Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương.[r]
(1)Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014 ĐỀ LUYỆN THI SỐ 2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + ( m + 1) x + mx + ,với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho với m = −1 b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + = cos3x + 4sin x + cos x x + y − = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x + x + y + x y − + y − = 29 Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn các đường ( P) : y = x và ∆ : x − y − = Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết AC = 2a; BD = 2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H OB Góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SB và AD Câu (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực : x3 + x + y + = x y + y + x + y − m y + = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có phương trình đường thẳng AD : x + y + = M(2;5) là trung điểm BC và ( ) DC = BC = AB Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x = −2t và mặt phẳng (P): x + y − z + = Gọi (d’) là hình chiếu (d) lên mặt y = t z = −1 − 2t phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc (d’) cho H cách điểm K (1;1;4 ) khoảng 53 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z − i = z − − 3i =========================== Đáp số: Câu 1: m ≥ Câu 2: x = π / + k 2π ; x = 5π / + k 2π ; x = k 2π Câu 3: (3;10), (2;17) Câu 4: s = 3a 3 9a , d ( AD; SB ) = Câu 6: m ≥ −1 Câu 7: A(−5;4); B(−1;6); C (5;4) D(−3;0) 14 275 112 202 Câu 8: H ( −3;0; −2 ) , H ;− ; Câu 9: ∆ : x − y − = 39 39 39 Câu 5: VSABCD = Giáo viên: Quách Đăng Thăng – THPT Phù Cừ ~1~ (2) Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x3 + (m + 1) x + 2mx + ,với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho với m = −1 b) Tìm m để hàm số đồng biến trên kho ảng (0; 2) HD: Ta có : y ' = −2 x + 2( m + 1) x + 2m ⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ ( 0; ) (*) Vì y′ ( x ) liên tục x = và x = nên (*) ⇔ y ' ≥ ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ −2 x + 2( m + 1) x + 2m ≥ , ∀x ∈ [0; 2] ⇔ m( x + 1) ≥ x − x , ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ m ≥ g ( x) , ∀x ∈ [0; 2] (Trong đó g ( x) = ⇔ m ≥ Max g ( x ) x2 − x ) x +1 [0;2] Xét hàm số g ( x) = x2 − x trên đo ạn [ 0; ] x +1 x2 + x − ⇒ g '( x) = ⇒ g '( x) = ⇔ x = −1 + , ∀x ∈ [ 0; 2] ( x + 1)2 2 g (0) = ; g (2) = ; g ( −1 + 2) = −3 + 2 ⇒ Max g ( x) = x = [0;+∞ ) 3 Vậ y m ≥ thì hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình : sin x + = cos x + sin x + cos x HD: sin x + = cos3 x + 4sin x + cos x ⇔ sin x + = cos x cos x + 4sin x ⇔ sin x cos x cos x − cos x cos x − sin x + = ⇔ cos x cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1) = ⇔ (2sin x − 1) cos x(2 cos x − 1) − 1 = x = π / + k 2π 2sin x − = sin x = ⇔ ⇔ ⇔ x = 5π / + k 2π cos x − cos x − = x = k 2π cos x = x = π / + k 2π Vậ y phương trình có nghiệm x = 5π / + k 2π x = k 2π (k ∈ Z ) (k ∈ Z ) x + y − = Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : x + x + y + x y − + y − = 29 HD: x + y −1 = x +1 + y −1 = ⇔ x + x + y + x y − + y − = 29 ( x + 1) + y − + 2( x + 1) y − = 29 Đặt u = x + 1; v = y − ≥ Ta có hệ phương trình : 2uv ≤ 29 u + v = ⇔ u + v = 2 u + v = 4u v − 116uv + 841 u + v + 2uv = 29 Giáo viên: Quách Đăng Thăng – THPT Phù Cừ ~2~ (3) Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014 2uv ≤ 29 u + v = u = 4; v = ⇔ u + v = ⇔ ⇔ u = 3; v = 4u 2v − 114uv + 792 = uv = 12 x +1 = x = Với u = ; v = Ta có : ⇔ y − = y = 10 x +1 = x = Với u = ; v = Ta có : ⇔ y = 17 y −1 = Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;10) ; (2 ; 17) Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn b ởi các đường ( P ) : y = x và ∆ : 2x − y − = HD: 1 ( P) : y = x ⇔ x = y ; ∆ : x − y − = ⇔ x = ( y + 4) Phương trình tung độ gio điểm (P) và ∆ y = −2 y = ( y + 4) ⇔ y − y − = ⇔ y = Diện tích hình phẳng cần tìm S = ∀y ∈ [ − 2; 4] y − y − ≤ nên S =− ∫ −2 1 y − ( y + 4) dy = ∫ y − y − dy 4 −2 11 ( y − y − 8)dy = − y − y − y ∫ −2 43 −2 