CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN NĂM 2021 Người soạn: Trần Văn Tuân Bài (chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2021) Giải phương trình √ √ √ x + + 3x = + 4x − Giải hệ phương trình x2 − 2x + 3xy = 12 y − 2y − xy = −4 Cho hai số thực x, y thỏa mãn < x < y ≤ xy ≤ 4x + 3y Chứng minh x2 + y ≤ 100 Bài (chuyên Hà Tĩnh 2021) a) Cho a, b, c số thực đôi phân biệt, rút gọn biểu thức (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 A= a (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) b) Giải phương trình 9x2 = x2 + x − √ 3x + − c) Giải hệ phương trình x3 + xy + 2y = √ 2x3 − x + 8y + 3y = d) Tìm số nguyên m, n thỏa mãn m(m + 1)(m + 2) = n2 e) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + xy = Tìm giá trị lớn biểu thức x+y P = − x2 + − y + Bài (chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa, 2021) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn (a + 2)(b + 2) = Tính giá trị biểu thức P = ab + a2 + b2 + − (a2 + 4) (b2 + 4) Giải hệ phương trình x + 1 = y + x2 + y2 + 1 x2 + 2x y + = 8x − y Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x2 + 2y − 2xy − 2x − 4y + = p2 − p Tìm tất số nguyên tố p cho − lập phương số tự nhiên Bài (chuyên Thái Bình, 2021) Giải phương trình √ √ x + + x = 3x + Giải hệ phương trình x2 + y + 2xy = x+y √ 3x2 + 33 + 3√2x + y − = 3x + y + Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3abc Tìm giá trị lớn biểu thức T = a b c + + 3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n + 1) + không chia hết cho Chứng minh 4n2 − 5n − khơng số phương Bài (chuyên Phan Bội Châu - ĐH Vinh + Nghệ An, 2021) Giải phương trình √ x2 + 2 + x − = 5x Giải hệ phương trình 3x2 + y = + 2xy + 2x − 2y 2x2 + y = 10 + 2x − 3y Tìm x, y ∈ N cho: x3 = 1993.3y + 2021 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2 √ √ √ a +b b +c c +a P = a + b+ b + c+ c + a− + + 2a + 2b 2b + 2c 2c + 2a Bài (chuyên Bình Dương 2021) a) Giải phương trình x2 − 6x + 11 x2 − x + = x2 − 4x + √ x−2 b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh 10x2 + 10y + z ≥ Dấu = xẩy nào? Bài (chuyên Tiền Giang 2021) a) Giải phương trình √ √ x + x2 − = x + + x − + b) Giải hệ phương trình x3 + 3x = y − x2 + y = y + c) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu thức M= 1 + + a2 + 2b2 + b2 + 2c2 + c2 + 2a2 + d) Cho m, n số nguyên dương cho m2 + n2 + m chia hết cho m.n Chứng minh m số phương Bài (chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa - Vũng Tàu, 2021) a) Giải phương trình √ 5x − (x + 4) 2x + + = b) Giải hệ phương trình 2x2 + y + 3xy + 4x + 3y + = x − y + + √x + y + = c) Cho hai đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c Q(x) = 3x2 + 2ax + b, a, b, c ∈ R Biết P (x) có ba nghiệm phân biệt Chứng minh Q(x) có hai nghiệm phân biệt d) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình (xy − 1)2 = x2 + y e) Xét số thực a, b, c không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S= a b c + + + bc + ac + ab Bài (chuyên Quốc Học Huế) a) Giải hệ phương trình (x − y)2 + (x + 1)2 − y(x + 1) − = x3 − y + = b) Giải phương trình √ x2 + 2x2 − 2x2 + x + + = − x c) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn x2 − 2y x − 421 = d) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh √ 1 + + ≥ x(2y + 3z) x(2y + 3z) x(2y + 3z) ... - ĐH Vinh + Nghệ An, 2021) Giải phương trình √ x2 + 2 + x − = 5x Giải hệ phương trình 3x2 + y = + 2xy + 2x − 2y 2x2 + y = 10 + 2x − 3y Tìm x, y ∈ N cho: x3 = 1993.3y + 2021 Cho số thực dương... Dương 2021) a) Giải phương trình x2 − 6x + 11 x2 − x + = x2 − 4x + √ x−2 b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh 10x2 + 10y + z ≥ Dấu = xẩy nào? Bài (chuyên Tiền Giang 2021) ...Bài (chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa, 2021) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn (a + 2)(b + 2) = Tính giá trị biểu thức P = ab + a2 + b2