Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.. 1,0 điểm Giải bất phương trình:.[r]
(1)WWW.VNMATH.COM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: Toán Lớp 12 Ngày thi: 05 /06 /2015 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 2x +1 x -1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu II (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số thực: 4sin x + 3 s in2x - cos2 x = Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: ( z - 4i) - 6( z - 4i ) + 25 = Câu III (0,5 điểm) Giải phương trình: log ( x - 1) - log (4 - x) - = Câu IV (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 - x + + - x £ x Câu V (1,0 điểm) Cho hình phẳng (S) giới hạn đồ thị các hàm số y = s in3x ; y = 0; x = và x = p Tính thể tích khối tròn xoay sinh (S) quay quanh trục Ox Câu VI (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân A, I là trung điểm BC, BC = a , mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách hai đường thẳng AB, A’I theo a Câu VII.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích 45 ,(AB//CD, CD>AB) Phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là: x – 3y – = Hai đường chéo AC và BD vuông góc với I(2; 3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC biết C có hoành độ dương Câu VIII (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; 2) và B(1; -3; -1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và qua B, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời đồng thời song song với trục Ox Câu IX (0,5 điểm) Trong khai triển nhị thức Newton sau đây có bao nhiêu số hạng là số vô tỉ: ( 3-6 180 ) Câu X (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm thực nhất: é 2- x ù x ê1 + - x (2m + ) - ú £ 2m - 3m HẾT x û x ë (2) WWW.VNMATH.COM KỲ THI DIỄN TẬP THPT QUỐC GIA 2015 Môn thi: Toán Lớp 12 Ngày thi: 05/06/2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (gồm có 05 trang) Câu Nội dung yêu cầu Điểm 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x +1 x -1 1,0 ● Tập xác định: D = ¡ \ {1} ● Giới hạn và tiệm cận: lim y = -¥ , lim y = +¥ , lim y = lim y = x ®1- x ®1+ x ®-¥ x ®+¥ 0,25 Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cân đứng là đường thẳng x =1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = ● Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y ' = -3 < "x Î D ( x - 1)2 0,25 Suy ra, hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1) và (1;+¥) + Hàm số không có cực trị Lưu ý: Cho phép thí sinh không nêu kết luận cục trị hàm số Câu I (2,0 đ) ● Bảng biến thiên: x y’ Y -¥ – +¥ P P +¥ -¥ P – 0,25 ● Đồ thị (C): 0,25 10 5 10 2 4 Câu II (1,0 đ) 2)Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục Oy ● Giao điểm (C) với trục tung có x = ● Suy y = – ● Hệ số góc k = y '(0) = -3 ● Phương trình tiếp tuyến là: y = -3( x - 0) - hay y = -3 x - 1) 4sin x + 3 s in2x - cos2 x = (1) 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 écos x = ● (1) Û cos x.( sin x - cos x) = Û ê ê tan x = (do cos x ¹ 0) êë 0,25 (3) WWW.VNMATH.COM Câu Nội dung yêu cầu p é ê x = + kp Điểm é cos x = ●ê Ûê ê tan x = = tan p ê x = p + kp êë êë 2) ( z - 4i) - 6( z - 4i ) + 25 = 0,25 0,5 ét = + 4i ët = - 4i ● Đặt t = z - 4i , phương trình trở thành t - 6t + 25 = Û ê é z - 4i = + 4i é z = + 8i Phương trình có hai nghiệm là và (3 +8i) Ûê ë z - 4i = - 4i ëz = ●ê Giải phương trình: log ( x - 1) - log1/ (4 - x) - = (1) ● Điều kiện phương trình: < x < Câu III ●(1) Û log ( x - 1) + log (4 - x ) = Û log ( x - 1)(4 - x ) = Û ( x - 1)(4 - x ) = (0,5đ) é x = (n) ● ( x - 1)(4 - x ) = Û ê ë x = (n) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Vậy, phương trình có hai nghiệm x= 2; x =3 Giải bất phương trình: x - x + + - x £ x ● Điều kiện phương trình: x ³ ● x - x + + - x £ x Û 2( x - 2) + x £ ( x - 2) + x (*) Câu IV (1,0đ) ìïu = x ³ thì (*) Û 2u + 2v £ u + v ïîv = x - ● Đặt í ìu + v ³ ìu + v ³ Û Ûu=v³0 í 2 2 î 2u + 2v £ (u + v ) î (u - v ) £ ìï x - ³ ìx ³ Ûí Ûx=4 ● u=v³0Ûí îx - 5x + = îï x = x - ● 2u + 2v £ u + v Û í Vậy, x= là nghiệm bất phương trình Hình phẳng (S) giới hạn đồ thị các hàm số y = s in3x ; y = 0; x = và p x = Tính thể tích khối tròn xoay sinh (S) quay