Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm của DE quan hệ đờng kính và dây cung => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại[r]
(1)Ngày dạy 9…………… Buổi (Tiết 1+2+3) ÔN TẬP VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ MỤC TIÊU: a Kiến thức: HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình phương pháp b Kỹ năng: + HS có kỹ giải hệ phương trình phương pháp + rèn kĩ giải các hệ phương trình bậc hai ẩn các trường hợp đặc biệt (Hệ vô nghiệm hệ có vô số nghiệm) c Thái độ: Rèn tính cẩn thận, tư hợp lý, yêu thích môn học,… A LÍ THYẾT : Gi¶i hÖ b»ng ph¬ng ph¸p thÕ B1: Chọn PT hệ ; biểu thị ẩn này qua ẩn Rồi vào PT còn lại để đợc PT bËc nhÊt Èn B2: Giải PT ẩn vừa tìm đợc ; thay giá trị tìm đợc y (hoặc x) vào biểu thức tìm đợc bớc thứ để tìm giá trị ẩn Ví dụ 1: Giải các hệ phương tình sau phương pháp * Bằng phương pháp : ¿ x +4 y=2(1) x −3 y=− 11(2) ¿{ ¿ Từ (1) x = – 4y (3) Thế (3) vào (2) : 4(2 – 4y) – 3y = –11 – 16y – 3y = –11 – 19y = –11 y =1 Thế y vào (3) : x = – 4.1 = –2 x y 1 * Vậy : Hệ phương trình có nghiệm là 2 x y 3 Ví dụ 2:Giải HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU phương pháp x y 4 (2) 2 x y 3 x y 4 y 2 x x 2(2 x 3) 4 y 2 x x x 4 y 2 x 5 x 10 x 2 y 1 Giải phương pháp Vậy : Hệ đã cho có nghiệm là : (x ;y) = (2 ;1) Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau phương pháp x y 2 x y 2 a, 2 x y 1 b, 3x y 11 x y 2 x 2 y x y 2(2 y ) y Đáp án: a, x y 3 1 x y 7 c, x 2 y x 1 y y 1 Vậy nghiệm HPT là (x;y)=(1;1) x y 2 b, 3x y 11 x 2 y 3(2 y ) y 11 x 2 y 5 y 11 x 3 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y) (3;1) c, Híng dÉn PT(1) y= -x (1') Thế vào PT (2) ta đợc : 2x + 3( -x ) = 2x +9 - 3x = -x = 7-9 =-2 x= Thay x = vµo (1') y= -2 = VËy hÖ PT cã nghiÖm nhÊt ( x;y)= (2 ; 1) Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau phương pháp x 11y 10x 11y 31 x 6y 0,5x 3y 4 b) đáp án a) Giải đúng hệ nghiệm (2;1) b) 3 5x 24 7y 2 5x 28y 3 x 8 b) Giải đúng hệ vô số nghiệm, nghiệm tổng quát: (x; ) với x R c) Giải đúng hệ vô nghiệm ( vì pt 0x+0y = vô nghiệm ) B BÀI TẬP Bµi 1: Gi¶i hÖ pt b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: (3) a) ¿ x − y=5 x +2 y=28 ⇔ ¿ y=3 x −5 x+2(3 x −5)=28 ⇔ ¿ y=3 x −5 x+ x −10=28 ⇔ ¿ y=3 x −5 11 x=38 ⇔ 38 ¿ x= 11 59 y= 11 ¿{ ¿ 38 59 ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 11 11 ¿ x +5 y=1 x − y=− ⇔ ¿ y=2 x+8 x+5 (2 x +8)=1 ⇔ b) ¿ y=2 x+8 13 x=−39 ⇔ ¿ x=−3 y=2 ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y) ( 3; 2) (4) c) ¿ x y = x +8 = y+ 4 ⇔ 2y ¿ x= x +32=9 y+ 36 ⇔ 2y ¿ x= 2y − y=4 ⇔ 2y ¿ x= 12 y=− 19 ⇔ −8 ¿ x= 19 −12 y= 19 ¿{ ¿ (TM§K y≠-4) 8 2 ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 19 19 ¿ y x+ y ¿ ¿ − =0,1 y −2(x + y )=1 −2 x+ y=1 d) y − x − y =0,1 ⇔ y −5 ( x − y)=1 ⇔ −5 x+ y=1 ⇔ … ⇔ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) (4;3) ¿ ¿ ¿ x=2 − √ y x=2− √5 y √ x + √ y=2 e) x +√ y=2 ⇔ √ 2(2− √5 y )+ √ y =2 ⇔ √2 − y √ 10+ y √ 5=2 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x=4 y=3 ¿{ ¿ (5) ⇔ ¿ x=2− √ y y ( √ − √ 10)=2− √ ⇔ ¿ x=2 − √ y 2(1 − √ 2) y= ⇔ √ 5(1 − √ 2) ⇔ ¿ x=2 − √ y y= √ ¿{ ¿ ¿ x=0 √5 y= ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; ) ¿ x+ by=7 Bài 2: Xác định các giá trị a và b để hệ pt ax+ by=5 ¿{ ¿ A, cã nghiÖm (-1;3) b, Cã nghiÖm ( √ 2; √ ¿ HD gi¶i: a) hệ phương trình cã nghiÖm (-1;3) ta thay x = -1; y = vµo hÖ pt ta cã ¿ (−1)+b 3=7 a (−1)+b 3=5 ⇔ 10 ¿ b= 10 − a+3 =5 ⇔ ¿ b=3 a=5 ¿{ ¿ b) hệ phương trỡnh có nghiệm ( √ 2; √ ¿ ta thay x = √ , y = √ vào hệ pt ta đợc (6) ¿ √ 2+ b √3=7 a √ 2+ b √3=5 ⇔ ¿ b √ 3=7 − √2 a √ 2+7 −3 √ 2=5 ⇔ − √2 ¿ b= √3 2− a= √ √2 ⇔ √3 −3 √ ¿ b= a=3 − √ ¿{ ¿ Bµi 3: Gi¶i các hệ phương trình sau a) ¿ 1 + = x y 10 3 + = x y 12 ⇔ 1 ¿ + = x y 10 3 + = x y ¿{ ¿ hÖ cã d¹ng (§K: x ≠ 0, y ≠ 0) ¿ a+ b= 10 a+3 b= ⇔ ¿ b= − a 10 3 a+3( − a)= 10 ⇔ ¿{ ¿ §Æt =a ; =b ¿ a= 30 b= − a 10 ⇔ ¿ a= 36 b= 12 ¿{ ¿ x y ⇒ (7) ¿ 1 = x 36 1 = y 12 ⇔ ¿ x=36 y=12 ( TM) ¿{ ¿ b) §Æt vËy hệ phương trình cã nghiÖm (x;y)=(36;12) ¿ 15 + =1 x − y +2 1 + = x −1 y +2 12 ¿{ ¿ =u ; x −1 ⇔ u= − v 12 7v= ⇔ ¿ v= 21 u= 28 ¿{ ⇒ (§K: x ≠ 1, y ≠ -2) =v y +2 ¿ 1 = x −1 28 1 = y+ 21 ⇔ ¿ x −1=28 y +2=21 ⇔ ¿ x=29 y=19 ¿{ ¿ ⇒ hÖ cã d¹ng ¿ u+15 v=1 u+ v= 12 ⇔ ¿u= − v 12 8( − v)+v=1 12 ¿{ ¿ (TM§K) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) (28;19) Bµi 4: Cho hÖ pt ¿ mx+2 y=1 mx+ my=m −1 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ pt khi: m = ; m = ; m = (8) HD gi¶i: a) Khi m = ta cã hÖ pt Khi m = ta cã hÖ pt ¿ x +2 y=1 x +2 y=1 ¿{ ¿ C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t lµ Bµi 5: gi¶i hÖ pt a) ¿ x+ y =1 x+3 y =2 gải hệ pt đợc nghiệm là (x;y) = (¿{ ¿ hÖ cã v« sè nghiÖm ¿ x∈R 1− x y= ¿{ ¿ ¿ x + y =7 2 x − y =21 ⇔ ¿ x+ y=7 ( x+ y)( x − y )=21 ⇔ ¿ x+ y=7 x − y=3 ⇔ ¿ x =5 y=2 ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) (5; 2) ¿ mx − y =1 b)Cho hệ pt x − y =334 tìm giá trị m để hệ pt vô nghiệm ¿{ ¿ ⇔ y=mx− x − y =2004 ⇔ ¿ y =mx −1 Gi¶i: x −2( mx −1)=2004 (*) ⇔ ¿ y =mx −1 (3 − 2m)x=2002 ¿{ HÖ pt v« nghiÖm pt (*) v« nghiÖm ⇔ 3-2m = ⇔ m = ; 1) (9) c)Cho hÖ pt ¿ nx + y=m x+ y=1 ¿{ ¿ Tìm m để hệ pt có nghiệm với giá trị n Từ pt (2) ta có y = 1-x vào pt (1) ta đợc nx + – x = m⇔ (n – 1)x = m – 1(*) m−1 n −1 + NÕu n ≠ 1⇒ x = ⇒ y = 1- m−1 n −m = n −1 n −1 ⇒ hÖ cã nghiÖm nhÊt (x;y) = … + NÕu n = th× pt (*) chØ cã nghiÖm vµ chØ m – = ⇔ m = VËy hÖ pt cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña n vµ chØ m = Bµi 6: Cho hÖ pt (I) ¿ x+ ay=1 a x + y =2 ¿{ ¿ a, Gi¶i hÖ pt a = b, Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ pt cã nghiÖm nhÊt HD gi¶i: Khi a = hÖ pt cã nghiÖm (x;y) = (1;0) (I )⇔ x=1 −ay a(1− ay )+ y=2 ⇔ ¿ x =1− ay (1− a2 ) y =2− a(∗) ¿{ HÖ cã nghiÖm nhÊt vµ chØ pt (*) cã nghiÖm nhÊt ⇔ – a2 ≠ 0⇔ a ≠ ± LUYỆN TẬP Bµi 1: Cho hÖ pt ¿ x − y=− m x − m2 y=− √3 ¿{ ¿ a,Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ pt VN b,Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ pt cã VSN? ViÕt d¹ng tæng qu¸t cña hÖ pt c, Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ pt cã nghiÖm nhÊt ¿ x − y=−3 m HD giải: Hệ pt x − m2 y=− √ trừ vế pt ta đợc m2y – 3y = ¿{ ¿ (m - √ 3¿ (m+ √ 3) y=3 (√ − m) (1) ¿ (m− √ 3)(m+ √3)=0 a) HÖ pt VN pt (1) VN m = - √3 √ −m ≠ ¿{ ¿ √ -3m (10) Khi đó ta có hệ pt ¿ x − y=√ x − y =−3 √ ⇔ ¿3 x − y= √ 3 x − y =− √ ¿{ ¿ hÖ pt VN ¿ m −3=0 √ 3− m=0 ⇔ ¿ m=± √ m=√ ⇔ m=√ ¿{ ¿ HÖ pt cã VSN pt (1) cã VSN Khi đó ta có hệ pt ¿ x − y =− √ x − y =−3 √ ⇔ ¿ x − y=− √ 3 x − y =− √ ¿{ ¿ HÖ pt cã VSN C«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña hÖ pt lµ HÖ cã nghiÖm nhÊt m √ Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ pt sau a) ¿ x −2 y=6 x − y=−1 ¿{ ¿ b) ¿ x∈R y=3 x + √ ¿{ ¿ ¿ x+ y =1 x + y =−3 ¿{ ¿ HD giải: a, Giải hệ pt phơng pháp Ta đợc hệ phơng trình vô nghiệm b) Từ (2)=> y=-3-2x vào (1) ta tìm đợc x=-2 y = Vậy hệ pt có nghiệm (x;y) = (2;1) ¿ (m− 2n) x+ ny=4 m −2 n+1 Bµi 3: Cho hÖ pt (m +1) x+(m +n) y=m+n −2 ¿{ ¿ a,Gi¶i hÖ pt m = 3, n = -2 b,Tìm m và n để hệ pt có nghiệm (2;-1) c, Cho m = xác định n để hệ pt VN đáp án : a,Khi m = 3, n =-2 hÖ pt cã d¹ng ¿ x − y=17 x + y =−1 ¿{ ¿ giải hệ pt đợc (x;y) = (1;-5) (11) b,Hệ pt có nghiệm (2;-1) x = 2, y = -1 thay vào hệ pt ta đợc Víi m = hÖ cã d¹ng ¿ −2 nx +ny=1 −2 n x+ ny=n −2 ¿{ ¿ trừ vế pt ta đợc (1+2n)x = 3n – (*) + NÕu + 2n = hay n = - ta cã hÖ pt ¿ m+3 n=−1 − n=− ⇔ ¿ n=2 m=− ¿{ ¿ ¿ x − y =2 x − y =− 2 ¿{ ¿ hÖ VN + NÕu + 2n pt (*) cã nghiÖm hÖ cã nghiÖm VËy víi n =hÖ pt VN C- Híng dÉn häc ë nhµ : +Xem l¹i ph¬ng ph¸p gi¶i hÖ pt b»ng ph¬ng ph¸p thÕ +- Nắm vững hai bước giải hệ phương trình phương pháp - Xem kĩ các bài tập đã giải lớp - Trình bày lời giải đầy đủ cỏc Bài tập đã hớng dẫn +ôn kĩ các kiến thức chưong ……………………………………………………………………………………………… … Ngày dạy 9…………… Buổi (Tiết 4+5+6) ÔN TẬP VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ Mục tiêu a Kiến thức : - Giúp học sinh hiểu nắm vững qui tắc cộng đại số - Học sinh cần nắm vững cách giải hệ phương trình bậc ẩn phương pháp cộng đại số – truờng hợp 1: các hệ số cùng ẩn nào đó hai phương trình đối b Kĩ - Bước đầu vận dụng phương pháp cộng đại số vào giải số hệ phương trình bậc hai ẩn c Thái độ: Cẩn thận tính toán và biến đổi A LÍ THYẾT Giải hệ phơng pháp cộng đại số B1: Nh©n c¸c vÕ cña PT víi sè thÝch hîp (nÕu cÇn ) cho c¸c hÖ sè cña x( hoÆc y) Trong PT hệ là đối (12) B2: Sử dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ PT ; đó có PT mà hệ số hai Èn b»ng B3: Giải hệ PT vừa tìm đợc * Trường hợp 1: các hệ số cùng ẩn nào đó hai phương trình đối Ví dụ 1: Giải các hệ phương tình sau phương pháp cộng đại số a, (I) 2 x y 7 3x y 9 ¿ x − y =1 x + y=2 ¿{ ¿ x y 2 b, (II) x y 1 x y 3 c, (III) : x y 6 d) (IV) Gợi ý các hệ số cùng ẩn y hệ (I) là đối 2 x y 1 x y a, 3 x 3 x y 1 x 1 y 1 x 1 y 0 Vậy nghiệm HPT là (x;y)=(1;0) Gợi ý các hệ số cùng ẩn x hệ (II) là y x y 2 3 y x y 1 x y 1 x b, ( x; y ) ( ; ) 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Gợi ý các hệ số cùng ẩn y hệ (III) là đối c, ¿ x −3 y=3 x +3 y=6 ⇔ ¿ x=9 x +3 y=6 ⇔ ¿ x=3 y=1 ¿{ ¿ Vậy nghiệm HPT là (x;y)=(3;1) Gợi ý các hệ số cùng ẩn y hệ (IV) là x y 7 x y 7 d) 3x y 9 3 x y x y 9 <=> ¿ x=2 y=7 − 2 ¿{ ¿ ⇔ x =2 y=3 ¿{ HÖ cã nghiÖm nhÊt (2;3) b) Trường hợp 2: Hệ số ẩn nào đó phương trình không và không đối (13) 3x 2y 7 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số 2x 3y 3 (2) ¿ ¿ ¿ y=− x+ y =14 − y=5 3x 2y 7 ⇔ x +9 y=9 ⇔ x +3 y=3 ⇔ x +3(−1)=3 2x 3y 3 Hướng dẫn ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ y=− y=− x=6 ⇔ x =3 ¿{ ¿{ ¿ ¿ x 3 Vậy hệ (IV) có nghiệm là y Ví dụ Giải hệ phương trình a) ¿ x +2 y=1 x + y=3 ¿{ ¿ GIẢI a, ¿ x+ y =3 b) x +3 y=7 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=1 x + y=3 ¿{ ¿ 2 x y 2 0 x y 1 2 x y 3 x y 1 ta thÊy pt: 0x+0y=1 v« ghiÖm nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm ( hoÆc : NhËn thÊy: nªn ph¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm.) x y 3 1 x y 7 b, Giải hệ phương trình Nhân vế PT(1) với ta đợc hệ tơng đơng với hệ đã cho : ¿ x +2 y=6 x +3 y=7 ¿{ ¿ ¿ y=1 x+ y=3 ¿{ ¿ ¿ y=1 x=2 ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) (2;1) B BÀI TẬP Bài Giải các hệ phương trình sau x y 7 a, (I) x 10 y 2 x y 1 b, (II) 3x y 12 x y 6 c) (III) 3 y x 10 hướng dẫn các hệ số cùng ẩn x(hoặc cùng ẩn y) hệ (I) +(II) là không và không đối 2 x y 7 GIẢI a) x 10 y 2 x y 7 2 x 20 y 16 2 x y 7 23 y 23 2 x 3.1 7 y 1 x 2 y 1 ⇔ (14) HÖ cã nghiÖm nhÊt (2;1) 2 x y 1 b) 3x y 12 4 x y 2 3 x y 12 4 x y x y 2 12 3 x y 12 7 x 14 x 2 x 2 3 x y 12 3.2 y 12 y HÖ cã nghiÖm nhÊt (2;-3) x y 6 3 y x 10 (1) (2) c) Giải hệ phương trình: Cộng (1) và (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16 8x = 16 x = 2 2; Thay x = vào (1): – 3y = y = Vậy nghiệm hệ là (x;y)= ( 2) x y 4 x y 16 x y 24 Bài Giải các hệ phương trình sau a) b) x y 8 x y 16 GIẢI a) 4 x y 24 10 y 40 y 4 x x y 24 4 x 24 12 y 4 3; VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt (x; y) = b) ( 2) x y 4 x y 8 5 (2 4) x y 8 x 0 x 0 2 y 8 y 4 x y 8 0; VËy hÖ pt cã nghiÖm nhÊt (x; y) = Bài Giải các hệ phương trình 3x y 3 a/ 2x y 7 x 2y 5 b/ 3x 4y 5 6 x y x 10 x y x y 1 c/ GIẢI a) 6 x y x 10 5 x y x y 1 12 x y x 16 10 20 x y 21x y 1 8 y 1 y 22 y 2 x y x y 8 x y x y 1 9 x 11 y 11 1 ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)= 11 11 5 (15) b) ¿ x + y=3 x − y =7 <=> ¿ x=10 x + y=3 <=> ¿ x=2 2+ y =3 <=> ¿ x=2 y=− ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(2;-3) x 2y 5 3x 4y 2/ 2x 4y 10 3x 4y 5 x x 2y 5 x y 5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(-5;5) mx y 5 2x y Bài 4: (1 điểm ) Cho hệ phương trình : (I Xác định giá trị m để nghiệm (x 0;y0) hệ phương trình (I) thỏa điều kiện : x +y0 = GIẢI Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm (x0;y0) và thỏa x0 + y0 = mx0 y0 5 mx + 2x = x0 y0 2 x0 y0 Ta có : Hệ đã cho có nghiệm m ≠ -2 Theo điều kiện bài ta có: Vậy: m 11 thì x0 + y0 =1 Bài 5: Cho hệ phương trình x = m+2 2 x0 y0 x0 y0 1 x = m + y 10 2m 2m 10 + 2m 1 m 11 2+m 2+m (TMĐK) {mxx +3−2 y=− y=5 Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nhất? a b m 3 m GIẢI: Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi: a ' b ' tức là m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm Vậy với x 2y 3 m Bài Cho hệ phương trình: 2x y 3(m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (16) x 2y 3 m GIẢI: Cho hệ phương trình: 2x y 3(m 2) Giải hệ pt đã cho ta : Có : x2 + y2 = m2 + 6m + + m2 = 2m2 + 6m + 9 = 2(m2 + 3m + ) + 9 = 2(m + )2 + Vậy : x2 + y2 nhỏ Bµi 7: Gi¶i các hÖ pt a) ¿ √ x −1 − √ y +1=5 √ x −1 −2 √ y+ 1=4 ¿{ ¿ ⇔ m=- ¿ 0,5 x − ,75 y=− 1,5 − x +15 y=3 ¿{ ¿ b) ¿ + =−1 x −1 y +1 − =5 x − y+ ¿{ ¿ HD gi¶i: ¿ x − y=−6 −2 x+ 30 y =6 ⇔ ¿ 27 y=0 a) HÖ pt x − y=−6 Vậy nghiệm hệ là ( x; y) ( 3;0) ⇔ ¿ y=0 x=− ¿{ ¿ 1 b) ĐK: x 1, y - đặt x −1 = a, y +1 = b ¿ a+4 b=− Hệ pt có dạng a −8 b=5 giải hệ pt ta đợc a = , b = - 12 ¿{ ¿ c) {x =m+ y=m (17) ¿ 1 = x −1 =− y +1 12 (TM§K) vËy nghiÖm cña hÖ pt lµ (x;y) = (4;- 17 ) ⇔ 12 ¿ x=4 −17 y= 12 ¿{ ¿ c) §K: x 1, y -1; §Æt √ x −1 = a 0, √ y+ = b ¿ a − b=5 hÖ pt cã d¹ng giải hệ pt đợc a = 2, b = (TM) a −2 b=4 ¿{ ¿ ¿ √ x −1=2 √ y +1=3 ⇔ (TM §K) vËy nghiÖm cña hÖ pt lµ (x;y) = (5;8) ¿ x=5 y=8 ¿{ ¿ LUYỆN TẬP ¿ x − √ y=0 Bµi 1: a; Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : √ x +2 y=1+ √ ¿{ ¿ ¿ x − y=0 √ HD: Nhân vế PT (1) với √ ta có hệ tơng đơng với hệ đã cho : √ x +2 y=1+ √ ¿{ ¿ 3+ √ Dùng phơng pháp cộng đại số giải ta có nghiệm hệ là :x = ; y = 1+ √ 5 ¿ (x −7) −6 (x − y+ 1)=0 b; Gi¶i hÖ pt: ( x − 1)+2( x −2 y +7)=0 ¿{ ¿ nhân khai triển thu gọn ta đợc hệ PT đơn giản giải đợc nghiệm hệ là:x =2; y=5,5 (18) c; Giải hệ PT sau cách đặt ẩn phụ : =b ¿ − =1 x +2 y x − y 20 + =1 x+ y x −2 y ¿{ ¿ HD: §Æt 1/x+2y = a ; 1/x-2y ¿ a −b=1 Hệ trở thành : 20 a+3 b=1 Giải hệ pp pp cộng đại số ta có a= 1/8; ¿{ ¿ ¿ 1/ x +2 y=1/8 1/ x −2 y=− 1/2 ⇔ ¿ x+2 y=8 b = -1/2 Suy : x −2 y=− ⇔ ¿ x=3 y=2,5 ¿{ ¿ Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)=(3;2,5) ¿ mx+2 y=1 Bµi 2: Cho hÖ PT : mx+ my=m −1 ¿{ ¿ a; T×m m biÕt nghiÖm cña hÖ lµ x= -1/3 ; y =1 ? b; Gi¶i hÖ víi m =0 ? c; Tìm m để hệ đã cho vô số nghiệm ? Gi¶i: a; V× nghiÖm cña hÖ lµ x= -1/3 ; y =1 Nªn Ta thay vµo hÖ ta cã ¿ (−1/3).m+2 1=1 (−1/3) m+ m.1=m− ⇔ ¿ m=3 m=3 ⇔m=3 ¿{ ¿ VËy víi m= th× hÖ trªn cã nghiÖm lµ x= -1/3 ; y =1 ¿ x +2 y=1 x+ y=0 −1 ⇔ b; Thay m = vào hệ PT ta đợc : ¿ y=1 0=− ¿{ ¿ HÖ PT v« nghiÖm (19) a b c m c; §Ó hÖ cã v« sè nghiÖm th× ta ph¶i cã : a ' b ' c ' Tøc lµ m m m m =2 ¿ (2 m −n) x+(n − m) y =5(2 m+ n) −3 Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn x vµ y : (4 m+11 n) x −(m −n − 9) y=n+ 13 m−5 ¿{ ¿ a; Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m=-5vµ n =3 b;T×m m vµ n hÖ ptr×nh cã nghiÖm (5;-1) Gi¶i : ¿ −13 x+ y=−8 a; Thay m = -5 ; n = vào hệ PT và khai triễn thu gọn ta đợc hệ PT : 13 x+17 y =−67 ¿{ ¿ Bằng phơng pháp cộng đại số giải ta đợc nghiệm hệ là: x = -16/13 ; y = -3 b;Nếu Hệ có nghiệm (5;-1) thì thay vào hệ ta đợc hệ với m ¿ (2m −n) 5+(n −m)(−1)=5(2 m+3 n)− (4 m+11 n).5 −(m −n − 9).