Dai so va giai tich 11

(Tái lần thứ bảy) 11 Nhà xuất gi¸o dơc viƯt nam K Ý hiƯu dïng s¸ch Phần hoạt động học sinh Tuỳ đối tợng cụ thể mà giáo viên sử dụng Kết thúc chứng minh lời giải Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào t¹o 01 − 2014/CXB/472 − 1062/GD M· sè : CH101T4 hm số lợng giác I định nghĩa Trớc hết, ta nhắc lại bảng giá trị lợng giác cung đặc biệt Cung sin x cos x tan x 3 3 3 Gi¸ trị lợng giác cot x 2 2 π 2 0 a) Sư dơng m¸y tÝnh bá tói, hÃy tính sin x, cos x với x sè sau : π π ; ; 1,5 ; ; 3,1 ; 4,25 ; b) Trªn đờng tròn lợng giác, với điểm gốc A, hÃy xác định điểm M mà số đo z cung AM x (rad) tơng ứng đà cho xác định sin x, cos x (lấy 3,14) Hàm số sin hàm số côsin a) Hàm số sin lớp 10 ta đà biết, đặt tơng ứng số thực x với điểm M z đờng tròn lợng giác mà số đo cung AM x (rad) (h.1a) Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, giá trị sin x Biểu diễn giá trị x trục hoành giá trị sin x trục tung, ta đợc Hình 1b a) b) Hình Quy tắc đặt tơng ứng số thùc x víi sè thùc sin x sin : \ \ x y = sin x đợc gọi lµ hµm sè sin, kÝ hiƯu lµ y = sin x Tập xác định hàm số sin \ b) Hàm số côsin a) b) Hình Quy tắc đặt tơng ứng số thực x với số thùc cos x cos : \ → \ x y = cos x đợc gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cos x (h.2) Tập xác định hàm số côsin \ Hàm số tang hàm số côtang a) Hàm số tang Hàm số tang hàm số đợc xác định c«ng thøc sin x y= (cos x ≠ 0), cos x kí hiệu y = tan x Vì cos x ≠ vµ chØ x ≠ sè y = tan x lµ D= \ π + kπ (k ]) nên tập xác định hàm \ { } π + k π, k ∈ Z b) Hàm số côtang Hàm số côtang hàm số đợc xác định công thức y= cos x sin x (sin x ≠ 0), kÝ hiƯu lµ y = cot x V× sin x ≠ vµ chØ x ≠ k π ( k ∈ ]) nên tập xác định hàm số y = cot x lµ D = \ \ {kπ, k ∈ ] } HÃy so sánh giá trị sin x vµ sin (−x), cos x vµ cos(−x) NhËn xÐt Hàm số y = sin x hàm số lẻ, hàm số y = cos x hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tan x y = cot x hàm số lẻ II Tính tuần hoàn hàm số lợng giác Tìm số T cho f(x + T) = f(x) víi mäi x thc tËp x¸c định hàm số sau : a) f(x) = sin x ; b) f(x) = tan x Ngời ta chứng minh đợc T = số dơng nhỏ thoả mÃn đẳng thức sin(x + T) = sin x, x \ (xem Bài đọc thêm) Hàm số y = sin x thoả mÃn đẳng thức đợc gọi hàm số tuần hoàn với chu kì Tơng tự, hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì Các hàm số y = tan x y = cot x hàm số tuần hoàn, với chu kì III Sự biến thiên đồ thị hàm số lợng giác Hàm số y = sin x Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sin x : y Xác định với x ∈ \ vµ −1 ≤ sin x ≤ ; y Là hàm số lẻ ; y Là hàm số tuần hoàn với chu kì Sau đây, ta khảo sát biến thiên hàm số y = sin x a) Sự biến thiên đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0 ; ] Xét số thực x1, x2, x1 < x2 Đặt x3 = − x2 , x4 = π − x1 BiÓu diễn chúng đờng tròn lợng giác xét sin xi t−¬ng øng (i = 1, 2, 3, 4) (h.3a) a) b) Hình Trên Hình ta thấy, với x1, x2 tuỳ ý thuộc đoạn ; x1 < x2 sin x1 < sin x2 ⎣ 2⎦ ⎡π ⎤ Khi ®ã x3, x4 thuéc đoạn ; x3 < x4 nhng sin x3 > sin x4 ⎣2 ⎦ ⎡π ⎤ Vậy hàm số y = sin x đồng biến ; nghịch biến ; π ⎥ ⎣2 ⎦ ⎣ 2⎦ B¶ng biÕn thiªn : x y = sin x π 0 Đồ thị hàm số y = sin x đoạn [0 ; ] qua điểm (0 ; 0), (x1 ; sin x1), ⎞ (x2 ; sin x2), ⎜ ; ⎟ , (x3 ; sin x3), (x4 ; sin x4), (π ; 0) (h.3b) ⎝2 ⎠ Chó ý V× y = sin x hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số đoạn [0 ; ] qua gốc toạ độ O, ta đợc đồ thị hàm số đoạn [ ; 0] Đồ thị hàm số y = sin x đoạn [ ; ] đợc biểu diễn Hình Hình b) Đồ thị hàm số y = sin x \ Hàm số y = sin x hàm số tuần hoàn chu kì nªn víi mäi x ∈ \ ta cã sin(x + k2π) = sin x, k ∈ ] Do ®ã, muốn có đồ thị hàm số y = sin x toàn tập xác định \ , ta tịnh G tiến liên tiếp đồ thị hàm số đoạn [ ; ] theo vectơ v = (2 ; 0) G vµ −v = (−2π ; 0) , nghÜa tịnh tiến song song với trục hoành đoạn có độ dài Hình dới đồ thị hàm số y = sin x \ − 5π −2π − 3π −π −π y O π −1 π 3π 2π 5π x 2π H×nh c) Tập giá trị hàm số y = sin x Từ đồ thị ta thấy tập hợp giá trị hàm số y = sin x đoạn [1 ; 1] Ta nói tập giá trị hàm số nµy lµ [−1 ; 1] Hµm sè y = cos x Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cos x : y Xác định với x ∈ \ vµ −1 ≤ cos x ≤ ; y Là hàm số chẵn ; y Là hàm số tuần hoàn với chu kì Với x \ ta có đẳng thức sin x + ⎟ = cos x ⎝ 2⎠ G ⎛ π Từ đó, cách tịnh tiến đồ thị hàm sè y = sin x theo vect¬ u = ⎜ − ; ⎟ ⎝ ⎠ π (sang tr¸i đoạn có độ dài , song song với trục hoành), ta đợc đồ thị hàm số y = cos x (h.6) H×nh b) ViÕt phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x = c) Tìm tập xác định cđa hµm sè z = + cos2 x + 7sin x , biÕt r»ng tan a = 0,2 a) Tính A = + 7sin 2a b) Tính đạo hàm hàm số đà cho c) Xác định khoảng y' không dơng Giải phơng trình : x x a) sin cos2 x − sin sin x = cos2 x − sin x ; 2 b) 3cos x + 4sin x = ; c) sin x + cos x = + cos x sin x ; Cho hµm sè y = d) − cos x π − cos x = sin x (x ∈ [π ; 3π]) ; x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ e) ⎜ cos − 3sin x ⎟ sin x + ⎜ + sin − 3cos x ⎟ cos x = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Trong bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khoa Hỏi có cách phân công ca mổ, ca gồm : a) Một bác sĩ mổ bác sĩ phụ ? b) Một bác sĩ mổ bốn bác sĩ phụ ? Tìm số hạng không chứa a khai triĨn cđa nhÞ thøc 10 ⎛ 2⎞ ⎜ +a ⎟ ⎝a ⎠ Chän ngÉu nhiªn ba häc sinh tõ mét tỉ gåm có sáu nam bốn nữ Tính xác suất cho : a) Cả ba học sinh nam ; b) Cã Ýt nhÊt mét nam Mét tiĨu ®éi có 10 ngời đợc xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, có anh A anh B Tính xác suất cho : a) A B đứng liền ; b) Trong hai ng−êi ®ã cã mét ng−êi đứng vị trí số ngời đứng vị trí cuối 179 Tìm cấp số cộng tăng, biết tổng ba số hạng đầu 27 tổng bình phơng chúng b»ng 275 Cho biÕt mét cÊp sè nh©n, hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ hai 12 thêm 10 vào số hạng thứ nhất, thêm vào số hạng thứ hai giữ nguyên số hạng thứ ba ba số lËp thµnh mét cÊp sè céng H·y tÝnh tỉng cđa năm số hạng đầu cấp số nhân đà cho 10 Tính giới hạn sau : a) lim (n + 1)(3 − 2n)2 n3 + ; n −1 ⎞ ⎛ b) lim ⎜ + + + + ⎟ ; 2 n2 + ⎠ ⎝n +1 n +1 n +1 c) lim 4n + + n ; 2n + d) lim n ( n − − n ) π n n 11 Cho hai d·y sè (un ), (vn ) víi un = vµ = 2 n +1 n +1 n cos a) TÝnh lim un b) Chøng minh r»ng lim = 12 Chøng minh r»ng hµm sè y = cos x giới hạn x + 13 Tính giới hạn sau : a) lim x − 3x 2x + ; x →2 x − 3x − x2 − ; x − 3x + ; x−2 x → 2+ n ⎞ ⎛ d) lim ⎜ x + x + + x n − ⎟ ; 1− x⎠ x →1− ⎝ 2x − ; x →+∞ x + f) lim c) lim e) lim g) lim (−2 x + x − x + 1) x →−∞ 180 b) lim x + x2 − ; − 3x x →−∞ 14 Chøng minh phơng trình sau có nghiệm : sin x = x 15 Phơng trình sau có nghiệm hay không khoảng (1 ; 3) : x − 3x3 + x − = ? 16 Giải phơng trình : a) f '(x) = g(x) víi f(x) = sin 2x vµ g(x) = 4cos 2x − 5sin 4x ; b) f '(x) = víi f(x) = 20cos 3x + 12cos 5x 15cos 4x 17 Tính đạo hàm hàm sè sau : a) y = ; b) y = c) y = (2 − x ) cos x + 2x sin x ; d) y = cos2 x cos x + x +1 ; sin x − x cos x cos x + x sin x 18 Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau : 1 a) y = ; b) y = ; x +1 x(1 − x ) c) y = sin ax (a lµ h»ng sè) ; d) y = sin x 19 Cho hµm sè f(x) = x + bx + cx + d (C) HÃy xác định số b, c, d, biết đồ thị (C) hàm số y = f(x) qua điểm (1 ; −3), (1 ; −1) vµ f ' ⎜ ⎟ = 20 Cho hàm số f ( x ) = x + bx + cx + d , (C) g ( x ) = x − x + Víi c¸c sè b, c, d tìm đợc 19, hÃy : a) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x = ; b) Giải phơng tr×nh f '(sin x) = ; f "(sin x ) + x → g '(sin x ) + c) Tìm lim 181 Đáp số hớng dẫn Chơng I Đ1 a) tan x = t¹i x ∈ {−π, 0, π} ; { b) tan x = t¹i x ∈ − §2 } 3π π 5π , , ; 4 c) tan x > π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ x ∈ ⎜ −π ; − ⎟ ∪ ⎜ 0; ⎟ ∪ ⎜ π ; ⎟ ; ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ d) tan x < d) x = − 40o + k180o, ⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ − ;0 ⎟ ∪ ⎜ ; π ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ x = 110o + k180o, k ∈ ] a) D = \ \ {kπ, k ∈ ] } ; b) D = \ \ {k2π, k ∈ ] } ; c) D = \ \ { { } } 5π + k π, k ∈ Z ; π d) D = \ \ − + k π, k ∈ Z LÊy ®èi xøng qua trơc Ox phần đồ thị hàm số y = sin x đoạn [ + k2 ; + k2], giữ nguyên phần đồ thị lại (k ] ) y = sin 2x hàm số tuần hoàn với chu kì hàm số lẻ Từ suy đồ thị hàm số Cắt đồ thị hàm số y = cos x đờng thẳng y = , xác định hoành độ giao ®iĨm x ∈ (k2π ; π + k2π), k ∈ ] 3π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + k π ; + k 2π ⎟ , k ∈ ] ⎝2 ⎠ a) ≤ cos x ≤ 1, y ≤ 3, ymax = ⇔ x = k2π, k ∈ ] b) − sin x ≤ 5, y max = ⇔x= − 182 − + k2π, x = π − arcsin − + k2π, k ∈ ] ; π 2π ,k∈ ] ; b) x = + k π 3π ,k∈ ] ; c) x = + k 2 a) x = arcsin π + k π, k ∈ ] π π +k , k ∈ ] 2 a) x = ± arccos + k2π, k ∈ ] ; x = kπ, x = b) x = ± 4o + k.120o, k ∈ ] ; 11π 4π 5π 4π + k , x = − + k , k∈ ] ; 18 18 π π d) x = ± + k π , x = ± + k π , k ∈ Z π x = − + k π , k ∈ ] c) x = a) x = 45o + k180o, k ∈ Z ; 5π π + +k , k ∈ ] ; 18 π π c) x = + k , x = kπ, k ∈ ] π π + kπ, k ∈ Z d) x = k , x = π π +k , k ∈ ] x = 12 π π π + k , x = − + kπ, k ∈ ] a) x = 16 4 π π b) x = + k , k ∈ ] b) x = §3 π x = kπ, x = + k2π, k ∈ ] π a) x = k2π, x = ± + k2π, k ∈ ] ; π 3π b) x = k , x = ± + kπ, k ∈ ] π a) x = k4π, k ∈ ] ; b) x = + k2π, 5π ⎛ 1⎞ + k2π, x = arcsin ⎜ − ⎟ + k2π, x= ⎝ 4⎠ ⎛ 1⎞ x = π − arcsin ⎜ − ⎟ + k2π, k ∈ ] ; ⎝ 4⎠ π ⎛ 1⎞ c) − + k π , x = arctan ⎜ − ⎟ + k π, k ∈ ] ; ⎝ 2⎠ π d) x = + k π x = arctan(−2) + kπ, k ∈ ] π a) x = + kπ, ⎛ 3⎞ x = arctan ⎜ − ⎟ + kπ, k ∈ ] ; ⎝ 2⎠ π b) x = + kπ, x = arctan3 + kπ, k ∈ ] ; π + kπ, x = arctan(−5) + kπ, k ∈ ] ; c) x = π π + kπ, x = + kπ, k ∈ ] d) x = π 7π a) x = − + k2π, x = − + k2π, k ∈ ] ; 12 12 α π 2π ,k∈ ] b) x = + + k 3 (víi cos α = ; sin α = ) 5 7π π c) x = + k2π, x = − + k2π, k ∈ ] ; 12 12 π α d) x = − + k π , k ∈ ] ; 12 ; cos α = ) (víi sin α = 13 13 π π +k , k ∈ ] 10 b) x = k π, x = arctan + k π, k ∈ ] a) x = Ôn tập chơng I a) có ; b) kh«ng { } π 3π a) x ∈ − , ; b) x ∈ (−π ;0) ∪ (π, π) 2 a) + cos x ≤ ⇒ y ≤ 3, ymax = ⇔ x = k 