ĐỀ THI THPT QUỐC GIA TOÁN 2021

ĐỀ SỐ NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN – LỚP 12 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: Câu 2: Câu 3: Có người đến nghe buổi hòa nhạc Số cách xếp người vào hàng có ghế là: A 130 B 125 C 120 D 100 Cho cấp số nhân  un  với u1   ; u7  32 Tìm q ? A q  2 B q  4 C q  1 D q   Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng đây? C  1;0  B  ; 2  A  ;0  Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình bên: Câu 5: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  C Hàm số đạt cực đại x  Cho hàm số y  f ( x) liên tục x f '(x) -∞ Kết luận sau A Hàm số có điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị Câu 6: D  0;  B Hàm số đạt cực đại x  D Hàm số đạt cực đại x  2 có bảng xét dấu f   x  sau: + + +∞ + B Hàm số có điểm cực đại D Hàm số có điểm cực tiểu  4x Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  2x 1 A y  B y  C y  D y  2 Câu 7: Câu 8: Câu 9: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? A y   x3  x  B y   x  3x  C y  x  x  D y   x  x  Đồ thị hàm số y   x  3x  cắt trục tung điểm có tung độ A 3 B C D 1 Cho a  , a  Tính log a  a  A 2a B 2 Câu 10: Đạo hàm hàm số y  3x C C y  B y  x.3x 1 A y   x ln Câu 11: Cho a số thực dương khác Khi a D a 3x ln D y  3x ln A a B a Câu 12: Phương trình log  x  1  có nghiệm C a D a D x  16 A x  B x  15 C x  Câu 13: Nghiệm phương trình log3  x    log3  x  1  16 13 D x  Câu 14: Cho hàm số f  x   2 x3  x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A x  A C x  B x   f  x  dx   x  x2  x  C B  f  x  dx   x  x  xC 2 x  xC Câu 15: Cho hàm số f  x   sin x  Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? D  f  x  dx   x  f  x  dx   cos 2x  C B  f  x  dx   cos x  3x  C  f  x  dx   cos x  3x  C D  f  x  dx   cos x  C C  f  x  dx   x A C Câu 16: Nếu   x2  x  C f ( x)dx    1 f (t)dt  1 1 A 2  f ( x)dx B 16 C D Khơng xác định Câu 17: Tích phân  xdx 1 B C D 4 Câu 18: Số phức liên hợp số phức z  7i có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ là: A M  0;   B M  7;0  C M  7;0  D M  0;7  A  Câu 19: Cho hai số phức z   i; w   2i Số phức z  w A 1  3i B  2i C  i D  3i Câu 20: Cho số phức z  2  3i Điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ A M  2;3 B N  2; 3 C P  2; 3 D Q  2;3 Câu 21: Một khối chóp có diện tích đáy chiều cao Thể tích khối chóp A 24 B 12 C D Câu 22: Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2;3;5 A 30 B 10 C 15 D 120 Câu 23: Công thức V khối trụ có bán kính r chiều cao h 1 A V   r h B V   r h C V   rh D V   rh 3 Câu 24: Một hình trụ có bán kính đáy r  2cm độ dài đường sinh l  5cm Diện tích xung quanh hình trụ A 10 cm B 20 cm C 50 cm D 5 cm Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a   1; 2;0  , b   2;1;0  , c   3;1;1 Tìm tọa độ vectơ u  a  3b  2c A 10; 2;13 B  2; 2; 7  C  2; 2;7  D 11;3; 2  Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  y  z   Bán kính mặt cầu cho A B C 2 D Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;0;1 , B  2;1;0 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A vng góc với AB A  P  : 3x  y  z   B  P  : 3x  y  z   D  P  : x  y  z   C  P  : 3x  y  z  Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : x  y 1 z    Vectơ không 5 phải vectơ phương d ? A u4  1;3;5  B u3  1;3;   C u1   1; 3;5  D u2   2;6; 10  Câu 29: Một hộp đèn có 12 bóng, có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng có bóng hỏng 11 28 13 A B C D 112 50 55 Câu 30: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x  3mx   2m  1  đồng biến A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m  C m  D m Câu 31: Gọi M , m giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ hàm số f  x   x3  x2  11x  đoạn  0; 2 Giá trị biểu thức A  2M  5m bằng? A A  B A  4 Câu 32: Tập nghiệm bất phương trình x A  ;  3 B  3;1 Câu 33: Cho  3 f  x   x  dx  Khi 2 x  D A  C  3;1 D  3;1  f  x dx A B 3 C Câu 34: Cho số phức z   i môđun số phức z   3i  A z  B z  C z  25 Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Cạnh bên SA vng góc với đáy, AB  a, AD  a 3, SA  2a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt phằng  SAB  A 30 B 45 1037 27 C A  16 D 1 D z  C 60 D 90 Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 3, đáy ABC tam giác vuông B AB  (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BC  13 13 13 B C D 13 36 13 13 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M  2;4;1 , N  2;2; 3 Phương trình mặt cầu đường kính MN 2 2 A x2   y  3   z  1  B x2   y  3   z  1  A D x2   y  3   z  1  C x2   y  3   z  1  2 2 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình đường thẳng qua A 1;0;  vuông góc với mặt phẳng P : x y 3z 0? x  1 t  B  y  1  z   2t  x  t  A  y  t  z  3t  x  1 t  C  y  t  z   3t  x  1 t  D  y  t  z   3t  Câu 39: Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f '  x  đường cong hình bên Giá trị lớn hàm số g  x   f  x    x  1 đoạn  3;3 B f  3  A f    Câu 40: Có số nguyên 10 x  y log x 10 11  1010 log x y D f  3  16 C f 1  đoạn  2021; 2021 cho bất phương trình với x thuộc 1;100  : A 2021 B 4026 C 2013 D 4036  x  x   f  x   I   sin x f  cosx  dx x +4x  x   Câu 41: Cho hàm số Tích phân 9 A I  B I   C I   D I  6   Câu 42: Có số phức z thỏa mãn z  13  z  2i  z  4i số ảo? A B C D Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  a , BC  a Cạnh bên SA vuông góc với đáy đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 30 Thể tích khối chóp S.ABCD 2a 6a 3a3 C D 3 Câu 44: Ơng Bảo làm mái vịm phía trước ngơi nhà vật liệu tơn Mái vịm phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m tơn 300.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bảo mua tơn ? A 3a B 5m 1200 6m A 18.850.000 đồng B 5.441.000 đồng C 9.425.000 đồng D 10.883.000 đồng Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y     z  5  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm mặt phẳng  P  2 cắt  S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x   9t  A  y   9t  z   8t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z    x   4t  D  y   3t  z   3t  Câu 46: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có bảng xét dấu f   x  sau Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x2  x  A B C D x Câu 47: Có số nguyên m   20; 20  để phương trình  m  6log  x  m  có nghiệm thực A 19 B 21 C 18 D 20 Câu 48: Cho hàm số bậc bốn trùng phương y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f  x  đạt cực trị ba điểm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) thỏa mãn x1  x3  Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng gạch hình Tỉ số S1 S2 7 B C D 16 15 Câu 49: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   4i  2, z2   6i  z3   z3   i Tìm giá A trị nhỏ biểu thức P  z3  z1  z3  z2 14 14 2  B 29  C D 85  2 Câu 