(−1)=n+ 13 m−5 ¿{ ¿ ¿ m− 19 n=−3 m+55 n=4 ¿{ ¿ giải hệ này ta đợc nghiệm là : m= -80/207; n = 28/207 Bài 4:a; tìm a và b Để đờng thẳng y = ax + b qua hai điểm A(- ; ), B ( ;−1 ¿ ; b; tìm a và b Để đờng thẳng ã + b qua hai điểm M(9 ;-6) và qua giano điểm hai đờng thẳng(d1) : 2x +5y = 17, 9d2) : 4x - 10y = 14 Giải :a;Vì đờng thẳng y = ax + b qua hai điểm A(-5;3), B ( ; −1 ¿ nên ta có hệ: ¿ 3=−5 a+ b −1= a+b ¿{ ¿ Giải ta đợc : a=- ; b = 13 13 ¿ x+5 y=17 b; Hớng dẫn : Trớc hết ta giải hệ x −10 y=14 tìm đợc giao điiểm của(d1) và (d2) là A(6;1) ¿{ ¿ Muốn cho đờng thẳng ax-8y=b qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm hệ phơng ¿ a+ 48=b tr×nh a −8=b ¿{ ¿ §¸p sè: a=- 56 , b=−120 10 x y 1 Bµi 5: Giải các hệ phương trình sau: a) 15 x 21y 36 ; x y 3 b) 2 x y 16 (20) 10 x y 1 30 x 27 y 3 69 y 69 a) 15 x 21y 36 30 x 42 y 72 10 x y 1 x y x y 3 x y x 5 y y 16 x y 16 y 10 y 2 b) y 1 9.1 x 10 y 1 x 1 nx y 4 Bµi 2: Cho hệ phương trình: x y 1 a) Với giá trị nào n thì hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; -1 ) b) Với giá trị nào n thì hệ phương trình có nghiệm? c, Với giá trị nào n thì Hệ phương trình vô nghiệm ? nx y 7(1) GI¶I Cho hệ phương trình: x y 1(2) a) Thay x = 2; y = -1 vào phương trình (1) Ta được: 2n – (-1) = 2n = n = và x = 2, y = -1 thoả mãn phương trình (2) a b n 1 1 n - b) Hệ phương trình có nghiệm a ' b ' a b c n 1 c, Hệ phương trình vô nghiệm a ' b ' c ' 1 n = -1 Bài Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2; -2) và B(-1; 3) Do đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2; -2) và B(-1;3) nên ta có HPT a 2a b 3a a b 3 b a b ; b 3 thì đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2; -2) và B(-1;3) VËy ¿ m x + y=7 Bài Cho hÖ ph¬ng tr×nh (II) x + y =9 ¿{ ¿ ¿ ¿ ⇔ x+ y =7 x=2 x =2 a) víi m = ta cã hÖ ph¬ng tr×nh x+ y =9 y=7 − 2 y=3 ⇔ ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ a b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ (I) v« nghiÖm? Trừ hai vế hai phơng trình hệ (II) ta đợc P.TR: (3- m).x = (*) P.TR (*) v« nghiÖm m -3 = => m =3 VËy hÖ ph¬ng tr×nh (II) v« nghiÖm m = (21) ¿ y=− mx+ 7(d ) ( HS có thể dựa vào phơng pháp hình học để tìm m: ( II) <=> y=− x +9 (d ' ) ¿{ ¿ đờng thẳng (d) / / đờng thẳng (d’) m =3) C- HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ - Học và nắm các bước giải hệ phương pháp cộng đại số - xem kĩ lại Cách giải hệ phương trình bậc ẩn phương pháp cộng đại số – truờng hợp 1: các hệ số cùng ẩn nào đó hai phương trình đối Trường hợp 2: Hệ số ẩn nào đó phương trình không và không đối -lµm c¸c bµi tËp sau ¿ ax −(b+1) y=93 Bµi 1: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : bx+ ay=− ¿{ ¿ a; Gi¶i hÖ víi a =4; b =-5 b; Tìm giá trị a và b để hệ có nghiệm (1;-5) c; Tìm a và b để hệ có vô số nghiệm Bài Giải các hệ phương trình x y 2 2 x y 9 y=16 {44xx+−37y=− 24 b) c, x y x y 0,3 0, x 2y x 2y m 1 x my 3m 2x y m Bài Cho hệ phương trình a) Với giá trị nào m thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1) b) Với giá trị nào m thì hệ phương trình có vô số nghiệm ? c) Với giá trị nào m thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) mà S = x + y2 đạt giá trị nhỏ nhất? Ngày dạy 9…………… Buổi (Tiết 7+8+9) ÔN TẬP VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/Phöông phaùp chung : Bước 1: Lập hệ phương trình Choïn aån vaø daët ñieàu kieän cho aån Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết Bước 2: Giải pt hệ phương trình (22) Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của pt hệ có thoả mãn ĐK ẩn hay không roài keát luaän 1/ Toán chuyển động : VD1: Tìm vận tốc và chiều dài đoàn tàu hoả biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng giây Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối cùng rời khỏi saân ga laø 25 giaây Giải: Gọi x (m/s)là vận tốc đoàn tàu vào sân ga (x>0) Gọi y (m) là chiều dài đoàn tàu (y>0) Tàu chạy ngang văn phòng ga giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây.Ta có phương trình : y=7x (1) Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối cùng rời khỏi sân ga 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giaây Ta coù phöông trình : y+378=25x (2) y 7 x Ta hệ phương trình : y+378=25x Giải ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc đoàn tàu là 21m/s ; Chiều dài đoàn tàu là : 147m VD2: Một thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tóc dòng nước ? Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0) Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phöông trình : x y x y Vì thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (= h) nên ta 40 40 coù phöông trình : x y x y x y x y 40 40 Ta coù heä phöông trình : x y x y Giaûi ta coù : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước là km/h VD3: Trên đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy điểm cố định A Hai đim chuyển động M , N chạy trên đường tròn , cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi Nếu chúng di (23) chuyeån traùi chieàu thì chuùng gaëp sau moãi 15 giaây Neáu chuùng di chuyeån cuøng chiều thì điểm M vượt N đúng vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc điểm M, N? Giaûi: Goïi x(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm M Goïi y(m/s) laø vaän toác cuûa ñieåm N (x>y>0) Khi chuùng di chuyeån traùi chieàu , chuùng gaëp sau moãi 15 giaây neân ta coù phöông trình : 15x+15y=1,2 (1) Khi M,N di chuyển cùng chiều thì điểm M vượt N đúng vòng sau 60 giây nên ta coù phöông trình : 60x-60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta coù heä phöông trình : 60x+60y=1 Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT) Vaäy vaän toác ñieåm M laø : 0,05m/s vaø vaän toác ñieåm N laø : 0,03m/s BTVN: Một môtô và ôtô cùng từ M đến K với vận tốc khác Vận tốc môtô là 62 km/h còn vận tốc ôtô là 55 km/h Để xe đến đích cùng lúc người ta đã cho ôtô chạy trước thời gian Nhưng vì lí đặc biệt nên chạy 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h Vì còn cách K 124km thì môtô đuổi kịp ôtô Tính khoảng cách từ M đến N HD: Gọi khoảng cách MK là x km Gọi thời gian dự định ôtô trước môtô là y (giờ) y 1 94 ( h) 1705 x x 62 y 55 x 2 x 124 x 124 y 27,5 62 Giaûi heä naøy ta ruùt : x= 514km ; Ta coù : 65 2/ Bài toán có nội dung vật l1 , hoá học : VD7: dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại và loại để 100lít dung dịch 50% axit nitơric? Giải: Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại và (x,y>0) 30 55 x y Lượng axit nitơric chứa dung dịch loại là 100 và loại là 100 x y 100 30 55 100 x 100 y 50 Ta coù heä phöông trình : Giải hệ này ta : x=20 ;y=80 GHI NHỚ : Khi chọn các ẩn cần xác định điều kiện các ẩn (24) + Mỗi phương trình hệ lập nhờ xác định đẳng thức biểu diễn cho cùng đại lượng cách + Nếu công việc làm xong x thì làm 1/x công việc LUYỆN TẬP Bài 1: Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định khoảng thời gian đã định NÕu vËn tèc « t« gi¶m 10 km/h th× thêi gian t¨ng 45phót NÕu vËn tèc t¨ng 10 km/h th× thêi gian giảm 30 phút Tính vận tốc và thời gian dự định ô tô §æi 45 phót = giê, 30 phót = giê ĐÁP ÁN Gọi x (km/h) vận tốc dự định ôtô từ A đến B Gọi y (h) thời gian dự định ôtô từ A đến B ,, ĐK: x > 10 và y > Vậy quãng đờng AB là x.y (km) NÕu «t« gi¶m vËn tèc 10 km/h th× thêi gian t¨ng 45 phót = h, vËy ta cã ph¬ng tr×nh: ( x 10)( y ) xy x 40 y 30 (1) NÕu «t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× thêi gian gi¶m 30 phót = h, vËy ta cã ph¬ng tr×nh: ( x 10)( y ) xy x 20 y 10 (2) 3 x 40 y 30 x 50 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: x 20 y 10 y 3 (tho¶ m·n) Vậy vận tốc dự định ôtô là 50 km/h và thời gian dự địnhđi ôtô là BÀI G¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè Hai địa điểm A và B cách 40 km Một xe máy từ A và xe đạp từ B Khi hai xe cïng xuÊt ph¸t ngîc chiÒu th× sau 50 phót chóng gÆp Cßn hai xe cùng chiều theo hớng từ A đến B thì sau chúng gặp Tính vận tốc xe §¸p ¸n * Gäi vËn tèc cña ngêi ®i xe m¸y lµ x ( km/ h) x>0 Vận tốc ngời xe đạp là y ( km/ h) y > , §æi 50 phót = (h) * Khi ngợc chiều ,Xe máy (h) đợc x (km) 6 Xe đạp (h) đợc y (km) 6 x + y = 40 (1 ) 6 * Lập đợc phơng trình : * Khi cùng chiều hớng từ A đến B chúng gặp xe máy nhanh xe đạp đúng quãng đờng AB nên ta có phơng trình: 2x - 2y = 40 (2) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: (I) ¿ 5 x + y=40 6 x −2 y=40 ¿{ ¿ * Giải hệ (I) ta đợc x = 34 ; y= 14 (25) VẬY vận tốc ngời xe máy là 34 km/ h) ; Vận tốc ngời xe đạp là 14km/ h) BÀI : Một thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km.Tính vận tóc dòng nước ? Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0) Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phöông trình : x y x y Vì thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (= h) nên ta 40 40 coù phöông trình : x y x y x y x y 40 40 Ta coù heä phöông trình : x y x y Giaûi ta coù : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước là km/h BÀI Hai người cùng làm chung công việc thì sau 30 phút họ làm xong Nếu mình người thứ làm giờ, sau đó mình người thứ hai làm thì hai người làm 75% công việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong công việc? (Biết suất làm việc người là không thay đổi) ĐÁP ÁN Gọi thời gian người thứ làm mình xong công việc là x (h) Gọi thời gian người thứ hai làm mình xong công việc là y (h) 9 ( Đk: x > , y > ) 1 Trong gìờ người thứ làm x (công việc); người thứ hai làm y (công 1 2 việc) ; hai người làm (công việc) nên ta có phương trình x y (1) Vì mình người thứ làm giờ,sau đó mình người thứ hai làm 3 thì hai người làm 75% công việc nên x y (2) 1 1 x y 9 x 12 x 12 1 3 y 36 y 36 Từ (1) và (2) ta có hpt: x y (thoả mãn điều kiện ) (26) Vậy người thứ mình làm xong công việc 12 Người thứ hai mình làm xong công việc 7giờ 12 phút BÀI ) Trên quãng đường AB dài 156 km, người xe máy từ A và người xe đạp từ B hai xe xuất phát cùng lúc và sau thì gặp Biết vận tốc xe máy lớn vận tốc xe đạp là 28 km/h Tính vận tốc xe Đáp án Gọi x (km/h) là vận tốc người xe máy (ĐK x > 28) y (km/h) là vận tốc người xe đạp (ĐK y > 0) Vận tốc xe máy lớn vận tốc xe đạp là 28 km/h Ta có phương trình : x – y = 28 (1) Quãng đường người xe máy là 3x (km) Quảng đường người xe đạp là 3y (km) Do hai xe ngược chiều và gặp sau nên ta có phương trình: 3x+ 3y = 156 (2) x – y 28 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 3x 3y 156 Giải ta : x = 40 ; y = 12 Với x = 40 ; y = 12 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy vận tốc người xe máy là 40 km/h ; vận tốc người xe đạp là 12 km/h Bài 6: (3 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, tăng chiều dài mét và giảm chiều rộng mét thì chiều dài gấp lần chiều rộng Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ? GIẢI + Gọi chiều rộng, chiều dài khu vườn hình chữ nhật là x, y (m) (ĐK: 0< x < y < 23) + Nếu tăng chiều dài m thì chiều dài là: y + (m) + Giảm chiều rộng m thì chiều rộng là: x -3 (m) 2(x y) 46 Theo bài ta có hệ phượng trình y 4(x 3) x 8 Giải hệ pt ta được: y 15 thoả mãn điều kiện Vậy: chiều rộng khu vườn là 8m; chiều dài là 15m Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tổng chúng 1012 Hai lần số lớn cộng số nhỏ 2014 GIẢI + Gọi hai số tự nhiên cần tìm là x, y (ĐK: x;y ; 1012> x > y >0) + Tổng chúng 1012, nên ta có pt: x + y = 1012 (1) + Hai lần số lớn cộng số nhỏ 2014, nên ta có pt: 2x + y = 2014 (2) (27) x y 1012 Từ (1) và (2), ta có hệ phượng trình 2x y 2014 x 1002 Giải hệ pt ta được: y 10 thoả mãn điều kiện Vậy: Hai số tự nhiên cần tìm là: 1002 và 10 C- HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ - Học và nắm các bước giải bài toán cách lập hệ phương trình - xem kĩ lại các bài đã chũa Ngày dạy 9…………… Buổi (Tiết 10+11+12) ÔN TẬP VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A- LÝ thuyÕt cÇn n¾m : §Ó gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh ta cã bíc : Bíc : -LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chọn ẩn ; đặt đk cho ẩn - Biểu thị các đại lợng