Đề khảo sát HSG 12 lần 2

TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN TỔ TOÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG 12 Mơn: Tốn (Lần 2) – Năm học 2017 – 2018 Thời gian: 180 phút (không kể TG giao đề) Câu 1(4.0 điểm) Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x + + − x Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C) đường thẳng d : y = − x + m Tìm m để đường x +1 thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vng O (trong đó, O gốc tọa độ) Câu 2(5.0 điểm) Giải phương trình log ( ) x + + x + log ( ) x + − x = log (3 x − 1) − x + y + = x + 2y  y +1 Giải hệ phương trình   x − y + y + 11 − x + =  Câu 3(3.0 điểm) Tính tổng tất số hạng hữu tỉ khai triển nhị thức ( 3+3 ) 2n ; biết n số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức: C n0 + C n1 + C n2 + + C nn = 512 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C Chứng minh ta ln có: sin A + cos B + sin C ≤ + Dấu xảy nào? Câu 4(5.0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vng góc với mặt đáy; cạnh SB = SC = 1; ∧ ∧ ∧ góc ASB = BSC = CSA = 60 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB c) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Câu 5(3.0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a + 3b ab + b + b + 3c bc + c + c + 3a ca + a ……………………………………… Hết ……………………………………… ĐÁP ÁN Câu (4.0đ) ý (2.0đ) (2.0đ) (2.0đ) Nội dung đáp án D = [− ; ] * TXĐ: x x x = − * y' = ; y' = ⇔  (nhận) 2 x +2 4− x  x = ±1 * BBT… * KL: Hàm số đồng biến (-1;0), (1;2); nghịch biến (-2;-1), (0;1) * TXĐ: D = R 2x − = −x + m * Phương trình HĐGĐ: ( x ≠ −1 ) x +1 ⇔ x + (3 − m) x − m − = (1) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m * Gọi: A( x1 ;− x1 + m), B ( x2 ;− x2 + m) YCBT ⇔ OA.OB = ⇔ x1 x2 + (− x1 + m)(− x2 + m) = ⇔ x1 x2 − m( x1 + x2 ) + m = ⇔ −2m − − m(m − 3) + m = ⇔ m = Vậy m = * ĐK: x > * pt: ⇔ 2[log x + + x + log x + − x ] + log x + + x = log 23 (3 x − 1) ( ( ) ) ) ( ) ( ⇔ log x + + x = log (3x − 1) ⇔ x +1 + x = x − (3.0đ) ⇔ * (3.0đ) (1.5đ)  x − 3x =  1  − −3 =  x + + x + x + + x + x = ⇒ y = * x − 3x = ⇔   x = ⇒ y = −2 (VN ) * (4) vơ nghiệm … Vậy hệ có nghiệm (0; 1) n * C n + C n + C n + + C n = 512 ⇔ n = * ( 3+3 ) 18 (3) 0.25 0.5 0.5 )   =  +    0.5 0.25 x − 3x x − 3x − − ( x − x) = x + + x + x + + 5x + 2n 0.5 0.5 0.5 x − 3x − + x + − x + = ⇔ x + − x + − x + − x + − ( x − x) = ⇔ 0.5 0.5 0.5  x + y = y +1 x + 2y x + 2y +2 −3 = ⇔  y +1 y +1  x + y = −3 y + (VN ) x + y = y + ⇔ y = − x + , thay vào pt(2) hệ được: ( 0.5 0.5 * pt(1) hệ ⇔ x + y + ( x + y )( y + 1) − 3( y + 1) = (5.0đ) 0.5 0.5 ⇔ x + = 2x −1 ⇔ x + = 4x − 4x + x = ⇔ x = / * Kết hợp ĐK => phương trình có nghiệm x = 4/3 x + y ≥ * ĐK:   x ≥ −1 / 5, − < y ≤ 11 / Điểm 0.5 0.5 (4) 0.25 0.25 0.5 0.5 * Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C k 18 (18− k ) k 0.5 (18 − k )5 k = ⇔ * Tk+1 số hữu tỉ  k 3 (0 ≤ k ≤ 18) k = 18 (1.5đ) a) (2.0đ) 3 18 Vậy tổng cần tính S = T4 + T19 = C18 + C18 = 1 2 * sin A + cos B − sin C = (1 − cos A) − (1 − cos 2C ) + cos B 2 = + sin( A + C ) sin( A − C ) + cos B = + sin B sin( A − C ) + cos B π  ≤ + sin B + cos B = + sin  B +  ≤ + , với A, B,C 4  π   A = 5π /  A − C =  ⇔ B = π / * Dấu “=” xảy  B + π = π C = π /   * Gọi H trung điểm BC Chứng S minh SH ⊥ BC AH ⊥ BC * Đặt SA = x Tính AC theo x theo hai cách Tính x = / , AH = E K N I M * Tính V = B C H 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 O A b) (1.5đ) (5.0đ) * Dựng hình bình hành ABEC Vì AC // (SBE) nên d(AC, SB) = d(C,(SBE)) = 2d(H,(SBE)) * Dựng HM ⊥ BE HN ⊥ SM Chứng minh HN = d(H,(SBE)) ⇒ d ( AC , SB) = = 6 * Gọi O, K tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ∆ SBC Dựng tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính R = IS * Tính HN = c) (1.5đ) * AB = AC = Gọi r = OA bán kính đường trịng ngoại tiếp ∆ ABC Ta có: S ∆ABC = AB AC.BC 6 ⇒r= = OA ⇒ OH = 4r 24 24 * Tính R = IS = b + 3c 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 a b c +3 +3 +3 b c a + + = + + * P= a b c ab + b bc + c ca + a +1 +1 +1 b c a t +3 , t >0 * Xét hàm số f (t ) = t +1 Khảo sát hàm số f(t), lập BBT ⇒ f (t ) = 2 t = a + 3b (3.0đ) 38 0.5 c + 3a 1.0 1.0 ( 0; +∞ ) Suy P ≥ , a, b, c dương Vậy P = a = b = c 1.0 ………………………………… Hết …………………………………… sin x + sin x − sin x + sin x = sin x + sin x − sin x + sin x = ⇔ sin x cos x + sin x cos x − sin x = sin x = ⇔ sin x(cos x + cos x − 2) = ⇔  2 cos x + cos x − = sin x = π ⇔ ⇔ sin x = ⇔ x = k cos x = Một lớp học có 20 học sinh; có học sinh giỏi mơn Tốn, học sinh giỏi mơn Văn học sinh giỏi mơn Tốn Văn Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn lớp em để tham gia lớp tập huấn kỹ sống Tính xác suất để em chọn học sinh giỏi hai mơn Tốn Văn * Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C 20 = 190 * Gọi A biến cố cần tính xác suất Số khae thuận lợi cho biến cố A n( A) = C 62 + C52 + C 42 + C61C51 + C61C 41 + C51C 41 = 105 105 * Vậy xác suất cần tính P ( A) = 190 ... (4.0đ) ý (2. 0đ) (2. 0đ) (2. 0đ) Nội dung đáp án D = [− ; ] * TXĐ: x x x = − * y' = ; y' = ⇔  (nhận) 2 x +2 4− x  x = ±1 * BBT… * KL: Hàm số đồng biến (-1 ;0), (1 ;2) ; nghịch biến ( -2 ;-1 ), (0;1)... x1 x2 + (− x1 + m)(− x2 + m) = ⇔ x1 x2 − m( x1 + x2 ) + m = ⇔ −2m − − m(m − 3) + m = ⇔ m = Vậy m = * ĐK: x > * pt: ⇔ 2[ log x + + x + log x + − x ] + log x + + x = log 23 (3 x − 1) ( ( ) ) )... R 2x − = −x + m * Phương trình HĐGĐ: ( x ≠ −1 ) x +1 ⇔ x + (3 − m) x − m − = (1) (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m * Gọi: A( x1 ;− x1 + m), B ( x2 ;− x2 + m) YCBT ⇔ OA.OB = ⇔ x1 x2 +