Đang tải... (xem toàn văn)
Trớc khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em häc sinh kh¸ giái cña nhµ trêng trong viÖc khai th¸c c¸ch gi¶i vµ gi¶i mét số bài toán về dãy số tự nhiên [r]
(1)Kinh nghiÖm Khai th¸c bµi to¸n tÝnh tæng cña d·y sè tù nhiªn viÕt theo quy luËt I Đặt vấn đề Trong chơng trình toán THCS có số dạng toán hay mà ta hay gặp đó là tính tổng dãy số tự nhiên viết theo quy luật nào đó Để giải các bài toán dạng này thông thờng ta biến đổi để làm xuất các số hạng đối sau thu gọn ta đợc số ít số hạng mà ta dễ dàng tính đợc làm xuất các dẫy số mà ta dễ dàng tính đợc Nhng biến đổi nh nào để xuất các hạng tử đối các dãy số dễ dàng tính đợc lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải Đó chính là lí mà tôi viết chuyên đề này Trớc triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra hiểu biết các em häc sinh kh¸ giái cña nhµ trêng viÖc khai th¸c c¸ch gi¶i vµ gi¶i mét số bài toán dãy số tự nhiên viêt theo quy luật qua đề bài sau §Ò bµi: (Thêi gian lµm bµi 45phót) Bµi 1: TÝnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Bµi 2: TÝnh B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Bµi 3: TÝnh C = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 3.4.5 + … + 98.99.100 *Thèng kª kÕt qu¶: 5®- 6,5® 7® - 7,5 ® 8® - 10® Líp SL % SL % SL % 6A1 17 42.5 17 42.5 0 6A2 20 50 13 32.5 0 *) NhËn xÐt: Sau kiÓm tra c¸c líp 6A1, 6A2 cña trêng t«i thÊy häc sinh cßn tån t¹i nh sau: - Học sinh có nhiều em cha biết cách giải số bài toán đơn giản dãy sè d¹ng nh bµi kiÓm tra, lêi gi¶i cßn tr×nh bµy dµi dßng, r¾c rèi - Học sinh cha phát huy đợc t sáng tạo, khả học hỏi, tìm tòi kiÕn thøc míi II giảI vấn đề I) Bài toán mở đầu và số dãy số đơn giản : (2) 1) Bµi to¸n TÝnh : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Để tính A ta biến đổi A để xuất các hạng tử đối Muốn ta cÇn t¸ch mét thõa sè mçi h¹ng tö thµnh mét hiÖu : a = b - c Gi¶i: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100 (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 98.99.100 = 99.100.101 A = 33.100.101 = 333 300 2) Một số dãy số dễ dàng tính đợc + +3 + …+ n a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) k lµ h»ng sè II) Khai th¸c bµi to¸n Trong bµi to¸n C¸c thõa sè mçi h¹ng tö h¬n kÐm hay cách đơn vị Thay đổi khoảng cách các thừa số hạng tử ta cã bµi to¸n Bµi to¸n TÝnh : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Gi¶i 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 97.33.101 A = 161 651 Trong bµi to¸n ta nh©n A víi (a = 3) Trong bµi to¸n ta nh©n A với (a = 6) Ta có thể nhận thấy để làm xuất các hạng tử đối ta nh©n A víi lÇn kho¶ng c¸ch gi÷a thõa sè mçi h¹ng tö 3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k) Thay đổi số các thừa số tích ta có bài toán Bµi to¸n : 97) TÝnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Gi¶i : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101 A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách các thừa số hạng tử bài ta có bµi to¸n: Bµi to¸n : TÝnh : (3) A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Gi¶i : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 15 95.97.99.101 A = 11 517 600 Trong bµi ta nh©n A víi (bèn lÇn kho¶ng c¸ch) Trong bµi ta nh©n A víi n n(n k)(n 2k) (bốn lần khoảng cách) Nh để giải bài toán dạng n 1 ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n + 2k) Thay đổi lặp lại các thừa số bài toán ta có bài toán: Bµi to¸n : TÝnh A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Gi¶i A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) = 98.100.102 : + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 C¸ch kh¸c A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) = 171650 – 2500 = 169150 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè h¹ng mµ t¸ch mét thừa số tích làm xuất các dãy số mà ta đã biết cách tính dễ dàng tính đợc Làm tơng tự với các bài toán: Bµi to¸n : TÝnh A = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 1002 Gi¶i : A = + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = + 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( + + + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách các số bài ta có bài toán: Bµi to¸n 7: TÝnh Gi¶i : A = 12 + 32 + 52 + … + 992 (4) A= + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = + 2(3 + + + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) = + 4998 + 161651 = 166650 Trong bµi to¸n vµ cã thÓ sö dông : (n - a)(n + a) = n2 - a2 ⇒ n2 = (n - a)(n + a) + a2 a lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c c¬ sè Bµi to¸n TÝnh A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.99.100 Gi¶i : A = 1.3.