Câu chuyện về các giả thuyết Weil là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm ( 1923 − 1973 ) .
9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T oá n h ọc h iện đại Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné Bắt đầu bangbang1 , 8-04 -2 02 - :1 Đã g ửi -0 -2 - :1 bangbang1412 Câu chuyện "các giả thuyết Weil" ví dụ tuyệt vời tốn học, ví dụ kinh điển thể thống toán học Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh đến từ sáu người: E Artin, F K Schmidt, H Hasse, A Weil, A Grothendieck P Deligne, khoảng năm mươi năm (1923 − 1973) I Số nghiệm phương trình đồng dư Như vấn đề lý thuyết số, câu chuyện Gauss Trong cơng trình luật thuận nghịch bình p phương mình, Gauss đưa công thức tổng Gauss ∑ exp ( 2πix ) với p nguyên tố; để tính tổng này, p s=0 số lập luận sơ cấp, ông suy cần tính số nghiệm phương trình đồng dư (1) ax − by ≡ 1 (mod p), ax − by ≡ 1 (mod p), y ≡ ax − 1 (mod p), a, b số nguyên cố định không chia hết cho p, nghiệm (x, y) xét theo đồng modulo p, thực chất ta đếm số nghiệm Fp - trường p phần tử; tìm biểu diễn asymptotic (dưới dạng hàm đơn giản p) với p chạy tập vô hạn số nguyên tố Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, tính chất tổng Gauss, ta thu đánh giá tốt số nghiệm trường hợp tổng quát hơn, phương pháp sơ cấp khó khả thi Jacobi sau gần khơng có nhiều tiến triển vấn đề Hardy Littlewood, nghiên cứu toán Warning, với mong muốn tìm tính chất "chuỗi kì dị", thấy cần phải đưa đánh giá tiệm cận cho số nghiệm cho phương trình đồng dư k k (2) x + +xr ≡ 0 (mod p), p số nguyên tố chạy tới +∞ Hai ông sử dụng phương pháp Jacobi; tổng quát hơn, năm 1949, Hua-Vandier A Weil độc lập chứng minh phương pháp đánh giá số nghiệm N phương trình k0 (3) a x trường Fq với q m = p kr + +a r xr = 0 (a , , a r ≠ 0) ; kết đưa (4) N = q r + O(q (r+1)/2 ) Kết tương tự đưa Danvenport (1931) Mordell (1933) cho phương trình dạng y Fp với số m, n nhỏ; Pn đa thức bậc n Kết thu N m = Pn (x) ϕ(m,n) = p + O(p ) 1/2 < ϕ(m, n) < Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Đã g ửi -0 -2 - :0 bangbang1412 II Hàm Zêta vào chơi https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ 1/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học ∞ Nhắc lại số tính chất hàm Zêta Riemann: xác định với Re(s) > chuỗi ζ(s) = ∑n −s , n=1 thỏa mãn phương trình Euler −s (5) ζ(s) = ∏ (1 − p −1 ) , p tích chạy tập tất số nguyên tố Riemann chứng minh ζ thác triển thành hàm phân hình mặt phẳng phức với cực s ξ = , đặt = s(s − 1)π −s/2 Γ(s/2)ζ(s), ξ hàm nguyên (xác định toàn mặt phẳng phức) thỏa mãn phương trình ξ(s) = Hơn ξ(1 − s) ơng giả thuyết (chưa chứng minh) giả thuyết Riemann nghiệm ξ nằm đường thẳng Re(s) = 1/2 Một thời gian sau, Dedekind mở rộng lý thuyết Riemann lên trường số K (mở rộng hữu hạn Q), cách định nghĩa ζK (s) = −s ∑(N a) , a chạy tất ideal vành o số đại số nguyên K a , chuẩn N a số