- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm... Viết phương trình mặt cầu tâm ﾧ và tiếp xúc với mặt phẳng ﾧ..[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI KSCL THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.
3
1
2
3
y= x - x + x+
Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: ﾧ
2
1 x f x
x
Câu (1,0 điểm).Tìm miền giá trị hàm số: Câu (1,0 điểm).
a)
2
1 2 i z 5 2i w z2 z
Cho số phức z thỏa mãn ﾧ Tìm phần thực phần ảo số phức ﾧ
b) log9xlog3x 3 2Giải phương trình: ﾧ
1
1 ln
e x
x xe
I dx
x e x
Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: ﾧ
Oxyz ( ) : 2P x y 3z 1 I(3; 5; 2- - ) I ( )P Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ ﾧ, cho mặt phẳng ﾧ điểm ﾧ Viết phương trình mặt cầu tâm ﾧ tiếp xúc với mặt phẳng ﾧ Tìm tọa độ tiếp điểm
Câu (1,0 điểm)
tan 2,
2
a a
Acosa2sina 3 a) Cho biết ﾧ Tính giá trị biểu thức : ﾧ b) Một chi đồn có 15 đồn viên có nam nữ Người ta chọn người chi đồn để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất để người chọn có nữ
S ABCD a ·BAD=1200 SA(SBC () ABCD) 600 a S ABCD
BD SCCâu (1,0 điểm) Cho hình chóp
ﾧ có đáy ABCD hình thoi có cạnh ﾧ; ﾧ cạnh bên ﾧ vng góc với mặt phẳng đáy Biết số đo góc hai mặt phẳng ﾧ ﾧ ﾧ Tính theo ﾧ thể tích khối chóp ﾧ khoảng cách hai đường thẳng ﾧ ﾧ
Câu (1,0 điểm)
Oxy( ) (C : x- 2)2+ -(y 2)2=5( )D :x+ + =y A( )D ( )C B C A ABC 8Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
ﾧ, cho đường tròn ﾧ đường thẳng ﾧ Từ điểm ﾧ thuộc ﾧ kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với ﾧ ﾧ ﾧ Tìm tọa độ điểm ﾧ biết diện tích tam giác ﾧ ﾧ
Câu (1,0 điểm)
2
2
21 31
1
x y y x
y y x x xy y
Giải hệ phương trình: ﾧ
Câu 10 (1,0 điểm).
, ,
a b c ABC 3F 5a2 5b2 5c2 6abc
Cho là độ dài ba cạnh tam giác ﾧ có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
-Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:………
(2)NĂM HỌC 2015-2016 Mơn: TỐN (Gồm trang) I LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án trình bày cách giải gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước
- Trong lời giải câu 7, câu học sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm
- Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn
II ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 1 3 2
2
3
y= x - x + x+
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số : ﾧ 1,0 * Tập xác định:
2
' 3;
y x x
1 '
3
x y
x
* Chiều biến thiên: Ta có
; 1 3; ;1;3
Suy hàm số đồng biến khoảng nghịch biến
0,25
7
1 ,
3 CĐ
x y 3 1.
CT
x y * Cực trị: Hàm số đạt cực đại hàm số đạt cực tiểu
lim
x y xlim y.* Giới hạn: Ta có
0,25
(3)* Đồ thị:
0,25
2
1 x f x
x
Tìm miền giá trị hàm số : 1,0
D x2 1 0 x Miền xác định ( )
32
1
0
x f x
x
Ta có :
0,25
2
5 f x x x
2
2
1
5 5
lim lim lim
1
1 1
x x x
khi x
x x x
khi x x