liên quan qua ẩn - Lập hệ PT nhờ mối quan hệ giửa các đại lợng Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bíc 3: §èi chiÕu ®kiÖn cña bµi to¸n vµ tr¶ lêi B- Bµi tËp vËn dông : Bµi 1:B¶y n¨m tríc tuæi mÑ b»ng n¨m lÇn tuæi céng thªm N¨m tuæi mÑ võa đúng gắp lần tuỏi Hỏi năm nguời bao nhiêu tuổi ? Gi¶i: Gäi sè tuæi n¨m cña mÑ lµ x Gäi sè tuæi n¨m cña lµ y ( x,y N*)V× b¶y n¨m truíc tuæi mÑ b»ng lÇn tuæi céng thªm nªn ta cã:(x-7) = (y-7) + (1) N¨m mÑ gÊp lÇn tuæi nªn: x = 3y (2) ¿ x −7=5( y − 7)+ (1) Ta cã hÖ PT x=3 y (2) ¿{ ¿ Thay (2) vµo (1) ta cã: 3y-7=5y-35+4 2y = 24 y=12 T/M x =3.12=36 x=36 T/m vËy tuæi mÑ n¨m lµ 36 ; cßn tuæi lµ 12 Bµi 2:T×m mét sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng chôc b»ng hai lÇn ch÷ sè hµng đơn vị cộng thêm và tổng hai chữ số là số nguyên tố nhỏ có hai chữ số Híng dÉn gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ ab ( a;b N ; 1≤ a ≤ ; ≤ b ≤ ) ¿ a=2 b+2 Theo bµi ta cã hÖ ph¬ng tr×nh : a+b=11 ¿{ ¿ Giải hệ này ta tìm đợc : a = ; b = VËy sè ph¶i t×m lµ : 83 Bµi 3: Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã tæng n÷a chu vi vµ chiÒu dµi b»ng 66m ; cã nöa tæng chu vi vµ lÇn chiÒu réng lµ 48 m TÝnh diÖn tÝch khu vên ? Gi¶i:Gäi x ( m ) lµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt ; Gäi y (m) lµ chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt ( §K: 0<x< y ) (28) Chó ý : nửa chu vi lµ : x +y Ta cã hÖ PT: ¿ x +2 y =66 x+ y =48 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ta cã : x = ; y = 30 Vậy chiều rộng là m ; chiều dài là 30 m Diện tích Hình chữ nhật đó là : 30 = 180 m2 Bài 4:Một ngời xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An Nếu với V= 45 km /h thì đên nơi sớm dự định 13phút 20 giây Nêú với V= 35km/h thì đến nơi chậm so với dự định là 2/7 h Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ? Gi¶i: GV: Th«ng thêng c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ PT cã hai ®iÒu kiÖn ; mæi ®kiÖn gióp ta lập đợc PT Trong các bài toán chuyển động cần nhớ công thức liên hệ quảng đờng ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị đại lợng Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình §iÒu kiÖn Quang đờng VËn tèc Thêi gian Quan hÖ Dự định y y/x x x- y/45=2/9 y/35- x =2/7 §iÒu kiÖn y 45 y/45 §iÒu kiÖn y 35 y/35 ¿ y x− = 45 Ta cã hÖ PT : y − x= 35 ¿{ ¿ Giải hệ ta đợc : x = ; y = 80 (thoã mãn bài toán) Vậy quảng đờng ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là Bài 5: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung hoàn hành công việc h ; đội thứ làm h đội thứ hai cùng làm tiếp h thì xong đợc 0,8 công việc Hỏi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ? Giải: Gọi thời gian đội làm mình xong việc là x Thời gian đội làm mình xong việc là y ( x;y > ) Mỗi đội làm đợc 1/x ( công việc ) làm đợc 1/y ( ) Mổi hai đội làm đợc 1/8 (công vịêc) Ta có PT: 1/x + 1/ y = 1/8 Mặt khác đội làm h ; đội 2cùng làm tiếp h thì xong 0,8 công việc nên ta cã Phương trinh: 1/x + 1/8 = 0,8 ¿ 1 + = x y Ta cã hÖ PT: Ta đặt 1/x = a ; 1/y = b 1 + =0,8 x ¿{ ¿ ¿ a+b= Ta cã hÖ míi : Gi¶i ta cã : a= 1/10 ; b= 1/40 a+ =0,8 ¿{ ¿ Suy : x = 10 ; y = 40 ( tho· m·n bµi to¸n) Vậy đội làm mình thì sau 10 h xong công việc (29) đội lµm m×nh th× sau 40 h míi xong c«ng viÖc Câu Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, đó hai xí nghiệp đã làm 404 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch./ Gi¶i Gọi số dụng cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là x (dụng cụ) số dụng cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là y (dụng cụ) ĐK: x, y nguyên dương Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ, Ta có pt: x + y = 360 (1) Thực tế, xí nghiệp I vượt mức 10%, xí nghiệp II vượt mức 15%, 10 15 x y 404 360 Vậy ta có phương trình: 100 100 Hay 2x + 3y = 880 (2) x y 360 2 x y 720 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 x y 880 <=> 2 x y 880 x y 360 x 200 y 160 <=> <=> y 160 ( TMĐK) Trả lời: Số dụng cụ xí nghiệp I phải làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ Số dụng cụ xí nghiệp II phải làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ Đáp số: 200 và 160 dụng cụ./ Bµi 7: Hai ph©n xëng cña nhµ m¸y theo kÕ ho¹ch ph¶i lµ 540 dông cô.Nhng c¶i tiÕn kÜ thuËt ph©n xëng vît møc 15% kÕ ho¹ch, ph©n xëng vît møc 12% kÕ ho¹ch mình, đó tổ đã làm đợc 612 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà phân xởng đã làm HD gi¶i: Gäi sè dông cô ph©n xëng ph¶i sx theo kÕ ho¹ch lµ x (dông cô);Gäi sè dông cô ph©n xëng sx theo kÕ ho¹ch lµ y (dông cô);§K: x,y nguyªn d¬ng, x, y <540 Theo kÕ ho¹ch c¶ ph©n xëng sx 540 dông cô nªn ta cã pt x + y = 540(1) Dựa vào số dụng cụ phân xởng đã sx ta có pt 115 x + 112 y =612 100 100 Giải hệ pt ta đợc x = 240, y = 300 phân xởng đã sx 276 dụng cụ Phân xởng đã sx 336 dụng cụ BÀI Tìm số có hai chữ số, biết tổng các chữ số là 15, đổi chổ hai chữ số cho ta số nhỏ số ban đầu là 27 đơn vị GIẢI Gọi số cần tìm là xy Điều kiện: x; y : x 9 : y tổng các chữ số là 15 nên Ta có pt : x + y = 15.(1) Đổi hai chữ số cho ta số : yx Ta có: (10x+y) -(10y+x) =27 <=> 9x-9y = 27 <=> x-y =3 (2) x y 15 Ta có hệ: x y 3 x 18 y 15 x x 9 y 6 (TMĐK) Vậy: Số cần tìm là 96 BÀI 9Số hs giỏi và khá học kì I trường THCS Trần Quốc Toản là 344 em, học sinh giỏi thưởng vở, học sinh khá thưởng (30) Tổng số phát thưởng là 3199 Tính số học sinh giỏi và học sinh tiên tiến trường GIẢI Gọi x, y (m) là học sinh giỏi và học sinh tiên tiến (ĐK: x, y nguyên dương và x, y< 433) Học sinh giỏi và HSTT có 433 em nên : x + y = 433 (1) Tổng số phát thưởng là 3119 quyển, nên ta có phương trìnht: 8x + 5y = 3119 (2) x y 433 Từ (1) và (2) ta có hệ phượng trình 8x 5y 3119 x 133 Giải hệ pt ta được: y 211 thoả mãn điều kiện Vậy :Học kì I, trường THCS Trần Quốc Toản Có 133 HS giỏi và 211 học sinh tiên tiến Bµi 10 Trªn mét xe löa trë kh¸ch ngêi ta tÝnh r»ng NÕu xÕp vµo mçi toa 30 ngêi th× cßn thõa ngêi, nÕu xÕp mçi toa 32 ngêi th× cã thÓ chë thªm 10 ngêi n÷a Hái xe löa cã bao nhiêu toa và có bao nhiêu hành khách chuyến xe đó GIẢI + Gäi sè toa xe löa lµ :x (x N*) + Gäi sè hµnh kh¸ch cã trªn xe lµ : y (y N* , y>6) + V× nÕu xÕp vµo mçi toa 30 ngêi th× cßn thõa ngêi nªn ta cã ph¬ng tr×nh: 30x=y- 30x- y= - (1) +NÕu xÕp mçi toa 32 ngêi th× cã thÓ chë thªm 10 ngêi n÷a, ta cã Ptr×nh: 32x –y =10 (2) Tõ (1)vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 30 x − y =−6 32 x − y=10 ¿{ ¿ ¿ x=16 30 x − y =−6 ¿{ ¿ ¿ x =8 30 − y=−6 ¿{ ¿ ¿ x =8 y=246 (tho¶ m·n) ¿{ ¿ VËy sè toa xe löa lµ :8 toa.Sè hµnh kh¸ch cã trªn xe lµ: 246 hµnh kh¸ch Bµi 11 T×m hai sè biÕt r»ng bèn lÇn sè thø hai c«ng víi n¨m lÇn sè thø nhÊt b»ng 18040 vµ ba lÇn sè thø nhÊt h¬n hai lÇn sè thø hai lµ 2002 gi¶i Gọi số thứ là x, số thứ hai là y Đk: < x, y < 18040 + Do bèn lÇn sè thø hai c«ng víi n¨m lÇn sè thø nhÊt b»ng 18040 Nªn ta cã ph¬ng tr×nh: 5x + 4y = 18040 (1) + Do ba lÇn sè thø nhÊt h¬n hai lÇn sè thø hai lµ 2002 Nªn ta cã ph¬ng tr×nh: 3x - 2y = 2002 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: 5 x y 18040 3x y 2002 5 x y 18040 6 x y 4004 11x 22044 3 x y 2002 x 2004 tm y 2005 tm (31) VËy hai sè cÇn t×m lµ: 2004; 2005 Bµi 12 Một xe ôtô từ A đến B.Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì thời gian giảm Nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian tăng thêm Tính vận tốc và thời gian xe ôtô đó GIảI Gọi x (km/h) vận tốc dự định ôtô từ A đến B Gọi y (h) thời gian dự định ôtô từ A đến B §K: x > 10 vµ y > Vậy quãng đờng AB là x.y (km) NÕu «t« gi¶m vËn tèc 10 km/h th× thêi gian t¨ng 1giờ, vËy ta cã ph¬ng tr×nh: ( x 10)( y 1) xy (1) NÕu «t« t¨ng vËn tèc thªm 20 km/h th× thêi gian gi¶m 1h , vËy ta cã ph¬ng tr×nh: ( x 20)( y 1) xy (2) ( x 10)( y 1) xy Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ( x 20)( y 1) xy x 10 y 10 x 20 y 20 x 40 y 3 (tho¶ m·n) Vậy vận tốc dự định ôtô là 40 km/h và thời gian dự địnhđi ôtô là 3giờ Bài 13: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách 150 km ngược chiều và gặp sau 30 phút Tính vận tốc ô tô, biết vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B là 20 km/h GI¶I Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô từ A (x > 0) y (km/h) là vận tốc ô tô từ B (y > 0) 3 x y 150 2 x y 20 Ta có hệ phương trình: Giải hÖ pt trªn ta (x ;y)=(60; 40) Vậy vận tốc ô tô từ A là 60 km/h ; vận tốc ô tô từ B là 40 km/h BÀI 14 Hai vòi cùng chảy vào bể không có nước thì sau đầy bể Trong lần khác, bể không có nước, người ta cùng lúc mở hai vòi kể trên cùng chảy giờ; sau đó tắt vòi II và để riêng vòi thứ I chảy tiếp thêm 15 thì đầy bể Hỏi để chảy riêng thì vòi chảy đầy bể bao lâu? (Giả thieát naêng suaát cuûa moãi voøi luoân oån ñònh) GIẢI Gọi x(giờ) là thời gian để vòi I chảy riêng đầy bể Gọi y(giờ) là thời gian để vòi II chảy riêng đầy bể ( ĐK: x > 18 và y > 8) beå * Trong giờ, riêng vòi I chảy được: x beå y * Trong giờ, riêng vòi II chảy được: * Trong giờ, hai vòi cùng chảy được: beå 1 (1) * Do toång cuûa caùc naêng suaát rieâng luoân baèng naêng suaát chung, neân coùpt: x y (32) beå * Trong đầu, hai vòi cùng chảy được: 15 beå * Trong 15 sau, riêng vòi I chảy được: x * Theo bài toán thì tổng hai lượng nước kể trên là đầy bể (100% bể), nên có phương trình: 15 1 x 1 1 x y 15 1 * Căn (1) và (2), ta có hệ pt: x (2) 1 1 1 y x y = 12 y 12 tmdk x = 24 15 x = 24 x * Vậy thời gian để vòi I chảy riêng đầy bể là 24 Thời gian để vòi II chảy riêng đầy bể là 12 ▶ Chú ý + Điều kiện ẩn có thể chọn tương đối là: x > và y > + Phương trình (2) , học sinh có thể lập luận theo cách khác để được: 18 1 x y C- Híng dÉn häc ë nhµ : - Xem kĩ các dạng bài tập đã chữa - Lµm thªm bµi tËp 40; 42 ;45; 47 ( SBT trang 10-11) Ngày dạy 9…………… Buổi 10 (Tiết 28+29+30) ÔN TẬP VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A- LÝ thuyÕt : §Ó gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ta cã bíc : Bíc : -LẬP PHƯƠNG TRÌNH Chọn ẩn ; đặt đk thích hợp cho ẩn - Biểu thị các đại lợng liên quan qua ẩn - Lập PT nhờ mối quan hệ giửa các đại lợng Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Bíc 3: §èi chiÕu ®kiÖn cña bµi to¸n vµ tr¶ lêi B- Bµi tËp vËn dông : Bài Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 300 m2 Nếu tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 36 m2 Tính kích thước mảnh đất ĐÁP ÁN 300 Gọi chiều dài mảnh đất là x (m), điều kiện x0 Khi đó chiều rộng mảnh đất là x (m) Tăng chiều dài thêm m thì chiều dài là x (m) 300 1 Giảm chiều rộng m thì chiều rộng là x (m) (33) Diện tích mảnh đất là 300 1 x x 300 1 300 36 x x Theo bài ta có phương trình Giải phương trình x 20; x 60 (loại) Vậy kích thước mảnh đất là 20 (m) và 15 (m) Bài Một tàu thuỷ xuôi dòng khúc sông dài 48 km, ngược khúc sông hết tổng thời gian Tính vân tốc thực tàu thuỷ ( nước yên lặng) biết vận tốc dòng nước là km/h ĐÁP ÁN Gọi vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK: x 48 48 5 Lập luận để dẫn tới phương trình: x x (3) x2 x 20 Giải phương trình (3) tìm ; x2 Vậy vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng là 20 km/giờ Loại Bài Một xe tải và xe khách khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe khách lớn vận tốc xe tải là 20km/h Do đó nó đến B trớc xe tải 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 100 km Giải: Gọi vận tốc xe khách là x( km/h) ĐK: x > 0, Vậy vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h) 100 (h) x Thời gian xe khách là: , Thời gian xe du lịch là: 100 ( h) x Đổi 50 phút = , Ta có phương trình: 100 ( h) x 20 100 x 20 Giải phương trình ta được: x1 = 40 ( TMĐK) x2 = - 60 ( Loại) Trả lời: Vận tốc xe khách là: 40 km/h; Vận tốc xe du lịch là 60 km/h Bài Bình và An cùng xe đạp đến thăm người bạn trên quãng đường dài 30 km Hai bạn khởi hành cùng lúc, vận tốc xe Bình lớn vận tốc xe An là km/h nên Bình đến trước 30 phút Tính vận tốc xe người 30 ĐÁP ÁN Gọi x (km/h) là vận tốc xe Bình (x > 0) Thời gian Bình: x 30 Vận tốc xe An là x – (km/h) Thời gian Bình: x 30 30 Theo đề bài ta có phương trình : x x Giải phương trình ta có kết quả: x = 15 (km/h) Vậy vận tốc Bình là 15 km/h, An là 12km/h BÀI Tính các kích thước hình chữ nhật có chu vi 120m và diện tích 875m2 Đáp án Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) (x>0) Vì chu vi hình chữ nhật là 120m nên chiều rộng là 60- x (m) (34) Diện tích hình chữ nhật là x.(60-x)= 875 (m2) Vậy ta có phương trình : x.