Cho x,y là hai số dương thõa mãn điều kiện xy=1.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9 Năm học 2019 – 2020
MƠN : TỐN Khóa ngày: 24/10/2019
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu : (4 điểm) Cho biểu thức P= x+2
x√x −1+
√x+1 x+√x+1+
1 1−√x
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính giá trị biểu thức P biết x2020 2019
Câu 2: (4 điểm).
a/ Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13.
b/ Tìm giá trị nguyên x để biểu thức
2
2 3
2
x x P
x
có giá trị nguyên
Câu 3: (3,0 điểm) Cho x,y hai số dương thõa mãn điều kiện xy=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q= x√x
1+√y+ y√y 1+√x
Câu 4: (3 điểm): Gọi a số thực cho a2 + a – = 0.
Tính giá trị của: B = a+ a +10a+138
Câu 5: ( điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB=15cm, AC=20cm
Tính BC, AH
Kẻ HM vng góc với AB M, HN vng góc với AC H Chứng minh : AMN ACB
Kẻ trung tuyến AK tam giác ABC cắt MN I.Tính diện tích tam giác AMI
(2)PHỊNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA LỚP 9 MƠN : TỐN
NĂM HỌC: 2019 – 2020 Khóa ngày: 24/10/2019
Bài Đáp án Điểm
Câu a)
b)
ĐK: x 0, x ≠1 P= x+2+x −1− x −√x −1
(√x −1)(x+√x+1)
P= √x(√x −1)
(√x −1)(x+√x+1)
P= √x
x+√x+1
P=
2019
2020 2019 2019 1
p=
2019
2020 2019
0,5 0,75 1,0 0,75
0,5 0,5 Câu
a)
b)
Ta có: 270 + 370
= ( 22)35 + (32)35
= 435 + 935⋮(4 + 9) hay (435 + 935)⋮13
Vậy 270 + 370 ⋮13
P = 2x2+3x+3
2x −1 =
(2x2− x)+(4x −2)+5
2x −1 =x+2+ 2x −1
x nguyên x + có giá trị ngun
để P có giá trị ngun 2x −5 1 phải nguyên hay 2x - ước nguyên
=> * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2
Vậy x = {1;0;3;−2} P có giá trị ngun
1,0 1,0 0,5
0,5
1,0 Câu
Q=
xy
x+y −√¿ ¿
x2
+y2+(√x+√y)¿ ¿
0,5
0,5
(3)Q=
y √x+√¿
¿
(x+y −1) x2+y2+¿
¿
xy=1
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số x ,y ,x,y ta có: Q xy+(√x+√y)(2√xy−1)
2+√x+√y =1 Dấu ‘=’ xẩy x=y=1
Vậy GTNN biểu thức Q x=y=1
0,5 0,5
Câu Vì a2 + a – = nên a2 = – a a4 = - 2a + a2 = - 3a
a8 = (2 - 3a)2 = – 12a + 9a2
a8 + 10a + 13 = 9a2 – 2a + 17
= 8a2 + 8a – + a2 – 10a + 25 = (a - 5)2
B = a + |a–5|
= a – a + = (Vì - a = a2 nên a 1)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,75 Câu
Lập luận tính BC = 25 cm AH.BC=AB.AC (Hệ thức) suy
12 AB AC AH cm BC Lập luận chứng minh được:
ACB HCA; HCA NHA NHA = AMN Suy ra AMN ACB Lập luận c/m được:
ANM ABC
, 900 900
KACACB C B KAN ANM
9,
NH AH AC AH
HN cm
AC BC BC
IMA AMN suy IMA ACB
9, 25
AM IM AI
BC AC AB
192 144 ; 15 25 IM AI ; 13824 625 AIM AI IM
S
(4)