mỗi đ−ờng nên B’MDN là hình bình hành.. Vậy hình bình hành B’MDN là hình thoi.[r]
(1)Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 −−−−−−−−−−−−− đáp án −thang điểm đề thi chính thức M«n thi : to¸n Khèi B Néi dung C©u 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ ⇔ tån t¹i x0 ≠ cho y ( x0 ) = − y (− x0 ) ⇔ tån t¹i x0 ≠ cho x03 − x02 + m = − (− x0 )3 − 3(− x0 )2 + m ⇔ tån t¹i x0 ≠ cho 3x02 = m ⇔ m >0 2) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = ®iÓm 2®iÓm ®iÓm 0, 25 ® 0, 25 ® 0,25 ® 0,25 ® ®iÓm Khi m = hµm sè trë thµnh y = x3 − x + Tập xác định : \ x=0 y ' = x − x, y ' = ⇔ x = y " = x − y '' = ⇔ x = y " triệt tiêu và đổi dấu qua x = ⇒ (1;0) là điểm uốn 0,25® 0,25® B¶ng biÕn thiªn: x y’ y −∞ + −∞ 0 C§ − +∞ + 0,25® +∞ CT −2 §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i c¸c ®iÓm (1;0), (1 ± 3;0) vµ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; 2) y 0,25® O −2 x (2) C©u 2®iÓm ®iÓm (1) 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cotgx − tgx + 4sin x = sin x sin x ≠ §iÒu kiÖn: (*) cos x ≠ Khi đó (1) ⇔ 0,25® cos x sin x cos x − sin x ⇔ + 4sin x = − + 4sin x = sin x cos x sin x sin x cos x sin x ⇔ cos x + 4sin 2 x = ⇔ cos2 x − cos x − = x = kπ cos x = ⇔ ⇔ (k ∈ Z) x = ± π + kπ cos x = − KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ta ®−îc nghiÖm cña (1) lµ x = ± 3 y = 2) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 3x = §iÒu kiÖn x ≠ 0, y ≠ y2 + x2 x2 + y2 0,25® 0,25® π + kπ (k ∈ Z) 0,25® (1) ®iÓm (2) 2 3 x y = y + ( x − y )(3 xy + x + y ) = Khi đó hệ đã cho t−ơng đ−ơng với ⇔ 0,25® xy = x + xy = x + x= y x =1 0,5® TH1: ⇔ y = 3 xy = x + 3xy + x + y = 0,25® TH2: v« nghiÖm, v× tõ (1) vµ (2) ta cã x, y > 2 xy = x + VËy nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ: x = y = C©u 3®iÓm ®iÓm 1) B V× G lµ träng t©m ∆ABC vµ M lµ trung ®iÓm BC nªn JJJG JJJJG 0,25® MA = 3MG = (−1;3) ⇒ A(0; 2) M Ph−¬ng tr×nh BC ®i qua M (1; −1) vµ vu«ng gãc víi G JJJG A C MA = (−1,3) lµ: −1( x − 1) + 3( y + 1) = ⇔ − x + y + = (1) 0,25® Ta thấy MB = MC = MA = 10 ⇒ tọa độ B, C thỏa mãn (2) ph−¬ng tr×nh: ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = 10 0,25® 0,25® Giải hệ (1),(2) ta đ−ợc tọa độ B, C là (4;0), (−2; −2) ®iÓm 2) A’ B’ Ta cã A ' M // = NC ⇒ A ' MCN lµ h×nh b×nh hµnh, đó A ' C và MN cắt trung điểm I D’ C’ mçi ®−êng MÆt kh¸c A’DCB’ lµ h×nh b×nh hµnh nªn M I trung ®iÓm I cña A’C còng chÝnh lµ trung ®iÓm cña N A B B’D VËy MN vµ B’D c¾t t¹i trung ®iÓm I cña đ−ờng nên B’MDN là hình bình hành Do đó B’, 0,5® M, D, N cïng thuéc mét mÆt ph¼ng 2 2 2 MÆt kh¸c DM = DA + AM = DC + CN = DN , hay DM = DN Vậy hình bình hành B’MDN là hình thoi Do đó B’MDN là hình D C (3) vu«ng ⇔ MN = B’D ⇔ AC = B’D ⇔ AC2= B’D2 = B’B2 +BD2 ⇔ 3a2 = B’B2 + a2 ⇔ BB’= a ⇔ AA’= a 3) JJJG Từ AC = (0;6;0) và A(2; 0; 0) suy C(2; 6; 0), đó I(1; 3; 4) Ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (α) qua I vµ vu«ng gãc víi OA lµ : x − = ⇒ tọa độ giao điểm (α) với OA là K(1; 0; 0) 2 ⇒ khoảng cách từ I đến OA là IK = (1 − 1) + (0 − 3) + (0 − 4) = C©u 1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè Tập xác định: [ −2; 2] y ' = 1− x 4− x y = x + − x2 , 0,5® ®iÓm 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 2®iÓm ®iÓm 0,25® x ≥ y ' = ⇔ − x2 = x ⇔ ⇔x= 2 4 − x = x Ta cã y (−2) = −2, y ( 2) = 2, y (2) = , 0,25® VËy max y = y ( 2) = 2 vµ y = y (−2) = −2 0,25® 0,25® [ −2;2] [ −2;2] 2) TÝnh tÝch ph©n I = π − 2sin x ∫ + sin x dx ®iÓm Ta cã I = π ∫ π − 2sin x cos x dx = ∫ dx + sin x + sin x 0,25® §Æt t = + sin x ⇒ dt = cos xdx π Víi x = th× t = 1, víi x = th× t = Khi đó I = 0,25® 0,25® 2 1 dt = ln | t | = ln ∫ 2 t 0,25® C©u Ta cã Suy 1®iÓm n (1 + x) + C1n x + Cn2 x + + Cnn x n 2 n (1 + x) dx = Cn0 + C1n x + Cn2 x + + Cnn x n 1 ∫ = Cn0 ∫( )dx 2 n +1 x x x (1 + x)n +1 = Cn0 x + C1n ⇔ + Cn2 + + Cnn n +1 n + n +1 n +1 n +1 −1 −1 2 −1 n − ⇔ Cn0 + Cn + Cn + " + Cn = n +1 n +1 0,5 ® 0,5 ® (4)