(60-x)= 875 x2-60x+875 = ta có Δ’=25 >0 Phương trình có hai nghiệm : X1= -25 (loại) X2= 35 Vậy chiều dài hình chữ nhật là 35 m; Chiều rộng hình chữ nhật là 25 BÀI Một hình chữ nhật có diện tích 180m Nếu tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng 2m thì diện tích hình chữ nhật không đổi Tính kích thước hình chữ nhật.? 180 ( m) Đáp án Gọi chiều dài hình chữ nhật là x(m) , ( x 0) , đó chiều rộng là: x Chiều dài hình chữ nhật sau tăng 3m là: ( x 3)(m) 180 ( m) Chiều rộng hình chữ nhật sau giảm 2m là: x Vì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình: 180 180 x 180 x ( x 3) 180 ( x 3) x x x ( x 3) 180 x 180 x x x 540 0 x x 180 0 Giải phương trình trên ta x1 15 (loại); x2 12 (thõa mãn điều kiện) Vậy chiều dài hình chữ nhật là: 12m , chiều rộng hình chữ nhật là: 15m BÀI Quảng đường từ A đến B dài 120km Hai ôtô khởi hành cùng lúc từ A đến B Ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km/h nên đến nơi sớm Ôtô thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Đáp án Gọi x km/h là vận tốc ôtô thưa nhất, điều kiện x > 12 Vận tốc ôtô thứ hai là x -12 km/h 120 Thời gian ôtô thứ từ A đến B x (giờ) 120 Thời gian ôtô thứ hai từ A đến B x 12 (giờ) Vì ôtô thứ đến nơi sớm ôtô thứ hai 30 phút= nên 120 120 ta có phương trình x 12 - x = Rút gọn phương trình ta được: x2 -12x -2880 = Giải ta x1 = 60 (nhận),x2 = -48 (loại) Vậy vận tốc xe thứ là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60-12 = 48 km/h BÀI (Bài tập 65: sgk/64) Một xe lửa từ Hà Nội vào Bỉm sơn ( Quảng ngãi) Sau 1giờ, xe lửa thứ khác từ Bình Sơn Hà Nội với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ là 5km/h Hai xe gặp ga chính quãng đường.Tìm vận tốc xe ,giả thiết quãng đường Hà Nội - Bỉm sơn dài 900km/h ĐÁP ÁN(Bài tập 65: sgk/64) Gọi vận tốc xe lửa thứ là x (km/h; x >0) Khi đó vận tốc xe thứ hai là x+ (km/h) (35) 450 Thời gian xe lửa thứ từ Hà Nội đến chỗ gặp là x (giờ) 450 Thời gian xe lửa thứ hai từ Bình Sơn đến chỗ gặp là x (giờ) Vì xe lửa thứ hai sau giờ, nghĩa là thời gian đến chỗ gặp ít thời gian xe 450 450 1 thứ Do đó ta có PT x x x2 + 5x – 2250 = Giải PT ta x1 = 45; x2 = - 50 (không TMĐK) Vậy vận tốc xe lửa thứ là 45km/h; xe lửa thứ hai là 50km/h BÀI ( đề thi học kì yên sơn năm 2013) (2 điểm ) Một người dự định từ thành phố A đến thành phố B xe máy ,nhưng cuối cùng lại ôtô nên đến B sớm dự định Tính vận tốc xe máy? Biết ô tô nhanh xe máy 10 km và quãng đường AB dài 200 km, Đáp án Gọi vận tốc xe MÁY là x( km/h) ĐK: x > Vậy vận tốc xe ÔTÔ là x + 10 (km/h) 200 ( h) x Thời gian xe máy từ A đến B là: 200 ( h) x 10 Thời gian xe ô tô từ A đến B : 200 200 x 10 x 2000 0 x 10 theo bài Ta có phương trình: x Giải phương trình ta được: x1 = 40 ( TMĐK) x2 = - 50 ( Loại) Trả lời: Vận tốc xe máy là: 40 km/h, Vận tốc xe ôtô là 50 km/h BÀI 10 Mét ca n« ch¹y trªn mét s«ng dµi 30km Thêi gian ca n« xu«i dßng ng¾n h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê 30 phót T×m vËn tèc cña ca n«, biÕt r»ng søc n¬c ch¶y lµ km/h đáp án Gäi x (km/h) lµ vËn tèc thùc cña can«, ®iÒu kiÖn x>5 VËn tèc xu«i lµ: x+5 (km/h) ; Thêi gian xu«i lµ: 30 (h) x +5 30 VËn tèc ngîc lµ: x-5 (km/h) ; Thêi gian ngîc: (h) x −5 30 30 10 10 Ta cã ph¬ng tr×nh − = ⇔ − = x −5 x +5 x −5 x +5 Suy ra: 20(x+5) – 20(x-5) = (x-5)(x+5) ⇔ x2 = 225 ⇔ x=± 15 lo¹i VËy vËn tèc thËt cña can« lµ 15 km/h BÀI 11 -Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B chạy ngược dòng từ B đến A hết tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/giờ Bài giải: Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) Vận tốc ca nô xuôi dòng là x +4 (km/giờ), ngược dòng là x - (km/giờ) Thời 30 gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là x giờ, ngược dòng (36) 30 từ B đến A là x 30 30 4 Theo bài ta có phương trình: x x (4) (4) 30( x 4) 30( x 4) 4( x 4)( x 4) x 15 x 16 0 x x = 16 Nghiệm x = -1 <0 nên bị loại Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng là 16km/giờ Bài 12: Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định khoảng thời gian đã định Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45phút Nếu vận tốc tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc và thời gian dự định ô tô §¸p ¸n §æi 45 phót = giê, 30 phót = giê Gọi x (km/h) vận tốc dự định ôtô từ A đến B Gọi y (h) thời gian dự định ôtô từ A đến B §K: x > 10 vµ y > Vậy quãng đờng AB là x.y (km) NÕu «t« gi¶m vËn tèc 10 km/h th× thêi gian t¨ng 45 phót = h, ( x 10)( y ) xy x 40 y 30 vËy ta cã ph¬ng tr×nh: (1) NÕu «t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× thêi gian gi¶m 30 phót = h, ( x 10)( y ) xy x 20 y 10 vËy ta cã ph¬ng tr×nh: (2) x 40 y 30 x 50 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: x 20 y 10 y 3 (tho¶ m·n) Vậy vận tốc dự định ôtô là 50 km/h và thời gian dự địnhđi ôtô là Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi và chia thành các dãy có số ghế ngồi dãy Nếu thêm dãy ghế ngồi và bớt dãy thì số ghế ngồi phòng không thay đổi Hỏi ban đầu số ghế ngồi phòng họp chia thành bao nhiêu dãy và dãy bao nhiêu ghế? ĐÁP ÁN Gọi x ( dãy) là số dãy ghế phòng lúc đầu (x nguyên, x > 3) Số dãy ghế lúc sau là x – ( dãy) 360 Số ghế ngồi trên dãy lúc đầu: x (chỗ) 360 Số ghế ngồi trên dãy lúc sau: x - (chỗ) 360 360 =4 Ta có phương trình: x - x Giải x1 = 18 (thỏa mãn); x2 = - 15 (loại) Vậy phòng có 18 dãy ghế và dãy có 20 ghế (37) BÀI 13 Mét ca n« ch¹y trªn mét s«ng dµi 30km Thêi gian ca n« xu«i dßng ng¾n h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê 30 phót T×m vËn tèc cña ca n«, biÕt r»ng søc n¬c ch¶y lµ km/h ĐÁP ÁN) Gäi x (km/h) lµ vËn tèc thùc cña can«, ®iÒu kiÖn x>5 VËn tèc xu«i lµ: x+5 (km/h) VËn tèc ngîc lµ: x-5 (km/h) Thêi gian xu«i lµ: 30 (h) x +5 30 Thêi gian ngîc: (h) x −5 30 30 10 10 Ta cã ph¬ng tr×nh − = ⇔ − = x −5 x +5 x −5 x +5 Suy ra: 20(x+5) – 20(x-5) = (x-5)(x+5) ⇔ x2 = 225 ⇔ x 15 (nhận); x 15 lo¹i VËy vËn tèc thËt cña can« lµ 15 km/h bài 15 (1,5đ) Bình và An cùng xe đạp đến thăm người bạn trên quãng đường dài 30 km Hai bạn khởi hành cùng lúc, vận tốc xe Bình lớn vận tốc xe An là km/h nên Bình đến trước 30 phút Tính vận tốc xe người 30 đáp án Gọi x (km/h) là vận tốc xe Bình (x > 0) Thời gian Bình: x 30 Vận tốc xe An là x – (km/h) Thời gian Bình: x 30 30 Theo đề bài ta có phương trình : x x Giải phương trình ta có kết quả: x = 15 (km/h) BÀI 16(Bài tập số 18 – T134) Gọi độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông là x và y(cm, x >y> 0) x y 2 x 2 y x 2 y 2 2 Theo bài ta có hệ pt: x y 100 (2 y ) y 100 y y 48 0 * y2 + 2y – 48 = ta có / = + 48 = 49 > , = y1 = (TMĐK); y2 = - (loại) Thay y = vào x = + y = + = Vậy độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông là cm và cm Bài 17(bài tập 47 – T59) V(km/h) t(h) S(km) 30 Bác Hiệp x+3 30 Cô Liên x x 3 30 x 30 Gọi vận tốc bác Hiệp là x (km/h) thì vận tốc cô liên là x – (km/h) ( ĐK: x > 0) 30 Thời gian bác Hiệp từ làng lên tỉnh là: x (h) (38) 30 x (h) Thời gian cô Liên từ làng lên tỉnh là: Bác Hiệp đến trước cô Liên nửa Tức là thời gian bác Hiệp ít thời gian cô Liên là (h) 30 30 Ta có pt: x x x2 -3x – 180 = ta có = + 720 = 729 > = 27; x1 = 15; x2 = - 12 (loại) Vậy vận tốc bác Hiệp là 15 km/h và vận tốc cô Liên là 12 km/h Bài 18( Bài tập 48- SGK -T59) Gọi chiều rộng miếng tôn là x(dm) (ĐK: x > 0) thì chiều dài nó là 2x (dm) Khi hoàn thành cái thùng không nắp thì: Chiều dài thùng là 2x – 10 ( dm) Chiều rộng thùng là x-10 (dm) Chiều cao thùng là ( dm) Theo bài ta có pt: (2x-10)(x-10)5 = 1500 2x2 – 15x – 100 = ta có = 625 > 0, = 25 x1 = 20; x2 = -5 ( loại) Vậy miếng tôn có chiều rộng là 20 dm, chiều dài là 40 dm Vậy vận tốc Bình là 15 km/h, An là 12km/h IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 720m2, tăng chiều dài 6m và giảm chiều rộng 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi Tính các kích thước mảnh vườn đó Bài 14: Một tam giác vuông có chu vi 60cm và có cạnh huyền 25cm.Tính độ dài các cạnh góc vuông Bài 15: Một hình chữ nhật có chu vi 50m và có lần chiều dài lần chiều rộng 15m Tính diện tích hình chữ nhật đó Bài 16: Hai xe ô tô khởi hành cùng lúc tỉnh A và B cách 475 km , ngược chiều và gặp sau Biết vận tốc xe ô tô xuất phát A nhỏ vận tốc xe ô tô xuất phát B là km/h Tính vận tốc xe ? BÀI 15 (đề thi vào 10 tuyên quang 2012 ).Theo kế hoạch, nhóm học sinh phải ươm 105 cây giống vườn ươm nhà trường Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia nên bạn phải ươm thêm cây hoàn thành kế hoạch Hỏi số học sinh ban đầu nhóm là bao nhiêu? ( Giả thiết số cây bạn phải ươm là nhau) (39) Ngày dạy 9…………… Buổi (Tiết 13+14+15) ÔN TẬP VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỤC TIÊU: a Kiến thức: HS nắm khái niệm tứ giác nội tiếp - HS nắm các điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp HS hiểu cách chứng minh tứ giác nội tiếp b Kỹ năng: + rèn kĩ vẽ hình ,quan sát hình ,khai thác đề bài để chứng minh tứ giác nội tiếp c Thái độ: Rèn tính cẩn thận, tư hợp lý, yêu thích môn học,… A LÍ THYẾT : A * Định nghĩa: SGK/87 O tứ giác ABCD có A,B,C,D =>tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đtròn Định lí B Định lí thuận SGK - 88) GT Tứ giác ABCD nội tiếp (O) C O A C B D KL = + =180 A Định lí đảo.(SGK - 88) D Gt Tứ giác ABCD B O D C D 1800 B Kl Tứ giác ABCD nội tiếp 3dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp 3.1, Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện 1800 =>Tứ giác ABCD nội tiếp đtròn 3.2 Tứ giác ABCD có OA=OB=OC=OD=>Tứ giác ABCD nội tiếp đtròn 3.3, Tứ giác ABCD có2 đỉnh C và D cho ACB ADB =>Tứ giác ABCD nội tiếp đtròn B BÀI TẬP Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD = 10cm, CD = 6cm và BAD 60 Hai đờng chéo ACvà BD cắt E kẻ EE AD F a) Chøng minh tø gi¸c r»ng tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABD, vµ tam gi¸c ACD (40) c) Chøng minh GE r»ng CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF Bài ( điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt E Kẻ EF vuông góc với AD F Chứng minh rằng: a) Tứ giác DCEF nội tiếp b) góc CDE = góc CFE c) Tia CA là tia phân giác góc BCF C Bài (3điểm) Hình vẽ: B E A F D a)Ta có: ACD = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD ) Hay ECD = 90 Xét tứ giác DCEF có: ECD = 900 ( cm trên ) EFD = 900 ( vì EF AD (gt) ) ECD + EFD = 900 900 1800 , mà ECD , EFD là góc vị trí đối diện => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( đpcm ) b) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) => CDE = CFE ( góc nội tiếp cùng chắn CE ) ( đpcm ) c) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a ) => C1 = D1 ( góc nội tiếp cùng chắn EF ) (4) Xét đường tròn đường kính AD, ta có: C2 = D1 ( góc nội tiếp cùng chắn AB ) (5) Từ (4) và (5) => C1 = yC2 hay CA là tia phân giác BCF x ( đpcm ) N / P M A / O B Câu Cho nửa đường tròn đường kính AB Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By nằm cùng phía với nửa đường tròn) Trên Ax lấy điểm M A Kẻ tiếp tuyến MP cắt By N a)Chứng minh OBNP là tứ giác nội tiếp (41) b) OBP ONP c) MON đồng dạng với APB a) Theo tính chất tiếp tuyến ta có NB OB OBN 90 ; NP OP OPN 90 OBN OPN =1800 mà OBN và OPN là hai góc đối diện Tứ giác OBNP nội tiếp b) Theo câu a tứ giác OBNP nội tiếp nên OBP ONP c)Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OM là tia phân giác góc AOP; ON là tia phân giác góc BOP, mà AOP và BOP là hai góc kề bù MON 900 hay tam giác MON vuông O APB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay tam giác APB vuông P P A ONP APB Xét hai tam giác vuông APB và MON có MON APB 90 ; 60OBP MON B I Bài 64:SGK.92 a, Ta có 90 0 o 90 +120 d = 1050 0 90 +60 C BDA = = 750 12 0 BAD BDA + = 1800 là hai góc cùng phía tạo các tuyến AD và hai đường thẳng BAD = AB và CD nên chứng tỏ AB//CD đó tứ giác ABCD là hình thang Mà hình thang nội tiếp là hình thang cân Vậy ABCD là hình thang cân (BC = AD) b) Giả sử hai đường cheo AC, BD cắt I, sd AC sdCD CID 90 CID là góc có đỉnh bên đường tròn nên ta có: AC ┴ BD Cõu Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB M là điểm trên nửa đờng tròn Hạ MH ⊥ AB Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AH và BH nằm nửa đờng tròn tâm O: c¾t MA, MB lÇn lît t¹i P vµ Q a Chøng minh MH = PQ b Chøng minh PQ2 = AH.BH c Chøng minh ⋄ APQB néi tiÕp đỏp ỏn Câu 5- Vẽ đúng hình, ghi giả thiết, kết luận - Cho (0 ; AB ), M ∉ ( 0; AB ) , MH⊥ AB=H GT 2 2 - Hai nửa đờng tròn đờng kính AH; BH cắt MA, MB P, Q a Chøng minh MH = PQ KL b PQ2 = AH.BH c Tứ giác APQB nội tiếp đợc đờng tròn (42) (góc nội tiếp chắn đờng tròn (O) ❑ a Ta cã: AMB =90 ❑ APH =90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) (gãc néi tiÕp ch¾n (N ; HB ) 2 VËy tø gi¸c PMQH lµ h×nh ch÷ nhËt (cã gãc vu«ng) => MH = PQ (tính chất hai đờng chéo hình chữ nhật) ❑ b XÐt Δ MANB cã ABH =900 => MH2 = AH.BH (HÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng) mµ MH = PQ (c/m ý a) => PQ2 = AH.HB ❑ ❑ ❑ c Ta cã: QBH= sè ®o HQ (gãc néi tiÕp ch¾n QH ¿ ❑ HQB=90 MHQ = ❑ ❑ sè ®o HQ ❑ (gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung ch¾n QH => QBH=QHM (1) (cung b»ng sè ®o HQ ) ❑ ❑ MÆt kh¸c: QHM =QPM (2) (MQHP lµ h×nh ch÷ nhËt) ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ ❑ Tõ (1) vµ (2) => QBH=QPM mµ APQ =QPM =1800 (gãc kÒ bï)=> APQ +QBH=180 ❑ ❑ ⋄ APQB có APQ +QBA =1800 nên nội tiếp đợc đờng tròn ❑ ❑ ❑ Bài 15: SGK.136 a) Xét ABD và BCD có: D chung ; DAB = DBC (cùng chắn BC ) a AD BD ABD BCD (g - g) BD CD hay BD2 = AD CD b) Có Sđ Ê1 = Sđ ( AC - BC ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) A D1 Có = Sđ( AB - BC )(nt) Mà AB =AC(gt) o b O 2 AC e D AB = (định lí liên hệ cung và dây) Ê1 = C B 3 Tứ giác BCDE nội tiếp vì có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối hai đỉnh1 còn lại cùng góc c) Tứ giác BCDE n.t BED + BCD =1800 E 1 D c 1 d (43) Có ACB + BCD = 1800 (2 góc kề bù) BED = ACB Mà ACB = ABC ( ABC cân A). ABC = BED Mà ABC và BED có vị trí đồng vị nên: BC // DE Bài 15 (SGK - 153): a) Xét tứ giác AECD có: Tứ giác AECD nội tiếp Xét tứ giác BFCD có: (gt) Tứ giác BFCD nội tiếp b) *Xét DEC và FDC có: ( góc nọi tiếp và góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ( góc nội tiếp cùng chắn ( góc nội tiếp chắn Mà ( góc nội tiếp và góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ( góc nội tiếp cùng M chắn (2) Từ (1) và (2) DEC FDC (g.g) CD = CE.CF ( đpcm) c) theo chứng minh trên ta có : F Trong ABC có: E C Vậy tứ giác CIDK nội tiếp ( đpcm) d)Ta có: ( góc nội tiếp cùng chắn IK // AB ( góc đồng vị nhau) AB CD IK CD (đpcm) A I I K D B O Câu Cho đường tròn O, bán kính R Từ điểm M ngoài đường tròn (O) cho MO 2R, ta kẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là tiếp điểm) Một cát tuyến qua M cắt đường tròn C và D Kẻ tia phân giác CAD cắt dây CD E và đường tròn N a).Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp b).Chứng minh MA = ME c).Tính tích số MC.MD theo R GT Cho (O ;R), M ngoài (O) ,OM=2R MA và MB là hai tiếp tuyến, MCD là A cát tuyến, phân giác CAD cắt CD E cắt (O) N O E D N C B M KL a).Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp b).Chứng minh MA = ME (44) c).Tính tích số MC.MD theo R a, Vì MA và MB là hai tiếp tuyến nên MA OA, MB OB nên OAM + OBM = 900+900 = 1800 OAMB là tứ giác nội tiếp 1 EAM b, Ta có = sđ AN = (sđ AC +sđ CN ) (1) (Góc tạo bỡi tia tiếp tuyến AM và dây AN) sd DN sdAC AEM = (Góc có đỉnh bên đường tròn ) (2) Mà CN = DN (Do CAN DAN ,AN là phân giác CAD ) (3) AEM EAM Từ (1), (2) và (3) suy = hay AEM cân M MA = ME c, MAD ~ MCA (g-g) MA2 = MC.MD, OAM vuông A theo Pitago ta có MA2 = OM2 –OA2 = (2R)2- R2 = 4R2-R2= 3R2, MC.MD = 3R2 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB M là điểm trên nửa đờng tròn Hạ MH ⊥ AB Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AH và BH nằm nửa đờng tròn tâm O: c¾t MA, MB lÇn lît t¹i P vµ Q a Chøng minh MH = PQ b Chøng minh PQ2 = AH.BH c Chøng minh ⋄ APQB néi tiÕp C©u (3 ®iÓm) - Vẽ đúng hình, ghi giả thiết, kết luận (0.5®) - Cho (0 ; AB ), M ∉ ( 0; AB ) , MH⊥ AB=H 2 2 GT - Hai nửa đờng tròn đờng kính AH; BH cắt MA, MB t¹i P, Q a Chøng minh MH = PQ KL b PQ2 = AH.BH c Tứ giác APQB nội tiếp đợc đờng tròn ❑ a Ta cã: AMB =90 (góc nội tiếp chắn đờng tròn (O) ❑ APH =90 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K) (gãc néi tiÕp ch¾n (N ; HB ) 2 VËy tø gi¸c PMQH lµ h×nh ch÷ nhËt (cã gãc vu«ng) => MH = PQ (tính chất hai đờng chéo hình chữ nhật) ❑ b XÐt Δ MANB cã ABH =900 => MH2 = AH.BH (HÖ thøc lîng tam gi¸c vu«ng) mµ MH = PQ (c/m ý a) => PQ2 = AH.HB ❑ ❑ ❑ c Ta cã: QBH= sè ®o HQ (gãc néi tiÕp ch¾n QH ¿ ❑ HQB=90 ❑ MHQ = ❑ sè ®o HQ ❑ (gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung ch¾n QH (45) => QBH=QHM (1) (cung b»ng sè ®o HQ ) ❑ ❑ MÆt kh¸c: QHM =QPM (2) (MQHP lµ h×nh ch÷ nhËt) ❑ ❑ Tõ (1) vµ (2) => QBH=QPM ❑ ❑ mµ APQ =QPM =1800 (gãc kÒ bï) ❑ ❑ => APQ +QBH=180 ❑ ❑ ⋄ APQB có APQ +QBA =1800 nên nội tiếp đợc đờng tròn ❑ ❑ ❑ Ngày giảng:9: Buổi 7(tiết 19+20+21) ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I.MỤC TIÊU - Học sinh nắm đợc phơng trình bậc ẩn, hệ phơng trình bậc ẩn, hiểu công thức nghiÖm vµ minh ho¹ h×nh häc cña chóng - Nắm đợc hàm số y = ax2 (a 0), tính chất hàm số y = ax2 (a 0) và dạng đồ thị hàm số, nắm đợc phơng trình bậc hai ẩn và cách giảI II.LÝ THUYẾT 1.công thức nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Công thức nghiệm phương trình bậc hai + Tính Δ = b2 – 4ac + Nếu Δ < : Phương trình vô nghiệm + Nếu Δ Δ b = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 2a b > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= 2a ; + Nếu III BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau : BÀI Giải phương trình (x+1) (x2+2x-3) = 0 Vậy TẬP nghiệm phương trình là:-3; -1; 1 Bài Giải phương trình ¿ x=− x=1 ; x=− ¿ ¿ x+1=0 ⇔¿ x +2 x −3=0 ¿ ¿ b x2 = a (46) a, (10x2-7x-3) [ x +(1− √5) x+ √ −3 ] =0 Suy ra:3x2-7x-10 = x1 = 1; x2 = 10 [ x +(1− √5) x+ √5 −3 ] = 0 x3 = 1; x4 = √52−3 Vậy nghiệm phương trình là:x1 = -1; x2 = 10 ; x3 = 1; x4 = √5 −3 2 b, x + 3x – 2x – = x2(x + 3) – 2(x + 3) = (x+3) (x2 – 2) = x + = x = -3 x2 – = x = √ ; x = - √ Vậy nghiệm phương trình là:x1 = -3; x2,3 = Câu (2,5đ) Cho hàm số y = 2x2 a) Với giá trị nào x thì hàm số đồng biến , nghịch biến ? b) Hãy vễ đồ thị hàm số trên Câu a) Hàm số y = 2x2 có a = > Hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > b) – Lập xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số - Vẽ đúng đồ thị hàm số Câu (1,5đ) Giải các phương trình sau : x4 – 2x2 – = Câu x4 – 2x2 – = Đặt t = x2 (t > 0), Ta có phương trình: t2 – 2t – = t = -2 (loại) t = (nhận) Vậy x = 2, x = - CÂU 4: ( điểm ) Cho hai hàm số y = x2 và y = -2x + a) Vẽ đồ thị hai hàm số trờn cựng mặt phẳng tọa độ b)Tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị ĐÁP ÁN a) Vẽ đồ thị hàm số: * Đồ thị hàm số y = x2 x -3 -2 -1 y=x 1 * Đồ thị hàm số y = -2x + A (0;3) B (1,5 ; 0) Đồ thị là đường qua điểm N và A b) x2 = -2x + x2 + 2x - = Vỡ a + b + c = + - = nờn x1 = 1; x2 = -3 Vậy hoành độ giao điểm hai đồ thị là 1; -3 câu Cho hµm sè y = 2x2 vµ y = x + a Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng mặt phẳng toạ độ b Tìm toạ độ các giao điểm đồ thị hàm số trên ĐÁP ÁN a Vẽ đúng, chính xác đồ thị (1 điểm) (47) b Tìm toạ độ giao điểm (1 điểm) Ta có phơng trình hoành độ: 2x2 – x – = => x1 = -1; x2= Víi x = -1 => y1 = Víi x2 = => y2 = 2 Câu 7: (2điểm) Cho hai hàm số: y = x2 (P) và y = - 2x + (D) a Vẽ hai đồ thị (P) và (D) trên cùng hệ trục toạ độ b Tìm toạ độ giao điểm (P) và (D) phương pháp đại số a) Vẽ hai đồ thị (P) và (D) trên cùng hệ trục tọa độ: *) Hàm số y = x2: Bảng số giá trị tương ứng (x,y): x -2 -1 2 y=x 1 *) Hàm số y = -2x + 3: Giao điểm đồ thị với Oy: A(0; 3) Giao điểm đồ thị với Ox: B( ; 0) Đường thẳng y AB là đồ thị h/số y = -2x + Vẽ đồ thị đúng, đẹp A b) Tìm đúng toạ độ giao điểm phương pháp đại 1số (1;1) và (-3;9) -3 Bài Giải các phương trình sau : a) 2x3 – x2 +3x + = 2x3+ 2x2 – 3x2 + 6x- 3x + = 2x2 (x+1) – 3x(x+1) + 6(x+1) = (x+1)(2x2 – 3x +6) = (x+1) = x = -1 2x2 – 3x + = 0; = - 39 < Vậy pt có nghiệm là x = -1 = a(- 2) = 4a a = x B b) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12 x( x 5) ( x 1)( x 4) 12 ( x2 + 5x) (x2 + 5x + 4) = 12 Đặt x2 + 5x = t (t 0) Ta có: t(t + 4) = 12 t2 + 4t – 12 = Giải pt tìm t thay trở lại tìm x ta nghiệm 33 pt là:x1,2 = ; x3 = -3; x4 = -2 Bài 9(Bài tập13 –SGK/ Tr133) * Hàm số y = a x2 qua điểm có toạ độ A(-2;1) Tức là x = 2; y = ta có: -2 -1 (48) x Vậy hàm số có dạng y = x *Vẽ đồ thị hàm số y = x x y= -2 -1 0 1 Đồ thị ( Vẽ sẵn trên bảng phụ) 1 1 x x 0 x x bài 10 Giải phương trình: Ngày giảng:9: Buổi 8(tiết 22+23+24) ÔN TẬP VỀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN I MỤC TIÊU : Kiến thức: Hs hiểu công thức nghiệm thu gọn và thấy lợi ích công thức nghiệm thu gọn + Hs biết tìm b’ và biết tính ’ x1, x2 theo công thức nghiệm thu gọn + Rèn cho học sinh tính cẩn thận, chính xác giải toán Có thói quen tự kiểm tra công việc mình vừa làm Kỹ năng: Nhớ và vận dụng tốt công thức nghiệm thu gọn Thái độ: + Bồi dưỡng cho Hs khả tư Lô gíc, tìm tòi, sáng tạo học toán II.LÝ THUYẾT 1Công thức nghiệm thu gọn Xét phương trình: ax2+ bx + c = (a0) (1) có b = 2b’ và ’ = b’2 – ac - Nếu ’ < thì phương trình (1) vô nghiệm - Nếu ’ = thì phương trình (1) có nghiệm kép: x1=x2 = −b' a (49) - Nếu ’ > thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: − b ' −√ Δ ' − b '+ √ Δ ' x = và x = a a Ví dụ giải phương trình x 20 x 96 0 có: ' 10 1.96 100 96 4 0; ' 2 10 10 x1 12 x2 8 1 Phương trình có nghiệm phân biệt: ; Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = 12; x2 = III BÀI TẬP Bài Giải các phương trình a, 5x2 - 3x + = 2x + 11 5x2 - 5x - 10 = x2 - x - = (1 - (-1) - = 0) x1 = -1, x2 = b, 3x4 +12x + = (c) Đặt x2 = t (t 0) (c) t2 - 4t + = (1 - 4+ = 0) t1 = -1 (không TMĐK) t2 = -3 (không TMĐK) Vậy phương trình vô nghiệm 3x x+5 c, x −2 = ĐKXĐ: x0 và x2 x −2 x 3x2 = 2x + 5 3x2 - 2x - = ’ = (-1)2 + 3.5 = 16 √ Δ' = Hai nghiệm phương trình là: − 1− − = ; x2= 3 x1= − 1+ =1 d, 5x3 - x2 - 5x + = x2(5x-1) - (5x-1) = 0 (5x-1) (x2 - 1) = 5x-1 = x = x2 - = x = -1 và x =1.Vậy S = -1; ; 1 Bài tập Cho ph¬ng tr×nh: x2–2x+m = (1) a, §Ó (1) cã nghiÖm th×: ’ – m m VËy víi m th× ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm b, §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm d¬ng th×: ’ – m S =x1+x2> x1+x2 = P = x1.x2 > m > 0>m1 c §Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th×: x1.x2 < m < Bài a, Vẽ đồ thị hai hàm số: y = x2 và y = x + Bảng số giá trị tương ứng (50) x y= x -2 -1 1 4 x y=x+1 1 f(x)=(1/4)x^2 f(x)=x+1 y 10 x -8 -6 -4 -2 b, Để đồ thị hai hàm số trên có điểm chung thì phương trình: x2 = x+ m x2 - 4x - 4m = phải có nghiệm kép ’ = (-2)2 - 1.(- 4m) = + 4m để phương trình có nghiệm kép thì = Hay + 4m = m = -1 Vậy m = -1 thì đồ thị hai hàm số có điểm chung \ Ngày giảng:9: Buổi 9(tiết 25+26+27) ÔN TẬP VỀ HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I MỤC TIÊU : a Kiến thức: : Hs hiểu và nhớ hệ thức Viét + Biết cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai theo hệ thức Viét trường hợp đặc biệt: a+b+c=0 a-b+c=0 b Kỹ năng: Vận dụng hệ thức Viét để Tính tổng và tích các nghiệm phương trình - Vận dụng hệ thức Viét để Nhẩm nghiệm phương trình các trường hợp: a+b+c = 0, a-b+c = qua tổng và tích hai nghiệm c Thái độ: + Rèn cho học sinh tính cẩn thận, chính xác giải toán Có thói quen tự kiểm tra công việc mình vừa làm Đoàn kết, có trách nhiệm làm việc theo nhóm II.LÝ THUYẾT Hệ thức Viét Định lí: (SGK) (51) Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x và x2 thì: x1 + x2 = −b a c x1.x2= a VD Cho phương trình: x2 – 3x – 10 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 ( vì có a và c trái dấu) nên: x1 + x2 = −b =3 a c ; x1.x2= a =−10 KL phương trình đã cho có nghiệm là x1= -2; x2= III BÀI TẬP Câu 1: giải phương trình: 2x2 – 5x + = có a = 2; b = - 5; c = ta thấy a + b + c= 2+(-5) +3 = b, phương trình đã cho có nghiệm là x = c 3 Theo Hệ thức Viét ta có:x1.x2= a x2 = x2 = KL phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x2 = Câu 2: (3 điểm) Cho phương trình : x2 - 2(m +1)x – = (*) (với m là tham số) a Giải phương trình (*) m = b Tìm điều kiện m để phương trình (*) có nghiệm kép c Tìm điều kiện m để phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 GIẢI a Khi m = phương trình ( * ) có dạng x2 – 2x – = 3 Ta có: a–b+c = nên pt có nghiệm là x1 = -1, x2 = = b Pt có nghiệm kép ’ = (m + 1)2 + = m2 + 2m + = ’(m) = – = -3 < không tìm m thoả mãn không có m làm cho pt (*) có nghiệm kép c) PT (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 +) ’ m2 + 2m + = (m + )2 + 0 luôn đúng +) Theo định lí Vi ét ta có: b m 1 S x1 x2 a P x x c a 2 x12 x22 x1 x2 2x1 x x12 x 2 m 1 x12 x 22 4m 8m 10 Theo bài: x12 + x22 = 10 4m 8m 10 =10 m = 0; m = -2 Câu 3: Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng là 109 Tìm hai số đó Gọi số nhỏ là x (x thuộc N*) thì số lớn là x + Theo bài ta có PT: x (x+1) – (x+1+x) = 109 ; (52) x2 – x – 110 = 441 441 21 x1 = 11 x = -10 (Loại) Vậy hai số cần tìm là 11 và 12 Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2x + m – = a) Xác định các hệ số a, b, c phương trình và tính Δ theo m b) Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x12 +x22 = Câu Phương trình x2 – 2x + m – = có a = ; b = - ; c = m – a) Ta có Δ = b2 – 4ac = 4m + x1 x2 b a x1.x2 c a m x x 2 m 2 Ta có CÂU 5: (2đ)Không giải phương trình, dựng hệ thức Vi-ét tính tổng và tích các nghiệm phương trình bậc hai: (2 - ) x2 - (2 + ) x + - = ĐÁP ÁN x1; x2 theo hệ thức Vi-ét ta có 2 1- x1 x (2 ) 7 x1.x (1 - 3)( 3) 2 ; Câu 6: ( điểm ) Cho phương trỡnh: 2x2 + ( m - 1) x + m2 – = a) Tỡm giỏ trị m để phương trỡnh cú nghiệm x1 = b)Dựng hệ thức Viét để tỡm nghiệm x2 = ? đáp án a) Muốn cho phương trình có nghiệm x = ta phải có 2.22 + (2m - 1) + m2 - = m2 + 4m + = (m + 2)2 = m = -2 m2 m2 x2 4 b) Nhờ hệ thức Vi-ét ta có x1.x2 = Câu 7.(1,5 điểm) Cho phương trình x2 + 2(m-1) – m2 =0 với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2, hãy tính x12 + x22 theo m đáp án : a, Phương trình có các hệ số : a = 1, b = 2b’=2(m-1), c = -m2 ’ = (m-1)2 -1.(-m2) = (m-1)2 +m2 > 0, với m Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt b, Theo hệ thức Viét : x1+ x2 = -2(m-1) ; x1x2 = -m2 Ta có : x12+ x22 = (x1+x2)2 –2x1x2 Suy : x + x = 2(m 1) -2.