( – 3) + 3.5.( – 3) + 5.7.( -3) + … + 99.101.( 103 – 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13517400 – 3.171650 = 13002450 Thay đổi số mũ bài toán ta có bài toán: Bµi to¸n : TÝnh Gi¶i A = 13 + 23 + 33 + … + 1003 Sö dông : (n - 1)n(n + 1) = n3 - n ⇒ n3 = n + (n - 1)n(n + 1) ⇒ A = + + 1.2.3 + + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + + + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101989800 = 101994850 Thay đổi khoảng cách các số bài toán ta có bài toán Bµi to¸n 10: TÝnh A = 13 + 33 + 53 + … + 993 Gi¶i : Sö dông (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n ⇒ n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n ⇒ A = + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + + + … + 99) = + 12487503 + 9996 = 12497500 Víi kho¶ng c¸ch lµ a ta t¸ch : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n ë bµi to¸n 8, ta cã thÓ lµm nh bµi to¸n 6, Thay đổi số mũ thừa số bài toán ta có: Bµi to¸n 11: TÝnh A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Gi¶i : A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25497450 – 333300 = 25164150 (5) Víi c¸ch khai th¸c nh trªn ta cã thÓ khai th¸c, ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n trªn thành nhiều bài toán hay mà quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có linh ho¹t, s¸ng t¹o Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng dãy b»ng sè h¹ng tæng qu¸t theo quy luËt cña d·y *VËn dông c¸ch gi¶i trªn h·y gi¶i c¸c bµi to¸n sau: TÝnh A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 TÝnh B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 97.101 TÝnh C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 TÝnh D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 TÝnh E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 TÝnh F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 III KÕt qu¶ thùc hiÖn: 1) KÕt qu¶ cô thÓ: Sau triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi nhà trờng tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra lĩnh hội các em đề tài này §Ò bµi: (Thêi gian lµm bµi 45phót) Bµi 1: TÝnh A = 12 + 42 + 72 + … +1002 Bµi 2: TÝnh B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 *Thèng kª kÕt qu¶: Líp 6A1 6A2 ® – 6,5 ® SL % 2.5 7® - 7,5 ® SL % 12 30 12 30 ® - 10® SL % 27 67.5 26 65 2) KÕt qu¶ chung: Sau triển khai đề tài với các lớp học khá, giỏi trờng tôi thấy so với trớc triển khai chuyên đề học sinh có số tiến sau: - Học sinh đã biết cách tính tổng các số viết theo quy luật cách nhanh h¬n - Học sinh giải có thể tự đề bài và nêu đợc hớng giải bài toàn dạng trên (6) - Häc sinh tiÕp tôc ph¸t triÓn t s¸ng t¹o, t¨ng cêng häc hái b¹n kh¸c, tù t×m tßi kiÕn thøc míi IV Bµi häc kinh nghiÖm: “Khai th¸c bµi to¸n tÝnh tæng cña dãy số tự nhiên viết theo quy luật” nhà trờng tôi đã rút số bài Sau triÓn khai kinh nghiÖm häc sau: §Ó d¹y häc sinh giái cã hiÖu qu¶ cÇn ph¶i d¹y c¸ch häc, c¸ch t×m tßi kiÕn thức và phát triển các kiến thức đã học vào chứng minh các tính chất hay công thức Toán học khác Từ đó có biện pháp vận dụng và khai thác các tính chÊt hay c«ng thøc vµo gi¶i c¸c bµi tËp cô thÓ CÇn t¨ng cêng gi¸o dôc häc sinh tinh thÇn tù häc, tù nghiªn cøu kiÕn thøc vì đây là đờng làm chủ và chiếm lĩnh tri thức cách hiệu V phạm vi áp dụng đề tài “Khai th¸c bµi to¸n tÝnh tæng cña d·y sè tù nhiªn viÕt theo quy luËt”¸p dông hiÖu qu¶ cao viÖc båi dìng häc sinh giái Kinh nghiÖm c¸c khèi líp 6,7 kÕt luËn vµ kiÕn nghÞ Nh đã trình bày đề tài này sau đợc áp dụng các buổi học bồi dỡng häc sinh giái hoÆc c¸c buæi ngo¹i kho¸ m«n To¸n líp t«i thÊy néi dung nªu cã t¸c dông thiÕt thùc: - Bæ sung thªm kiÕn thøc cho häc sinh vµ ph¸t triÓn t to¸n - Gợi mở cho học sinh hớng vận dụng số đẳng thức áp dụng vào giải to¸n mét c¸ch nhanh chãng Trên sở các kết đã đạt đợc tôi dự kiến hớng tiếp tục nghiên cứu đề tµi nh sau: - Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến dãy số viêt theo quy luật, yêu cầu hoc sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập - Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập đợc vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán Trªn ®©y lµ toµn bé néi dung kinh nghiÖm “Khai th¸c bµi to¸n tÝnh tổng dãy số tự nhiên viết theo quy luật ” Kính đề nghị Hội đồng khoa học các cấp xem xét đánh giá và rút kinh nghiệm cho tôi, tôi xin chân thµnh c¶m ¬n (7) (8)