Luồng cực đại là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rất rộng rãi trong cả thực tế cũng như trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950 và gắn liền với tên tuổi của 2 nhà toán học Mỹ Lester Randolph Ford và Delbert Ray Fulkerson
Các ứng dụng Bài toán luồng cực đại BM Khoa học Máy tính • TỐN RỜI RẠC • Fall 2005 • NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Max Flow Applications s Tốn rời rạc – Fall 2005 t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT NỘI DUNG ■ ■ Một số toán luồng tổng quát – Bài toán với nhiều điểm phát điểm thu – Bài toán với hạn chế thông qua nút Một số ứng dụng tổ hợp – Bài toán cặp ghép cực đại đồ thị hai phía – Độ tin cậy mạng Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Một số toán luồng tổng quát Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Mạng với nhiều điểm phát điểm thu Xét mạng G với p điểm phát s1, s2, , sp vi lng phát l a1, a2, , ap q ®iĨm thu t1, t2, , tq với lượng thu b1, b2, , bq ■ Gi¶ sư r»ng lng từ điểm phát đến tất điểm thu Tìm luồng cực đại từ điểm phát đến điểm thu Toỏn rời rạc – Fall 2005 s1 t1 s2 t2 sp tq NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT M¹ng víi nhiều điểm phát điểm thu a vào điểm phát giả s điểm thu giả t cạnh nối s với tất điểm phát cạnh nối điểm thu với t Kntq cđa cung (s,s ) sÏ b»ng a lỵng ph¸t cđa s i i i ■ ■ Kntq cđa (ti, t) sÏ bi lỵng thu cđa ®iĨm thu ti ■ Bài to¸n dẫn to¸n với điểm ph¸t điểm thu a1 a2 s s1 t1 s2 t2 ap sp Toán rời rạc – Fall 2005 tq b1 b2 t bq NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT Bài tốn với hạn chế thụng qua nỳt Giả sử mạng G, khả thông qua cung c(u, v), đỉnh vV có khả thông qua đỉnh d(v), đòi hỏi tổng luồng vào đỉnh v không đợc vợt d(v), tức lµ f(w,v) ≤ d(v) w∈V du u ds s t v dt dv ã Tìm luồng cực đại t s n t mạng G Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT Bài tốn với hạn chế thơng qua nỳt Xây dựng mạng G' cho: đỉnh v G t ơng ứng với đỉnh v+, v- G', cung (u, v) G ứng với cung (u-, v+) G', cung (v,w) G øng víi cung (v-, w+) G' Ngoài ra, cung (v+, v-) G' có khả thông qua d(v), du tức khả thông qua đỉnh v G du u ds u+ s v dt t u- s + ds s - v + dv t + v - dt t- dv Qui tốn tìm luồng cực đại G’ Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Các ứng dụng toán luồng cực đại ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Bài toán ghép cặp (Matching Problems) Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 10 Bài tốn đường khơng giao cạnh Quy toán luồng cực đại: gán cho cạnh kntq 1 1 s 1 1 1 t 1 1 Định lý Số lượng lớn đường từ s đến t không giao cạnh giá trị luồng cực đại CM Điều kiện cần ■ ■ ■ Giả sử có k đường khơng giao cạnh P1, , Pk Đặt f(e) = e thuộc vào số đường đi; f(e) = 0, trái lại Do đđ khơng có cạnh chung nên f luồng có giá trị k ■ Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 39 Bài tốn đường khơng giao cạnh Quy toán luồng cực đại: gán cho cạnh kntq 1 1 s 1 1 1 t 1 1 Định lý Số lượng lớn đường từ s đến t không giao cạnh giá trị luồng cực đại CM Điều kiện đủ Giả sử luồng cực đại có giá trị k Theo định lý tính nguyên ⇒ tồn f luồng 0-1 với giá trị k Xét cạnh (s, u) với f(s, u) = – theo đk cân luồng, tồn cạnh (u, v) với f(u, v) = – tiếp tục đạt tới t, sử dụng cạnh Tạo k đường (không thiết đơn) không giao cạnh ■ ■ ■ ■ ■ Tốn rời rạc – Fall 2005 cần, cắt chu trình để thu đường đơn NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 40 Bài tốn độ liên kết mạng (Network Connectivity) ĐN Tập cạnh F ⊆ E gọi tách t với s đường từ s đến t qua cạnh F Liên kết mạng Cho đồ thị có hướng G = (V, E) hai đỉnh s t, tìm số lượng cạnh cần loại bỏ để tách t với s s Toán rời rạc – Fall 2005 