đồ thị (P) hàm số Tìm quỹ tích các điểm M cho qua M có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P) Bài 48 Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): y = - x2 + 4x - và đờng thẳng (D); 2y + 4x - 17 = VÏ (P) vµ (D) Tìm vị trí A thuộc (P) và B thuộc (D) cho độ dài đoạn AB ngắn Bài 49 Cho parabol (P): y = - x2 + 6x - Gọi (d) là đờng thẳng qua A(3; 2) và có hệ số góc m Chứng tỏ với m, đờng thẳng (d) luôn luôn cắt (P) hai điểm phân biệt B, C Xác định đờng thẳng (d) cho độ dài đoạn BC đạt giá trị nhỏ 1 y  x2 y mx  2 Bµi 50 Cho parabol (P): và đờng thẳng (d) có phong trình: Chứng minh với m, (d) luôn luôn qua điểm cố định Chøng minh r»ng víi mäi m, (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN Bài 51 Cho hai đờng thẳng (d1): y = (m2 + 2m)x và (d2): y = ax (a  0) Định a để (d2) qua A(3; -1) Tìm các giá trị m (d1) vuông góc với (d2) câu 1) Bµi 52 Cho hµm sè: y = ax + b Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số qua hai điểm M(- 1; 1) và N(2; 4) Vẽ đồ thị (d1) hàm số với a, b tìm đợc Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m2 – m)x + m2 + m là đờng thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) vừa tìm đợc Gọi A là điểm trên đờng thẳng (d1) có hoành độ x = Tìm phong trình đờng thẳng (d3) qua A vuông góc với hai đờng thẳng (d1) và (d2) Tính khoảng cách (d1) và (d2) Bµi 53 Cho hµm sè: y = mx - 2m - (1) (m  0) Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O Vẽ đồ thị (d1) vừa tìm đợc Tính theo m tọa độ các giao điểm A, B đồ thị hàm số (1) lần lợt với các trục Ox và Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích (đ.v.d.t) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn luôn qua điểm cố định m thay đổi Bµi 54 Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(2; 3), B(- 1; 0) Tìm a biết (P) qua điểm M(1; 2) Khảo sát và vẽ (P) với a tìm đợc Tìm phong trình đờng thẳng AB tìm giao điểm đờng thẳng này với (P) (ở câu 1) Gọi C là giao điểm có hoành độ dơng Viết phong trình đờng thẳng qua C và có với (P) điểm chung nhÊt Bµi 55 Cho parabol (P): y = ax2; cho biết A(1; -1)  (P) Xác định a và vẽ (P) với a tìm đợc Biện luận số giao điểm (P) với đờng thẳng (d): y = 2mx - m + 1  I  ; 2 Chứng tỏ rằng,   thuộc (d) với m Tìm phong trình các đờng thẳng qua I và có với (P) ®iÓm chung nhÊt Bµi 56 x2 y y x  2 và đờng thẳng (d): Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số Chøng minh r»ng (d) lµ mét tiÕp tuyÕn cña (P) Biện luận số giao điểm (P) và (d’): y = x - m hai cách (đồ thị và phép toán) y  x2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là và Bài 57 Cho parabol (P): Khảo sát và vẽ đồ thị (P) Viết phong trình đờng thẳng (d) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt T×m trªn trôc Ox ®iÓm N cho NA + NB nhá nhÊt Bµi 58 Cho parabol (P): y = ax2 vµ hai ®iÓm A(- 2; - 5) vµ B(3; 5) Viết phong trình đờng thẳng AB Xác định a để đờng thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đợc Một đờng thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc với AB và cắt (P) hai điểm M và N Xác định vị trí MN  (D) để Bài 59 Cho hàm số: y = x - 2x + m - có đồ thị (P) Vẽ đồ thị (P) m = Xác định m để đồ thị (P) hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định m để đồ thị (P) hàm số cắt đờng thẳng (d) có phong trình: y = x + hai điểm phân biệt Bài 60 Cho đờng thẳng (D1): y = mx - (D2): y = 2mx + - m Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy các đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với m = Tìm tọa độ giao điểm B chúng Qua O viết phong trình đờng thẳng vuông góc với (D1) A Xác định A và tính diện tích tam gi¸c AOB Chứng tỏ các đờng thẳng (D1) và (D2) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định Bài 61 Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phong trình: 3 m  2m y x  2m  y  (m  2) x  (d1): vµ (d2): Chứng minh (d1) và (d2) qua các điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) thẳng góc với (d2) Viết phong trình các đờng thẳng (d1) và (d2); cho biết (d1) song song với (d2) y  x2 Bµi 62 Cho parabol (P): Viết phong trình đờng thẳng có hệ số góc m và qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1, đờng th¼ng nµy gäi lµ (D) BiÖn luËn theo m sè giao ®iÓm cña (P) vµ (D) Viết phong trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Trong trêng hîp (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña AB Tìm trên (P) các điểm mà đờng thẳng (D) không qua với m Bài 63 Cho parabol (P): y = x2 - 4x + và điểm A(2; 1) Gọi (D) là đờng thẳng qua A và có hệ số góc m Chøng minh r»ng (d) lu«n lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N Xác định m để MN ngắn Bài 64 Cho hàm số: y = x2 - 2mx + m2 - có đồ thị là (P) Chứng minh rằng; với m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục hoành hai