50: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;0;0  , B  3; 4; 4 Xét khối trụ T  có trục đường A thẳng AB có hai đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi T  tích lớn nhất, hai đáy T  nằm hai mặt phẳng song song có phương trình x  by  cz  d1  x  by  cz  d  Khi giá trị biểu thức b  c  d1  d thuộc khoảng sau đây? A  0; 21 B  11;0  C  29; 18  D  20; 11 BẢNG ĐÁP ÁN 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 23.A 24.B 25.D 26.B 27.A 28.A 33.C 34.A 35.A 36.D 37.B 38.C 43.D 44.D 45.C 46.A 47.D 48.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT- từ câu 35 Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Cạnh bên vng góc với đáy, SA AB  a, AD  a 3, SA  2a (tham khảo hình bên) Góc 1.C 11.D 21.C 31.C 41.A 2.A 12.B 22.A 32.B 42.B 9.C 19.C 29.C 39.C 49.D đường thẳng SC mặt phằng  SAB  A 30 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn A Ta có CB  AB CB  SA (vì SA   ABCD  ) , suy CB   SAB  B 10.D 20.B 30.B 40.A 50.C CB   SAB   Ta có  B   SAB   đường thẳng SB hình chiếu vng góc đường thẳng SC mặt  S   SAB   phẳng  SAB  Suy góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAB  CSB Xét CSB vuông B , ta có BC AD tan CSB    SB SA2  AB a  a  2a    CSB  30 Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 3, đáy ABC tam giác vuông B AB  (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A ' BC  13 13 C 13 13 36 13 D 13 A B Lời giải Chọn D * Kẻ AH  A ' B  AH   A ' BC   d  A,  A ' BC    AH * Chứng minh AH   A ' BC  , Ta có AH  A ' B AH  BC (vì BC   ABB ' A ' ) , suy AH   A ' BC  * Tính AH Xét A ' AB vng A , ta có 1 1 13 36 13       AH   2 AH AA ' AB 36 13 13 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M  2;4;1 , N  2;2; 3 Phương trình mặt cầu đường kính MN 2 A x2   y  3   z  1  C x2   y  3   z  1  2 B x2   y  3   z  1  2 D x2   y  3   z  1  Lời giải 2 Chọn B Mặt cầu đường kính MN có tâm trung điểm đoạn thẳng MN Suy tọa độ tâm mặt cầu I  0;3; 1 Bán kính mặt cầu: R  1 MN  16   16   2 Phương trình mặt cầu có tâm I  0;3; 1 , bán kính R  : x2   y  3   z  1  Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình phương trình đường thẳng 2 qua A 1;0;  vng góc với mặt phẳng P : x y 3z 0? x  t  A  y  t  z  3t  x  1 t  B  y  1  z   2t  x  1 t  C  y  t  z   3t  Lời giải x  1 t  D  y  t  z   3t  Chọn C Đường thẳng cần tìm nhận vectơ pháp tuyến mặt phẳng P n  1; 1;3 làm vectơ phương Phương trình tham số đường thẳng cần tìm qua điểm A 1;0;  , nhận n  1; 1;3 vec tơ x  1 t  phương  y  t  z   3t  Câu 39: Cho hàm số f  x  , đồ thị hàm số y  f '  x  đường cong hình bên Giá trị lớn hàm số g  x   f  x    x  1 đoạn  3;3 A f    B f  3  Chọn C Ta có g  x   f   x    x  1 x  g  x    f   x   x     x  3 Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên C f 1  Lời giải D f  3  16 Suy giá trị lớn hàm số g  x   f  x    x  1 đoạn  3;3 g  1  f 1  Câu 40: Có số nguyên 10 x  y log x 10  10 11 log x 10  2021; 2021 đoạn y cho bất phương trình với x thuộc 1;100  : A 2021 B 4026 C 2013 Lời giải D 4036 Chọn A log x  11 log x  11   y 1  log x   log x 1  log 10 x   log x   y   10  10 10  10   Đặt log x  t Ta có x  1;100   log x   0;  t   0;  Bất phương trình trở thành 10 x  y log x 10 11  1010 log x t  11 t  10t t  10t  y  t   t  y t    y         10  10 10 10  t  1  Xét hàm số f  t    2 t  2t  10 t  10t khoảng  0;  , ta có f   t   10  t  1 10  t  1 , t   0;  15 Yêu cầu toán    với t   0;   f  t   y, t   