Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn tâm O để độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất ấy theo R... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG..[r]
(1)UBND THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011- 2012 VÒNG - Thời gian làm bài 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: ( 2,0 đ ) Rút gọn các biểu thức sau: A 17 38 5 6 2 a) b) B 3 x3 3x ( x 1) x x 3x ( x 1) x x 2 , Với >2 Câu 2: ( 2,0 đ ) a) Cho x Tìm số nguyên lớn không vượt quá x b) Tìm số nguyên a cho a a 35 Q Câu 3: ( 2,5 đ ) a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x y z xyz 4 Tính giá trị biểu thức: A x(4 y )(4 z ) y (4 z )(4 x) z (4 x)(4 y ) xyz b) Giải phương trình: x 2( x 1) x x x Câu : ( đ ) Cho đường tròn tâm O với hai đường kính AB, CD không vuông góc với Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Gọi E, F là chân đường vuông góc kẻ từ A, B xuống đường thẳng d Gọi H là hình chiếu C trên AB a) Chứng minh: CH2 = AE.BF b) Gọi I và K là giao điểm EO với AC và AD Chứng minh OI.KE = OK.IE Câu : ( 1,5 đ ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, điểm C chuyển động trên nửa đường tròn này Gọi H là hình chiếu C trên AB, E và F là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ACH và BCH Xác định vị trí C trên nửa đường tròn tâm O để độ dài đoạn thẳng EF lớn nhất, tìm giá trị lớn theo R SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 – 2014 (2) - Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Ngày thi … tháng … năm 2013 (Đề thi gồm: 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho x là số thực thỏa mãn x x 0 Tính giá trị biểu thức : A x5 x5 xyz 2 b) Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn 2 x xy 0 2 B y yz z xz x xy Tính giá trị biểu thức : Câu (2,0 điểm) ( y y )(2 y x) 2 y y x 3 a) Tìm x và y thỏa mãn : b) Giải phương trình : x x 2 x Câu (2,0 điểm) 12n 13 a) Chứng minh phân số sau tối giản : 30n 32 (n là số nguyên dương) 13 n b) Tìm tất các số nguyên dương n để C 2 là số chính phương Câu (3,0 điểm) Cho (O1 ; R1) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2) A ( R1 R2 ) Kẻ đường kính AO1B và AO2C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn ( D (O1 ), E (O2 )) Gọi M là giao điểm BD và CE a) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn b) Gọi giao điểm DE và AB là J Tính JA theo R1 , R2 c) Gọi (O; R) tiếp xúc với DE đồng thời tiếp xúc ngoài (O1 ; R1) và (O2 ; R2) 1 R R1 R2 Chứng minh : Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P ( x y 1) xy y x xy y x ( x y 1) (với x; y là các số thực dương) ……………………… HẾT ……………………… (3) Bài 31 Cho (O1 ; R1) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2) Vẽ đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn (O1) và (O2) (với A thuộc (O1) và B thuộc (O2)) Vẽ đường tròn (O ; R) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O1), (O2) và tiếp xúc với đường thẳng AB C 1 R R1 R2 Chứng minh : Hướng dẫn:a) Tương tự 2 OH OO HO ( R1 R )2 ( R1 R )2 4 R1R OH 2 R1R OK 2 R2 R HK 2( R1 R R2 R ) IO2 O1O22 IO12 2 R1 R2 O1 R1 R2 R1 R R2 R O2 I d O H A K C B Bài 32 Cho (O1 ; R1) tiếp xúc ngoài với (O2 ; R2) A, ( R1 R2 ) Kẻ đường kính AO1B và AO2C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn ( D (O1 ), E (O2 )) Gọi M là giao điểm BD và CE a) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn b) Gọi giao điểm DE và AB là J Tính JA theo R1 , R2 c) Gọi (O; R) tiếp xúc với DE đồng thời tiếp xúc ngoài (O1 ; R1) và (O2 ; R2) Chứng minh : 1 R R1 R2 o o A A 180 DO1 A 180 EO1 A 90o 2 Hướng dẫn : a) A A D D 90o Chứng minh : 2 JO1 DO1 JO1 DO1 JO1 R1 JO2 JO1 EO2 DO1 R1 R2 R2 R1 b) JO2 EO2 ( R R2 ) R1 ( R R2 ) R1 2R R JO1 JA R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 M E D J B I 2 O1 A O2 C (HSG tỉnh Hưng Yên 2009-2010) c) Xem bài tập trên (4) (5)