Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các cr tự đẳng cấu vi phân

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án trung thực, mới, cơng bố tạp chí Tốn học nước Các kết chưa công bố tạp chí khác Các kết viết chung với GS TSKH Đỗ Đức Thái, GS Pascal J Thomas, PGS TS Nguyễn Văn Trào, TS Ninh Văn Thu ThS Chử Văn Tiệp đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn dạy tận tình GS TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, tơi xin kính gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Bộ mơn Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin, Phịng Sau Đại học Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để sớm hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Bộ mơn Đại số - Hình học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắc giúp đỡ tạo điều kiện để yên tâm học tập nghiên cứu Cuối xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy giáo, giáo Khoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; thành viên seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán - Tin seminar Đại số Giao hốn - Hình học phức Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; đồng nghiệp, anh em, bạn bè khích lệ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu, học tập công tác Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Mở đầu Tổng quan 12 Chương Tính hyperbolic modulo tính taut modulo miền kiểu Hartogs 1.1 18 Không gian hyperbolic modulo taut modulo tập giải tích 18 1.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm miền ΩH (X) 23 1.3 Tính taut modulo S × Cm miền ΩH (X) 28 Chương Đường cong giới hạn Brody Cn (C∗ )2 37 2.1 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức 37 2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody Cn 47 2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody (C∗ )2 50 Chương Nhóm CR-tự đẳng cấu vi phân 58 3.1 Ví dụ trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58 3.2 Không gian vectơ thực trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64 Kết luận Kiến nghị 77 Danh mục cơng trình cơng bố tác giả 79 Tài liệu tham khảo 80 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • N, Z, Q, R, C: tương ứng tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức • Ω: Một miền Cn • Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu miền Ω • Hol(X, Y ): Khơng gian ánh xạ chỉnh hình từ khơng gian phức X vào khơng gian phức Y trang bị tơpơ compact mở • cX : Giả khoảng cách Caratheodory không gian phức X • dX : Giả khoảng cách Kobayashi khơng gian phức X • Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r C, ta kí hiệu D1 D • ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b| |1−ab|−|a−b| , với a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare D • ds2F S : Metric Fubini-Study Pn (C) •a b có nghĩa tồn số C > 0, không phụ thuộc vào tham số cho a ≤ Cb •a b có nghĩa tồn số C > 0, không phụ thuộc vào tham số cho a ≥ Cb • a ≈ b có nghĩa tồn số C1 > 0, C2 > không phụ thuộc vào tham số cho C1 b ≤ a ≤ C2 b • ΩH (X): Miền kiểu Hartogs • Ωϕ (X): Miền Hartogs • (M, p): Mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C p ∈ Cn • hol0 (M, p): Không gian vectơ thực gồm tất mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu p tiếp xúc với M • (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn M • (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình Cn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 60 kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi Kobayashi xây dựng không gian phức giả khoảng cách bất biến tự đẳng cấu chỉnh hình Giả khoảng cách ngày gọi giả khoảng cách Kobayashi Khi giả khoảng cách Kobayashi khơng gian phức trở thành khoảng cách khơng gian phức gọi khơng gian phức hyperbolic Tính hyperbolic khơng gian phức cho phép tiếp cận đến nhiều tính chất hình học khơng gian phức Ta thấy, tính hyperbolic khơng gian phức thực chất kiểm sốt tính khơng suy biến giả khoảng cách Kobayashi hai điểm khơng gian Vì thế, vấn đề tự nhiên đặt là: Ta thu tính chất hình học trường hợp ta khơng thể kiểm sốt tính khơng suy biến giả khoảng cách Kobayashi số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S Kobayashi đề xuất khái niệm không gian phức hyperbolic modulo tập giải tích Ơng vài tác giả sau nghiên cứu vấn đề thu nhiều kết đẹp đẽ Tuy nhiên, biết chưa nhiều ví dụ cụ thể khơng gian phức hyperbolic modulo tập giải tích Ngồi ra, kết M Zaidenberg, J Noguchi giả thuyết Mordell tình compact khơng compact cho thấy rõ tầm quan trọng việc nghiên cứu tính hyperbolic modulo tập giải tích Từ lý trên, luận án đặt vấn đề nghiên cứu tính hyperbolic modulo tập giải tích thuộc tính liên quan miền kiểu Hartogs Nói thêm miền Hartogs trường hợp đặc biệt miền kiểu Hartogs đối tượng bản, quen thuộc giải tích phức nhiều biến Những kết luận án chủ đề góp phần để hiểu rõ tính chất hình học miền Hartogs Một ứng dụng quan trọng tính hyperbolic là, tính hyperbolic cho phép kiểm sốt hình thái dãy đĩa chỉnh hình đa tạp phức dãy đĩa tiến "vô cùng" (tức tiến "biên" đa tạp) Đã có nhiều kết đẹp nhà tốn học nước chủ đề như: L Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hình thái dãy đĩa chỉnh hình đa tạp phức cịn cho phép tiếp cận đến số vấn đề Hệ động lực học phức nhiều biến Trong việc nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman không gian phức vấn đề quan trọng Đặc biệt, giả thuyết tính Zalcman Cn n ≥ câu hỏi mở Vì vấn đề thứ hai nghiên cứu luận án nghiên cứu đường cong giới hạn Brody Cn (C∗ )2 Chúng hy vọng cách tiếp cận vấn đề cho phép giải giả thuyết tính Zalcman nói Như biết, hình học theo quan điểm KLEIN hình học nhóm biến đổi Vì tốn cổ điển hình học mơ tả tự đẳng cấu lớp đa tạp Trong phần cuối luận án, góc độ hình học phức hyperbolic, giải vấn đề thứ ba luận án mơ tả tường minh CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực lớp siêu mặt thực kiểu vô hạn C2 Với tất lý trên, lựa chọn đề tài luận án là: "Tính hyperbolic khơng gian phức nhóm CR-tự đẳng cấu vi phân" Chúng hy vọng kết đạt luận án góp phần giúp hiểu rõ đặc trưng hình học khơng gian phức Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án là: Đưa điều kiện cần đủ cho tính hyperbolic modulo tính taut modulo tập giải tích miền kiểu Hartogs Đưa câu trả lời cho giả thuyết tính Zalcman khơng gian phức Cn Miêu tả nhóm CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án gồm không gian phức, miền kiểu Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M C2 Phạm vi nghiên cứu đề tài tính hyperbolic modulo, tính taut modulo tập giải tích miền kiểu Hartogs; tính