phần tử vành o/a Ông mở rộng công thức Euler thành −s (6) ζK (s) = ∏ (1 − (N p) −1 ) , p tích chạy tất ideal nguyên tố p o; nhiều năm sau Hecke chứng minh χK thác triển thành hàm phân hình thỏa mãn phương trình hàm tương tự phương trình hàm Riemann cho Một cách hình thức, ta thấy (6) dùng hai tính chất vành o: 1) o vành Dedekind: 2) trường o/p ξ hữu hạn với ideal nguyên tố p Thật vậy, a = p1 v1 pr vr phân tích thành ideal nguyên tố ideal a o/a đẳng cấu với tích trực tiếp ∏ o/pi , với ideal nguyên tố p, o/p-module p vi h h+1 /p đẳng cấu với o/p; điều chứng tỏ chuẩn nhân tính, từ kéo theo (6) (chứng minh tính hội tụ tích vơ hạn cần số đánh giá đơn giản số lượng ideal nguyên tố chuẩn cho trước) Năm , E Artin nhận xét tính chất cho vành định nghĩa theo cách sau: bắt đầu với 1923 trường hữu hạn Fq , xét trường K0 v = Fq (T ) phân thức hữu tỷ biến mở rộng bậc hai K = K0 (v) với , P đa thức khơng có nghiệm bội Bao đóng ngun o Fq [T ] K thỏa mãn 1) 2) = P (T ) , o/p mở rộng hữu hạn Fq với ideal nguyên tố p; dễ để chứng minh chuỗi tích vơ hạn định nghĩa ζK hội tụ với Re(s) > Hơn Artin thấy lý thuyết đơn giản Dedekind nhiều, lý hàm có dạng Z(q −s ) Z(u) hàm hữu tỷ với hệ số Q ; phương trình hàm biểu diễn thương Z(1/qu)/Z(u) hàm hữu tỷ với khơng điểm cực cho trước; sau ông giả thuyết không điểm Z(u) tất nằm đường tròn |u| = q 1/2 đồng thời tự chứng minh giả thuyết với số đa thức P bậc nhỏ. Bây ideal nguyên tố p thỏa mãn o/p cấu gửi (T , v) tới (a, b) ∈ Fq ≅Fq (N p thỏa mãn b2 = q ) tương ứng − với đồng cấu o → Fq ; đồng Nói cách khác số nghiệm phương trình y = P (a) Fq số lượng N1 ideal nguyên tố mà N p = q = P (x) ; nhiên từ phương trình Euler (6) ta thấy log Z(u) = N1 u+ gần u , nghiên cứu Z(u) giúp ta hiểu N1 "Giả thuyết Riemann" Artin sinh đánh giá = (7) |N1 − q| ≤ c q 1/2 , làm chặt kết trước ơng việc đếm số nghiệm phương trình Gauss Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Bài v iết chỉnh sửa nội dung bangbang1412: 8-04 -2 02 - 5:1 bangbang1412 https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ Đã g ửi -0 -2 - :1 2/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Tốn học III Hình học đại số dấn thân Cho k trường bất kỳ, người ta mô tả tập nghiệm (x1 , , xr ) ∈ r k phương trình P (x1 , , xr ) = với P đa thức bất khả quy k[T1 , , Tr ] "siêu mặt đại số affine" ("đường cong" r = 2, "mặt" ) "không gian affine" kr , Hơn nữa, với mở rộng trường K /k, ta xét nghiệm P (y1 , , yr ) r = với giá trị yi trường K lớn hơn, ta có "siêu mặt đại số" V K r ; nói hệ số P nằm k thay việc nói V xác định (hay định nghĩa) k Kinh nghiệm cho thấy việc chuyển đổi ngơn ngữ hình học trực giác sang đa tạp "trừu tượng" có ích K đóng đại số (hãy thử nghĩ x + x + = k = R ) Ta hạn chế quan tâm xuống trường hợp K ¯ ¯ ¯ = k , bao đóng đại số k; r ¯ ¯ ¯ nữa, ta xét siêu mặt V không suy biến k , i.e điểm mà "mặt phẳng tiếp xúc" định nghĩa