0;   y  15 8  Kết hợp với điều kiện y   2021; 2021  y   ; 2021 Vậy có tất 2021 giá trị nguyên 15   y thỏa mãn yêu cầu toán  x  2 x  f  x   I   sin x f  cosx  dx  x +4x  x  Tích phân Câu 41: Cho hàm số 9 A I  B I   C I   D I  6 Lời giải Chọn A Do lim f  x   lim f  x   f    2 nên hàm số f  x  liên tục điểm x   f   t   0, t   0;   f    f  t   f   , t   0;    f  t   x 0 x 0 Đặt t  cos x  dt   sin xdx Đổi cận: x   t  1; x    t  1 Ta có:   1  sin x f  cosx  dx   2sin x.cosx f  cosx  dx    2t f t  dt   t f t  dt 0 1 1 1 0   x f  x  dx  2 x f  x  dx  2 x  x  x   dx   x  x   dx 1  x 4 x3 1  x3 x  10  2   x          0   1   Câu 42: Có số phức z thỏa mãn z  13  z  2i  z  4i số ảo? A B Chọn B Gọi z  x  yi với x, y  C Lời giải D Ta có z  13  x  y  13 (1) Mà  z  2i   z  4i    x  yi  2i  x  yi  4i    x2  y  y  8  (6x).i x  y  y    13  y    y   số ảo  3 x  Từ y   thay vào (1) ta   3 x    Vậy có số phức thoả u cầu tốn Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB  a , BC  a Cạnh bên SA vuông góc với đáy đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( SAB ) góc 30 Thể tích khối chóp S.ABCD A 3a B 2a C 3a3 D 6a Lời giải Chọn D Vì SA  ( ABCD) nên SA  BC , BC  AB nên BC  ( SAB) Ta có SB hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng ( SAB ), góc đường thẳng SC mặt phẳng ( SAB ) góc CSB  30 Trong tam giác SBC , ta có SB  BC.cot 30  a 3  3a Trong tam giác SAB , ta có SA  SB  AB  2a 1 a3 Vậy VS ABCD  SA.AB.BC  2a 2.a.a  3 Câu 44: Ơng Bảo làm mái vịm phía trước ngơi nhà vật liệu tơn Mái vịm phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m tơn 300.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bảo mua tơn ? 5m 1200 6m A 18.850.000 đồng B 5.441.000 đồng C 9.425.000 đồng D 10.883.000 đồng Lời giải Chọn D  2r  r  sin1200 Sử dụng hệ thức lượng tam giác, ta có góc tâm cung 120 Và độ dài cung chu vi đường trịn đáy Suy diện tích mái vòm S xq , (với S xq diện tích xung quanh hình trụ) Gọi r bán kính đáy hình trụ Khi đó: Do đó, giá tiền mái vòm 1 S xq 300.000   2 rl  300.000  2 3.5 300.000 10882796,19 3   Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm E  2;1;3 , mặt phẳng  S  :  x  3  P  : 2x  y  z   mặt cầu   y     z  5  36 Gọi  đường thẳng qua E , nằm mặt phẳng  P  2 cắt  S  hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình   x   9t  A  y   9t  z   8t   x   5t  B  y   3t z   x   t  C  y   t z   Lời giải  x   4t  D  y   3t  z   3t  Chọn C A E F B K 2 Mặt cầu  S  :  x  3   y     z  5  36, có tâm I  3; 2;5 bán kính R  Ta có: EI  1;1;   EI  EI  12  12  22    R Do điểm E nằm mặt cầu  S   E   Ta lại có: E   P   nên giao điểm     S  nằm đường tròn giao tuyến     P   C  tâm K mặt phẳng  P  mặt cầu  S  , K hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng  P  Giả sử    S    A; B Độ dài AB nhỏ d  K ,   lớn Gọi F hình chiếu K    d  K ;    KF  KE Dấu "  " xảy F  E   IK   P   IK     IE   Ta có    KE    KE   Ta có: n P , EI    5;  5;0  , phương với u  1;  1; 0       P  Vì  nên  có vectơ phương u  1;  1;0     IE x   t  Suy phương trình đường thẳng  :  y   t z   Câu 46: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có bảng xét dấu f   x  sau Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x2  x  A Chọn A B  C Lời giải D  Ta có g  x   f  x  x   f x  x Số điểm cực trị hàm số f  x  hai lần số điểm cực trị dương hàm số f  x  cộng thêm Xét hàm số  x    x   h  x   f  x  x   h  x    