x x
x
Bảng biến thiên
0,25
x
5
f x
f x 26
1
0,25
1; 26 Từ bảng biến thiên Miền giá trị hàm số 0,25 z 1 2 i z 5 2 i2 w z2 z
(4)phần ảo số phức ﾧ
3.a
2
5 5
z 11
1 2
i i i i
i
i i
Ta có ﾧ 0,25
3
2
wz z 11 2 i 11 2 i 128 46 i w 128 46 Suy ﾧ, Vậy ﾧ có phần
thực , phần ảo 0,25
9
log x log x 3 2Giải phương trình : ﾧ 0,5
3.b
0
x Điều kiện ﾧ Phương trình tương đương với
2
2
3 3 3
3
1
log log log log log 3log
2
x x x x x x
ﾧ 0,25 3 log 1 log 81 x x x x ﾧ ; 81 x x
Vậy phương trình có hai nghiệm ﾧ
0,25 1 ln e x x xe I dx
x e x
Tính tích phân sau : ﾧ
1,0
1
1 ln
x
x x xe
t e x dt e dx dx
x x
Đặt ﾧ 0,25
4 x t e1 Đổi cận : Khi ﾧ ﾧ
x e t e e1 Khi ﾧ ﾧ 0,25 1 ln ln e e e e e e e dt e I t t e ﾧ 0,25 ln e e I e
Đáp số : ﾧ 0,25
Oxyz ( ) : 2P x y 3z 1 I(3; 5; 2- - ) I ( )P Trong không gian với hệ tọa độ ﾧ, cho mặt phẳng ﾧ điểm ﾧ Viết phương trình mặt cầu tâm ﾧ tiếp xúc với mặt phẳng ﾧ Tìm tọa độ tiếp điểm
1,0
· ( ) 2
2.3 ( 5) 3.( 2) 18 ;( )
14
R=d I P = - - - - + =
+ + ﾧ Bán kính mặt cầu ﾧ. 0,25 5
· ( ) ( ) ( )
2 2 162
3
7
x- + +y + +z =
ﾧ Phương trình mặt cầu: ﾧ 0,25 · H I ( )P ﾧ Tiếp điểm hình chiếu vng góc ﾧ ﾧ xuống mặt phẳng ﾧ
đã cho
· IH I n=(2; 1; 3- - )
r
( )P ﾧ Đường thẳng ﾧ qua ﾧ nhận PVT ﾧ mặt phẳng
ﾧ làm VTCP có phương trình x t y t z t ì = + ùù ùù = -ớù ù =
-ùùợ (tẻ ¡ ) ﾧ ﾧ
0,25
(5)3
2
x t
y t
z t
x y z
ì = + ïï
ïï = -ïí
ï = -ïï
ï - - + =
ïỵ ﾧ ·
9 26 13
, , ,
7 7
t=- x= y=- z=
ﾧ Hệ có nghiệm ﾧ · H
3 26 13 ; ; 7
Hổỗ -ỗỗố ửữữữ
øﾧ Do tiếp điểm ﾧ có tọa độ ﾧ
tan 2,
2
a a
Cho biết ﾧ
cos 2sin
A a a
Tính giá trị biểu thức : ﾧ
0,5
6.a
2
1 1
0 cos 0;cos
2 a a a tan a
Ta có : ﾧ
1
sin cos tan
5
a a a ﾧ
0,25
6 2 15
5
5
A
Vì ﾧ 0,25
Một chi đồn có 15 đồn viên có nam nữ Người ta chọn người chi đồn để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất để người chọn có nữ
0,5
6.b
4
15 1365
n C
Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố "trong người chọn có nữ”
154 74 1330
n A C C Số kết thuận lợi cho biến cố A
0,25
1330 38 ( )
1365 39
n A P A
n
Vậy xác suất cần tính 0,25
S ABCD ABCDa BAD· =1200 SA(SBC () ABCD) 600a S ABCD
BD SCCho
hình chóp ﾧ có đáy ﾧ hình thoi có cạnh ﾧ; ﾧ cạnh bên ﾧ vng góc với mặt phẳng đáy Biết số đo góc hai mặt phẳng ﾧ ﾧ ﾧ Tính theo ﾧ thể tích khối chóp ﾧ khoảng cách hai đường thẳng ﾧ ﾧ
(6)
a
,
ABC ADC ·BAD=1200 a 3
ABCD Do đáy ﾧ hình thoi có cạnh ﾧ;
ﾧ nên tam giác ﾧ tam giác cạnh ﾧ
( )2
2 3 3
2
4
ABCD ABC
a a
S = SD = =
Suy ra: ﾧ
SH BC
Þ ^ AH ^BC BC H · ﾧ Gọi ﾧ trung điểm ﾧ Suy ﾧ ﾧ
( ) ( )
·SBC ; ABCD (·AH SH; ) SHA· 600
é ù= = =
ë û Do ﾧ
0,25
7 · SAH
( )
0 3 3 tan 60
2
= = a = a
SA AH
ﾧ Xét tam giác ﾧ ta có: ﾧ ·
2
1 3 3
3 2
= ABCD = =
a a a
V S SA
ﾧ Vậy ﾧ
0,25
· O=AC BDÇ DB^AC BD^SC BD^(SAC) Oﾧ Gọi ﾧ Vì ﾧ, ﾧ nên ﾧ
ﾧ
· OI ^SCÞ OI BD SCﾧ Kẻ ﾧ ﾧ ﾧ đường vng góc chung ﾧ ﾧ.