theo nghĩa thơng thường (có nghĩa tất đạo hàm riêng không đồng thời triệt tiêu V ) Với điểm x = (x1 , , xr ) ∈ V [k(x) : k] = deg(x) xi , toa độ xi ¯ ¯ ¯ ∈ k , có mở rộng hữu hạn nhỏ k(x) k chứa tất xj gọi bậc điểm x Nếu m hạt nhân đồng cấu k[T1 , , Tr ] ¯ ¯ ¯ → k gửi Ti tới m ideal cực đại k[T1 , , Tr ] k[T1 , , Tr ]/m đẳng cấu với k(x); ta viết k(m) = k(x) ; chứng minh ideal cực đại m k[T1 , , Tr ] chứa P (T1 , , Tr ) ứng với deg(m) = deg(x) điểm x V với bậc deg(m) Khi k = Fq , đặt deg(m) (8) ZV (u) = ∏ (1 − u −1 ) ; P ∈m hàm Z(u) định nghĩa E Artin với hàm ZC (u), C "đường cong affine" x22 − P (x1 ) = xác định Fq Một cách tổng quát ta gọi ZV hàm zêta V Các điểm V (Fq )r điểm mà deg(x) ước n ; hiển nhiên số lượng điểm ≤ điểm có ước lượng tiên nghiệm ≤ q nr q nr , số lượng ideal cực đại m mà P ∈ m tương ứng với , điều chứng tỏ (8) hội tụ với u nhỏ; nữa, với u nhỏ ta viết ∞ deg(m) (9) uZ ′ V deg(m)u (u)/ZV (u) = ∑ P ∈m ∞ vdeg(m) = ∑ ∑ deg(m)u deg(m) − u v=1 P ∈m v = ∑ Nv u v=1 Nv số điểm V (Fq )r Cách định nghĩa mở rộng cho dạng đa tạp không suy biến khác, không thiết phải bị nhúng r ¯ ¯ ¯ "không gian affine" k Lịch sử mà nói, ngơn ngữ hình học đại số lý thuyết hàm zêta giới thiệu vào năm 1931 F K Schmidt, người nghiên cứu đường cong xạ ảnh trường Fq Ông chứng minh lý thuyết Dedekind-Weber đường cong đại số C (bao gồm định nghĩa giống định lý Riemann-Roch) ¯ ¯ ¯ mở rộng cho đường cong xạ ảnh trường đóng đại số k bất kỳ; điều cho phép ông chứng minh đường cong xạ ảnh không suy biến C với giống g định nghĩa Fq , hàm zêta biểu diễn dạng P2g (u) (10) ZC (u) = (1 − u)(1 − qu) tử số đa thức bậc 2g với hệ số ngun ta có phương trình hàm 1−g (11) ZC (1/qu) = (qu ) ZC (u) Giả thuyết Riemann cho C nói khơng điểm P2g nằm đường tròn |u| = q 1/2 ; điều tương đương với bất đẳng thức (12) |Nv − q v − 1| ≤ 2g q 1/2 v ới mọi v ≥ Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Bài v iết chỉnh sửa nội dung bangbang1412: 8-04 -2 02 - 5:1 bangbang1412 https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ Đã g ửi -0 -2 - :1 3/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Tốn học IV Tơpơ đại số, ngày mơ ước! ¯¯¯ ¯¯¯ Quay lại trường hợp siêu mặt V (F q ) , nhận xét phần tử F q thuộc Fq nghiệm phương r n trình t q n = t Xét ánh xạ q q Φ : (x1 , , xr ) ↦ (x , , xr ) ¯¯¯ từ (F q ) vào Do hệ số P nằm Fq , thỏa mãn t r q = t , ta có q P (Φ(x)) = (P (x)) , Φ ánh xạ V lên nó; hạn chế Φ lên V gọi cấu xạ Frobenius V Năm 1936, Hasse nhận thấy với đường cong C , số Nv số điểm x ∈ C thỏa mãn Φ v ; nói cách khác, x (x) = x điểm bất động Φ For a moment, bỏ qua chuỗi kiện tính theo niên đại mà giả vờ ta v làm việc với đa tạp đại số X không gian xạ ảnh phức Từ Picard và Poincaré người ta nhận thấy hầu hết tính chất đa tạp đại số liên hệ chặt chẽ với tính chất đồng điều Trong phiên thời (chủ yếu từ công trình Lefschetz Hodge), với đa tạp xạ ảnh không suy biến bất khả quy X H với chiều d C (do đa tạp khả vi chiều 2d), tính chất xoay quanh đại số đối đồng điều ∙ i (X) = ⨁ H (X) X trường K với đặc số 0; đại số phân bậc K , thỏa mãn tính chất i sau: (A) Mỗi H i K -không gian vector hữu hạn chiều, ngoại trừ (X) Tồn đẳng cấu tự nhiên H không suy biến H H 2d−i i (X) × H 2d−i 2d (X) ≅K (X) → H 2d với i, phép nhân H (X) ≅K ∙ ; ≤ i ≤ 2d (X) phép ghép cặp (đối ngẫu Poincaré) cho phép ta đồng với (X) i Hi (X) = Hom K (H (X), K ) , đồng điều K chiều i Với đa tạp không suy biến X, Y , tồn đẳng cấu tự nhiên đại số phân bậc H (B) Mọi cấu xạ f f (i) ∙ : X → X đồng cấu f (X) ⊗ H ∙ (Y ) ≅H ∙ ơng thức Kunneth) (X × Y ) (c cảm sinh đồng cấu tuyến tính f ∙ : H ∙ (X) → H ∙ (i) i i , cho tổng : H (X) → H (X) đại số phân bậc Các điểm bất động f phép (X) chiếu lên X giao đồ nghị Γ f đường chéo Δ X × X; Γ giao Δ transversally điểm (tức không gian tiếp xúc chúng có giao điểm), số lượng điểm bất động f tính cơng thức vết Lefschetz 2d i (13) N = ∑(−1) Tr(f (i) ) i=0 (C) Nếu Y đa tạp không suy biến X với chiều d − 1, tồn đồng cấu tuyến tính tự nhiên H i i (X) → H (Y ) (D) Lấy h ∈ H Poincaré), đặt L cấu i (X) song ánh với i ≤ d− đơn cấu với i = d − ứng với lớp đồng điều H2d−2 (X) lát cắt siêu mặt X (từ đối ngẫu : a → phép nhân trái h H ∙ ; L d−i (X) i : H (X) → H 2d−i (X) đẳng ≤ d Một lập luận đại số đơn giản cho thấy cấu xạ f hữu tỷ, gi = q −i/2 f (i) : X → X (xem tự đồng cấu H i thỏa mãn f (2) (h) = q h ¯¯ ¯ ¯¯ (X) ⊗ K K với q > ), gi song ánh, gi −1 số đồng ¯¯ ¯ ¯¯ với t g2d−i đối ngẫu Poincaré Do αij giá trị riêng f (i) K , tập phần tử q i/2 αij tập phần tử α2d−i,j /q d−(i/2) (E) Trong H với i ≤ d , A (X) f : X → X i (X) i có khơng gian A i (X) ổn định tác động f (i) với cấu xạ , ta trang bị cấu trúc Q-khơng gian vector tích vơ hướng khơng https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ 4/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học suy biến thỏa mãn: với f thỏa mãn (D) gi unita với tích vơ hướng này; điều suy tất giá trị ¯¯¯¯ riêng f (i) (phần tử Q ) có giá trị tuyệt đối q 1/2 Quay lại với siêu mặt V xác định Fq , giả sử ta ứng V với đại số phân bậc H ∙ (V ) có tất tính chất vừa nêu, đồng thời Φ (2) (h) = q h Φ đồng cấu Frobenius Khơng khó để thấy đồ thị Φ giao Δ transversally; đó, αij giá trị riêng (Φ v (i) ) , số Nv cho i v (14) Nv = ∑(−1) ∑ α ij i ta có (d = v ; j ) r − = dim(V ) P1 (u)P3 (u) P2d−1 (u) (15) ZV (u) = P0 (u)P2 (u) P2d (u) Pi (u) = d ZV (1/q u) deg(1 − u Φ (i) ) đa thức hệ số nguyên Nói riêng, ZV (u) hàm hữu tỷ; có khơng điểm cực giống với ZV (u) ngoại trừ u , ta có ∣∣αij ∣∣ = = q 1/2 Cuối cùng, tất hệ số V lớp đồng dư modulo p số nguyên, hệ số phương trình đa tạp không suy r ¯¯¯¯ biến V0 Q , bậc Pi số Betti thứ i V0 Các phát biểu giả thuyết Weil cho ZV Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Bài v iết chỉnh sửa nội dung