Zalcman khơng gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M C2 Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp kỹ thuật truyền thống Giải tích phức, Hình học phức, Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án đạt số kết sau: Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo tập giải tích thuộc tính liên quan miền kiểu Hartogs Định lý 1.2.4: Giả sử X không gian phức S tập giải tích X Khi ΩH (X) hyperbolic modulo S × Cm X hyperbolic modulo S hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {xk }k≥1 ⊂ X \ S với lim xk = x0 ∈ X \ S {wk }k≥1 ⊂ Cm với lim wk = w0 = k→∞ k→∞ 0, lim sup H(xk , wk ) = k→∞ Định lý 1.3.1: Giả sử X không gian phức S tập giải tích X Khi i Nếu ΩH (X) taut modulo S × Cm X taut modulo S log H đa điều hòa dưới, liên tục (X \ S) × Cm ii Đặc biệt hơn, X không gian phức liên thông bất khả quy địa phương S tập giải tích (thực sự) log H đa điều hịa X × Cm iii Ngược lại, X taut modulo S, H liên tục (X \ S) × Cm log H đa điều hịa X × Cm ΩH (X) taut modulo S × Cm Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody Cn (C∗ )2 Định lý 2.2.3: Cn (n ≥ 2) không kiểu E-giới hạn hàm độ dài E Cn Định lý 2.3.1: (C∗ )2 không kiểu ds2F S -giới hạn, ds2F S metric Fubini-Study P2 (C) Ngồi ra, luận án cịn đưa tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào khơng gian phức compact 10 với metric Hermit tùy ý Định lý 2.1.9: Giả sử Ω miền C X không gian phức compact với metric Hermit E Giả sử S siêu mặt phức X đặt M = X \ S Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M ) Khi họ F khơng chuẩn tắc tồn dãy {pj } ⊂ Ω với pj → p0 ∈ Ω j → ∞, {fj } ⊂ F, {ρj } ⊂ R với ρj > ρj → 0+ j → ∞ cho gj (ξ) := fj (pj + ρj ξ), ξ ∈ C thỏa mãn hai khẳng định sau: (i) Dãy {gj } phân kỳ compact C; (ii) Dãy {gj } hội tụ tập compact C tới đường cong E-Brody không g : C → M Vấn đề 3: Miêu tả nhóm CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực lớp siêu mặt thực C2 Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C xác định phương trình ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Rez1 + P (z2 ) + Imz1 Q(z2 , Imz1 ) = 0, P, Q thoả mãn điều kiện sau: (1) P, Q nhẵn lớp C với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2 ) > với z2 = (3) P (z2 ), P (z2 ) phẳng z2 = Khi dimR hol0 (M, 0) ≤ Cấu trúc luận án Luận án bao gồm ba chương, viết dựa bốn cơng trình đăng nhận đăng tạp chí ngồi nước Cụ thể: 70 Do (3.8) nên tồn số B > cho 1 |h (t)| ≤ |Rea| + B 1+1/k t Do t |h(t)| ≤ |h(t0 )| + |Rea|(t − t0 ) + B s1+1/k ds t0 ≤ |h(t0 )| + |Rea|(t − t0 ) + kB 1/k t0 − t1/k với t > t0 Điều kéo theo u0 (t) → +∞ t → +∞ điều vơ lý Trường hợp 3.2.4: < m k < Ta giả thiết m, k nguyên tố Khi τ m phép quay thứ k nguyên thủy đơn vị Do tồn j0 , j1 ∈ {1, , k − 1} cho π/2 < arg(τ mj0 ) ≤ π −π ≤ arg(τ mj1 ) < −π/2 Từ suy tồn j ∈ {0, , k − 1} cho cos(arg( ab ) + A := k−m k arg(−b) − 2πmj k ) > Kí hiệu |a| a k−m 2πmj cos arg( ) + arg(−b) − (k − m)|b| b k k >0 số dương Đặt hj (t) := uj (t) + Re τ −mj a (c − kbt)1−m/k −b(k − m) Ta có arg(c − kbt) → arg(−b) t → +∞ chọn δ > cho tồn 71 t1 > đủ lớn để γjm (t) −τ −mj c − kbt m/k m/k kbt j (t) = − − c − kbt (c − kb(t + j (t)))m/k ≤ k−m A(k|b|)1−m/k m/k 8k|a| t với t > t1 Do theo đẳng thức (3.8) suy tồn số dương B t2 (t2 > t1 ) để |hj (t)| ≤ k−m B