2π, k ∈ ] ; b) y ≤ 1, ymax = ⇔x= 2π + k π, k ∈ ] a) x = −1 + arcsin + k π, k ∈ ] ;  x = π − − arcsin + k π, k ∈ ] π 3π b) x = ± + k π, x = ± + k π , k ∈ ] ; 8 2π + k 2π , k ∈ ] ; c) x = ± −5π π d) x = +k , k ∈ ] 144 12 π a) x = k 2π, x = ± + k π , k ∈ ] ; π b) x = + k π, x = arctan + k π , k ∈ ] ; 15 c) x = k 2π, k ∈ ] ; x = π − 2α + k2π, k ∈ ] (víi cos α = ; sin α = ) 2π + k π d) §iỊu kiÖn sin x ≠ 0, x = ± Chơng II Đ1 a) ; b) 42 = 16 ; c) = 12 ; 42 a) 24 ; b) 576 12 §2 a) 6! ; b) × 5! ; c) 414 10! ; 210 360 a) 60 ; b) 10 20 60 183 §3 12 n = 28 −1 a), b) Gỵi ý Khai triĨn 1110 = (10 + 1)10, 101100 = (100 + 1)100 §4 a) Ω = {SSS, SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN} b) A = {SSS, SSN, SNS, SNN} ; B = {SNN, NSN, NNS} ; C = {SSN, NSS, SNS, NNS, NSN, SNN, NNN} a) Ω = {(i, j) ; ≤ i, j ≤ 6} a) Ω = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} b) A = {{1, 3}, {2, 4}} ; B = {{1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} a) A = A1 ∩ A2 ; B = A1 ∩ A2 ; C = ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A1 ∩ A2 ) ; D = A1 ∪ A2 b) HD D biến cố "Cả hai ngời bắn trợt" a) Ω = {1, 2, , 10} ; b) A = {1, 2, 3, 4, 5} ; B = {7, 8, 9, 10} ; C = {2, 4, 6, 8, 10} a) Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN} ; b) A = {S, NS, NNS} ; B = {NNNS, NNNN} a) gồm chỉnh hợp chập cđa ch÷ sè 1, 2, 3, 4, ; b) A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} ; B = {(2, 1), (4, 2)} ; C = ∅ §5 11 c) P( A) = , P( B ) = 36 36 b) A = {1, 3, 4} ; B = {{1, 2, 3}, {2, 3, 4}} ; 1 c) P( A) = , P( B ) = 2 1 a) , b) , c) 3 a) ≈ 0,000 003 ; b) ≈ 0,28123; c) ≈ 0,000 133 a) , b) 3 184 a) §éc lËp ; b) 12 13 ; c) 25 25 Ôn tập chơng II a) 1176 ; b) 420 a) = 0,1 ; b) 0,2 a) 209 , b) 105 210 a) 1 ; b) ; c) a) ; b) 5 4 0,4213 Chơng III Đ1 a) S1 = , S2 = , S3 = §2 b) un = n + víi n ∈ N* b) DÃy số tăng ; a) DÃy số giảm ; c) DÃy số không tăng không giảm ; d) DÃy số giảm a) DÃy số bị chặn dới un ; b) DÃy số bị chặn < un ; c) < un ≤ ; d) − < un < §3 1 b) u1 = − , d = ; 2 c) D·y sè kh«ng phải cấp số cộng ; d) u1 = 2, d = − a) u1 = 3, d = −2 ; a) u1 = 16, d = −3 ; b) u1 = 3, d = ; u1 = 17, d = Đáp số đợc để ngoặc đơn bảng u1 d −2 (36) (−5) (3) un 55 −4 4/27 (2) (−20) 17 −5 (−43) n 20 15 (28) 12 (10) Sn (530) 120 (140) 72 −205 a) hn = 0,5 + 0,18n ; b) h21 = 4,28 (m) 78 §4 a) q = ; b) u1 = ; c) n = 7 a) • q = : , 1, 3, 9, 27 ; • q = −3 : , −1, 3, −9, 27 ; 200 100 50 25 25 b) − , − , − , − , − 3 3 1, 2, 4, 