bangbang1412: 8-04 -2 02 - 5:1 Đã g ửi -0 -2 - :1 bangbang1412 V Các "thay thế" đối đồng điều Hasse Weil Để hiểu Weil tới khái niệm vậy, ta phải quay lại chứng minh Hasse cho đường cong giống Fq Trong lý thuyết cổ điển đường cong không suy biến trường số phức, với đường cong C ta định nghĩa jacobian J , xem đối ngẫu Pontrjagin nhóm đồng điều = J (C ) ; đối ngẫu cho dạng song tuyến tính (γ, ω) ↦ H1 (C , Z) ∫ ω định nghĩa chu trình γ γ dạng vi phân abel chỉnh hình ω diện Riemann C ("chu kỳ" ω γ) Nếu C có giống g J (C ) xuyến phức C g /Δ Δ nhóm rời rạc với hạng 2g, thỏa mãn điều kiện song tuyến tính Riemann cổ điển Ta định nghĩa J cách đại số, cách xét nhóm cộng G/Gi lớp ước bậc C , chia thương cho quan hệ tuyến tính: ta gắn ước D bậc 0, vốn viết dạng ∂ γ với 1-xích γ diện Riemann, lớp ϕ(D) Cg/Δ vector (∫ γ1 , ∫ γ ωg ) , ωj lập thành sở γ khơng gian dạng vi phân chỉnh hình; định lý Abel-Jacobi nói phép tương ứng tồn ánh có hạt nhân Gi Từ ta xem J nhóm đại số (một trường hợp cụ thể nhóm đại số C đa tạp abel) với giúp đỡ (siêu việt) điều kiện song tuyến tính Riemann Cuối cùng, x0 điểm C , x ↦ ϕ((x) − (x0 )) cấu xạ từ C vào J đẳng cấu g = Phương pháp Hasse để làm việc với đường cong C mà g = xác định Fq "nâng" C thành đường cong C0 "cổ điển" xác định Q: E trường hàm hữu tỷ C , ông chứng minh ta xác định C0 cách, ω1 , ω2 hàm chu kì hàm elliptic ứng với C0 (nên trường E0 hàm trường hàm hữu tỷ C0 ), ω1 /ω2 "nên" sinh trường ảo quadratic K Q E trường thặng dư vành số nguyên K modulo ideal nguyên tố vành Hasse từ dùng kết cổ điển "các phép nhân phức" C0 (i.e tự đồng cấu jacobian J (C0 )) để xác định số điểm C với bậc , kết thúc chứng minh "giả thuyết Riemann" cho C https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ 5/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học Một thời gian sau, Hasse đưa phương pháp có tính chất hơn: nói, J (C ) định nghĩa cách đại số nhóm "trừu tượng", cấu xạ Frobenius xem tự đồng cấu nhóm này; Hasse chứng minh tử số hàm zêta ZC (10) (trong trường hợp đa thức bậc 2) đa thức đặc trưng tự đồng cấu Frobenius Cơng cụ cho phương pháp số nguyên v(λ) liên kết với tự đồng cấu λ J (C ): E trường hàm hữu tỷ C , λ định nghĩa "đối cấu xạ" R(λ) - tự đẳng cấu E v(λ) bậc [E : R(λ)(E)] , hữu hạn λ toàn cấu Hasse chứng minh với số nguyên a, b v(a.1 + b λ) = a + σ(λ)ab + v(λ)b với tự đồng cấu toàn ánh λ J (C ), tính xác định dương dạng song tuyến tính đưa chứng minh cho "giả thuyết Riemann." Rất khó để mở rộng theo cách hiển nhiên phương pháp Hasse cho đường cong giống lên đường cong giống g xác định Fq : lý thuyết cổ điển chứng minh J (C ) "nên" nhóm đại số g chiều (thay đẳng cấu với C trường hợp g đại số trường đặc số p > = Hasse), tận năm 1940 khơng mở rộng hình học lý thuyết nhóm đại số, nói riêng lý thuyết đa tạp abel Chỉ A Weil làm điều này, người đặt viên gạch đầu tiên, Foundations of algebraic geometry, cho