điểm phân biệt Chứng minh m thay đổi, đỉnh parabol luôn luôn chạy trên đờng thẳng song song với trôc hoµnh C¸c d¹ng bµi «n tËp vµo líp 10 ( Su tËp ) PhÇn 1: C¸c lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc Bµi 1: Cho biÓu thøc : a+2 P= √ − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 − √a Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= ( 1− √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x+2 √ x +1 √ x − 3− √ x x −5 √ x+ )( ) a) Rót gän P b)Tìm giá trị x để P<0 Bµi 3: Cho biÓu thøc: √ x −1 − + √ x : 1− √ x −2 P= √ x − √ x+1 x −1 √ x +1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= ( )( Bµi 4: Cho biÓu thøc : P= √a : − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ) a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− √ Bµi 5: Cho biÓu thøc; 1− a ¿ ¿ P= √a ¿ ¿ a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P- Bµi 6: Cho biÓu thøc: ) ) ( √√2xx+1+1 + √√22xx+−√1x −1): (1+ √√2x+x+11 − √√22x+x −1√ x ) P= a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x ¿ ( 3+ √ ) Bµi 7: Cho biÓu thøc: ( P= 2√x x − : 1+ √ x +1 x √ x+ √ x − x − √ x −1 a) Rót gän P b) Tìm x để P )( ) Bµi 8: Cho biÓu thøc: a+1 √ a 1+ √ a3 − √ a P= − √ a3 a+ √a+ 1+ √ a a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P √ 1− a )( ( ) Bµi 9: Cho biÓu thøc:   2x  x  2x x  x  x   P      : 1 x x   1 x x  1 x  a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x 7  c Tính giá trị lớn a để P > a Bµi 10: Cho biÓu thøc : P= 1− a √ a + √ a 1+a √ a − √ a 1− √ a 1+ √ a a) Rót gän P b) Tìm a để P< − √ ( )( ) Bµi 11: Cho biÓu thøc: P= √ x + √ x − x +3 : √ x −2 − √ x +3 √ x −3 x − √ x −3 a) Rót gän P b) Tìm x để P< c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ( )( ) Bµi 12: Cho biÓu thøc : 9− x x−3 √ x−2 P= x −3 √ x −1 : −√ − x−9 x+ √ x − 2− √ x √ x +3 a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P<1 ( )( Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + √ x −2 − √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= 2 c) Chøng minh P ) Bµi 14: Cho biÓu thøc: m P= √ x + √ x − víi m>0 √ x +m √ x − m x − m2 a) Rót gän P b) Tính x theo m để P=0 c) Xác định các giá trị m để x tìm đợc câu b thoả mãn điều kiện x>1 Bµi 15: Cho biÓu thøc : P= a + √ a − a+ √ a +1 a− √ a+1 √a a) Rót gän P b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi c) Tìm a để P=2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P |P| Bµi 16: Cho biÓu thøc √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : P= √ ab+1 √ ab− a) Rót gän P a+1 √ ab+ √ a − +1) ) ( √√ab+ √ab − ( √ −1 1+ √ b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= 2− √ vµ b= c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu √ a+√ b=4 Bµi 17: Cho biÓu thøc : P= a √ a− − a √ a+1 + √ a − a − √a a+ √ a √a a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6 ( )( √√a−a+11 + √√aa+−11 ) Bµi 18: Cho biÓu thøc: a √ √ a −1 − √ a+1 P= − 2 √ a √a+ √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị a để P<0 c) Tìm các giá trị a để P=-2 ( )( ) Bµi 19: Cho biÓu thøc: ( a− b ) +4 √ ab a √b − b √ a √ √ P= √ a+ √ b √ ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rót gän P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P a= √ vµ b= √3 Bµi 20: Cho biÓu thøc : x +2 x x −1 P= + √ + :√ x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x ( ) Bµi 21: Cho biÓu thøc : x +2 P= √ x + x − : 1− √ x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän P b) TÝnh √ P x= 5+2 √3 ( Bµi 22: Cho biÓu thøc: )( ) 3x 2 1: + − : 2+ √ x − x −2 √ x − √ x a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P=20 ( P= ) Bµi 23: Cho biÓu thøc : 3 ( x − √ y ) + √ xy x − y x − y √ √ √ P= + : y− x √x −√ y √ x +√ y a) Rót gän P b) Chøng minh P ( ) Bµi 24: Cho biÓu thøc : √ab P= + √ a+ √ b a √ a+ b √ b a) Rót gän P b) TÝnh P a=16 vµ b=4 b ) [( √ a −1 √ b − a √3a−√ abb √ b ) : a+a−√ ab+b ] ( Bµi 25: Cho biÓu thøc: P= 1+ a+ √ a −1 − a √ a − √ a+a a − √ a 1−a −a √ a √ a −1 a) Rót gän P b) Cho P= √ t×m gi¸ trÞ cña a 1+ √ c) Chøng minh r»ng P> ( ) Bµi 26: Cho biÓu thøc: x +3 √ x −5 P= x −5 √ x −1 : 25 − x −√ + x −25 x+2 √ x −15 √ x +5 √ x −3 a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1 ( )( ) Bµi 27: Cho biÓu thøc: ( a −1 ) ( √ a− √ b ) √a 3a P= − + : a+ √ ab+b a √ a −b √ b √ a − √ b a+2 √ ab+2 b a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên ( ) Bµi 28: Cho biÓu thøc: 1 a+1 √ a+2 P= − : √ − √ a− √ a √ a − √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P> )( ( ) Bµi 29: Cho biÓu thøc: 3 1 1 √ x + y √ x + x √ y +√ y P= + + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x y + √ xy3 a) Rót gän P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ [( ) ] Bµi 30: Cho biÓu thøc : 2x 1− x √ x3 − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rót gän P b) Tìm