8, 16, 32 Sau năm : 1,9 triệu ngời ; Sau 10 năm : ≈ 2,1 triƯu ng−êi BiĨu diƠn an +1 = an 10 víi n ≥ Do dÃy số (an) cấp số nhân với công 10 Ôn tập chơng III Cấp số cộng dÃy số tăng d > gi¶m nÕu d < béi q = a) un < víi mäi n ; b) C¸c sè hạng đan dấu Dùng phơng pháp quy nạp toán häc a) 2, 3, 5, 9, 17 a) DÃy số tăng, bị chặn dới b) DÃy số bị chặn, không tăng không giảm c) DÃy số giảm bị chặn < un +1 a) u1 = 8, d = −3 ; b) u1 = 0, d = ; u1 = −12, d = 21 a) u1 = 6, q = ; b) u1 = 12, q = ; c) u1 = 1, q = 10 A = 22o30', B = 67o30', C = 112o30', D = 157o30' 11 q1 = hc q2 = 12 m2 Chơng IV Đ1 (kg) ; a) un = 2n −6 −6 −3 c) Chó ý : 10 g =10 10 kg = 109 kg 3 a) ; b) ; c) ; d) 1 10 a) un = ; b) S = − n 11 101 ⋅ a) +∞ ; b) −∞ ; c) − ; d) +∞ 99 a) ; b) Đ2 ; b) 2 Hàm số y = f(x) giới hạn x → a) −4 ; b) ; c) d) – e) ; f) −∞ a) +∞ ; b) +∞ ; c) −∞ b) lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = −∞ , a) x →−∞ x → 3− lim f ( x ) = +∞ x →−3+ a) +∞ ; b) +∞ ; c) +∞ ; d) −1 df a) d' = ϕ(d) = ; d− f b) lim ϕ (d ) = +∞ , lim ϕ (d ) = −∞ , d→ f + d→ f − lim ϕ (d ) = f d →+∞ §3 y = f(x) liên tục x0 = a) y = g(x) không liên tục x0 = ; b) 12 a) y = f ( x ) liên tục ( ; 1) (1; +) a) y = f(x) liªn tơc trªn (−∞ ; 3), (3 ; 2) (2 ; +) ; b) y = g(x) liªn tơc trªn π ⎛ −π ⎞ + k π ; + k π ⎟ víi k Z khoảng 2 ý kiến 185 b) HD Xét hàm sè f ( x ) = cos x − x \ hai số 0, Đ2 a) ; b) 10 Ôn tập chơng IV a) 5x4 − 12x2 + ; b) −2x3 + 2x − lim un = HOAN 1 ; b) ; c) −∞ ; d) −∞ ; e) ; f) − 3 a) lim f ( x ) = +∞ ; lim g( x ) = +∞ ; a) x →0 x ; d) −63x6 + 120x4 a) 3x5(x5 − 5)2 (7x5 − 10) ; c) 2x3 − 2x2 + −2( x + 1) b) −4x (3x2 − 1) ; c) x →0 ( x − 1)2 lim f ( x ) = −1 ; lim g( x ) = +∞ ; x → +∞ x + b) Hình 60a) đồ thị y = g(x), Hình 60b) đồ thị y = f(x) y = g(x) liªn tơc trªn R HD XÐt dÊu f (0), f (1), f (2) f (3) Chơng V Đ1 a) f(2) − f(1) = ; b) f(0, 9) − f(1) = −0,271 Δy a) Δy = 2Δx, =2; Δx Δy b) Δy = Δx(2x + Δx) ; = 2x + Δx ; Δx c) Δy = 2Δx[3x2 + 3xΔx + (Δx)2] ; Δy = 6x2 + 6x Δx + 2(Δx)2 ; Δx Δx Δy d) Δy = − ; =− x( x + Δx ) Δx x ( x + Δx ) a) ; b) − ; c) −2 4 HD Chøng minh f gián đoạn x = Từ suy f đạo hàm điểm a) y = 3x + ; b) y = 12x − 16 ; c) y = 3x + vµ y = 3x − a) y = −4(x − 1) ; b) y = −(x + 2) ; x x c) y = − + vµ y = − − 4 a) 49,49 m/s ; 49,245 m/s ; 49,005 m/s ; b) 49 m/s 186 ; d) 5x − x − ( x − x + 1)2 6n ⎛ n ⎞ m+ ⎟ 3⎜ x ⎝ x2 ⎠ ; e) − −2 x − ; x ; b) 2 − 5x − x a) 2x − c) ; x (3a2 − x ) (a − x ) 2 ; d) 3− x (1 − x )3 a) x < hc x > ; b) −