b Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ c Gọi V là thể tích khối lă[r]
(1)BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ A C B Giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lăng trụ Khi đó, A’H là hình chiếu AA’ trên mp(A’B’C’) Xét tam giác AA’H vuông H có: Sin A’ = ⇒ AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 600 = A’ 600 b Do tam giác A’B’C’ là tam giác nên chiều cao tam C’ H AH AA' giác là: h = B’ a Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ = Thể tích ABC.A’B’C’: V = a.h = AH SA’B’C’ = 3a a b Bài 2: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó S Giải: Kẻ SH ⊥ (ABC) Gọi I là giao điểm AH và BC Do S.ABC là hình chóp nên H là trọng tâm tam giác ABC C A H B I ⇒ AI = a ⇒ AH = 2 a 3 = a AI = 3 Do AH là hình chiếu SA trên mp(ABC) nên SAH = 600 Xét tam giác SAH vuông H ta có: tan 600 = SH ⇒ SH = AH tan 60 = a AH AI.BC = a a = a 2 2 1 3 a⋅ a = a Thể tích khối chóp: V = SH SABC = 3 12 Diện tích tam giác ABC: SABC = Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Biết AB = a, SB' = SB 0966959635 (2) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải a) Gọi SH là đường cao hình chóp S.ABCD Gọi H’ là giao điểm SH và mp (P) Do S.ABCD là hình chóp nên H là giao điểm AC và BD S D’ D C’ E H’ B’ C Do mp (P) ⊥ SC ⇒ BD // mp (P) H BD //( P) ⇒ BD // B' D' Do BD ⊂ (SBD) (P) ∩ (SBD) = B' D' B A BD ⊥ SH ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ AC SD' SH ' SB' = = = , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’ SD SH SB SC' = Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC E Khi đó: EC’ = EC, SE SE − SC' EC' = = ⇒ ⇒ SC’ = 2EC’ = CC’ SE SE VS.AB'D ' 2 VS.B'C'D ' 2 = ⋅ = , = ⋅ ⋅ = Ta có: VS.ABD 3 VS.BCD 3 ⇒ Ta có: VS.ABD = VS.BCD = VS.ABCD ⇒ VS.AB’C’D’ = VS.AB’D’ + VS.B’C’D’ = + 9 VS.ABCD = VS.ABCD 9 b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến tam giác SAC nên SA = AC ⇒ tam giác SAC ⇒ SH = VS.ABCD = 3 AC = a 2= a 2 6 a = a ⇒ VS.AB’C’D’ = a 18 Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định Một đường thẳng d di động luôn qua A và cách B đoạn không đổi a = A H B d AB Chứng minh d luôn nằm trên mặt nón Giải Xét tùy ý đường thẳng d qua điểm A Theo gt: A cố định ⇒ d qua điểm A cố định thuộc đường thẳng AB cố định Trong mp (d, AB) kẻ BH ⊥ d H 0966959635 (1) (3) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Gọi α = HAB Xét tam giác vuông ABCH ta có: Sin α = BH a = = ⇒ α = 300 AB AB Vậy α không đổi (2) Từ (1) và (2) suy d luôn nằm trên mặt nón đỉnh A, nhận AB làm trục và có góc đỉnh 2α = 600 Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón có đỉnh là tâm O hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ B A O D C Giải Khối nón có chiều cao a và có bán kính đáy r = Độ dài đường sinh: l = a 2 a a a2 + = 2 Diện tích xung quanh khối nón: A’ B’ O’ D’ C’ a a πa = Sxq = π rl π 2 Thể tích khối nón: V = πr h = πr a a = πa 3 12 2 Bài 6: Cho đường tròn (C) mp (P) Từ điểm M trên (C) kẻ đường thẳng d vuông góc với mp (P) Chứng minh đường thẳng d nằm trên mặt trụ ∆ Giải Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với mp (P) O Gọi r là bán kính (C) O Do d P M d ⊥ (P) ⇒ d // ∆ ∆ ⊥ (P) Khoảng cách d và ∆ là: d(d, ∆) = OM = r: không đổi Vậy d nằm trên mặt trụ trụ ∆ bán kính r Bài 7: Cho khối trụ có bán kính đáy r và có thiết diện qua trục là hình vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy hình trụ) c) Gọi V là thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ và V’ là thể tích khối trụ Tính tỉ số V và V’ 0966959635 (4) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Giải a) Vì thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông nên đường sinh l đường cao h l = h = 2r Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π r l = 4π r2 Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2B = 6π r2 b) Gọi ABCD.A’B’C’D’ là trụ tứ giác nội tiếp hình trụ đã cho Ta có: ABCD nội tiếp đường tròn đáy nên: AB = r Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều: V = AA’.SABCD = 4r3 c) Thể tích khối trụ: V’ = B.h = 2π r3 B A O C D B’ A’ O’ C’ D’ Vậy: V = V' π Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương đã cho B A D C A’ Bán kính r = O B’ D’ Giải Gọi O là trung điểm đường chéo AC’ Ta có: O cách các đỉnh hình lập phương Vậy mặt cầu qua đỉnh hình lập phương có tâm O, AC’ = a AC' ⇒r= a C’ Bài 9: Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 5a, tam giác ABC vuông B và AB = 3a, BC = 4a Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện D Giải Gọi O là trung điểm DC Do DA ⊥ (ABC) nên DA ⊥ AB, DA ⊥ AC ⇒ ∆ DAC vuông A A C ⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC ⊥ BA, BC ⊥ DA ⇒ BC ⊥ (ABD) ⇒ BC ⊥ BD B ⇒ OB = CD/ (2) Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2 O Bài 10: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua các đỉnh hình chóp Giải 0966959635 (5) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Do SABC là hình chóp nên tâm O mặt cầu nằm trên SH Gọi I là trung điểm SA Trong mp(SAH) dựng IO vuông góc với SA cắt SH O Khi đó: O là tâm mặt cầu qua các đỉnh hình chóp Xét hai tam giác đồng dạng SIO và SHA ta có: S A C SO SI SA SA = = =r ⇒ SO = SA SH 2SH 2SH H B Mà SH = SA − AH = b − Vậy: r = 2 2 2a 3.2 SA b2 = 2SH 3b − a = nên SH = 3b − a = 3b − a 3 3b 2 3b − a Bài 11: Cho mặt cầu S(O,r) và điểm a biết OA = 2r Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B và kẻ cát tuyến cắt mặt cầu C và D Cho biết CD = r a) Tính AB b) Tính khoảng cách từ O đến CD C D B H O A Giải a) Ta có: AB là tiếp tuyến mặt cầu B nên AB ⊥ OB ⇒ AB = OA − OB = 4r − r = r b) Gọi H là hình chiếu vuông góc O trên CD Ta có: OC = OD = r Nên tam giác OCD cân O Do H là trung điểm CD nên HC = CD r = 2 Vậy khoảng cách từ O đến CD là độ dài OH với OH = OC − HC = r r − = r Bài 12: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mp(ABC) Tam giác ABC vuông B Dvà AB = 3a, BC = 4a a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu qua các đỉnh tứ diện O b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng C Giải A B 0966959635 (6) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay a) Gọi O là trung điểm DC Do DA ⊥ (ABC) nên DA ⊥ AB, DA ⊥ AC ⇒ ∆ DAC vuông A ⇒ OA = OC = OD = CD/2 (1) Ta có: BC ⊥ BA, BC ⊥ DA ⇒ BC ⊥ (ABD) ⇒ BC ⊥ BD ⇒ OB = CD/ (2) Từ (1 và (2) suy ra: A, B, C, D thuộc mặt cầu tâm O, bán kính r = CD/2 r= 1 CD = AD + AC = AD + AB + BC = 5a 2 2 b) Diện tích mặt cầu: S = 4π r2 = 50π a2 Thể tích khối cầu tương ứng: V = 125a π r3 = 3 Bài 13: Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D và độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK ⊥ A1D ( K ∈ A1 D) Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 A x x B x D C x K h A1 D1 B1 C1 Giải: a) Chứng minh AK = 2: AB ⊥ (ADD1A1) ⇒ AB ⊥ AK và Gt: AK ⊥ A1D ⇒ AK là đoạn vuông góc chung AB và A1D Vậy AK = d ( AB, A1D ) ⇒ AK = b) Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1: Đặt h = AA1 là chiều cao khối lăng trụ; x là cạnh đáy hình vuông Gt AK = 2; A1D = ∆DAA1 vuông A có AK là đường cao nên: AK.A1D = AD.AH ⇔ 10 = x.h và 2 2 AD2 + AA1 = A1 D ⇔ x + h = 25 x + h = x + h = 25 ( x + h) = 45 ⇔ ⇔ Giải hệ: xh = 10 xh = 10 xh = 10 x = 5; h = ⇒ V = x h = 20 ⇔ x = 5; h = ⇒ V = x h = 10 · Bài 14: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD = 450 Các đường chéo AC1 và DB1 tạo với đáy góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao nó D1 A1 Giải: · AC Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C · DB (DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B 0966959635 (7) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay µ = 1v ⇒ AC = CC cot C · AC = 2.cot 450 = C1 ∆ACC1 , C 1 B1 µ = 1v ⇒ BD = BB cot B · DB = 2.cot 600 = ∆DBB1 , B 1 Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y ∆ADC có : AC = AD + DC − AD.DC cos ·ADC ⇔ = x + y − xy cos1350 = x + y + xy cos 450 (1) · ∆BCD có : BD = BC + CD − 2.BC.CD.cos BCD D A = x + y − xy cos 450 (2) 16 2 2 Từ (1) và (2) ⇒ = 2( x + y ) ⇒ x + y = thay 3 ⇔ C B vào (2) có: = − xy ⇔ xy = 3 xy 2 S ABCD = 2.S BCD = BC.CD.sin C = xy.sin 450 = = = 2 3 2 Vậy V = SABCD CC1= = (đvdt) 3 Bài 15: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc ·A AB nhọn, góc mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) Từ A1 dựng A1H vuông góc AB H thì A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1 H là chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h Dựng HK ⊥ AC K (HK // BC) ∆ AKH vuông cân K ⇒ AH = HK = A1 B1 µ = 1v ⇒ A H + HA2 = A A2 ∆A1 HA, H 1 2h ⇔h + = ⇔ 5h = ⇔ h = 1 3CA2 V = S ABC A1 H = CA.CB.h = CA2 = 2 5 ∆ACB có : AC + CB = AB ⇔ AC = (đvdt) ⇔ AC = Vậy V = C1 h A H h B 0966959635 (8) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay K C Bài 16: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b Gọi α là góc hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) Tính tan α và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C Giải: * Tính tan α : + Gọi H là tâm tam giác ABC Do A’.ABC là hình chóp tam giác nên hình chiếu vuông góc A’ trên (ABC) trùng với H + Gọi M là giao điểm AH với BC thì AM ⊥ BC Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b ⇒ A ' M ⊥ BC · Vậy góc hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là: α = AMA' ∆ A’HM vuông H (vì A’H ⊥ (ABC)) A'H · ⇒ tan α = tan AMA '= MH C’ A’ B’ b ∆ ABC có cạnh a nên AM = a ⇒ AH = A’H = a a ; AM = ; MH = AM = 3 a2 3b − a A ' A2 − AH = b − = 3 Vậy tan α = A C a H 3b − a a 3b − a : = a * Tính thẻ tích V khối chóp A’.BB’C’C: M B V = VA ' B 'C ' ABC − VA' ABC V= a 3b − a 2 a 3b − a = S ABC A ' H − S ABC A ' H = S ABC A ' H = a ÷ 3 32 ÷ (đvtt) · B = 2ϕ Hãy tính Bài 17: Cho khối chóp tam giác S.ABC có chiều cao h và góc AS thể tích khối chóp S Giải: Tính VS.ABC : 0966959635 (9) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay A C H M + Gọi H là hình chiếu S trên (ABC) Vì: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC → H là tâm tam giác ABC + Gọi M là giao điểm CH và AB thì M là trung điểm AB và SM ⊥ AB + Đặt AB = 2x ⇒ AM = BM = x (x > 0) · B = 2ϕ ⇒ ASM · · + gt: AS = BSM = ϕ (00 < ϕ < 900 ) ¶ = 1v ⇒ SM = AM cot AS · M = x cot ϕ + ∆ASM, M MH = B 1 3 x CM = AB = x = 3 3 µ = 1v ⇒ SH + MH = SM ⇔ h + x = x cot ϕ + ∆SHM, H ⇒x= 3h 3cot ϕ − 1 11 2x 3 3h3 VS ABC = S ABC SH = AB.CM ÷.h = h.2 x = x h = (đvtt) 3 3cot ϕ − Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ⊥ ( ABC ) , SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn Giải: Tìm góc hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất: S + gt: SA ⊥ ( ABC ) & AC ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB · (00 < α < 900 ) + Gọi α = ( ( SCB), ( ABC ) ) ⇒ α = SCA a A B C · SA = SC.sin SCA = a sin α µ ∆ SAC , A = v ⇒ + · = acosα AC = SC.cos SCA 1 1 2 + VS ABC = S ABC SA = AC SA = a cos α a sin α 3 VS ABC = a 3cos 2α sin α + Xét hàm số: f (α ) = cos 2α sin α , 00 < α < 900 f '(α ) = −2 cos α sin α + cos3α = −2 cos α (1 − cos 2α ) + cos 3α = 3cos α − cos α = cos α 0 Vì: < α < 90 ⇒ cosα > ⇒ cosα ( ) ( 3cosα − )( 3cosα + 3cosα + > Do đó: f '(α ) = ⇔ 3cosα − = ⇔ cosα = ⇔ α = β; 0 Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) trên khoảng ( ; 90 ) : α β 00 900 P f’( α ) P + fmax f( α ) P0 0P cosβ = ; < β < 900 ÷ ÷ 0966959635 ) (10) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Ta có f( α ) lớn ⇔ cosα = Vậy thể tích S.ABC lớn ⇔ f( α ) lớn ⇔ cosα = Bài 19: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị nào góc mặt bên và mặt đáy khối chóp thì thể tích khối chóp nhỏ ? Giải: Tìm góc mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất: S K B C N M O A D + Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc với (ABCD) và SO là chiều cao khối chóp S.ABCD + Gọi MN là đường trung bình hình vuông ABCD với M∈ CD và N∈ AB + CD ⊥ (SMN), (SMN) vẽ NK ⊥ SM, đó NK ⊥ CD ⇒ NK ⊥ (SCD) Vậy NK = d ( N , ( SCD) ) + Vì AB//CD ⇒ AB//(SCD) ⇒ d ( A, ( SCD) ) = NK = 2a Ta có: SM ⊥ CD và MN ⊥ CD · ⇒ SMN = α = ( ( SCD), ( ABCD ) ) µ = 1v ⇒ MN = ∆NKM , K NK 2a a = ⇒ OM = · sin α sin NMK sin α µ = 1v ⇒ SO = OM tan α = a + ∆SOM , O cosα 1 4a a 4a = + VS ABCD = S ABCD SO = MN SO = 3 sin α cosα 3sin α cosα Vậy VS ABCD nhỏ ⇔ f (α ) = sin α cosα lớn nhất, với 00 < α < 900 f '(α ) = 2cos2 α sin α − sin 3α = 2sin α (1 − sin 2α ) − sin 3α = 2sin α − 3sin α = 3sin α + sin α ÷ − sin α ÷ ÷ ÷ 2 f '(α ) = ⇔ − sin α = ⇔ sinα = ⇔ α = arcsin 3 0 Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) trên khoảng ; 90 : ( α f’( α ) f( α ) 00 P arcsin + ) 900 - P fmax P0 0P 0966959635 (11) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Ta có f( α ) lớn ⇔ α = arcsin Vậy thể tích S.ABCD nhỏ ⇔ f( α ) lớn ⇔ α = arcsin Bài 20: Khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; đáy là ∆ABC cân A, độ dài trung tuyến AD = a, cạnh SB tạo với đáy góc α và tạo với mặt (SAD) góc β Tính thể tích khối chóp Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC: + SA ⊥ (ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC) S ⇒ ·ABS = α = ( SB, ( ABC ) ) + BC ⊥ AD và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAD) nên SD là hình · = β = ( SB, ( SAD) ) chiếu SB trên (SAD) ⇒ BSD + ∆SAB, µA = 1v ⇒ AB = SB.cosα µ = 1v ⇒ BD = SB.sinβ + ∆SDB, D µ = 1v ⇒ AD = AB − BD + ∆ADB, D A C D ⇔ a = SB (cos 2α − sin β ) ⇒ SB = Vậy BD = a cos 2α − sin β a sin β cos 2α − sin β B a.sin α SA = SB sin α = VS ABC cos 2α − sin β 1 AD.BC = S ABC SA = SA = AD.BD.SA 3 a sin β a sin α a sin α sin β = a = 2 cos 2α − sin β cos 2α − sin β cos α − sin β (đvtt) Bài 21: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a Gọi B’, D’ là hình chiếu A trên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’: + Trong (SBD) gọi I là giao điểm B’D’ và SO S Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm AI với SC thì: C’là giao điểm (AB’D’) với SC + ∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD + SB ' = 2a C’ I D’ SA2 SA2 SB ' SD ' = = SD ' ⇒ = (*) SB SD SB SD + VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’ + VS,ABC = VS.ACD = 1 VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V) 2 0966959635 (12) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay VS AB 'C ' SB ' SC ' B’ 2VS AB 'C ' SB ' SC ' = = hay: A D VS ABC SB SC V SB SC O B a C Tương tự: 2VS AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC ' = = (do SD = SB) V SD SC SB SC SB '.SC ' SB '.SC ' 2a ⇒ 2VS AB 'C ' D ' = V = SB.SC SB.SC SB '.SC ' 2a SB.SC SA2 SB ' SA2 4a 4a ⇒ = = = = Vì: SB ' = 2 SB SB SB SA + AB 4a + a + Ta có: BC ⊥ AB & BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' Mặt khác: SB ⊥ AB ' Vậy AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC ; tương tự: AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' D ') ⇒ SC ⊥ AC ' ⇒ VS AB 'C ' D ' = Tam giác SAC vuông A và AC’ là đường cao nên: SC ' SA2 4a 4a 2 = = = = 2 2 SC SC SA + AC a + 2a 3 2a 16a = = 3 45 SC’.SC = SA2 ⇒ ⇒ VS AB 'C ' D ' Bài 21: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB = Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = , góc ·A AB nhọn, góc mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ Giải: Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 + Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) Từ A1 dựng A1H ⊥ AB H ⇒ A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1H là chiều cao lăng trụ Đặt A1H = h + Dựng HK ⊥ AC K (HK//BC) thì ∆ AKH vuông cân K A1 B1 HK là hình chiếu A1K trên (ABC) mà AC ⊥ HK nên AC ⊥ A1K Vậy ( ( A1 AC ), ( ABC ) ) = ·A1KH = 600 C1 ∆ A1HK vuông H: h ⇒ HK = A1 H cot ·A1 KH = h cot 600 = h ∆ AHK vuông cân K ⇒ AH = HK = A H B 2 ∆ A1HK vuông H ⇒ A1 H + HA = A1 A ⇔ h2 + K 2h = ⇔ 5h = ⇒ h = C 0966959635 h (13) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay 1 V = S ABC AH = CA.CB.h = CA2 2 2 µ = 1v ⇒ AC + CB = AB ⇔ AC = ⇒ AC = ∆ABC , C Vậy V = (đvtt) Bài 22: (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E AB và SE = 2a Gọi I, J là trung điểm EC, SC M là điểm di động trên tia đối ∧ tia BA cho ECM =α(α < 90 ) và H là hình chiếu vuông góc S trên MC Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a; α và tìm α để thể tích đó lớn Giải: * Tính thể tích khối tứ diện EHIJ: + Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ Ta có: S h , với S là diện tích ∆IHE và h là chiều cao khối tứ diện 1 + GT suy IJ// SE và IJ= SE = 2a = a ; Vì SE ⊥ ( ABC ) ⇒ IJ ⊥ ( IHE ) Vậy h = IJ = a 2 ∆ EBC vuông B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC + BE = (2a) + a = a + Vì SE ⊥ (ABC) nên HE là hình chiếu SH trên mặt phẳng (ABC), SH ⊥ CM nên EH · · ⊥ CM Vậy tam giác CHE vuông H và có ECH = ECM =α · ⇒ CH = CE.cos ECH = a 5.cosα V= S 1 ⇒ S ∆ECH = CE.CH sin α = a 5.a 5cosα sin α 2 5a = sin 2α J Do I là trung điểm CE C A I H E 5a S ∆ECH = sin 2α 5a sin 2α Vậy V = 24 * Tìm α để thể tích V khối tứ diện EHIJ lớn nên S = nhất: B M 5a 5a sin 2α ≤ (do sin 2α ≤ 1) 24 24 Vậy V lớn ⇔ sin 2α = ⇔ 2α = 900 ⇔ α = 450 Ta có: V = 0966959635 (14) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm SD Tính theo a thể tích khối tứ diện SAMC và côsin góc hai đường thẳng SB, AC Giải: * Tính thể tích khối tứ diên SAMC: + Gọi V, V1, V2 là thể tích khối tứ diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta có: V = V1 - V2 S + SA ⊥ (ABCD) nên SA là chiều cao khối chóp S.ACD Vậy V1 = M 1 a3 SA.S ACD = a AD.DC = 3 Gọi H là trung điểm AD thì MH//SA nên SA = a 2 1 a3 V2 = MH S ACD = a AD.DC = 3 2 12 3 a a a Vậy V = − = 12 12 MH ⊥ (ABCD) và MH = A H D O B * Tính côsin góc hai đường thẳng SB, AC: C Ta có: MO là đường trung bình tam giác SBD nên: MO = SB = 1 SA2 + AD = 3a + a = a và MO//SB nên góc SB và AC là góc 2 OM và AC OA = AC = a 3a a ; AM = AH + MH = + =a 4 a2 + a2 − a2 OA + OM − AM = = Trong tam giác OAM có: cos ·AOM = 2.OA.OM a 2 2 .a Vậy cos ( SB, AC ) = cos ( OM , OA ) = 2 2 Bài 24: Cho hình trụ có đáy là đường tròn tâm O và O’, tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R AA’, BB’ là các đường sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ 60o, tính thể tích khối trụ Giải: 0966959635 (15) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay Ta có: A ' A ⊥ ( ABCD) ⇒ A ' D có hình chiếu trên (ABCD) là B' A' AD Do BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A’D ( A ' B ' CD) I( ABCD) = BC A ' D ⊂ ( A ' B ' CD); BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ (· A ' B ' CD); ( ABCD) = ·A ' DA = 600 Vì: ( B ) ∆ OAD vuông cân nên AD = OA = R A C D Gọi h là chiều cao hình trụ ∆ ADA’ có h = AA’=AD.tan600= R Thể tích khối trụ là V = π R h = π R R = π R (đvtt) Bài 25: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, có cạnh AB = a và các cạnh còn lại a A D I B M C Giải: Gọi I là trung đểm cạnh CD AI ⊥ CD ( Gt) ⇒ BI ⊥ CD , AI = BI = a = AB (1) ⇒ ( ABI ) là mp trung trực cạnh CD Gọi M là giao điểm BI với mặt cầu ( S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD ⇒ Đường tròn lớn ( S ) là đường tròn ( ABM ) Mặt phẳng ( BCD ) cắt ( S ) theo đường tròn ( BCD ) qua M, BM là đường kính ⇒ BM = a 2a = sin 60 13 (1) ⇒ ∆ABI ⇒ ·ABM = 600 ; AM = AB + BM − AB.BM cos 60 = a 12 ⇒R= AM a 13 13 13 ⇒V = πR = πa = 162 sin 60 Bài 26: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy R Điểm M ∈ SO là tâm đường tròn (C) 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C) 2.Tìm x để thể tích này lớn Giải: 0966959635 (16) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay SM R ' h − x R' R S = ⇔ = ⇔ R ' = (h − x) Ta có SO R h R h Thể tích khối nón: 3 V= πR '2 SM = π (C) M R2 R2 ( h − x ) x = π ( x − 2hx + h x ) h2 h2 [ ] R2 V = π x − 4hx + h , V’ = ⇔ h ’ x = h3 x= h (loại) x = h h Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔ x = O Bài 27: Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh là l, bán kính đường tròn đáy là r Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất các đường sinh và đường tròn đáy nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón) Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I; Giả sử độ dài đường sinh nón không đổi Với điều kiện nào bán kính đáy thì diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất? Giải: +) Gọi rC là bán kính mặt cầu nội tiếp nón, và là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB S Ta có: S SAB = prC = (l + r ).rC = l ⇒ rC = I A l − r 2r l−r =r 2(l + r ) l+r +) Scầu = 4π r 2C = 4π r r M B 2 y'(r) y(r) l −r l.r − r = 4π l+r l+r l r − r3 +) Đặt: y(r ) = ,0 < r < l ; l+ r − −1 l r = − 2r ( r + rl − l ) y '(r ) = =0⇔ (l + r )2 −1 l r = +) BBT: r −1 l SM AB l ymax 0966959635 (17) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay −1 +) Ta có max Scầu đạt ⇔ y(r) đạt max ⇔ r = l Bài 28: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần π Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x và tìm giá trị lớn V Giải: 2 Ta có Stp= Sxq+2Sđ = 2πxy + 2πx = 2π ( xy + x ) ; (x > 0) 1− x Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2) = 2 ⇔ xy+x2 =1 ⇒ y = x ⇔ ⇒ Hình trụ tồn y > (với x > 0) 1- x > 0 < x < Khi đó V(x) = x ) =π π π x2y = x(1- ( -x + x) Khảo sát hàm số V(x) trên với x∈ (0;1) ta giá trị lớn V = 2π 3 ⇔x= Bài 29: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy điểm A cố định và điểm M di động Biết ·AOM = α , góc tạo bỡi hai mặt phẳng (SAM) và (OAM) có số đo β và khoảng cách từ O đến (SAM) a Tính thể tích khối nón theo a, α, β Giải: Gọi I là trung điểm AM ∆SAM cân nên SI ⊥ AM ∆OAM cân nên OI ⊥ AM (C) H O I A (OAM ) ⊃ OI , OI ⊥ AM ⇒ Góc tạo bỡi hai mặt phẳng ( SAM ) ⊃ SI , SI ⊥ AM · (SAM) và (OAM) SIO =β MA ⊥ OI và MA ⊥ SO ⇒ MA ⊥ ( SOI ) ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SOI ) Và ( SAM ) I( SOI ) = OI Kẽ OH ⊥ OI ⇒ OH ⊥ ( SAM ) ⇒ d ( O, ( SAM ) ) = OH = a µ = 1v → OI = OH = a ∆OHI , H sin β sin β OI a ∆OMI , I$ = 1v → OM = = α α =R cos cos sin β 2 a cosβ π a SO.π OM = V= 3 cos β SO = OI tan β = a2 πa = α α cos sin β sin β cos β cos 2 Bài 30: Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I là điểm trên AB cho AI = h Một mặt phẳng vuông góc với AB I cắt mặt cầu theo đường tròn (C) 1) Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C) 0966959635 (18) BÀI TẬP diện tích và thể tích đa diên-tròn xoay 2) Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn Giải: Gọi EF là đường kính cua (C) ta có: IE.IF = IA.IB hay IE2 = IA.IB = h(2R-h) Gọi r là bán kính (C) thì: r = IE = h(2 R − h) Thể tích cần tính là: π V= V = π r h = ( Rh − h ) , với 0<h<2R O E I π 4R (4 Rh − 3h ⇔h= ’ V= ) ; V= 4R 4R ⇔h= hay AI= Vmax ’ F B Bài 31: Cho hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45 Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ Giải: Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD Khi đó OM ⊥ AB và O ' N ⊥ CD Giả sử I là giao điểm MN và OO’ Đặt R = OA và h = OO’ Khi đó: ∆IOM vuông cân O nên: OM = OI = h 2a IM ⇒ = ⇒h= a 2 2 Ta có: 2 a a 3a a a 2 R = OA = AM + MO = ÷ + + = ÷ = 8 2 ÷ ⇒ V = π R 2h = π 2 a a 3π a 3a a 2π a = = , và S xq = 2π Rh=2π 2 2 16 0966959635 (19)