quanh truc Ox 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 Câu V (1,0đ) ● Gọi V là thể tích cần tính p /6 Ta có: V = p ò sin xdx 0,25 ●V= p p /6 ò (1 - cos x)dx 0,25 p pæ ● V = ç x - sin x ö÷ 2è ø0 p2 ● V = ( - sin p - 0) = (đvtt) 6 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C, DABC vuông cân A , I là trung điểm BC, BC = a , (A’BC) tạo với (ABC) góc 600 Tính thể tích p p Câu VI (1,0đ) lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách hai đường thẳng A’I, AB 0,25 0,25 (4) WWW.VNMATH.COM Câu Nội dung yêu cầu B' Điểm C' A' I B C A ● DABC vuông cân tai A Þ AB = AC = BC =a 3a 2 ● S ABC = (a 3) = 2 ● DABC vuông cân tai A Þ BC ^ AI Þ BC ^ A ' I ( A ' BC ) Ç ( ABC ) = BC nên (( A ' BC ), ( ABC )) = · AIA ' = 60 0,25 lại có BC 3a t an600 = 2 3a 3a 2a = S ABC AA ' = = (đvtt) 2 ● AA ' = AI tan · AIA ' = ● VABC A ' B ' C ' 0,25 ● Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho O º A(0,0,0), tia Ox chứa B, tia Oy Câu VI (1,0đ) Câu VII (1,0đ) chứa C, tia Oz chứa A’: B( a ,0,0); C(0, a ,0); A’(0,0, 3a ); æa a ö I çç ; ; ÷÷ è ø uuur uuur æ a a 3a ö uuur u AB = (1;0; 0); A ' I = ç ; ;÷ Þ u A ' I = (1;1; -3) ç 2 ÷ø è uuur 3a AA ' = (0; 0; ) uuur uuur ● ëéu AB , u A ' I ûù = ( 0;3;1) uuur uuur uuur éu AB , u A ' I ù AA ' 30 a û ● d ( AB; A ' I ) = ë uuur uuur = 20 éu AB , u A ' I ù ë û 45 ,(AB//CD, CD>AB) Trong mpOxy, hình thang cân ABCD có S = Phương trình CD: x – 3y – = AC và BD vuông góc I(2; 3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC biết C có hoành dộ dương 0,25 0,25 1,0 (5) WWW.VNMATH.COM Câu Nội dung yêu cầu A H Điểm B I D K C ● Gọi H, K là trung điểm AB và CD Do các tam giác IAB và ICD vuông cân I nên IH ^ AB , IK ^ CD , IH = AB CD , IK = ;I, H , K 2 0,25 ● Đường thẳng IK qua I và vuông góc với CD có phương trình ( IK ) : 3( x - 2) + 1( y - 3) = hay x + y - = ìx - 3y - = ìx = ● Toạ độ K là nghiệm hệ: í Ûí Þ K (3; 0) î3 x + y - = îy = ● KC = KD = KI = (2 - 3)2 + (3 - 0)2 = 10 , đường tròn (C) ngoại tiếp DICD có tậm K và bán kính 0,25 10 nên (C ) : ( x - 3)2 + y = 10 ì( x - 3) + y = 10 ● Toạ độ C,D là nghiệm hệ: í îx - 3y - = ● Do C có hoành độ dương nên C (6;1), D (0; -1) é x = 6, y = Ûê ë x = 0, y = -1 ( AB + CD) HK 45 10 = ( IH + IK ) HK = ( IH + IK )2 = Þ IH = 2 uur IB IH 1 uur = = Þ IB = - ID Þ B (3;5) ● Lại có ID IK 2 ● Phương trình đường thẳng cần tìm là (BC) : y + y - 27 = Cho A(0;1; 2) và B(1; -3; -1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm A và qua 0,25 ● S ABCD = Câu VIII (1,0đ) 1,0 B, Viết phương trình mp(P) qua hai điểm A, B và song song với trục Ox uuur ● AB = (1; -4; -3) suy bán kính R = 26 ● Phương trình mặt cầu ( S ) : x + ( y - 1)2 + ( z - 2)2 = 26 0,25 0,25 ● Ta có i = (1;0; 0), AB = (1; -4; -3) Þ éëi; AB ùû = (0;3; -4) 0,25 r uuur r uuur r ● Mặt phẳng (P) qua A(0;1; 2) và có pháp vectơ n = (0;3; -4) nên: ( P) : 0( x - 0) + 3( y - 1) - 4( z - 2) = hay (P):3 y - z + = Khai triển Newton sau đây: ( 3-6 180 Câu IX (0,5đ) 0,25 ( 3- ● Ta có: 180 ) æ 12 ö = ç - 56 ÷ è ø 180 k = å ( -1) k C180 ( 3) 90 - k ( 5) 180 ) có bao nhiêu số hạng vô tỉ: 180 - k æ 12 ö = å C ç ÷ k =0 è ø 180 k 180 æ 16 ö ç -5 ÷ è ø 0,25 0,5 k 0,25 k k =0 ● Số hạng thứ k là hữu tỉ khi: 0,25 (6) WWW.VNMATH.COM Câu Nội dung yêu cầu Điểm ìk Î ¥ ì ï0 £ k £ 180 ïk Î ¥ ï ìi, k Î ¥ ìi Î ¥ ï ïk ï ï Û í0 £ k £ 180 Û í0 £ k £ 180 Û í0 £ i £ 30 í Î¥ ï2 ïk ïk = 6i ïk = 6i î î ïk ï Î¥ î6 ï Î¥ î6 i Î {0,1, 2, 30} Từ đó suy có 31 số hạng hữu tỉ Câu X (1,0đ) ● Vậy, các số hạng vô tỉ khai triển là (181 – 31)= 150 số hạng Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm thực é 2- x ù x ê1 + - x (2m + ) - ú £ 2m - 3m (*) x û x ë ● Điều kiện: < x £ ● Biến đổi (*) trở thành: x + - x + 2m x (2 - x) - x (2 - x) £ 2m - 3m nhất: ● Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm bất phương trình thì (2 – x0) là nghiệm bất phương trình Vì bất phương trình có nghiệm x0 = - x0 Û x0 = ● x0 = Þ + - + m 1(2 - 1) - 1(2 - 1) £ 2m - 3m Þ m £ m - 3m Þ £ -3m Þ m £ Þ m = ● m = 0, (*) Þ x + - x - x(2 - x ) £ Þ ( x - 2- x ) £ Þ x - - x = Þ x = Þ m = (thoả) Vậy, m = thoả yêu cầu bài toán 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 (7)