A(k|b|)1−m/k m/k + 1+1/k 4k t t k−m 2πmj a arg(c − kbt) − cos arg( )) + b k k ≤ a k−m 2πmj cos arg( ) + arg(−b) − b k k với t > t2 Từ suy t k−m |hj (t)| ≤ |hj (t2 )| + A(k|b|)1−m/k 4k t s−m/k ds + B t2 ≤ |hj (t2 )| + s−1−1/k ds t2 A 1−m/k −1/k (k|b|)1−m/k t1−m/k − t2 + kB(t2 − t−1/k ) với t > t2 Do aτ −mj uj (t) ≥ − Re (c − kbt)1−m/k −kb(1 − m/k) − |hj (t)| 72 |a| |c − kbt|1−m/k |b|(k − m) (k − m) arg(c − kbt) − 2mπj cos arg(a/b) + − |hj (t2 )| k A 1−m/k −1/k − kB(t2 − t−1/k ) − (k|b|)1−m/k t1−m/k − t2 A ≥ |c − kbt|1−m/k − |hj (t2 )| A 1−m/k −1/k − (k|b|)1−m/k t1−m/k − t2 − kB(t2 − t−1/k ) t1−m/k ≥ với t > t2 Vậy uj (t) → +∞ t → +∞ Điều mâu thuẫn với log P (z) → −∞ z → Như vậy, tất trường hợp ta gặp mâu thuẫn Vậy ab = Theo phương pháp chứng minh Bổ đề 3.2.1 ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.2 Giả sử P : D → R hàm nhẵn lớp C thỏa mãn P (z) > với z ∈ D∗0 phẳng Giả sử b số phức g hàm nhẵn lớp C xác định D thỏa mãn: (B1) g(z) = O(|z k+1 |), (B2) Re (bz k + g(z))P (z) = với z ∈ D với số nguyên không âm k, trừ trường hợp k = Reb = Khi b = Định lý 3.2.3 Giả sử (H, 0) mầm trường vectơ chỉnh hình triệt tiêu điểm gốc, khơng chứa hạng tử khác không iβz2 ∂z∂ (β ∈ R∗ ) tiếp xúc với mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C xác định phương trình ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Rez1 + P (z2 ) + Imz1 Q(z2 , Imz1 ) = 0, P, Q thoả mãn điều kiện sau: 73 (1) P, Q hàm nhẵn lớp C với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2 ) > với z2 = 0, (3) P (z2 ), P (z2 ) phẳng z2 = Khi H = Chứng minh Ta xét trường vectơ chỉnh hình H = h1 (z1 , z2 ) ∂ ∂ + h2 (z1 , z2 ) ∂z1 ∂z2 xác định lân cận điểm gốc thỏa mãn H(0) = 0, H không chứa hạng tử khác không iβz2 ∂z∂ (β ∈ R∗ ) H tiếp xúc với M, tức H thỏa mãn đồng thức (ReH)(ρ(z)) = 0, với z ∈ M (3.9) Ta có khai triển Taylor h1 h2 điểm gốc ∞ ∞ ajk z1j z2k h1 (z1 , z2 ) = j,k=0 bjk z1j z2k h2 (z1 , z2 ) = j,k=0 với ajk , bjk ∈ C Do H(0) = nên h1 (0, 0) = h2 (0, 0) = 0, từ ta a00 = b00 = Mặt khác ta có Q(z2 , Imz1 ) + + Imz1 Qz1 (z2 , Imz1 ) 2i ρz2 (z1 , z2 ) = P (z2 ) + Imz1 Qz2 (z2 , Imz1 ) ρz1 (z1 , z2 ) = Khi phương trình (3.9) tương đương với phương trình Re Q(z2 , Imz1 ) + + Imz1 Qz1 (z2 , Imz1 ) h1 (z1 , z2 )+ 2i + (P (z2 ) + Imz1 Qz2 (z2 , Imz1 )) h2 (z1 , z2 ) = (3.10) 74 với (z1 , z2 ) ∈ M Do (it−P (z2 )−tQ(z2 , t), z2 ) ∈ M với t ∈ R nên với t đủ nhỏ phương trình (3.10) viết dạng Re ∞ Q(z2 , t) + + tQz1 (z2 , t) 2i ajk (it − P (z2 ) − tQ(z2 , t))j z2k + j,k=0 ∞ bmn (it − P (z2 ) − tQ(z2 , t))m z2n = + (P (z2 ) + tQz2 (z2 , t)) (3.11) m,n=0 với z2 ∈ C thỏa mãn |z2 | < 0 với t ∈ R thỏa mãn |t| < δ0 , > 0, δ0 > đủ nhỏ Ta chứng minh H ≡ Giả sử H ≡ Do hệ thức (3.10) nên h2 ≡ h1 ≡ Do ta giả sử h2 ≡ Ta chia chứng minh thành hai trường hợp Trường hợp h1 ≡ Kí hiệu j0 số nguyên nhỏ cho aj0 k = với số nguyên k Gọi k0 số nguyên nhỏ cho aj0 k0 = Tương tự, kí hiệu m0 số nguyên nhỏ cho bm0 n = với số nguyên n Gọi n0 số nguyên nhỏ cho bm0 n0 = Dễ thấy j0 ≥ k0 = m0 ≥ n0 = Do P (z2 ) = o(|z2 |j ) với j ∈ N nên sau thay t = αP (z2 ) (α ∈ R chọn sau) vào (3.11) ta Re aj0 k0 (iα − 1)j0 (P (z2 ))j0 (z2k0 + o(|z2 |k0 )) + bm0 n0 (iα − 1)m0 (z2n0 + o(|z2 |n0 )) ×(P (z2 ))m0 (P (z2 ) + αP (z2 )Qz2 (z2 , αP (z2 ))) = (3.12) với z2 ∈ D Ví