(-m2) 2 (53) = 4m2-8m+4 +2m2 = 6m2 -8m +4 IV.BÀI TẬP TỔNG HỢP TỰ LUYỆN ( ĐỀ THI HKỲ 2CỦA PGD&ĐT- THI VÀO 10) Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a) 2x2 – 5x -7 = d) 2x4 +3x2 – = Bài 2: (1,5điểm )Cho hàm số (P) : y = 2x2 (1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1) 2 x y 1 c) 3x y 12 1 ;m b) Tìm giá trị m cho điểm A thuộc đồ thị hàm số (1) Bài 1: (2 điểm) 1, Cho phương trình x2 – 2(m-4)x-8m-19 = (1) (ẩn x, m là tham số ) a) Giải phương trình (1) m= -1 b) Chúng minh với giá trị m thì phương trrình (1) luôn có nghiệm phân biệt Bài 2: (1,5điểm ) 1 1; a) Xác định hệ số a hàm số y = ax2 biết đồ thị nó qua điểm A b) Vẽ đồ thị hàm số đó Bài 3: (1,5điểm ) a) Tìm hai số a và b biết a+b =12 và a.b = 35 Ph¬ng tr×nh bËc hai+hÖ thøc vi-Ðt Tãm t¾t lÝ thuyÕt: C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) = b2 - 4ac * NÕu > ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt -b - -b + 2a 2a x1 = ; x2 = -b * NÕu = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 2a * NÕu < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý 1: Trong trêng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiªm thu gän ' = b'2 - ac -b' - ' -b' + ' a a * NÕu ' > ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = (54) -b' * NÕu ' = ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = a * NÕu ' < th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm c Chó ý 2:* NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = vµ x2 = a Chó ý 3:* NÕu a - b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 vµ x2 = Chó ý 4: c a -b x1 x = a x x c a * HÖ thøc viÐt trêng hîp ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo ' x - 25x - 25 = x2 - 4x + = 6x2 - 5x + = 9x2 - 6x + = 7x - 13x + = -3x2 + 2x + = 3x + 5x + 60 = x2 - 6x + = 2x + 5x + = 3x2 - 6x + = 5x2 - x + = 3x2 - 12x + = x - 3x -7 = 5x2 - 6x - = x - x - 10 = 3x2 + 14x + = 4x2 - 5x - = -7x2 + 6x = - 10 2x - x - 21 = 10 x2 - 12x + 32 = 11 6x + 13x - = 11 x2 - 6x + = 12 56x2 + 9x - = 12 9x2 - 38x - 35 = 13 10x + 17x + = 13 2 x x +2 =0 14 7x2 + 5x - = 14 x2 - 6x - = 15 x + 17x + = 15 2x2 - 2 x + = Bµi tËp 2: Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai giải a) 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) - 15 b) x2 + 7x - = x(x - 1) - c) 2x2 - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + d) 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2 e) -6x2 + x - = -3x(x - 1) - 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - = x(x +3) + g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - Bµi tËp 3: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = 2; m = - 2; m = 5; m = -5; m = 3; m = 7; m=-4 b) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt x = 3; x = -3; x = 2; x = 5; x = 6; x = -1 (55) c) Tìm các giá trị m để phơng trình trên có nghiệm kép Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m=-8 b) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) Tìm các giá trị m để phơng trình trên có nghiệm kép Bµi tËp 5:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m lÇn lît b»ng c¸c gi¸ trÞ: m = -2; m = 3; m = 7; m = - 4; m = 2; m = -7; m=-8 b) Tìm các giá trị m để phơng trình có nghiệm x lần lợt x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3 c) Tìm các giá trị m để phơng trình trên có nghiệm kép Bµi tËp 6: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2 Bµi tËp 7: Cho ph¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Với giá trị nào m thì phơng trình đã cho vô nghiệm d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 Bµi tËp 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt d) Với giá trị nào m thì phơng trình đã cho vô nghiệm e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2 Bµi tËp 9: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m - ) x + m + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Với giá trị nào m thì phơng trình đã cho vô nghiệm d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2 Bµi tËp 10: BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 11:BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1 T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 12:BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - (6m + )x - 3m2 + m - = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 13:BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m + )x + m2 - 3m + = ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm x = -1 T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 14: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu d)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bµi tËp 15: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt (56) f) Khi ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi tËp 16:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = - b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm còn lại c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = e) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x12 + x22 Bµi tËp 17: Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m Bµi tËp 18: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a c) T×m gi¸ trÞ nhá nhËt cña biÓu thøc A = x12 + x22 Bµi tËp 19: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m- 6)x + m -13 = a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1 x2 - x12 - x22 Bµi tËp 20: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2 Bµi tËp 21: Cho ph¬ng tr×nh: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m Bài tập 22: Tìm giá trị m để các nghiệm x1, x2 phơng trình ¿ mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x 21+ x 22=1 ¿ Bài tập 23:Cho phơng trình x - 2(m - 2)x + (m + 2m - 3) = Tìm m để phơng trình có 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n 1 x1 + x2 + = x1 x2 Bµi tËp 24:Cho ph¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham sè) a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 25: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 Bµi tËp 26: Cho ph¬ng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm (57) b) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu Khi đó hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m Bµi tËp 27: a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung T×m nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm phơng trình (1) là nghiệm phơng trình (2) và ngợc lại Bµi tËp 28: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 - (2m - 1)x + m – = Tìm m để x 21+ x 22 có giá trị nhỏ Bµi tËp 29: Gäi x1; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A =x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi tËp 30: Gäi x1, x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh.x2 + 2(m - 2)x - 2m + = ¿ Tìm m để x 21+ x 22 có giá trị nhỏ ¿ Bµi tËp 31: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bµi tËp 32: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m lµ tham sè) T×m m cho ¿ nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mãn 10x1x2 + x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị ¿ đó (58) (59) Câu Cho tam giác ABC nhọn B 60 nội tiếp đờng tròn (O;3cm).Vẽ Hai đờng cao BE và CF c¾t t¹i H a) Chøng minh r»ng tø gi¸c AEHF néi tiÕp b) TÝnh độ dài cung nhỏ AC c) Chøng minh r»ng đường thẳng OA vuông góc với EF Câu 3.(2,0 điểm) Giải bài toán các lập phương trình hệ phương trình: Quảng đường từ A đến B dài 120km Hai ôtô khởi hành cùng lúc từ A đến B Ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 12km/h nên đến nơi sớm h ơn Ôtô th ứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Gọi x km/h là vận tốc ôtô thưa nhất, điều kiện x > 12 Vận tốc ôtô thứ hai là x -12 km/h 120 Thời gian ôtô thứ từ A đến B x (giờ) 120 Thời gian ôtô thứ hai từ A đến B x 12 (giờ) Vì ôtô thứ đến nơi sớm ôtô thứ hai 30 phút= nên 120 120 ta có phương trình x 12 - x = Rút gọn phương trình ta được: x2 -12x -2880 = Giải ta x1 = 60 (nhận), x2 = -48 (loại) Vậy vận tốc xe thứ là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là 60-12 = 48 km/h (60) Câu 3: (1 điểm) Hai người cùng làm chung công việc thì sau 30 phút họ làm xong Nếu mình người thứ làm giờ, sau đó mình người thứ hai làm thì hai người làm 75% công việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong công việc? (Biết suất làm việc người là không thay đổi) Gọi thời gian người thứ làm mình xong công việc là x (h) Gọi thời gian người thứ hai làm mình xong công việc là y (h) 9 ( Đk: x > , y > ) 1 Trong gìờ người thứ làm x (công việc); người thứ hai làm y (công việc) ; 1 2 hai người làm (công việc) nên ta có phương trình x y (1) Vì mình người thứ làm giờ,sau đó mình người thứ hai làm 3 thì hai người làm 75% công việc nên x y (2) 1 1 x y 9 x 12 1 3 x y y 36 Từ (1) và (2) ta có hpt: x 12 36 y (thoả mãn điều kiện ) Vậy người thứ mình làm xong công việc 12 Người thứ hai mình làm xong công việc 7giờ 12 phút Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C cho AC < BC (C A) Tiếp tuyến Bx đường tròn (O) cắt đường trung trực BC D Gọi F là giao điểm DO và BC a) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn (O) b) Gọi E là giao điểm AD với đường tròn (O) (với E A) Chứng minh DE.DA = DC2 = DF.DO c) Gọi H là hình chiếu C trên AB, I là giao điểm AD và CH Chứng minh I là trung điểm CH - Vẽ hình đúng, ghi GT, KL (61) a) Xét ΔBCD có DF là đường trung trực BC nên CD = BD - c/m ΔOBD=ΔOCD(c.c.c) => OCD OBD 0 Mà OBD 90 OCD 90 mà C thuộc (O) Suy CD là tiếp tuyến đường tròn (O) b) - Vì BD là tiếp tuyến (O) nên BD OB => ΔABD vuông B Vì AB là đường kính (O) nên AE BE Áp dụng hệ thức lượng ΔABD ( ABD=90 ;BE AD) ta có BD2 = DE.DA Mà DB = CD nên CD2 = DE.DA (1) - Áp dụng hệ thức lượng ΔOCD (có OCD=90 ; CF OD) ta có CD2 = DF.DO (2) Từ (1) và (2) suy DE.DA = DC2 = DF.DO (Đpcm) c) Có CH //BD ( cùng vuông góc AB) => HCB=CBD (hai góc vị trí so le trong) mà ΔBCD cân D => CBD DCB nên CB là tia phân giác HCD Do CA CB => CA là tia phân giác góc ngoài đỉnh C ΔICD AI HI = Trong ΔABD có HI // BD => AD BD (2) CI HI = Từ (1) và (2) => CD BD mà CD=BD CI=HI I là trung điểm CH (ĐPCM) AI CI = AD CD (1) (62) Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 (63) Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiÕp Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 900 CF là đờng cao => CF AB => BFC = 900 Nh E và F cùng nhìn BC dới góc 900 => E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung => AEH ADC => AE = AH => AE.AC = AH.AD AD AC * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung => BEC ADC => BE = BC => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 = C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB HM => CHM c©n t¹i C => CB là đơng trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED Chøng minh t¬ng tù ta còng cã FC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DFE mµ BE vµ CF c¾t t¹i H đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE CEH = 900 ( Vì BE là đờng cao) Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng trßn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: CDH = 900 ( Vì AD là đờng cao) => CEH + CDH = 1800 (64) Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiÕp Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 900 AD là đờng cao => AD BC => BDA = 900 Nh E và D cùng nhìn AB dới góc 900 => E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đờng cao nên là đờng trung tuyến => D lµ trung ®iÓm cña BC Theo trªn ta cã BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E Vậy DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) E Theo gi¶ thiÕt AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm ¸p dông định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt N Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900 Chøng minh AC BD = AB 4 Chøng minh OC // BM Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD Chøng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhá nhÊt Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900 Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh (65) Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ hình thang Lại có I là trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đờng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB là tiếp tuyến O đờng tròn đờng kính CD Theo trªn AC // BD => CN = AC , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy BN BD CN CM = BN DM => MN // BD mµ BD AB => MN AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhÊt CD nhá nhÊt , mµ CD nhá nhÊt CD lµ kho¶ng c¸ch gi÷ Ax vµ By tøc lµ CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lêi gi¶i: (HD) Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc A nªn BI vµ BK lµ hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï đỉnh B Do đó BI BK hayIBK = 900 T¬ng tù ta còng cã ICK = 900 nh vËy B vµ C cïng n»m trên đờng tròn đờng kính IK đó B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = √ 202 − 122 = 16 ( cm) 2 CH2 = AH.OH => OH = CH =12 OC = = (cm) AH 16 2 2 √ OH +HC =√ + 12 =√ 225 = 15 (cm) Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp (HS tù lµm) Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn V× K lµ trung ®iÓm NP nªn đờng tròn OK NP ( quan hệ đờng Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 kÝnh Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng th¼ng d Lêi gi¶i: (66) Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh K, A, B cùng nhìn OM dới góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kÝnh OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ đờng cao áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH AB; còng theo trªn OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đờng thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động nhng luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d là nửa đờng tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE là tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Lêi gi¶i: (HD) AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyÕn cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n => B1 = B2 Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH vµ BE AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó ®iÓm P cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh BM // OP (67) §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Lêi gi¶i: (HS tù lµm) Ta cã ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM => ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c AOM AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm PO ( t/c đờng chéo hình chữ nhật) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đờng cao => IK PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, c¾t AM t¹i K 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng trßn Lêi gi¶i: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => KMF + KEF = 1800 Mµ KMF vµ KEF lµ hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Ta cã IAB = 900 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM IB ( theo trªn) áp dụng hệ thức cạnh và đờng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) (68) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đờng cao tam giác ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B BAF là tam giác cân B có BE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E lµ trung ®iÓm cña AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyÕn => E lµ trung ®iÓm cña HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iÓm cña cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 (8) Tõ (7) vµ (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI lµ h×nh thang c©n (h×nh thang cã hai gãc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt E, F (F B và E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Lêi gi¶i: C thuộc nửa đờng tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B có BC là đờng cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh và đờng cao ), mà AB là đờng kính nên AB = 2R không đổi đó AC AE không đổi ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kề bù) nên suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối tứ giác CDFE đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®MA vµ SP Chøng minh êng trßn r»ng tam gi¸c PS’M c©n (69) Chứng minh PM là tiếp tuyến đờng tròn Lêi gi¶i: Ta cã SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AMS = 900 Nh P và M cùng nhìn AS dới góc 900 nên cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AS Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đờng tròn nên M’ nằm trên đờng tròn => hai cung AM và AM’ có số ®o b»ng => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( cùng vuông gãc víi AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’ Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S) (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyến đờng tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) c¸c ®iÓm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM = DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp CB CF Lêi gi¶i: (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE) Chøng minh t¬ng tù ta cã DFE < 900; EDF < 900 Nh vËy tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => AB AC => DF // BC DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp đợc đờng tròn Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác c©n) BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF => BDM CBF => BD =BM CB CF (70) Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn N đờng tròn P Chứng minh : Tam gi¸c ONC c©n t¹i O Tø gi¸c OMNP néi tiÕp v× cã ON = OC = R => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh ONC = OCN CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n thẳng cố định nào Lêi gi¶i: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ) Nh vËy M vµ N cïng nh×n OP díi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cùng nằm trên đờng tròn đờng kính OP => Tứ giác OMNP nội tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) => OPM = OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (néi tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC CM CO => CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đờng thẳng cố định vuông góc với CD D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) (71) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đợc đờng tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung hai nửa đờng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC AE AF ( theo Chøng minh trªn) => AEF ACB => AC AB => AE AB = AF AC * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tơng tự ta có O2F EF Vậy EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng trßn Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ mét phía AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tù lµ O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự là giao ®iÓm cña EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nửa đờng tròn (I), (K) TÝnh MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Lêi gi¶i: Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đờng tròn t©m K) => ENC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bï).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình ch÷ nhËt ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N Chøng minh t¬ng tù ta còng cã MN lµ tiÕp tuyÕn cña (I) t¹i M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm (72) Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Gọi E là giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Lêi gi¶i: Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nửa đờng tròn ) => CDB = 900 nh D và A cùng nhìn BC dới góc 900 nên A và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung b»ng nhau) => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh BA, EM, CD là ba đờng cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy Theo trªn Ta cã SM EM => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 900 Tø gi¸c AMEB cã MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mµ ®©y lµ hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đờng tròn => A2 = B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (H×nh b) (73) C©u : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS => CE CS SM EM => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chøng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy Lêi gi¶i: XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB CAB Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ gi¸c néi tiÕp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng trßn ) hay BFC = 900 nh vËy F vµ A cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 900 nªn A vµ F cïng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đờng cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy t¹i S Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M kh«ng trïng B C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: 1 Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; => SACM = AC.MQ MQ AC (gt) => AQM = 900 nh vËy P vµ Q cïng nh×n BC díi góc 900 nên P và Q cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp * Vì AM là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ lµ trung ®iÓm cña AM Tam giác ABC có AH là đờng cao => SABC = BC.AH Tam giác ABM có MP là đờng cao => SABM = AB.MP Tam giác ACM có MQ là đờng cao (74) 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH là đờng cao nên là đờng phân giác => HAP = HAQ => HQ HP ( tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH là đờng cao => OH PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C và D Gọi I là giao điểm AD và BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh các đờng thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiÕp Lêi gi¶i: Ta có : ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MCI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đờng tròn ) => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCID nªn MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn Ta cã BC MA; AD MB nªn BC vµ AD là hai đờng cao tam giác MAB mà BC và AD cắt I nªn I lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB Theo gi¶ thiÕt th× MH AB nên MH là đờng cao tam giác MAB => AD, BC, MH đồng quy I OAC c©n t¹i O ( v× OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 = C4 KCM c©n t¹i K ( v× KC vµ KM lµ b¸n kÝnh) => M1 = C1 Mµ A1 + M1 = 900 ( tam gi¸c AHM vu«ng t¹i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( v× gãc ACM lµ gãc bÑt) hay OCK = 900 XÐt tø gi¸c KCOH Ta cã OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mµ OHK và OCK là hai góc đối nên KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB Qua M kÎ d©y cung DE vu«ng gãc víi AB Nèi CD, KÎ BI vu«ng gãc víi CD Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Theo gi¶ thiÕt M lµ trung Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi ®iÓm cña AB; DE AB t¹i M Chøng minh BI // AD nªn M còng lµ trung ®iÓm cña Chøng minh I, B, E th¼ng hµng DE (quan hệ đờng kính và dây Chøng minh MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) cung) Lêi gi¶i: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BID = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï); DE AB t¹i M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ gi¸c MBID nªn MBID lµ tø gi¸c néi tiÕp (75) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) Theo gi¶ thiÕt ADBE lµ h×nh thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đờng thẳng song song với AD mà th«i.) I, B, E th¼ng hµng nªn tam gi¸c IDE vu«ng t¹i I => IM lµ trung tuyÕn ( v× M lµ trung ®iÓm cña DE) =>MI = ME => MIE c©n t¹i M => I1 = E1 ; O’IC c©n t¹i O’ ( v× O’C vµ O’I cïng lµ b¸n kÝnh ) => I3 = C1 mµ C1 = E1 ( Cïng phô víi gãc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mµ I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I t¹i I => MI lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 20 Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính qua điểm C (O) và (O’) DE là dây cung (O) vuông góc với AB t¹i trung ®iÓm M cña AB Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên đờng trßn Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Lêi gi¶i: BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => CGD = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) Theo gi¶ thiÕt DE AB t¹i M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác néi tiÕp BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE AB t¹i M) nh vËy F vµ M cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn F vµ M cïng n»m trªn đờng tròn đờng kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên đờng tròn Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña AB; DE AB t¹i M nªn M còng lµ trung ®iÓm DE (quan hệ đờng kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đờng chéo vuông góc với trung điểm đờng ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => AD DF ; theo trên tứ giác ADBE lµ h×nh tho => BE // AD mµ AD DF nªn suy BE DF Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BF DF mà qua B có đờng thẳng vuông góc với DF đo B, E, F thẳng hàng (76) Theo trªn DF BE; BM DE mµ DF vµ BM c¾t t¹i C nªn C lµ trùc t©m cña tam giác BDE => EC là đờng cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo trªn DF BE => DEF vu«ng t¹i F cã FM lµ trung tuyÕn (v× M lµ trung ®iÓm cña DE) suy MF = 1/2 DE ( v× tam gi¸c vu«ng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn) (HD) theo trªn MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF c©n t¹i M => D1 = F1 O’BF c©n t¹i O’ ( v× O’B vµ O’F cïng lµ b¸n kÝnh ) => F3 = B1 mµ B1 = D1 (Cïng phô víi DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mµ F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF O’F t¹i F => MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 21 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I ®i qua A, trªn (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chứng minh các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc t¹i A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn nhÊt Lêi gi¶i: Ta cã OI = OA – IA mµ OA vµ IA lÇn lît lµ c¸c b¸n kÝnh đờng tròn (O) và đờng tròn (I) Vậy đờng tròn (O) và đờng tròn (I) tiếp xúc A OAQ c©n t¹i O ( v× OA vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = Q1 IAP c©n t¹i I ( v× IA vµ IP cïng lµ b¸n kÝnh ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy IP // OQ APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => OP AQ => OP là đờng cao OAQ mà OAQ cân O nên OP là đờng trung tuyến => AP = PQ (HD) Kẻ QH AB ta có SAQB = AB.QH mà AB là đờng kính không đổi nên SAQB lớn nhÊt QH lín nhÊt QH lín nhÊt Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB §Ó Q trïng víi trung ®iÓm cña cung AB th× P ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AO ThËt vËy P lµ trung ®iÓm cña cung AO => PI AO mµ theo trªn PI // QO => QO AB t¹i O => Q là trung điểm cung AB và đó H trung với O; OQ lớn nên QH lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABCD lµ h×nh vu«ng nªn BCD = 900; BH DE t¹i H nªn BHD = 900 => nh vËy H vµ C cïng nh×n BD díi mét gãc b»ng 900 nªn H vµ C cïng n»m trªn đờng tròn đờng kính BD => BHCD là tứ giác nội tiếp BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => BDC + BHC = 1800 (1) BHK lµ gãc bÑt nªn KHC + BHC = 1800 (2) Tõ (1) vµ (2) => CHK = BDC mµ BDC = 450 (v× ABCD lµ h×nh vu«ng) => CHK = 450 XÐt KHC vµ KDB ta cã CHK = BDC = 450 ; K lµ gãc chung (77) KC KH => KHC KDB => KB KD => KC KD = KH.KB (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E B thì H B; E C thì H C) Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c ABC t¹i F, chøng minh FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh ®iÓm b, k, e, m, c cùng nằm trên đờng tròn Chứng minh MC là tiếp tuyến đờng tròn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt ABHK lµ h×nh vu«ng => BAH = 450 Tø gi¸c AEDC lµ h×nh vu«ng => CAD = 450; tam gi¸c ABC vu«ng ë A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng Ta có BFC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) nên tam giác BFC vuông F (1) FBC = FAC ( néi tiÕp cïng ch¾n cung FC) mµ theo trªn CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) suy FBC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i F Theo trªn BFC = 900 => CFM = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); CDM = 900 (t/c h×nh vu«ng) => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp đờng trßn suy CDF = CMF , mµ CDF = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta còng cã CEB = 450 (v× AEDC lµ h×nh vu«ng); BKC = 450 (v× ABHK lµ h×nh vu«ng) Nh vËy K, E, M cïng nh×n BC díi mét gãc b»ng 450 nªn cïng n»m trªn cung chøa gãc 450 dựng trên BC => điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên đờng tròn CBM cã B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC BC t¹i C => MC lµ tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA và BC D và E Chøng minh AE = EB A Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE, Chøng minh r»ng ®D êng trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña F BH O H Chứng minh OD là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp / _ tam gi¸c BDE _K 1 / I Lêi gi¶i: AEC = 90 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) E C => AEB = 900 ( v× lµ hai gãc kÒ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE B = 45 => AEB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i E => EA = EB Gọi K là trung điểm HE (1) ; I là trung điểm HB => IK là đờng trung bình cña tam gi¸c HBE => IK // BE mµ AEC = 900 nªn BE HE t¹i E => IK HE t¹i K (2) Tõ (1) vµ (2) => IK lµ trung trùc cña HE VËy trung trùc cña ®o¹n HE ®i qua trung ®iÓm I cña BH (78) theo trªn I thuéc trung trùc cña HE => IE = IH mµ I lµ trung ®iÓm cña BH => IE = IB ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => BDH = 900 (kề bù ADC) => tam giác BDH vu«ng t¹i D cã DI lµ trung tuyÕn (do I lµ trung ®iÓm cña BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID Ta cã ODC c©n t¹i O (v× OD vµ OC lµ b¸n kÝnh ) => D1 = C1 (3) IBD c©n t¹i I (v× ID vµ IB lµ b¸n kÝnh ) => D2 = B1 (4) Theo trên ta có CD và AE là hai đờng cao tam giác ABC => H là trực tâm tam giác ABC => BH là đờng cao tam giác ABC => BH AC F => AEB có AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 => B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD ID D => OD là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) B và C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ các đờng vu«ng gãc MI, MH, MK xuèng c¸c c¹nh t¬ng øng BC, AC, AB Gäi giao ®iÓm cña BM, IK lµ P; giao ®iÓm cña CM, IH lµ Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n C¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp Chøng minh MI2 = MH.MK Chøng minh PQ MI Lêi gi¶i: Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AB = AC => ABC c©n t¹i A Theo gi¶ thiÕt MI BC => MIB = 900; MK AB => MKB = 900 => MIB + MKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK néi tiÕp * ( Chøng minh tø gi¸c CIMH néi tiÕp t¬ng tù tø gi¸c BIMK ) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => KMI + KBI = 1800; tø gi¸c CHMI néi tiÕp => HMI + HCI = 1800 mµ KBI = HCI ( v× tam gi¸c ABC c©n t¹i A) => KMI = HMI (1) Theo trªn tø gi¸c BIMK néi tiÕp => B1 = I1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung KM); tø gi¸c CHMI néi tiÕp => H1 = C1 ( néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) Mµ B1 = C1 ( = 1/2 s® BM ) => I1 = H1 (2) MI MK Tõ (1) vµ (2) => MKI MIH => MH MI => MI2 = MH.MK Theo trªn ta cã I1 = C1; còng chøng minh t¬ng tù ta cã I2 = B2 mµ C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mµ ®©y lµ hai gãc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị nhau) Theo giả thiết MI BC nên suy IM PQ Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M là ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB Chøng minh : => CAM = BAM KC = AC AM lµ tia ph©n gi¸c cña CMD Tø gi¸c (hai gãc néi tiÕp ch¾n KB AB hai cung b»ng nhau) OHCI néi tiÕp Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC là tiếp tuyến đờng tròn M Lêi gi¶i: Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => MB MC (79) => AK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAB => KC = AC KB AB gi¸c cña tam gi¸c ) ( t/c tia ph©n (HD) Theo gi¶ thiÕt CD AB => A lµ trung ®iÓm cña CD => CMA = DMA => MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD (HD) Theo gi¶ thiÕt M lµ trung ®iÓm cña BC => OM BC t¹i I => OIC = 900 ; CD AB H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác OHCI néi tiÕp KÎ MJ AC ta cã MJ // BC ( v× cïng vu«ng gãc víi AC) Theo trªn OM BC => OM MJ J suy MJ là tiếp tuyến đờng tròn M Bài 27 Cho đờng tròn (O) và điểm A ngoài đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) B và C Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M kh¸c B, C), tõ M kÎ MH BC, MK CA, MI AB Chøng minh : Tø gi¸c ABOC néi tiÕp BAO = BCO MIH MHK MI.MK = MH2 Lêi gi¶i: (HS tù gi¶i) Tø gi¸c ABOC néi tiÕp => BAO = BCO (néi tiÕp cïng ch¾n cung BO) Theo gi¶ thiÕt MH BC => MHC = 900; MK CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác MHCK nội tiếp => HCM = HKM (néi tiÕp cïng ch¾n cung HM) Chøng minh t¬ng tù ta cã tø gi¸c MHBI néi tiÕp => MHI = MBI (néi tiÕp cïng ch¾n cung IM) Mµ HCM = MBI ( = 1/2 s® BM ) => HKM = MHI (1) Chøng minh t¬ng tù ta còng cã KHM = HIM (2) Tõ (1) vµ (2) => HIM KHM MI MH Theo trªn HIM KHM => MH MK => MI.MK = MH2 Bµi 28 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E lµ ®iÓm đối xứng H qua BC; F là điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F nằm trên đờng tròn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n (80) Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Lêi gi¶i: Theo giả thiết F là điểm đối xứng H qua trung ®iÓm I cña BC => I lµ trung ®iÓm BC vµ HE => BHCF lµ h×nh bình hành vì có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng (HD) Tø gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => BAC + B’HC’ = 1800 mà BHC = B’HC’ (đối đỉnh) => BAC + BHC = 1800 Theo trªn BHCF lµ h×nh b×nh hµnh => BHC = BFC => BFC + BAC = 1800 => Tø gi¸c ABFC néi tiÕp => F thuéc (O) * H và E đối xứng qua BC => BHC = BEC (c.c.c) => BHC = BEC => BEC + BAC = 1800 => ABEC néi tiÕp => E thuéc (O) Ta có H và E đối xứng qua BC => BC HE (1) và IH = IE mà I là trung ®iÓm cña cña HF => EI = 1/2 HE => tam gi¸c HEF vu«ng t¹i E hay FE HE (2) Tõ (1) vµ (2) => EF // BC => BEFC lµ h×nh thang (3) Theo trªn E (O) => CBE = CAE ( néi tiÕp cïng ch¾n cung CE) (4) Theo trên F (O) và FEA =900 => AF là đờng kính (O) => ACF = 900 => BCF = CAE ( v× cïng phô ACB) (5) Tõ (4) vµ (5) => BCF = CBE (6) Tõ (3) vµ (6) => tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang c©n Theo trên AF là đờng kính (O) => O là trung điểm AF; BHCF là hình bình hành => I là trung điểm HF => OI là đờng trung bình tam giác AHF => OI = 1/ AH Theo giả thiết I là trung điểm BC => OI BC ( Quan hệ đờng kính và dây cung) => OIG = HAG (vì so le trong); lại có OGI = HGA (đối đỉnh) => OGI HGA => GI OI GA HA mµ OI = AH GI => GA mµ AI lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC (do I lµ trung ®iÓm cña BC) => G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Bài 29 BC là dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động trên cung lớn BC cho O luôn nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác A’ lµ trung ®iÓm cña HK => ABC OK là đờng trung bình Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’ AHK => AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vÞ trÝ A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn Lêi gi¶i: (HD) Tø gi¸c BFEC néi tiÕp => AEF = ACB (cïng bï BFE) AEF = ABC (cïng bï CEF) => AEF ABC Vẽ đờng kính AK => KB // CH ( cùng vuông góc AB); KC // BH (cïng vu«ng gãc AC) => BHKC lµ h×nh b×nh hµnh => áp dụng tính chất : hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hia trung tuyến, tỉ số hai bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng ta có : (81) R AA ' R ' AA1 (1) đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC; R’ là AEF ABC => bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF; AA’ là trung tuyến ABC; AA1 là trung tuyến cña AEF Tứ giác AEHF nội tiếp đờng tròn đờng kính AH nên đây là đờng tròn ngoại tiếp AEF AH A 'O Tõ (1) => R.AA1 = AA’ R’ = AA’ = AA’ VËy R AA1 = AA’ A’O (2) Gäi B’, C’lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AC, AB, ta cã OB’AC ; OC’AB (b¸n kÝnh ®i qua trung điểm dây không qua tâm) => OA’, OB’, OC’ lần lợt là các đờng cao các tam gi¸c OBC, OCA, OAB = ( OA’ BC’ + OB’ AC + OC’ AB ) SABC = SOBC+ SOCA + SOAB 2SABC = OA’ BC + OB’ AC’ + OC’ AB (3) AA1 AA1 Theo (2) => OA’ = R AA ' mà AA ' là tỉ số trung tuyến hai tam giác đồng dạng AA1 EF FD ED AEF vµ ABC nªn AA ' = BC T¬ng tù ta cã : OB’ = R AC ; OC’ = R AB Thay vµo (3) ta đợc EF FD ED BC AC AB AC AB 2SABC = R ( BC ) 2SABC = R(EF + FD + DE) * R(EF + FD + DE) = 2SABC mà R không đổi nên (EF + FD + DE) đạt gí trị lớn SABC Ta có SABC = AD.BC BC không đổi nên SABC lớn AD lớn nhất, mà AD lớn A lµ ®iÓm chÝnh giìa cña cung lín BC Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O; R), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t (O) t¹i M VÏ đờng cao AH và bán kính OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH Gi¶ sö B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R Lêi gi¶i: (HD) AM lµ ph©n gi¸c cña BAC => BAM = CAM => BM CM => M lµ trung ®iÓm cña cung BC => OM BC; Theo gi¶ thiÕt AH BC => OM // AH => HAM = OMA ( so le) Mµ OMA = OAM ( v× tam gi¸c OAM c©n t¹i O cã OM = OA = R) => HAM = OAM => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc OAH (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) Trừ hai vế hai phơng trình hệ (II) ta đợc P.TR: (3- m).x = (*) P.TR (*) v« nghiÖm m -3 = => m =3 VËy hÖ ph¬ng tr×nh (II) v« nghiÖm m = (1,5 ®iÓm) ¿ y=− mx+ 7(d ) ( HS có thể dựa vào phơng pháp hình học để tìm m: ( II) <=> y=− x +9 (d ' ) ¿{ ¿ đờng thẳng (d) / / đờng thẳng (d’) m =3) C©u (4 ®iÓm) * Gäi vËn tèc cña ngêi ®i xe m¸y lµ x ( km/ h) x>0 Vận tốc ngời xe đạp là y ( km/ h) y>0 §æi 50 phót = (h) * Khi ®i ngîc chiÒu Xe máy (h) đợc x (km) 6 Xe đạp (h) đợc y (km) 6 * Lập đợc phơng trình : x + y = 40 (1 ) 6 (0,25 ®) ( 0,25 ® ) ( 0,25 ® ) ( 0,5 ®) * Khi cùng chiều hớng từ A đến B chúng gặp xe máy nhanh xe đạp đúng quãng đờng AB nên ta có phơng trình: 2x - 2y = 40 (2) (1 ® ) Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 5 x + y=40 6 x −2 y=40 ¿{ ¿ * Giải hệ tìm đợc x = 34 * BL, tr¶ lêi y= 14 ( 1, ® ) ( 0,25 ® ) ………………………………………………………………………………………… SỞ GD& ĐT TUYÊN QUANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học: 2010 - 2011 Đề thi: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC ( Không kể thời gian giao đề) P 1 Câu 1.(1,5 điểm) Cho biểu thức a a a a , ( với a 0 và a 1 ) a) Rút gọn biểu thức P ; b) Tính giá trị biểu thức P Câu ( 2,5 điểm) a ( m 1) x y 3 Cho hệ phương trình (3 2m) x y 4 , ( ẩn là x , y ) (I) (92) a) Giải hệ phương trình (I) m 3 ; b) Với giá trị nào m thì hệ phương trình (I) có nghiệm nhất? 1 1 x x 0 x x Giải phương trình: Câu (2 điểm ) Theo kế hoạch, nhóm học sinh phải ươm 105 cây giống vườn ươm nhà trường Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia nên bạn phải ươm thêm cây hoàn thành kế hoạch Hỏi số học sinh ban đầu nhóm là bao nhiêu? ( Giả thiết số cây bạn phải ươm là nhau) Câu (2 điểm ) Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm và BC = 7,5cm C a) Chứng minh tam giác ABC vuông A Tính các góc B , và đường cao AH tam giác; b) Tìm tập hợp các điểm M cho diện tích tam giác ABC diện tích tam giác BMC Câu ( điểm ) Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R Gọi A là điểm trên đường tròn (O) khác B và C Đường phân giác góc BAC cắt BC D và cắt đường tròn (O) M a) Chứng minh : MB MC và OM BC ; b) Cho ABC 60 Tính DC theo R Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau : a) 2x2 – 5x -7 = d) 2x4 +3x2 – = Bài 2: (1,5điểm )Cho hàm số (P) : y = 2x2 (1) a) Vẽ đồ thị hàm số (1) x y 1 c) 3x y 12 1 ;m b) Tìm giá trị m cho điểm A thuộc đồ thị hàm số (1) Câu ( điểm ) Một người dự định từ thành phố A đến thành phố B xe máy ,nhưng cuối cùng lại ôtô nên đến B sớm dự định Tính vận tốc xe máy? Biết ô tô nhanh xe máy 10 km và quãng đường AB dài 200 km, Câu ( 3,5 điểm ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD = 10cm, CD = 6cm và BAD 60 Hai đờng chéo ACvà BD cắt E kẻ EE AD F a) Chøng minh tø gi¸c r»ng tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABD, vµ tam gi¸c ACD (93) c) Chøng minh GE r»ng CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCF Bài 5: (1,0 điểm )Cho phương trình x2 – 4x + 3m-3 = (1) với m là tham số.Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm thoả mãn : x12 + x22 =10 Giải: Gọi vận tốc xe MÁY là x( km/h) ĐK: x > Vậy vận tốc xe ÔTÔ là x + 10 (km/h) 200 ( h) Thời gian xe máy từ A đến B là: x 200 ( h) x 10 Thời gian xe ô tô từ A đến B : 200 200 1 x x 10 theo bài Ta có phương trình: x 10 x 2000 0 Giải phương trình ta được: x1 = 40 ( TMĐK) x2 = - 50 ( Loại) Trả lời: Vận tốc xe máy là: 40 km/h, Vận tốc xe ôtô là 50 km/h A Trắc nghiệm : (3 điểm) Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng Câu 1: (0,5 điểm) Phương trình 2x2 – x – = có hệ số c là : A B C – D -1 Câu 2: (0,5 điểm) Phương trình bậc hai ax + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm khi: A < B > C = D Câu 3: (0,5 điểm) Phương trình x – 5x – = có dạng : A a +b + c = B a + b - c = C a - b + c = D a- b - c = Câu 4: (0,5điểm) Phương trình 4x – 6x – = có hệ số b’ là : A B - C D Câu 5: (0,5 điểm) Cho phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) có ac < thì phương trình : A Có hai nghiệm phân biệt C Có nghiệm kép B Vô nghiệm D Không xác định Câu 6: (0,5 điểm) Cho pt: ax + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm kép Giá trị nghiệm kép là : (94) b a b B 2a 2b C a A ĐÁP ÁN: I Trắc nghiệm: (3 điểm) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm) Câu Đáp án C D C B II Tự luận : (7 điểm) b D 2a A B 2 x y 13 Bài tập – SGK /Tr133a) 3x y 3 2 x y 13 *Trường hợp y ta có hệ pt: 3x y 3 Nhân vế PT thứ với cộng vế với vế pt hệ ta được:11x = 22 x = Thay x = vào PT thứ ta được:3.2 - y = y = 2 x y 13(1) * Trường hợp y < ta có: 3x y 3(2) Nhân vế pt với trừ vế với vế hệ ta được: - 7x = x = - 5 ; ) thay vào (1') ta được: y = - Vậy nghiệm hệ là: (x,y)=(- ’ 3 x y 2 x y 1 b) 3 x y 4 x y 2 Vậy nghiệm hệ pt là: x = ; y = 7 x 0 x 0 x 0 2 y 2 4 x y 2 y 1 (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102)