ĐỀ HSG HUYỆN 19-20

Cho x,y là hai số dương thõa mãn điều kiện xy=1.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.[r]

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 Năm học 2019 – 2020

MƠN : TỐN Khóa ngày: 24/10/2019

Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu : (4 điểm) Cho biểu thức P= x+2

x√x −1+

√x+1 x+√x+1+

1 1−√x

a/ Rút gọn biểu thức P

b/ Tính giá trị biểu thức P biết x2020 2019

Câu 2: (4 điểm).

a/ Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13.

b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức

2

2 3

2

x x P

x

  

 có giá trị nguyên

Câu 3: (3,0 điểm) Cho x,y hai số dương thõa mãn điều kiện xy=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q= x√x

1+√y+ y√y 1+√x

Câu 4: (3 điểm): Gọi a số thực cho a2 + a – = 0.

Tính giá trị của: B = a+ a +10a+138

Câu 5: ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB=15cm, AC=20cm

Tính BC, AH

Kẻ HM vng góc với AB M, HN vng góc với AC H Chứng minh : AMN ACB

Kẻ trung tuyến AK tam giác ABC cắt MN I.Tính diện tích tam giác AMI

PHỊNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9 MƠN : TỐN

NĂM HỌC: 2019 – 2020 Khóa ngày: 24/10/2019

Bài Đáp án Điểm

Câu a)

b)

ĐK: x 0, x ≠1 P= x+2+x −1− x −√x −1

(√x −1)(x+√x+1)

P= √x(√x −1)

(√x −1)(x+√x+1)

P= √x

x+√x+1

P=

2019

2020 2019 2019 1



   

p=

2019

2020 2019





0,5 0,75 1,0 0,75

0,5 0,5 Câu

a)

b)

Ta có: 270 + 370

= ( 22)35 + (32)35

= 435 + 935⋮(4 + 9) hay (435 + 935)⋮13

Vậy 270 + 370 ⋮13

P = 2x2+3x+3

2x −1 =

(2x2− x)+(4x −2)+5

2x −1 =x+2+ 2x −1

x nguyên x + có giá trị ngun

để P có giá trị ngun 2x −5 1 phải nguyên hay 2x - ước nguyên

=> * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2

Vậy x = {1;0;3;−2} P có giá trị ngun

1,0 1,0 0,5

0,5

1,0 Câu

Q=

xy

x+y −√¿ ¿

x2

+y2+(√x+√y)¿ ¿

0,5

0,5

Q=

y √x+√¿

¿

(x+y −1) x2+y2+¿

¿

xy=1

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số x ,y ,x,y ta có: Q xy+(√x+√y)(2√xy−1)

2+√x+√y =1 Dấu ‘=’ xẩy x=y=1

Vậy GTNN biểu thức Q x=y=1

0,5 0,5

Câu Vì a2 + a – = nên a2 = – a  a4 = - 2a + a2 = - 3a

 a8 = (2 - 3a)2 = – 12a + 9a2

 a8 + 10a + 13 = 9a2 – 2a + 17

= 8a2 + 8a – + a2 – 10a + 25 = (a - 5)2

B = a + |a–5|

= a – a + = (Vì - a = a2 nên a  1)

0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,75 Câu

Lập luận tính BC = 25 cm AH.BC=AB.AC (Hệ thức) suy

12 AB AC AH cm BC   Lập luận chứng minh được:

ACB  HCA;  HCA NHA  NHA = AMN Suy ra AMN  ACB Lập luận c/m được:

 

ANM ABC

  ,  900   900

KACACB C B   KAN ANM 

9,

NH AH AC AH

HN cm

AC BC   BC 

IMA  AMN suy IMA ACB

9, 25

AM IM AI

BC AC AB

    192 144 ; 15 25 IM AI    ; 13824 625 AIM AI IM

S  