dụ trường hợp k0 = Re(aj0 ) = ta chọn α tùy ý thỏa mãn Re((iα−1)j0 aj0 ) = Do hệ thức (3.12) P (z2 ), P (z2 ) 75 phẳng z2 = nên j0 > m0 Do theo Bổ đề 3.2.1 ta có m0 = 0, n0 = b0,1 = iβz2 với β ∈ R∗ Điều trái với giả thiết H không chứa hạng tử khác không iβz2 ∂z∂ Trường hợp h1 ≡ Lấy m0 , n0 trường hợp Do P (z2 ) = o(|z2 |n0 ) nên biểu thức (3.11) lấy t = ta Re [bm0 n0 (z2n0 + o(|z2 |n0 ))P (z2 )] = với z2 ∈ D Do theo Bổ đề 3.2.2 ta m0 = 0, n0 = b0,1 = iβz2 với β ∈ R∗ Điều mâu thuẫn với giả thiết trường vectơ H Định lý 3.2.4 Giả sử (M, 0) mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C xác định phương trình ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Rez1 + P (z2 ) + Imz1 Q(z2 , Imz1 ) = 0, P, Q thoả mãn điều kiện sau: (1) P, Q nhẵn lớp C với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2 ) > với z2 = (3) P (z2 ), P (z2 ) phẳng z2 = Khi dimR hol0 (M, 0) ≤ Chứng minh Lấy H1 , H2 ∈ hol0 (M, p) tùy ý Theo Định lý 3.2.3 ta có Hj chứa hạng tử iβj z2 ∂z∂ với j = 1, β1 , β2 ∈ R Do β2 H1 − β1 H2 khơng chứa hạng tử iβj z2 ∂z∂ Do theo Định lý 3.2.3 ta β2 H1 − β1 H2 = Nhận xét: Khi P hàm nhẵn lớp C ∞ điều kiện (3) Định lý 3.2.4 nói đơn giản P triệt tiêu bậc vơ hạn Ngồi cịn 76 điểm kiểu vô hạn D’Angelo Trong trường hợp M siêu mặt đối xứng z2 , có nghĩa P (z2 ) = P (|z2 |) Q(z2 , t) = Q(|z2 |, t) với z2 t, ta biết iz2 ∂z∂ tiếp xúc với M (xem chứng minh [5]) Vì vậy, theo Định lý 3.2.4 nhận Hệ 3.2.5, hệ tổng quát so với kết [5] Hệ 3.2.5 Giả sử (M, 0) mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C xác định phương trình ρ(z) := ρ(z1 , z2 ) = Rez1 + P (z2 ) + Imz1 Q(z2 , Imz1 ) = 0, P, Q thoả mãn điều kiện sau: (1) P, Q nhẵn lớp C với P (0) = Q(0, 0) = 0, (2) P (z2 ) = P (|z2 |) Q(z2 , t) = Q(|z2 |, t) với z2 t, (3) P (z2 ) > với z2 = 0, (4) P (z2 ), P (z2 ) phẳng z2 = Khi hol0 (M, 0) = {iβz2 ∂z∂ : β ∈ R} Theo Định lý 3.2.4 Định lý 3.1.4 ta có Hệ 3.2.6 Hệ 3.2.6 hol0 (M (a, α, p, q), 0) = {βH a,α : β ∈ R} 77 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt luận án: Luận án đạt số kết sau: • Chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo tập giải tích khơng gian phức • Chứng minh điều kiện cần đủ cho tính hyperbolic modulo S × Cm miền kiểu Hartogs ΩH (X) • Chứng minh điều kiện cần đủ cho tính taut modulo S ì Cm ca kiu Hartogs H (X) ã Chứng minh giả thuyết tính Zalcman cho trường hợp đạo hàm đường cong chỉnh hình g : C → X định nghĩa không gian Zalcman bị chặn • Chứng minh tổng qt hóa định lý Brody định lý Zalcman cho tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào khơng gian phức Hermit khơng đầy • Chứng minh không gian vectơ thực mầm trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình với siêu mặt thực nhẵn M ⊂ C2 kiểu vô hạn p ∈ M triệt tiêu p có chiều thực khơng vượt Kiến nghị nghiên cứu tiếp theo: Luận án tiếp tục phát triển theo hướng sau: • Nghiên cứu tính hyperbolic đầy modulo tập giải tích miền Hartogs 78 • Nghiên cứu tính đắn định lý Brody tính hyperbolic modulo tập giải tích khơng gian phức compact • Chứng minh giả thuyết tính Zalcman Cn (n ≥ 2) • Tìm kiếm thêm lớp siêu mặt thực kiểu vô hạn C2 mà ta mơ tả tường minh tự đẳng cấu CR vi phân giải tích thực lớp siêu mặt Do thời gian nghiên cứu cịn hạn hẹp nên chúng tơi chưa giải câu hỏi Chúng hy vọng