Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT Các bài toán BĐT và cực trị của biểu thức chứa nhiều biến số là những vấn đề thường được đề cập trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.. Không[r]
(1)CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT Các bài toán BĐT và cực trị biểu thức chứa nhiều biến số là vấn đề thường đề cập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Không thể có phương pháp chung để có thể giải cho loại bài toán, chừng mực nào đó có thể nêu số kỹ thuật giải chung cho các bài toán,đó là việc mà các nhà sư phạm nên làm giúp cho học sinh có kiến thức đứng trước bài toán thuộc loại này Vì lý trên việc đề cập đến số kỹ thuật,một số cách giải có tính thông dụng lớp các bài toán thuộc dạng này là việc cần thiết giúp cho người học nâng cao khả tự học tự khai thác phát và giải toán Trên sở kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập học sinh, đúc kết thành kinh nghiệm tìm cực trị và chứng minh số bất đẳng thức nhiều biến số Để thuận tiện cho việc nghiên cứu tôi xin đề cập đến phương pháp chứng minh các hàm có tính ba biền F x, y , z F tx, ty, tz F x, y, z biết (1) với t 0 Bài toán: Tìm cực trị biểu thức Q = Hàm số F thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm ba biến x,y,z Sau đây là số ví dụ 2 Bài số Cho a, b, c 0 thỏa mãn a ab b c 3 Chứng minh a b 3abc 5c Lời giải: 2 Nếu c = từ gt a ab b 0 (a b) ab 0 a b 0 BĐT luôn đúng a xc, b yc x, y Nếu c 0 Đặt Bài toán đã cho trở thành : Cho các số thực 2 3 dương x, y thỏa mãn điều kiện x xy y 1 Chứng minh : x y 3xy 5 2 3 Ta có x y , x xy y 1 x y x y KL x y 3xy 5 (1) Ta có: ( x y)2 2 x xy y x y2 4 x y 3xy x y ( x y )2 2 5 vế trái (1) Dấu xây a = b = c Bài số (KA 2009) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x( x y z ) 3 yz Chứng 3 minh ( x y) ( x z ) 3( x y)( x z )( y z ) 5( y z ) Lời giải: x y xz ,b a, b 3 yz yz + Cách 1: Đặt KL a b 3ab 5 2 (gt) a ab b 1 Đây là bài toán a y ax, z bx a, b + Cách 2: Đặt Bài toán đã cho trở thành : Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a b 3ab (2) 3 Chứng minh : (1 a) (1 b) 3(a b)(a 1)(b 1) 5(a b) (2) Ta thấy biểu thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng a và b, Đặt t a b, t 2 (2) 4t 6t 4t 0 t (2t 1)(t 2) 0 luôn đúng t 2 Bài số Cho các số thực dương a, b, c (a b c )3 4(a b c ) 4 c a b a c Chứng minh : ab(a c ) a xb, c yb x, y Lời giải: Đặt S x y ( x y 1)3 4( x y 1) 5y 4 y x( x y ) x x y Đặt P xy với S 4 P BĐT S2 f ( P) (5 S ) P ( S S S 1) 0 , P (coi là hàm bậc ẩn P) f (0) (S 1)2 (S 1) 0 S S2 f ( S 2) 0 Suy BĐT luôn đúng Bài số (KA 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a c b c 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a b 3c 32b3 a 3c a b2 c Lời giải: Vì a, b, c là các số thực dương nên ta có a b 1 1 4 c c a c b c 4c P 32a b 3c 32b3 a 3c Lại có a b 32 32 2 a b c c 3 c b a 3 3 c c a b c c a b x ; y ( x, y 0) c c Do đó đặt , bài toán đã cho trở thành “Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1 y 1 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32 x3 32 y 3 y 3 x 3 Ta có x 1 y 1 4 x2 y ” xy x y 3 32 x Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 6x ; y 3 2 y 32 y x 3 1 6y 2 x 3 (3) 6x 6y P 2 y 3 x 3 2 x y x 3x y y x 3 y 3 Vậy ta có x y x y xy xy x y xy x y x y P 4 xy Đặt t xy , gt t 2t 0 t 1 Xét hàm số f (t ) 4 3t t 8t , t 1 f '(t ) 4 t t 8t t t 8t t 8t Với t 1 f (t ) f (1) 1 Vậy P 1 2 x y xy xy ( xy ) xy 2(t 16) 447 2 (4 t t 8t 9) t 8t 0 2 Dấu xảy x y 1 a b c Vậy P 1 a b c Đôi lời bình luận Kĩ thuật này toán chứng minh bất đẳng thức gọi là “kĩ thuật giảm biến” Một để có thể tiến hành việc giảm biến là bậc hai vế biểu thức điều kiện là và bậc tử và mẫu các phân thức biểu thức P Khi đã giảm biến c, bài toán trở thành bài toán hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P là biểu thức đối xứng x và y Đến đây, ta thấy biểu thức P thu khá cồng kềnh và có bậc cao Dự đoán dấu 32 x xảy x y 1 Khi đó y 3 32 x Cauchy cho ba số dương y 3 , 1 , 2 32 y x 3 Vì áp dụng bất đẳng thức , ta thu biểu thức cần đánh giá gọn và quan trọng là dấu xảy x y 1 Kĩ thuật này toán chứng minh bất đẳng thức gọi là “kĩ thuật chọn điểm rơi” Sau đây là các bài tập tương tự 2 Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c ab 2bc 2ca 0 Chứng minh rằng: (4) c2 c2 ab 2 2 (a b c) a b a b 2 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a c b c 4c Chứng 4a 4b 2ab minh b c a c c 7c 3ab 4 c Cho a, b, c dương , a b c Tìm giá trị nhỏ nhất: (a c2 ) ab bc ca a c2 P ac(a b c) 2bc Cho a, b, c dương , a b c Tìm giá trị nhỏ nhất: c2 3c ab c P a b ab c2 (KA11) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y, x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P = 2x 3y y z z x (5)