tính chất số giao (intersection numbers) độc lập với có tơpơ đại số Bằng cách ông nghiên cứu cấu trúc vành tự đồng cấu đa tạp abel A; với tự đồng cấu toàn ánh λ A, Weil định nghĩa số nguyên v(λ) Hasse (bây E trường hàm hữu tỷ A) chứng minh v(a.1 + b λ) = a 2g + σ(λ)a Bây biến σ(λ) xem "thay thế" cho Tr(f (1) ) 2g−1 b+ +v(λ)b 2g λ tự đồng cấu J (C ) ứng với cấu xạ f C Một "phương án thay thế" cho đối ngẫu Poincaré phát đối ngẫu tổng quát cho đa tạp abel, định nghĩa nghĩa hồn tồn đại số (trong trường hợp cổ điển người ta định nghĩa đối ngẫu Pontrjagin); cuối cùng, λ "chuyển vị" tự đồng cấu λ đối ngẫu ta chứng minh ′ ′ σ(λλ ) > với λ ≠ 0, tính chất (xem "thay thế" cho tính xác định dương phép nhân vô hướng Hodge) cho phép Weil đưa chứng minh "giả thuyết Riemann" cho đường cong có giống Trong tất cơng trình này, Weil khơng ngừng giữ trí óc ông lý thuyết cổ điên "tương ứng" xây dựng Hurwicz: tương ứng C xem cấu xạ "đa trị", ,mà cụ thể đường cong Γ diện C × C ; tốt nữa, định nghĩa ước (tổ hợp tuyến tính đường cong) C × C Một tương ứng Γ gắn (một cách tự nhiên) ước D C (tổ hợp tuyến tính điểm C ) ước khác , lần điều định nghĩa tự đồng cấu J (C ); ngược lại tự đồng cấu J (C ) Γ(D) thu từ cách định nghĩa Trong trường hợp cổ điển, công thức Lefschetz (13) mở rộng để đưa số giao tương ứng với "tương ứng đồng nhất", i.e đường chéo Δ C × C , thực tế điều Hurwicz chứng minh năm 1866, sử dụng lý thuyết tích phân abel; Weil thực chứng minh cơng thức tương tự cách túy đại số, điều dẫn ông đề xuất giả thuyết mang tên Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Bài v iết chỉnh sửa nội dung bangbang1412: 8-04 -2 02 - 5:1 Đã g ửi -0 -2 - :1 bangbang1412 VI Đối đồng điều etale định lý Deligne Sử dụng kết cho đường cong mình, Weil chứng minh giả thuyết với siêu mặt thỏa mãn công thức Kunneth số ta tạp Grassman Nhưng thời điểm khơng có lý thuyết đối đồng điều đủ "tốt" định nghĩa Khoảng năm 1953, Cartan Serre dùng đối đồng điều Leray với hệ số bó công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đa tạp phức Serre làm cách để chuyển kĩ thuật sang giới đa tạp đại số trường đóng đại số với đặc số p Nhưng , nhóm đối đồng điều định nghĩa khơng thỏa mãn cơng thức Lefschetz (13), vế trái p > số nguyên, mà phần tử trường có đặc số p Chỉ sau Grothendieck xây dựng lý thuyết lược đồ từ ý tưởng Serre ơng mở rộng ý tưởng ban đầu theo hai hướng "tơpơ" "bó", cho ứng đa tạp (hoặc lược đồ) X đại số đối đồng điều H https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ ∙ (Xet , Q l ) trường l-adic Ql, 6/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học l số nguyên tố khác với đặc số trường ban đầu (các trường l-adic khám phá Weil Deuring) Độ sâu sắc phức tạp kỹ thuật liên quan định nghĩa "đối đồng điều etale" H ∙ (Xet ) để loại trừ khả việc đưa chi tiết định nghĩa Hãy để Grothendieck (với giúp đỡ M Artin (con trai E Artin) J L