câu hỏi giải thời gian tới 79 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ • Do Duc Thai, Thomas P J., Nguyen Van Trao and Mai Anh Duc (2013), "On hyperbolicity and tautness modulo an analytic subset of Hartogs domains", Proc Amer Math Soc., Volume 141, Number 10, 3623–3631 • Do Duc Thai, Mai Anh Duc and Ninh Van Thu (2015), "On limit Brody curves in Cn and (C∗ )2 ", to appear in Kyushu Journal of Mathematics, Vol.69, no.1 • Mai Anh Duc (2014), "On hyperbolicity and tautness modulo an analytic subset of complex spaces", Journal of Science of HNUE, Mathematical and Physical Sci., Vol 59(7), 34–43 • Ninh Văn Thu, Chu Van Tiep and Mai Anh Duc, "On the real analytic infinitesial CR automorphism of hypersurfaces infinite type", Preprint, arXiv: 1404.4914 Tài liệu tham khảo [1] Ahlfors L (1978), Complex Analysis, Third edition International Series in Pure and Applied Mathematics McGraw-Hill Book Co., New York [2] Aladro G and Krantz S (1991), "A criterion for normality in Cn ", J Math Anal Appl., 161 (1), 1–8 [3] Baouendi M S., Ebenfelt P and Rothschild L P (1999), Real submanifolds in complex space and their mappings, Princeton Math Series, 47 Princeton Univ Press, Princeton, NJ [4] Bierstone E and Milman P D (1997), "Canonical desingularization in characteristic zero by blowing up the maximum strata of a local invariant",Invent Math., 128 , 207–302 [5] Byun J., Joo J C and Song M (2012), "The characterization of holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point", J Math Anal Appl., 387, 667–675 [6] Chern S S and Moser J K (1974), "Real hypersurfaces in complex manifolds", Acta Math 133 , 219–271 [7] Clunie J and Hayman W K (1966), "The spherical derivative of integral and meromorphic functions", Comment Math Helv., 40, 117–148 80 81 [8] Coleman C (1965), "Equivalence of planar dynamical and differential systems", J Differential Equations 1, 222–233 [9] Nguyen Quang Dieu and Do Duc Thai (2003), "Complete hyperbolicity of Hartogs domain", Manuscripta Math., 112, 171–181 [10] Mai Anh Duc (2014), "On hyperbolicity and tautness modulo an analytic subset of complex spaces", Journal of Science of HNUE, Mathematical and Physical Sci., Vol 59(7), 34–43 [11] Fornaess J and Narasimhan R (1980), "The Levi problem on complex spaces with singularities", Math Ann., 248, 47–72 [12] Gunning R C and Rossi H (1965), Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J [13] Jarnicki M and Pflug P (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter, Berlin-New York [14] Kim K T and Ninh Van Thu, "On the tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point", arXiv: 1206.4132, to appear in Trans Amer Math Soc [15] Klimek M (1991), Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York, [16] Kobayashi S (1998), Hyperbolic complex spaces, Springer-Verlag, Berlin [17] Kolar M and Meylan F (2011), "Infinitesimal CR automorphisms of hypersurfaces of finite type in C2 ", Arch Math., (Brno) 47 (5) , 367– 375 82 [18] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer-Verlag, New York, 1987 [19] Lehto O and Virtanen K I (1957), "Boundary behaviour and normal meromorphic fucntions", Acta Math., 97 , 47–65 [20] Park S H (2007), "On hyperbolicity and tautness of certain Hartogs type domains", Rocky