0,25
· ICO ACSﾧ Sử dụng hai tam giác đồng dạng ﾧ ﾧ đường cao
SAC
3 39 26 = a
OI ( , ) 39
26 = a
d BD SC
tam giác ﾧ suy ﾧ Vậy ﾧ 0,25
Oxy( ) (C : x- 2)2+ -( y 2)2=5( )D :x+ + =y A( )D ( )C B C A ABC 8Trong
mặt phẳng với hệ tọa độ ﾧ, cho đường tròn ﾧ đường thẳng ﾧ Từ điểm ﾧ thuộc ﾧ kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với ﾧ ﾧ ﾧ Tìm tọa độ điểm ﾧ biết diện tích tam giác ﾧ ﾧ
(7)( ) ( ; 1)
Aẻ D ị A a a- - I(2; , ) R= 5( )C · ﾧ ﾧ có tâm ﾧ , ﾧ
BC H IA^BC Þ · ﾧ Từ tính chất tiếp tuyến ﾧ ﾧ ﾧ trung điểm ﾧ
(m> >n 0) IA=m IH, = Giả sử ﾧ ﾧ n
2 2
,
HA m n BH IB IH n
Þ = - = - = - ﾧ
( )
1
2
ABC
SD = BC AH =BH AH = m n- - n =
·ﾧ Suy ra: ﾧ (1)
0,25
8 · IBA
2 . 5 .
BI IH IA m n m
n
= Û = Û =
ﾧ Trong tam giác vng ﾧ có ﾧ (2)
2
5
5 15 139 125
n n n n n
n
æ ửữ
ỗ - ữ - = - + - =
ỗ ữ
ỗố ứ Thay (2) vào (1) ta có: ﾧ
0,25
(n2 1) (n4 14n2 125) 0
Û - - + = n=1,m= ﾧ Suy ﾧ 5 0,25
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2;
5 25
3 3;
A a
IA a a a a
a A
é
-é = ê
ê
= Û - + - - = Û + - = Û Þ ê
ê =-
-ë êë ﾧ 0,25
2
2
21 31
1
x y y x
y y x x xy y
Giải hệ phương trình :ﾧ
1,0
2
0,
x y
y x
Điều kiện : ﾧ
2 y1 xy12 x2 y y x 1 0
ﾧ
(8)
0, 0, 1
1 1
1
x y
y x y x y x y x
y x
ﾧ ﾧ
9
3 1 x2 x 1 21 x2 x 1 31
Thế ﾧ vào ﾧ ta : ﾧ
x2 x x2 x 1 31 21 4 ﾧ ﾧ
1 1, 0
f x x x x x x
Xét hàm số ﾧ
22 22 ,
2
x x
f x x
x x x x
Có : ﾧ
0,25
2 2
2
,
2 3
x x
f x x
x x
ﾧ
2 23 0,
3
t
g t t g t t
t t
Xét hàm số ﾧ
g t 2x 1 2x1, x g2x1 g2x1 , x 0 Suy hàm số ﾧ đồng biến ﾧ mà ﾧ
2 1 2 1 ,
f x g x g x x
ﾧ
0,25
2 ; f x
Nên hàm số ﾧ đồng biến tập ﾧ
2;
5 31 21
f
Mặt khác : ﾧ 4 f x f 5 x 5 y6
Phương trình ﾧ x y ; 5;6Hệ phương trình có nghiệm ﾧ
0,25
, ,
a b c ABC 3F 5a2 5b2 5c2 6abc
Cho là độ dài ba cạnh của
tam giác ﾧ có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 1,0
, , 0
3 a b c
a b c
a b c, , a a1Theo giả thiết ba số phải có
ít số lớn Giả sử số
3
2 b c a a a a
Theo tính chất ba cạnh tam giác ta
3 1
2 a
Như
0,25
10 2 2 2 2 2
5 5 5
F a b c abc a b c bc abc
Ta có
2
2
5a a 2bc 3a
2 2
1
2
2
bc b c a
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có
(9)3
1 3a
2 a
5 3a 13 2 3a
bc a
Mặt khác
2 2
2 2
5 5 5 3
2
F a b c abc a a a a
Do
3
15 a a a
3 15
2
f a a a a 1 3
2 a
Xét hàm số với
0,25
33 2 1 3 1 3 1 0, 1;
2 2
f a a a a a a
, nên hàm số
f a
3
1; 21,
2 f a f a
đồng biến khoảng
1 21, 1;3 F f a f a
;
1
a b c
a b c a b c
Dấu
F 21 ABCVậy giá trị nhỏ bằng đạt tam giác ﾧ có
cạnh
0,25