Verdier) chứng minh tính chất (A), (B), (C) gần Deligne chứng minh (D) với đa tạp trường hữu hạn Fq ; nhiên khơng tính chất tương tự (E) chứng minh cho đối đồng điều etale (hoặc lý thuyết đối đồng điều đưa gần đây) Các tính chất (A), (B), (C) đủ để chứng minh (15), phương trình hàm d (16) ZV (1/q u) = ±q nχ/2 χ u ZV (u) 2d i i (17) χ = ∑(−1) dimH (Xet , Q l ) i=0 Tuy nhiên, gần người ta biết hệ số Pj (15) độc lập với số nguyên tố l Điều chứng minh Deligne năm 1973 với phần khó giả thuyết Weil ∣ αij ∣ = q 1/2 Một lần ta nhắc lại mô tả cách tuyệt đối khéo léo chứng minh, điều khác với chứng minh Hasse Weil, khơng thể dựa lập luận "positivity" Ta hạn chế toán xuống trường hợp i = d (H d (X)) để chứng minh ∣ αdj ∣ (18) q = q (d−1)/2 d/2 tương đương với ≤ ∣ αdj ∣ ≤ q (d+1)/2 lý ta áp dụng kết với X sử dụng công thức Kunneth thu k q (kd−1)/2 k (kd+1)/2 ∣ ≤ ∣ ∣ αdj ∣ ≤ q sau cho k tới +∞ thu điều phải chứng minh Thậm chí (18) ta giả sử d chẵn sau chứng minh quy nạp; bước sâu sắc khó chứng minh, dựa kĩ thuật cũ "monodromy" Picard Lefschetz: kĩ thuật hồn tồn mang tính tơpơ trường hợp cổ điển, cải tiến Grothendieck người trường phái sang đối đồng điều etale Như khi, toán học, đột phá mở đường việc khai phá vấn đề mới; chừng toán ban đầu Gauss cịn quan tâm, điểm cuối vấn đề, định lý Deligne suy rằng, số điểm bậc siêu mặt xạ ảnh không suy biến d chiều thỏa mãn đánh giá ∣ N − (1 + q+ +q d )∣ ≤ bq d/2 ∣ ∣ số chẵn b tính cụ thể: số Betti thứ d siêu mặt C có bậc với V Nguồn: E Freitag, R Kiehl, Etale Cohomology and the Weil Conjectures Người dịch: Phạm Khoa Bằng aka bangbang1412, sinh viên năm đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội Bài v iết chỉnh sửa nội dung bangbang1412: 8-04 -2 02 - 5:1 Đã g ửi -0 -2 - 2 :1 Nesbit Cảm ơn Bằng dịch cơng phu! Anh khơng có đủ background nên đọc sơ qua khơng hiểu (chưa có thời gian đọc kĩ không hiểu nhiều), có thắc mắc nhỏ là Dieudonné đóng vai trị nhỉ? Vì có tiêu đề hồn tồn khơng thấy nhắc tới P/s: Em nên chèn ảnh cover vào đầu viết (ví dụ (https://media.springernature.com/w306/springer-static/cover-hires/book/978-3-662-02541-3) ), lúc share FB trang mạng xã hội khác viết lấy ảnh đó, đẹp lấy ảnh mặc định VMF https://diendantoanhoc.org/topic/189005-lịch-sử-của-giả-thuyết-weil-j-a-dieudonné/ 7/8 ... https://diendantoanhoc.org/topic/189005 -lịch- sử- của- giả- thuyết- weil-j-a-dieudonné/ 4/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học suy biến thỏa mãn: với f thỏa... chứng minh "giả thuyết Riemann" cho C https://diendantoanhoc.org/topic/189005 -lịch- sử- của- giả- thuyết- weil-j-a-dieudonné/ 5/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn... https://diendantoanhoc.org/topic/189005 -lịch- sử- của- giả- thuyết- weil-j-a-dieudonné/ ∙ (Xet , Q l ) trường l-adic Ql, 6/8 9/6/2021 Lịch sử giả thuyết Weil - J A Dieudonné - Toán học đại - Diễn đàn Toán học l số nguyên tố khác