4 1 = − 72 − 12 − 48 = (đvdt) 3 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết AC = 2a; BD = 2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H OB Góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và kho ảng cách hai đường thẳng SB và AD HD: = OB = = tan 600 ⇒ BAO = 600 tan BAO OA S ⇒ Các tam giác ABC ; ADC là các tam giác cạnh 2a Kẻ HE ⊥ CD( E ∈ CD ) ; Lại có CD ⊥ SH ⇒ CD ⊥ (SHE ) ⇒ CD ⊥ SE = 600 Vậy góc (SCD) và (ABCD) là SEH A 3 3a DH = BD = 2a = 4 3a HE = DH sin 300 = a SH = HE.tan 600 = ; S ABCD = 2a 1 9a 3a3 (đvtt) VSABCD = SH S ABCD = 2a = 3 B H I O D C 3VSABC S SBC Kẻ HI ⊥ BC ( I ∈ BC ) lại có BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SHI ) ⇒ BC ⊥ SI Ta có d ( AD; SB ) = d ( AD; ( SBC )) = d ( A; ( SBC )) = Giáo viên: Quách Đăng Thăng – THPT Phù Cừ ~3~ E (4) Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014 BD a a = ; HI = BH sin 300 = 4 2 81a 3a a 21 a 21 SI = SH + HI = + = ⇒ S SBC = SI BC = 16 16 2 3 V 3a 3V 9a 9a 9a ; d ( AD; SB ) = SABC = VSABC = SABCD = = = S SBC 14 a 21 BH = x3 + x + y + = x y + y + Câu (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực : x + y − m y +1 = HD: Điều kiện x ,y ≥ Hệ phương trình tương đương với x ( x − y ) + x + y + − ( y + 1) = x + y −m = y +1 ( ) x2 − y x+ y x ( x − y ) + =0 =0 ( x − y ) x + x2 + y + + y + + + + + x y y ⇔ ⇔ m = x + y − m = x + y − y +1 y +1 x+ y > 0) x = y (do x + x + y +1 + y +1 ⇔ m = x − (*) x +1 Hệ phương trình có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm thu ộc [0 ; + ∞) Xét hàm số f ( x) = x − ; x ∈ [0; +∞) ; lim f ( x) = +∞ x →+∞ x +1 1 f '( x) = + > ∀x ∈ [0; +∞) x ( x + 1)3 ⇒ f(x) đồng biến trên [0 ; +∞) ⇒ f ( x) ≥ f (0) = −1 ∀x ∈ [0; +∞) Vậ y hệ phương trình có nghiệm m ≥ −1 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có phương trình đường thẳng AD : x + y + = M(2;5) là trung điểm BC và DC = BC = AB Tìm tọa độ các đỉnh hình thang biết A có tung độ dương HD: Giả sử AB = a ⇒ CD = 2a; BC = a Kẻ BE ⊥ CD ⇒ CE = ED = a; ⇒ BE = a = AD Gọi N là trung điểm AD ⇒ MN ⊥ AD Phương trình đường thẳng MN : x − y + = A B T ọa độ N là nghiệm hệ phương trình : 2 x + y + = x = −4 ⇔ ⇒ N ( −4; 2) x − y + = y = M N 3a NM = (6;3) ⇒ MN = = ⇒a=2 a C D A,D thuộc đường tròn (T) tâm N bán kính R = = E Giáo viên: Quách Đăng Thăng – THPT Phù Cừ ~4~ (5) Đề luyện thi ĐH&CĐ năm 2013 - 2014 (T ) : ( x + 4) + ( y − 2) = Tọa độ A,D là nghiệm hệ phương trình : 2x + y + = y = −2 x − x = −3; y = ⇔ ⇔ 2 x = −5; y = ( x + 4) + ( y − 2) = 5( x + 4) = Vì A có tung độ dương nên A(−5; 4); D(−3; 0) AB = NM = (4; 2) ⇒ B (−1;6) M là trung điểm BC nên C (5; 4) Vậy A(−5; 4); B(−1;6); C (5; 4) D (−3;0) 2 x = −2t Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng (d): y = t và mặt z = −1 − 2t phẳng (P): x + y − z + = Gọi (d’) là hình chiếu (d) lên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thu ộc (d’) cho H cách điểm K (1;1; ) kho ảng 53 HD: I = d ∩ (P) ⇒ Tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn : −2t + t + + 2t + = ⇔ t = −2 ⇒ I (4; −2;3) Đường thẳng d có VTCP ud = ( −2;1; −2) Mặt phẳng (P) có VTPT nP = (1;1; −1) (Q) là mặt phẳng a d và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT nQ = ud , nP = (1; −4; −3) Đường thẳng d’ là hình chiếu d lên (P) ⇒ d’ = (P) ∩ (Q) ⇒ d’ có VTCP ud ' = nP , nQ = ( −7; 2; −5) x = − 7m Đường thẳng d’ có phương trình : d ' : y = −2 + 2m ( m ∈ R ) z = − 5m H ∈ d’ ⇒ H có tọa độ : H (4 − 7m; −2 + 2m;3 − 5m) KH = 25 ⇔ (3 − m) + (2m − 3) + (5m + 1) = 53 m = ⇔ 78m − 44 m − 34 = ⇔ 39m − 22 m − 17 = ⇔ m = −17 / 39 Với m = Ta có điểm H ( −3; 0; −2) ) 275 112 202 Với m = –17/39 Ta có điểm H ;− ; 39 39 39 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z − i = z − − 3i HD: Đặt z = x + yi ( x; y ∈ R) z − i = z − − 3i ⇔ x + ( y − 1)i = ( x − 2) − ( y + 3)i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − 2) + ( y + 3) ⇔ x + y − y + = x + y − x + y + 13 ⇔ x − 2y −3 = Vậy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường thẳng ∆ : x − y − = Giáo viên: Quách Đăng Thăng – THPT Phù Cừ ~5~ (6)