x  1 f   x  x     x  x  1   1    x  x  x   Bảng xét dấu hàm số h  x   f  x  x   Hàm số h  x   f  x  x  có điểm cực trị dương, hàm số g  x   f  x  x   f x  x có điểm cực trị Câu 47: Có số nguyên m   20; 20  để phương trình x  m  6log  x  m  có nghiệm thực A 19 B 21 C 18 D 20 Lờ ả C ọ D Đặt: t  log7  x  m   x  m  7t  6x  7t  m Khi phương trình trở thành x   x  7t   6t  x  x  7t  6t  x  t Khi ta có PT: x  x  m Xét hàm số f  x   x  x ; x  Có f '  x    x ln  f '  x    x  log Từ BBT ta thấy PT có nghiệm  x0 Ta có BBT ln  log  ln  0,389 ; ln Mà m   20; 20  ; m   m  19; 18; ;0 m  y  x0   log Câu 48: Cho hàm số bậc bốn trùng phương y  f  x  có đồ thị đường cong hình bên Biết hàm số f  x  đạt cực trị ba điểm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) thỏa mãn x1  x3  Gọi S1 S diện tích hai hình phẳng gạch hình Tỉ số A B S1 S2 Lời giải 16 C D 15 Chọn B Rõ ràng kết tốn khơng đổi ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho x2  y x1 x3 O x S1 S2 Gọi g ( x)  ax  bx  c , ta có hàm số g ( x) chẵn có điểm cực trị tương ứng 2; 0; nghiệm phương trình 4ax  2bx  Dựa vào đồ thị g ( x) , ta có g (0)  Từ suy g ( x)  a( x  x ) với a  Do tính đối xứng hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật 2S1  S2  g (2)  64a Ta có S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số g ( x) , trục hoành, đường thẳng x  2, x  S1  0  g ( x) dx  a  x 2  8x dx  2 224a 512a 224a  Suy S  64a  15 15 15 S 224 Vậy   S2 512 16 Câu 49: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   4i  2, z2   6i  z3   z3   i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z3  z1  z3  z2 A 14  2 B 29  14 2 2 Lời giải C D 85  Chọn D Đặt z1  x1  y1i  x1, y1  z1   4i  2    x1  1   y1    Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 đường tròn  C1  :  x  1   y    có tâm 2 I1  1;  , bán kính R1  Đặt z2  x2  y2i  x2 , y2  z2   6i  2    x2     y2    Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức z đường tròn  C2  :  x     y    có tâm I  4;6  , bán kính R2  Đặt z3  x3  y3i  x3 , y3   z3   z3   i  x3  y3   Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức z3 đường thẳng d : x  y   Khi đó: P  z3  z1  z3  z2  AM  AN Mặt khác, d  I1 , d   14  R1 ; d  I , d   2  R2 I1 , I nằm phía d Gọi  C2  đường tròn đối xứng với với  C2  qua d , suy  C2  :  x     y    gọi 2 N  điểm đối xứng với N qua d  C2  có tâm I 2  8;  , bán kính R2  Ta có: AM  MI1  AI1  AM  AI1  MI1  AI1  AN  NI  AN   N I 2  AI 2  AN   AI 2  N I 2  AI 2  Suy P  AM  AN  AM  AN   AI1  AI 2   I1I 2   85  Đẳng thức xảy điểm I1 , A, I 2 thẳng hàng Vậy P  85 3 Câu 50: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;0;0  , B  3; 4; 4 Xét khối trụ T  có trục đường thẳng AB có hai đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi T  tích lớn nhất, hai đáy T  nằm hai mặt phẳng song song có phương trình x  by  cz  d1  x  by  cz  d  Khi giá trị biểu thức b  c  d1  d thuộc khoảng sau đây? A  0; 21 B  11;0  C  29; 18  Lời giải D  20; 11 Chọn C Mặt cầu đường kính AB có tâm I  2; 2; 2  bán kính Gọi x,   x  3 bán kính đáy T  , T  có chiều cao h   x , thể tích T  V  2 x  x  4 x2 x2 9  x2  2  x2 x2    9  x2     4    12       T  tích lớn Vmax  12 x  Khi gọi  P  mặt phẳng chứa đường tròn đáy T  ,  P  có phương trình tổng quát dạng x  y  z  d  Khoảng cách từ tâm I  2; 2; 2  đến  P  nên  d  3  10  2.2   2   d  3  d  3  10 Vậy b  c  d1  d    3  10  3  10  20