t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 41 Đường không giao cạnh Độ liên kết mạng Định lý [Menger 1927] Số lớn đường không giao cạnh từ s đến t số nhỏ cạnh cần loại bỏ để tách t với s CM Điều kiện đủ ■ ■ s Giả sử loại bỏ F ⊆ E ngăn cách t từ s, |F| = k Do đường từ s đến t có cạnh F, suy số lượng đường không giao cạnh không vượt k ■ Toán rời rạc – Fall 2005 t s t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 42 Đường không giao cạnh Độ liên kết mạng Định lý [Menger 1927] Số lớn đường không giao cạnh từ s đến t số nhỏ cạnh cần loại bỏ để tách t với s CM Điều kiện cần ■ Giả sử k số lượng lớn đường không giao cạnh ■ Khi giá trị luồng cực đại k ■ Từ định lý Max-flow min-cut ⇒ lát cắt nhỏ (A, B) có kntq k ■ Gọi F tập cạnh từ A sang B ■ |F| = k F tách t với s ■ A s Toán rời rạc – Fall 2005 t s t NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 43 Bài tốn giao hàng Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 44 Bài tốn giao hàng kho hàng 5 4 đại lý bán lẻ 6 7 Có cách chuyển hàng từ kho đáp ứng yêu cầu đại lý bán lẻ? Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 45 Quy toán luồng cực đại kho hàng s 5 4 đại lý bán lẻ 6 7 tổng yêu cầu đại lý 24 t Tồn tương ứng 1-1 luồng từ s đến t với giá trị 24 với cách chuyển hàng đáp ứng yêu cầu đại lý bán lẻ Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 46 Bài toán lập lịch Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 47 Bài tốn Có n chi tiết (job) cần gia cơng ■ Có M máy (giống hệt nhau) để thực việc gia công ■ Đối với chi tiết j biết: ■ ■ ■ tj - thời gian hoàn thành ■ rj - thời điểm sẵn sàng ■ dj - thời hạn hồn thành Tìm cách bố trí việc thực gia công n chi tiết M máy: ■ ■ ■ ■ Mỗi chi tiết j bắt đầu gia công thời điểm không sớm rj Thời điểm hồn thành việc gia cơng chi tiết j khơng muộn dj Tại thời điểm có khơng q máy thực việc gia công chi tiết j tổng thời gian thực gia công chi tiết j M máy tj Cách bố trí thoả mãn điều kiện vừa nêu gọi lịch Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 48 Lập lịch máy song song Job ( j ) 1.5 4.5 Thời điểm sẵn sàng ( rj ) 2 Thời hạn ( dj ) Thời gian hoàn thành ( tj ) Giả sử có M = máy song song Khơng có lịch ngoại trừ cho phép ngắt quãng Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 49 Lập lịch máy song song Job ( j ) 1.5 4.5 Thời điểm sẵn sàng ( rj ) 2 Thời hạn ( dj ) Thời gian hoàn thành ( tj ) Giả sử có M = máy song song 4 Có lịch cho phép ngắt quãng Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT 50 Qui tốn luồng cực đại cung đỏ: thời lượng gia công job j khoảng thời gian t nhiều t jobs 4.5 2-4 4-5 t 4 cung xanh da trời: tổng thời lượng dành cho gia công job j khoảng pj 0-2 1.5 s cung xanh cây: thời lượng khoảng thời gian t nhiều M× t (M số máy dùng) 5-7 7-9 khoảng thời gian Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 51 Luồng cực đại – Lịch Lịch tồn ⇔ tìm luồng bão hoà cung khỏi s 1 1.5 s 4.5 2 0-2 4,2 2-4 2 Cần phân rã luồng để đưa lịch 4-5 4,4 2,2 t 4,4 5-7 4,2 7-9 Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 52 Questions? Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 53 ... tốn tìm luồng cực đại G’ Tốn rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT Các ứng dụng toán luồng cực đại ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ mơn KHMT Bài tốn... tốn luồng cực đại Boys Girls s 1 1 1 t Tồn luồng cực đại với giá trị 4? Toán rời rạc – Fall 2005 NGUYỄN ĐỨC NGHĨA Bộ môn KHMT 22 Bipartite Matching: Thời gian tính Sử dụng thuật tốn luồng cực đại. .. 45 Quy toán luồng cực đại kho hàng s 5 4 đại lý bán lẻ 6 7 tổng yêu cầu đại lý 24 t Tồn tương ứng 1-1 luồng từ s đến t với giá trị 24 với cách chuyển hàng đáp ứng yêu cầu đại lý bán lẻ Toán rời