Mountain Journal of Mathematics, Volume 37, Number [21] Sibony N (1981), "A class of hyperbolic manifolds", Recent Developments in Several Complex Variables, Princeton Univ Press 100 , 357-372 [22] Stanton N (1996), "Infinitesimal CR automorphisms of real hypersurfaces", Amer J Math., 118 (1) , 209–233 [23] Stanton N (1995), "Infinitesimal CR automorphisms of rigid hypersurfaces", Amer J Math., 117 (1), 141–167 [24] Sverdlove R (1979), "Vector fields defined by complex functions", J Differential Equations , 34, no 3, 427–439 [25] Do Duc Thai and Pham Viet Duc (2000), "On the complete hyperbolicity and the tautness of the Hartogs domains", Intern J Math., 11 , 103–111 [26] Do Duc Thai, Mai Anh Duc and Ninh Van Thu (2015), "On limit Brody curves in Cn and (C∗ )2 ", Kyushu Journal of Mathematics, Vol.69 no.1, to appear 83 [27] Do Duc Thai, Thomas P J., Nguyen Van Trao and Mai Anh Duc (2013), "On hyperbolicity and tautness modulo an analytic subset of Hartogs domains", Proc Amer Math Soc., Volume 141, Number 10, 3623–3631 [28] Do Duc Thai, Pham Nguyen Thu Trang and Pham Dinh Huong (2003), "Families of normal maps in Several Complex Variables and hyperbolicity of complex spaces", Complex Variables, Vol 48, No , 469–482 [29] Nguyen Van Trao and Tran Hue Minh (2009), "Remarks on the Kobayashi hyperbolicity of complex spaces", Acta Math Vietnam, 34 , 375–387 [30] Nguyen Van Trao and Pham Nguyen Thu Trang (2007), "On Zalcman complex spaces and Noguchi-type convergence-extension theorems for holomorphic mappings into weakly Zalcman complex spaces", Acta Math Vietnam., 32, 83–97 [31] Ninh Van Thu, "On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point", arXiv: 1303.6156v5 [32] Ninh Văn Thu, Chu Van Tiep and Mai Anh Duc, "On the real analytic infinitesial CR automorphism of hypersurfaces infinite type", preprint, ArXiv: 1404.4914 [33] Winkelmann J.(2007) , "On Brody and entire curves", Bull Soc Math., France 135 (1) , 25–46 [34] Wu H H (1967), "Normal families of holomorphic mappings", Acta Math., 193–233 84 [35] Zalcman L (1998), "Normal families: new perspectives", Bull Amer Math Soc., (N.S) 35 , 215–230 [36] Berteloot F (2006), "Méthodes de changement d’échelles en analyse complexe", Ann Fac Sci Toulouse Math., (6) 15 , no 3, 427–483 [37] Eastwood A (1975), "À propos des variétés hyperboliques complètes", C R Acad Sci., Paris 280, 1071–1075 [38] Hironaka H , Desingularization of complex-analytic varieties (in French), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 2, 627–631, Gauthier-Villars, Paris, 1971 [39] Montel P (1907), "Sur les suites infinies des fonctions", Ann École Norm Sup., 24 , 233–334 ... cách Kobayashi không gian phức trở thành khoảng cách khơng gian phức gọi khơng gian phức hyperbolic Tính hyperbolic khơng gian phức cho phép tiếp cận đến nhiều tính chất hình học khơng gian phức. .. Chương với tên gọi "Nhóm CR- tự đẳng cấu vi phân" , chúng tơi mơ tả tường minh nhóm CR- tự đẳng cấu vi phân giải tích thực lớp siêu mặt thực kiểu vô hạn C2 thông qua vi? ??c mô tả không gian vectơ thực... Miêu tả nhóm CR- tự đẳng cấu vi phân giải tích thực siêu mặt kiểu vơ hạn Như trình bày trên, quan điểm KLEIN góc độ Hình học phức hyperbolic, chúng tơi mơ tả tường minh nhóm CR- tự đẳng cấu vi phân