tất các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2 PhÇn 2: C¸c bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh : m √2 x − ( √ −1 ) = √2 − x +m a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bµi 32: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) ( m− ) x − mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x ( − x ) + x ( − x ) kh«ng phô thuéc vµo m Bài 34: Tìm m để phơng trình : a) x − x +2 ( m− )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) x +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+ ) x −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh : x − ( a− ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ Bµi 36: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: 1 + = b c CMR Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm x 2+ bx +c=0 x +cx +b=0 Bµi 37:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: x − ( m+2 ) x+12=0(1) x − ( m −2 ) x +36=0( 2) Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh : 2 x −2 mx +m − 2=0 a) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : x 2+ x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm b) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 x 1+ x 2=10 Bµi 40: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m− ) x +2 m− 5=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bµi 41: Cho ph¬ng tr×nh x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x ; x ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x ; x mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bµi 42: Cho ph¬ng tr×nh ( m− ) x − mx +m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm phơng trình c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x ; x thoả mãn hệ thức: x1 x2 + + =0 x2 x1 Bµi 43: A) Cho ph¬ng tr×nh : x − mx+m− 1=0 (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − x1 x  Chøng minh A=m2 −8 m+8  Tìm m để A=8  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm B) Cho ph¬ng tr×nh x −2 mx+2 m −1=0 a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x ; x víi mäi m b) §Æt A= 2( x 21+ x22 )− x x2  CMR A= m2 −18 m+9  T×m m cho A=27 c)T×m m cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm b»ng hai nghiÖm Bµi 44: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a x + bx+ c=0 d¬ng) a) CMR a S n+2 + bSn+1 +cSn=0 b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= ( cã nghiÖm ph©n biÖt 1+ √5 1− √5 + 2 )( x ; x §Æt n n S n=x + x (n nguyªn ) Bµi 45: Cho f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có nghiệm lớn Bµi 46: Cho ph¬ng tr×nh : 2 x −2 ( m+1 ) x +m − m+5=0 a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trái dấu d) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 47: Cho ph¬ng tr×nh trÞ cña biÓu thøc : M= x − x √ 3+8=0 2 x1 +10 x x 2+ x2 3 x x +5 x1 x Bµi 48: Cho ph¬ng tr×nh x x − ( m+2 ) x+ m+1=0 cã hai nghiÖm lµ x ; x Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ b) Tìm các giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x ; x là hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để : x 1(1 −2 x 2)+ x (1− x )=m a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m= Bµi 49: Cho ph¬ng tr×nh (1) (n , m lµ tham sè) x 2+ mx+n −3=0  Cho n=0 CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m  Tìm m và n để hai nghiệm x ; x phơng trình (1) thoả mãn hệ : x1 − x 2=1 x 21 − x 22=7 { Bµi 50: Cho ph¬ng tr×nh: x −2 ( k −2 ) x − k − 5=0 ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x ; x lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh T×m gi¸ trÞ cña k cho x 21+ x 22=18 Bµi 51: Cho ph¬ng tr×nh (1) ( m−1 ) x − mx+ 4=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m bÊt k× c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bµi 52:Cho ph¬ng tr×nh : x − ( m− ) x+ m2 −3 m=0 a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x , x thoả mãn 1< x 1< x <6 PhÇn 3: HÖ ph¬ng tr×nh: Bài53: Tìm giá trị m để hệ phơng trình ; ( m+1 ) x − y=m+1 x+ ( m−1 ) y=2 Cã nghiÖm nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt { Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị x −| y|=2 a) |x|+1= y b) c) x y + =1 y −5=x 4 { { Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : {2bxx+− by=− ay=− a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a=|b| b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2) * ( √ 2− 1; √ ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m: mx − y=2 m x − my=6+ m { Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh : x +ay=1 ax ·+ y=2 { {| yy +1=3|=xx −12−1 a) Cã mét nghiÖm nhÊt b) V« nghiÖm Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x + xy+ y =19 x − xy + y=− { Bµi 59*: T×m m cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: |x − 1|+| y −2|=1 ( x − y ) +m ( x − y −1 ) − x + y=0 Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: x − xy+3 y 2=13 x − xy −2 y 2=−6 { { Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : a +2 b − b+3=0 TÝnh 2 a +b 2 a + a b − 2b=0 { Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (a+ 1) x − y =3 a x+ y=a a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh a=- √ b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 { Phần 4: Hàm số và đồ thị ¿ ¿ Bµi 62: Cho hµm sè : ¿ y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- √ và cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bµi 63: a) b) c) d) √2 Cho hµm sè : y=2 x (P) Vẽ đồ thị (P) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) y=mx− theo m Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2 x+ m 1.Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A và B , điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m và tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2 a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bµi 66: Cho (P) y=− x2 a) Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với và tiếp xúc víi (P) b) Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √ Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= x − a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị nào m thì hai đờng thẳng : (d) y=(m− 1) x+ (d') y=3 x − a) Song song víi b) C¾t c) Vu«ng gãc víi Bài 70: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng : (d 1) y=2 x − đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ ( d2 ) y =x+ (d ) y=a x −12 Bài 71: CMR m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn qua điểm cố định y= x và đờng thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 72: Cho (P) Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2| a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bµi 75: Cho (P) a) b) c) d) y=− x2 vµ (d) y=x+m VÏ (P) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ -4 Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bµi 76: Cho hµm sè y=x (P) vµ hµm sè y=x+m (d) a) T×m m cho (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× ¸p dông: T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng √ Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d ) ? V× ? b) Tìm a để hàm số y=a x (P) qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( d ) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và ( d ) ; C là giao điểm ( d ) với trục tung Tìm toạ độ B vµ C TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC y= x và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) Bµi 78: Cho (P) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] cho tam giác MAB có diện tích lín nhÊt (Gợi ý: cung AB (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; y B ) tÝnh y A ; ; y B ) x vµ ®iÓm M (1;-2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi Gọi x A ; x B lần lợt là hoành độ A và B Xác định m để x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B *TÝnh S theo m *Xác định m để S= (8+ m2 √ m2 +m+2) Bµi 79: Cho (P) a) b) c) d) y=− Bµi 80: Cho hµm sè y=x (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) x y=mx− 2m −1 y=− và đờng thẳng (d) a) VÏ (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định và điểm I(0;-2) Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m x a) VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bµi 82: Cho (P) y=− x và đờng thẳng (d) qua điểm I( ; ) có hệ số góc là m a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 83: Cho (P) y=− Bµi 84: Cho (P) y= x2 và đờng thẳng (d) x y=− + 2 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 86: Cho (P) y=2 x a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đ ờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 87: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình (P) y=− x (d1 ) x + y=m c¾t t¹i mét ®iÓm trªn (d 2)mx + y=1 PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vËn tèc cña ca n« níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở A Thời gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc giê 20 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng n íc lµ km/h Bài 91: Một ngời chuyển động trên quãng đờng gồm đoạn đờng và đoạn đờng dốc Vận tốc trên đoạn đờng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng là 110km và thời gian để ngời đó quãng đờng là 30 phút Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã Bài 92: Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 Km/h , xe với vận tốc 45 Km/h Sau đợc quãng đờng AB , xe tăng vận tốc thêm Km/h trên quãng đờng còn lại Tính quãng đờng AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút Bài 93: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi từ B A ng ời đó đờng khác dài trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc , biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ giê 30 phót Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch 85 Km ®i ngîc chiÒu Sau 1h40’ th× gÆp TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ng îc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 95: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau đó ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp và chỗ gặp c¸ch A bao nhiªu Km ? Bài 96: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau đó thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp ng ời xe máy B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB , ngời xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h Khi đến B ng ời đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình là 24 Km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian lẫn là giê 50 phót Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B A Thời gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng nớc là Km/h và vận tốc riêng ca nô là không đổi Bài 99: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó , còn 60 Km thì đợc nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết hai ca nô đến B cùng lúc Bài 101: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau đó 30 phút , ngời xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bµi 102: Mét ca n« ch¹y trªn s«ng giê , xu«i dßng 108 Km vµ ngîc dßng 63 Km Mét lÇn kh¸c , ca nô đó chạy giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riªng ( thùc ) cña ca n« Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña tÇu níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ Km/h Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 20 phút ca nô chạy từ bến sông A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc đã định để hết quãng đờng dài 120 Km thời gian đã định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h trên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vËn tèc lóc ®Çu cña «t« Bài107: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , nhng tăng vận tốc thêm Km/h thì tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đờng đã lúc đầu N¨ng xuÊt Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc , thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm m×nh xong c«ng viÖc Êy bao l©u? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá , nhng đã vợt mức đợc tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết số hàng chở trên tất c¶ c¸c xe cã khèi lîng b»ng Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê th× hoµn thµnh ® îc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong mức khoán thì tổ phải làm bao l©u ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với thì tổ thứ đợc điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại 10 Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thứ hai làm thì họ làm đợc 25% côngviệc Hỏi ngời làm công việc đó thì xong ThÓ tÝch Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể 50 phút Nếu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt giê 48 phót NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm đợc 15 m3 Do so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa Bµi upload.123doc.net: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 30 phót đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút thì đợc bÓ Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? PhÇn : H×nh häc Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài C Kẻ các đờng kính COA và CO’B Qua trung ®iÓm M cña AB , dùng DE  AB a) b) c) d) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i ? Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O’ , vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 121: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vuông góc với CD Từ điểm E bất kì trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R R Δ POQ 25 c) Khi PC= CMR = Δ CED 16 d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng tròn tâm O và hình thang vuông CPQD chúng cùng quay theo mét chiÒu vµ trän mét vßng quanh CD Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA Gäi I lµ giao ®iÓm cña Fx vµ Ey a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên đờng tròn b) Tø gi¸c CEIO lµ h×nh g× ? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ? Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và điểm A trên đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy ®iÓm Q bÊt k× , dùng tiÕp tuyÕn QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E là trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động trên Ax c) H¹ BK  Ax , BK c¾t QO t¹i H CMR tø gi¸c OBHA lµ h×nh thoi vµ suy quü tÝch cña ®iÓm H Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE a) Tø gi¸c AFEC lµ h×nh g× ? T¹i ? b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC , chøng minh H , I , E th¼ng hµng BH c) CMR OI = và H ; F đối xứng qua AC Bài 125: Cho (O,R) và (O’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ và đờng tròn O B và C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O’ E a) So s¸nh  AMO víi  NMC ( - đọc là góc) b) Chøng minh N , B , E th¼ng hµng vµ O’P = R ; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O’ Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB Đờng tròn này cắt đờng tròn O C và D a) Tø gi¸c ODBC lµ h×nh g× ? T¹i ? b) CMR OC  AD ; OD  AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và đờng thẳng d cắt đờng tròn đó hai điểm cố định A và B Từ điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q lµ c¸c tiÕp ®iÓm ) a) TÝnh c¸c gãc cña Δ MPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45 ❑0 b) Gọi I là trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên đờng tròn c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp  MPQ M chạy trên d Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E và cắt đờng trßn t¹i M a) CMR OM  BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) KÐo dµi Ax c¾t CB kÐo dµi t¹i F CMR FB EC = FC EB ( Hớng dẫn : áp dụng tính chất đờng phân giác tam giác ) Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC , gãc A < 90 ), mét cung trßn BC n»m  ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC B và C Trên cung BC lấy điểm M hạ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gäi P lµ giao ®iÓm cña MB , IK vµ Q lµ giao ®iÓm cña MC , IH a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI là phân giác  HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ  BC Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B^ A C > 900 ) I , K theo thø tù lµ c¸c trung ®iÓm cña AB , AC Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) CMR ba ®iÓm B , C , D th¼ng hµng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp  AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn th¼ng DH , DE Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R √2 , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN a) CMR OI  MN Suy I di chuyển trên cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C là bốn đỉnh hình vuông c) TÝnh diÖn tÝch cña phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi ®o¹n AB , AC vµ cung nhá BC cña (O) Bài132: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F bÊt k× Trªn d©y BF lÊy ®iÓm E cho BE = AF a)  AFC vµ  BEC cã quan hÖ víi nh thÕ nµo ? T¹i ? b) CMR  FEC vu«ng c©n c) Gọi D là giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài133: Cho đờng tròn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vuông góc với E là điểm bất kì trên cung nhá BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC c¾t AB ë M , EA c¾t CD ë N a) CMR  AMC đồng dạng  ANC b) CMR : AM.CN = 2R2 CN c) Gi¶ sö AM=3MB TÝnh tØ sè ND ¿❑ ❑ Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính các cungAM , MB ; gäi Q lµ trung ®iÓm cña d©y MB , K lµ giao ®iÓm cña AM , HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP  AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp các điểm R M di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC  ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lÇn lît t¹i M, N a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy BC2 = BM.CN b) CMR : MO, NO theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c c¸c gãc BMN, MNC c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho các tia Ox,Oy cắt các cạnh AB, AC tam giác ABC Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M ≠ A , B ) Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng tròn đó Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N và P Đờng thẳng AM cắt By C và đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP b) N vµ P lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c ®o¹n th¼ng AD vµ BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) và I là điểm chính cung AB (cung AB không chøa C vµ D ) D©y ID , IC c¾t AB lÇn lît t¹i M vµ N a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn b) IC vµ AD c¾t t¹i E ; ID vµ BC c¾t t¹i F CMR EF // AB Bài 138: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C ) và vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) I a) Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? T¹i ? b) Chøng minh ba ®iÓm I , B , E th¼ng hµng c) CMR: MI là tiếp tuyến đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC (Lớp10- đề toán) Bài 139: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R và điểm M di động trên nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M và tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn nµy c¾t MA , MB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C , D a) Chøng minh : CD // AB b) Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đờng thẳng MN luôn qua điểm K cố định c) CMR : KM.KN không đổi Bài 140: Cho đờng tròn đờng kính AB , các điểm C , D trên đờng tròn cho C , D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi các điểm chính các cung AC , AD lần l ợt là M , N ; giao ®iÓm cña MN víi AC , AD lÇn lît lµ H , I ; giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K a) CMR: Δ NKD ; ΔMAK c©n b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So s¸nh gãc CAK víi gãc DAK Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên đờng thẳng theo thứ tự và đờng thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR : CM.CD kh«ng phô thuéc vÞ trÝ cña M c) Tø gi¸c APND lµ h×nh g× ? T¹i ? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy trên đờng tròn cố định M di động Bài 142: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính cung AM Tia BH cắt AM điểm I và cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) điểm K Các tia AH ; BM c¾t t¹i S a) Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại ? Suy điểm S nằm trên đờng tròn cố định b) Xác định vị trí tong đối đờng thẳng KS với đờng tròn (B;BA) c) Đờng tròn qua B , I , S cắt đờng tròn (B;BA) điểm N CMR đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định M di động trên cung AB ^ A=900 d) Xác định vị trí M cho M K Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn và P là điểm chính cung AB không chứa C vµ D Hai d©y PC vµ PD lÇn lît c¾t d©y AB t¹i E vµ F C¸c d©y AD vµ PC kÐo dµi c¾t t¹i I ; c¸c d©y BC vµ PD kÐo dµi c¾t t¹i K CMR: a) Gãc CID b»ng gãc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB d) §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AFD tiÕp xóc víi PA t¹i A Bài 144: Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O 1) , (O2) lần lợt các điểm B , C và cắt Ax điểm M Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E a) CMR: M lµ trung ®iÓm cña BC b) CMR: Δ O1MO2 vu«ng c) Chøng minh B , A , E th¼ng hµng ; C , A , D th¼ng hµng d) Gọi I là trung điểm DE CMR đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đờng thẳng d Bài 145: Cho (O;R) trên đó có dây AB = R √ cố định và điểm M di động trên cung lớn AB cho tam gi¸c MAB cã ba gãc nhän Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB ; P , Q lÇn lît lµ c¸c giao ®iÓm thø hai các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S là giao điểm các đờng thẳng PB , QA a) CMR : PQ là đờng kính đờng tròn (O) b) Tø gi¸c AMBS lµ h×nh g× ? T¹i ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm các đờng thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy trên đờng tròn cố định Bài 146: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiÕp tuyÕn PM (M lµ tiÕp ®iÓm ) a) CMR : BM // OP b) §êngth¼ng vu«ng gãcvíi AB t¹i O c¾t tia BM t¹i N Tø gi¸c OBNP lµ h×nh g× ? T¹i ? c) Gäi K lµ giao ®iÓm cña AN víi OP ; I lµ giao ®iÓm cña ON víi PM ; J lµ giao ®iÓm cña PN víi OM CMR : K , I , J th¼ng hµng d) Xác định vị trí P cho K nằm trên đờng tròn (O) Bài 147: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tø gi¸c CMPO lµ h×nh g× ? T¹i ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A và B Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt các điểm thứ hai E , F a) CMR: B , F , C th¼ng hµng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung các đờng tròn (O) , (O’) Bài 149: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và điểm M trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M và cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C và D ( D nằm góc BOM ) a) CMR c¸c tia OC , OD lµ c¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AOM , BOM b) CMR : CA vµ DB vu«ng gãc víi AB c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD d) CMR : AC.BD = R2 Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và điểm M trên đờng tròn Gọi các điểm chính cña c¸c cung AM , MB lÇn lît lµ H , I C·c d©y AM vµ HI c¾t t¹i K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) H¹ ΙΡ ⊥ ΑΜ Chøng minh IP lµ tiÕp tuyÕn cña (O;R) c) Gọi Q là trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định Bài 151: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < ^ D=90 Gọi M là điểm trên nửa đờng tròn cho C là điểm chính chính cung AM 900 vµ C O C¸c d©y AM , BM c¾t OC , OD lÇn lît t¹i E vµ F a) Tø gi¸c OEMF lµ h×nh g× ? T¹i ? b) CMR : D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M và cắt các tia OC , OD lần lợt I , K CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C và D cho điểm M , O , B , K , S cùng thuộc đờng tròn Bµi 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , mét cung trßn BC n»m bªn tam gi¸c ABC vµ tiÕp xóc víi AB , AC B , C cho A và tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK là P ; giao ®iÓm cña CM , IH lµ Q a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC