Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC.Tính góc giữa hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với [r]
(1)Góc hình không gian Quách Đăng Thăng ~1~ GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB 900 , góc ABC 60 Góc cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450 , hình chiếu vuông góc C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm CM Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin góc hai đường thẳng BC và C’G Hướng dẫn giải Tính góc ∠C ' CH = 45 ; BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a HC = HC’ = a, GH = a/3 VABC.A’B’C’ = C’H.SABC = a.1/2.AC.CB = 3a (đvtt) Có B' G = B' C ' + C ' H + HG và B' C ' ⊥ C ' H ⇒ B' C ' C ' H = , C ' H ⊥ HG ⇒ C ' H HG = ( nên B' G = B' C ' +C ' H + HG + B' C '.HG cos B' C ', HG ( ) ( ) C' B' ) A' Do cos B' C ', HG = − cos BC , GH = − cos 600 = − ⇒ B' G = B 40a a 10 , GC ' = HC ' +GH = cos B' C ' G = 45° 2a H G 4a 2a M B' C ' +GC ' − B' G = 2B ' C '.GC ' 10 A ⇒ góc BC và C’G góc gữa B’C’ và C’G và có cosin 10 Cách khác: ( ) cos(BC , C ' G ) = cos CB, C ' G = Tính C ' G = ⇒ C ' G.CB = CB.C ' G \ CB.C ' G a 10 1 và C ' G = C ' H + HG = C ' H + CM = C ' H + CA + CB 12 12 a2 CB = 12 ⇒ cos(BC , C ' G ) = 10 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, AC = a Các mặt phẳng ( B ' AB), ( B ' AC ), ( B ' BC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu B ' trên mp(ABC), M, N, P là hình chiếu H trên AC, AB và BC.Khi đó AC ⊥ HM , AC ⊥ B ' H ⇒ AC ⊥ ( B ' BM ) Vậy góc ( B ' AC ) và C (2) Góc hình không gian Quách Đăng Thăng ~2~ ( BAC ) là góc B ' MH Tương tự ta có B ' MH = B ' NH = B ' PH = 600 Do đó ∆B ' MH = ∆B ' NH = ∆B ' PH ⇒ HM = HN = HP Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Theo công thức S = p ( p − a )( p − b )( p − c) = 4a.a.2a.a = 2a B' C' S 2a 2a Mặt khác S = pr ⇒ r = HM = = = 4a p Tam giác vuông B ' HM có B ' H = HM tan 600 = Từ đó VABC A' B ' C ' = S ABC B ' H = 2a A' 2a a 3= 2 a = 3a ( đvtt) B C P H M N Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến A mặt phẳng (ACD) a Tính góc hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể khối tứ diện ABCD a 15 27 Gọi E là trung điểm CD, kẻ BH Ta có ACD cân A nên CD Mà BH CD AE suy BH Do đó BH = A AE AE Tương tự BCD cân B nên CD Suy CD (ABE) Hướng dẫn giải BE H BH D (ACD) và góc hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là C Thể tích khối tứ diện ABCD là Mà Khi đó : a2 AE = DE = 5a là nghiệm pt: x2 trường hợp E B 5a AE = DE = a vì DE<a Xét BED vuông E nên BE = x+ = (3) Góc hình không gian Quách Đăng Th ăng ~3~ Xét BHE vuông H nên sin = Vậy góc hai mp(ACD) và (BCD) là Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a ,tam giác SAB cân S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính góc hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với góc 600 , biết thể tích khối chóp S.ABC a3 32 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) S Kẻ AK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AKB ) ⇒ SC ⊥ KB K ⇒ (SAC ) ; (SBC ) = ( KA; KB) Ta có VS.ABC 1 a a a3 = SH.dt ∆ABC = = 3 32 suy SH = C A a H B Trong ∆SHC vuông H,đường cao KH có a 1 a a thay SH = và HC = vào ta KH = = + 2 KH HC HS 2 ∆ΚΑΒ cân K ⇒ ∠AKH = 600 ⇒ ∠AKB = 1200 Vậy ( SAC ) ; ( SBC ) = ( KA; KB ) = 600 Ví dụ 5: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với ∠BAC = 120 , AB = AC = a , cạnh bên BB ' = a Gọi I là trung điểm CC ' Chứng minh tam giác AB ' I vuông A và tính côsin góc hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) Hướng dẫn giải Ta có BC = a Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I Suy AI = 13 a, AB ' = 2a, B ' I = a Do đó AI + AB '2 = B ' I 2 Vậy tam giác AB’I vuông A góc + S AB ' I = AI AB ' = 10 a S ABC = a Gọi α là góc hai mp A' C' B' Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc tam giác AB’I suy S A' BI cos α = S ABC A 10 3 ⇔ cos α = ⇔ cos α = 4 10 B I C (4) Góc hình không gian Quách Đăng Thăng ~4~ Bài tập tự luyện Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a Hình chiếu vuông góc B xuống mp(A’B’C’) trùng với trung điểm B’C’ Gọi M là trung điểm A’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và góc hai đường thẳng BC’ và MB’, biết AA’ = a B C A H B' C' M A' HD: B' C' = AB = a ; BH = AA' − B' C' a a3 = ⇒ V = BH SABC = 12 B’MC’N là hình bình hành suy BC' = BB' = a C' N = B' M = cos BC' N= a a ; MN = HM = A' B' = a ⇒ BN = BH + HN = 2 BC' + C' N − BN = BC' C' N 10 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông C và D, AD = 3a; BC = CD = 4a Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy Gọi E là điểm nằm trên cạnh AD cho AE = a, F là trung điểm CD Tính thể tích khối chóp S.DEBF và góc hai đường thẳng SE và BF S B C F D HD: E A (5) Góc hình không gian Quách Đăng Thăng ~5~ SBEDF = SABCD − SCBF − SABE = a2 ⇒ VS BEDF = SA.SBEDF = a3 3 DQ//FB//EN Tính BF = a ⇒ DQ = BF = SE = SA2 + EA2 = a ; AN = = Suy cos SEN 12 a 8a ⇒ EN = DQ = 7 a 17 a 11 AQ = AB = ⇒ SN = SA2 + AN = 3 3 SE + EN − SN 3811 35 = SE.EN 35280 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = a Gọi E là trung điểm A’D’ Tính thể tích khối tứ diện BC’DE theo a, b và tính góc hai mặt phẳng (BC’D) và (C’DE) a = b D' C' E B' A' C D A B HD: Hệ trục Oxyz có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0), A’(0;0;a) Suy C(a;b;0), C’(a;b;a), B’(a;0;a), D’(0;ba), E(0;b/2;a) b a2 b BC' = ( ; b; a ) ,BD = ( − a; b; ) , BE = − a; ; a ⇒ VBC' DE = BC' ,BD BE = 6 Nếu a=b thì ta coi B (1; ; ) ,C' (1;1;1) , D ( ;1; ) , E ; ;1 ⇒ BC' = ( ;1;1) ,BD = ( −1;1; ) , DC' = (1; ;1) , DE = ; − ;1 1 ⇒ n = BC' ,BD = ( −1; −1;1) ,u = DC' , DE = ; −1; − 2 2 ⇒ n.u = Vậy (BC’D) ⊥ (C’DE), suy góc 900 Bài 4: Cho hình chóp S.ABC, có SA = SB = AC = BC = a, AB = a Tính thể tích hình chóp S.ABC và cosin góc hai đường thẳng SA và BC, biết mp(SAB) tạo với đáy góc 60o (6) Góc hình không gian Quách Đăng Thăng ~6~ S C A B HD: M trung điểm AB Suy SM = CM = a a a2 a3 ; SH ⊥ CM ⇒ SH = SM tan 600 = ; SABC = CM AB = ⇒V = 2 24 ABCD là hình bình hành suy SA = AD = a DH = CD2 + HC = = Nên cos SAD a 14 a 62 ⇒ SD = SH + DH = SA2 + AD2 − SD2 15 15 = − ⇒ cos ϕ = SA.AD 16 16 Bài 5: (Thi thử C.Hưng Yên lần khối A, A1 – 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA=BC=a, SA vuông góc với (ABC) và SA=a M là trung điểm AB Mặt phẳng( α ) qua B và vuông góc với SC và cắt SC và AC K và H Tính thể tích khối tứ diện SBHK và tính góc hai mặt phẳng (SMH), (SBC) S K C H A M B HD: VSABC = a3 a3 V SK 2 a3 a3 SA.BA.BC = ⇒ VSHBC = VSABC = ; SBKH = = ⇒ VSBKH = = 6 12 VSBCH SC 3 12 18 2 = SB + SM − BM = cosϕ = cos BSM 2SB.SM 10 (7)