Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng CB’D’.. Tính độ dài đoạn MN theo a.[r]
(1)SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I (2 điểm) Giải phương trình: 3tan x cotx 2 2cos x 0 cos x cotx Câu II (2,5 điểm) Cho khai triển: 1 x x x3 x 2010 2011 a0 a1 x a2 x a3 x a4042110 x 4042110 a Tính tổng a0 a2 a4 a4042110 b Chứng minh đẳng thức sau: 2010 2011 C2011 a2011 C2011 a2010 C2011 a2009 C2011 a2008 C2011 a1 C2011 a0 2011 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A và số đó chia hết cho Câu III (2,5 điểm) u Cho dãy số n xác định sau u1 2011; un n un un , u với n , n 2 Chứng minh dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó Tính giới hạn: * x x 3x x x2 A lim Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất các mặt là hình vuông cạnh a A ' BD và đường thẳng AC ' qua Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng trọng tâm tam giác A ' BD Hãy xác định các điểm M, N nằm trên các cạnh A’D, CD’ cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) Tính độ dài đoạn MN theo a -Hết - Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Đáp án gồm trang Câu I điểm Nội dung cos x 0 sin x 0 cot x cos x 0 sin x 0 cos x sin x 0 Điểm cos x 0 sin x 0 0,5 ĐK Khi đó phương trình đã cho trở thành 3sin x sin x cos x 2 cos x 0 cos x sin x cos x 3sin x cos x sin x 2 cos x 0 cos x sin x cos x sin x sin x cos x 0.5 3sin x cos x sin x cos 2 x 0 3sin x sin x sin 2 x 0 0,5 2sin x sin x 0 sin x 1;sin x +) sin x 1 cos x 0 không thỏa mãn ĐK 0,25 2 x k 2 x k 2 x k 2 x 2 k sin x 3 (thỏa mãn ĐK) +) II 2,5điểm k 1.a (1,5 điểm) Từ khai triển trên cho x 1; x 1 ta 0,25 0,5 a0 a1 a2 a4042110 20112011 a0 a1 a2 a4042110 1 0,5 Cộng vế hai đẳng thức trên và chia hai vế cho ta A a0 a2 a4 a4042110 0,5 20112011 1.b (0,5 điểm) Xét x 1 từ khai triển trên ta có: 2011 2011 1 x x 2011 2011 Hệ số x vế trái C 2011 Hệ số x vế phải a a1 x a2 x a4042110 x 4042110 2011 2011 2010 2011 C2011 a2011 C2011 a2010 C2011 a2009 C2011 a2008 C2011 a1 C2011 a0 0,25 (3) Từ đó ta có đẳng thức 2011 2011 C a 0,25 2011 2010 C a 2011 2009 C a 2011 2008 C a 2010 2011 C 2011 2011 a C a 2011 ( 0,5 điểm) +) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có chín chữ số đôi khác thì n A 9 A98 chữ số đầu tiên có cách chọn và có A9 cho vị trí còn lại Vậy 0,25 B 0;1; 2; ;9 ta thấy tổng các phần tử B 453 nên số có chín +) Giả sử chữ số đôi khác và chia hết cho tạo thành từ chữ số các tập B \ 0 ; B \ 3 ; B \ 6 ; B \ 9 nên số các số loại này là 0,25 A99 3.8 A88 11 A99 3.8 A88 Vậy xác suất cần tìm là 27 A98 III (2,5 điểm) (1 điểm) Từ công thức truy hồi dãy ta u1 un un u n 2 n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 4.2 3.1 n 1 2011 un 2011 2011 2 lim un 2n n n 1 2 Do đó (1,5 điểm) Từ đó x x 3x x x 3x lim x x2 x2 Ta có x x x 3x lim x x2 x2 lim 0,5 0,5 0,5 0,5 x3 x 3x lim x x x x 1 x x 3 x 1 x2 x 1 lim x x 1 x x x 1 x 3 x 1 0,5 3 IV (3 điểm) (1,5 điểm) BD ACC ' A ' AC ' BD Ta có BD AC và BD AA ' nên 0,25 AC ' A ' BD 0,5 Tương tự ta chứng minh AC ' A ' D Từ đó ta suy Gọi I là giao điểm AC và BD Khi đó G AC ' A ' I chính là giao điểm 0,25 AC ' và mặt phẳng A ' BD Do AC // A ' C ' GI AI 2 GA ' A ' C ' suy G là trọng tâm tam giác A ' BD 0,5 (4) (1,5 điểm) A ' A m, A ' D ' n, A ' B ' p m n p a; m.n n p p.m 0 Đặt và A ' M x.A ' D; D' N y.D ' C A ' M x m x n ; D ' N y m y p MN MA ' A ' D ' D ' N Ta có y x m x n y p 0,25 0,25 Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có 1 y x 0 y x m x n y p m n 0 y x y x m x n y p m p 0 2 A ' M A ' D; D ' N D ' C 3 Vậy M, N là các điểm cho 1 1 a2 a MN m n p MN MN 3 3 Do đó ta có MN B ' C 0 MN D ' C A x y 1 0,5 B I G D C M A' B' N D' C' 0,5 (5)