Bài giảng Nguyên lý thực hành bảo hiểm - Chương 4

Bài giảng Nguyên lý thực hành bảo hiểm

Chương 4: Xác định chuyển vị trong hệ thanh phẳng đàn hồi tuyến tính

Nội dung

4.1 Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm 4.2 Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy 4.3 Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng

4.4 Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng

4.1 Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm

Trên mặt cắt ngang thanh chịu kéo (nén) đúng tâm chỉ có thành phần lực dọc Nz tạo ra ứng suất pháp , ứng suất pháp sẽ gây ra biến dạng dài theo phương z Xét thanh chịu kéo nén đúng tâm dưới tác dụng của lực P (hình 4.1) Trong chương tính bền môn sức bền vật liệu, ta đã có biểu thức

Hình 4.1

Biểu thức trên cho ta biết biến dạng dài tương đối của một đoạn dz nào đó thì bằng tỷ số giữa lực dọc Nz của đoạn đó với độ cứng EF của thanh (E: hệ số modulus đàn hồi của vật liệu, F: diện tích tiết diện ngang của thanh)

Từ kết quả trên ta tính độ biến dạng dài tuyệt đối trong đoạn dz:

thể ta có thể chia ra các trường hợp sau:

1) Nếu Nz = const, EF = const trong suốt chiều dài A của thanh thì:

(4.3)

2) Nếu Nz ≠ const, EF ≠ const, trường hợp này có thể là biểu đồ lực dọc thay đổi theo từng đoạn, hay thanh được làm bằng nhiều loại vật liệu khác nhau nối lại (E ≠ const) hoặc cấu tạo thanh có mặt cắt ngang thay đổi Để tính toán cho đơn giản, ta nên chia thanh ra thành n đoạn sao cho trên mỗi đoạn có chiều dài là Ai thì

và biến dạng dài tuyệt đối của thanh sẽ được tính bằng công thức:

(4.4)

Thí dụ 4.1

Hình 4.2

Tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh có sơ đồ chịu lực và kích thước như trên hình 4.2 Cho E = 2.105 N/mm2, diện tích mặt cắt ngang: FAB = 20 mm2, FBC = 30 mm2, FCD = 60 mm2

Để tính toán biến dạng dài tuyệt đối của thanh có biểu đồ NZ thay đổi theo từng đoạn, ta dùng công thức (4.3)

Vậy biến dạng dài tuyệt đối của thanh là 0,01 mm

4.2 Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy

Khi thanh chịu xoắn (xoắn thuần túy hay uốn và xoắn đồng thời) trên mặt cắt ngang có moment xoắn MZ Thành phần nội lực này gây ra biến dạng góc gọi là góc xoắn tương đối ϕ của thanh

Cũng trong chương tính bền ta có biểu thức:

Đối với tiết diện tròn:

* Nếu Mz = const, GJO = const:

* Nếu Mz ≠ const, GJO ≠ const, chia ra thành n đoạn sao cho

(4.6)

4.3 Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng 4.3.1 Khái niệm

 Khi thanh chịu uốn người ta thường gọi là dầm

 Sau khi chịu uốn trục thanh vẫn nằm trong mặt phẳng tải trọng thì gọi là uốn phẳng

 Trục dầm sau khi bị biến dạng thì được gọi là đường đàn hồi Trong mặt phẳng Oyz, phương trình của đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm y = f(z) Khảo sát biến dạng của dầm chịu tác dụng của lực P như hình 4.4

biến dạng bé chuyển vị u rất nhỏ so với v nên có thể bỏ qua

 Thành phần v song song với trục y (thẳng đứng) được gọi là độ võng của dầm Ta thấy độ võng của dầm phụ thuộc

 vào tọa độ của mặt cắt ngang của dầm, nên có thể biểu diễn phương trình của độ võng bởi hàm: v(z) = y(z) (phương trình đường đàn hồi)  Trong quá trình chịu uốn mặt cắt ngang vẫn phẳng và xoay một góc , ta

gọi biến dạng góc là góc xoay của mặt cắt ngang Do biến dạng bé, góc xoay tại K xấp xỉ bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường đàn hồi tại K’, cho nên ta có thể tính: θ(z) = y’(z) = v’(z)

Vậy đạo hàm bậc nhất của độ võng (hay đường đàn hồi) là góc xoay của mặt cắt ngang khi dầm bị biến dạng

Tóm lại, khi tính biến dạng cho thanh chiụ uốn ta cần tính:  Độ võng: v(z) = y(z)

 Góc xoay: (z) = y’(z)

Như vậy, để tính độ võng hay góc xoay, ta phải biết hàm y’(z), có nghĩa là ta cần phải có phương trình của đường đàn hồi

4.3.2 Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

Xét một đoạn cong dz của đường đàn hồi Gọi dx là biến dạng góc của hai mặt cắt ngang khi dz bị uốn cong và đ: bán kính cong của đường đàn hồi Trong điều kiện biến dạng và kích thước bé ta có mối quan hệ:

cong của nó được tính theo công thức:

(3)

So sánh giữa (2) & (3), ta có thể viết:

(4)

Phương trình (4) là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi

Tuy nhiên, để tính toán được đơn giản và có kết quả đúng với thực tế, ta có thể xem vô cùng bé bậc cao 1 + y’2(z) ≈ 1 và chọn một dấu sao cho phù hợp với quy ước dấu của y”(z) và Mx (lưu ý rằng EJx là độ cứng của dầm, là đại lượng luôn dương)

Hình 4.6

Để xét dấu giữa y”(z) và Mx, ta khảo sát quan hệ của chúng qua sự biến dạng trong hệ trục Oyz Ta nhận thấy

y”(z) và Mx luôn ngược dấu nhau, nên phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi sẽ là:

(4.7)

Dựa vào (4.7), ta có thể tính độ võng và góc xoay bằng phưong pháp tích phân bất định

4.3.3 Tính độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân bất định

Từ sơ đồ ngoại lực đã cho ta viết được biểu thức moment uốn là hàm Mx(z) Từ đó ta thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi:

Tích phân lần thứ nhất ta sẽ được phương trình của góc xoay:

(4.8)

Tích phân lần thứ hai ta sẽ được phương trình của độ võng hay phương trình của đường đàn hồi:

Chọn gốc tọa độ z = 0 tại ngàm O Ta có biểu thức:

Thay vào (4.7) ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi:

Xác định hằng số tích phân theo điều kiên liên kết ngàm của dầm Do tính chất của ngàm ta có: Tại z = 0 thì y(0) = 0, Φ(0)= 0 thay vào (a) và (b) ta được C = 0;

D = 0

Vậy phương trình của góc xoay và độ võng là:

Dựa vào (c) và (d), ta sẽ được góc xoay và độ võng tại đầu tự do A có tọa độ z =

phương trình của đường đàn hồi được viết như sau: Đoạn AC ( 0 ≤ z1 ≤ a)

Vậy phương trình độ võng và góc xoay của từng đoạn dầm là: Đoạn AC ( 0 ≤ z1 ≤ a)

Đoạn CB ( a ≤ z2 ≤l )

Qua hai thí dụ trên ta thấy, phương pháp tích phân bất định là cách tính cơ bản để viết phương trình và xác định độ võng và góc xoay Tuy nhiên nếu dầm chịu lực phức tạp, phải chia ra n đoạn thì cần thiết lập ra n phương trình vi phân đường đàn hồi Từ đó phải xác định 2n hằng số tích phân Viêc này sẽ làm bài toán trở nên phức tạp khi n càng lớn Vì vậy khi dầm chịu lực phức tạp ta sẽ dùng những phương pháp khác: hàm đặc biệt & nguyên lý năng lượng

Sau đây giáo trình sẽ giới thiệu phương pháp nguyên lý năng lượng

4.4 Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng 4.4.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Chuyển vị khả dĩ là những chuyển vị vô cùng bé sao cho trong các chuyển vị đó các liên kết của hệ không bị phá vỡ

Nguyên lý di chuyển khả dĩ: Điều kiện cần và đủ để hệ với những liên kết hoàn thiện (lý tưởng) ở trạng thái cân bằng tại một vị trí nào đó là tổng công của tất cả các lực tác động lên hệ trong các di chuyển khả dĩ của hệ phải bằng không

Liên kết hoàn thiện (lý tưởng) là loại liên kết mà tổng công của các phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ bằng không

Ta áp dụng nguyên lý này cho vật thể đàn hồi, thí dụ, hệ đàn hồi ở hình 4.9a

Nếu gây ra một di chuyển khả dĩ, công khả dĩ gồm có công của ngoại lực We và công của nội lực Wi phải bằng không Nghĩa là

4.4.2 Công thức Mohr để tính chuyển vị

Khảo sát bài toán phẳng như hình 4.9a Tính chuyển vị theo phương K-K của trọng tâm mặt cắt qua D

Gọi trạng thái tải tác động (Pm) đã cho là trạng thái “m” Ngoại lực và nội lực

ở trạng thái này được dùng chỉ số “m” để đánh dấu

Chuyển vị theo phương K-K do tải ở trạng thái “m” gây ra được ký hiệu là km Trang thái tải “m” (Pm) cũng gây ra các chuyển vị cho một phân tố bất kỳ nào đó của hệ Xét phân tố ds, gọi Nm, Qm, Mm là các thành phần nội lực của phân tố trên hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 4.9b) Các thành phần nội lực này tạo ra các thành

phần chuyển vị tương đối giữa hai mặt cắt như sau:

Theo chương tính bền của môn sức bền vật liệu, ta có tb (Qm /F với )

 là hệ số điều chỉnh do Qm gây ra ứng suất tiếp không đều trên mặt cắt và được

tra bảng Thí dụ, đối với mặt cắt hình chữ nhật:  = 1,2; mặt cắt tròn:  = 32/27

Do đó:

(4.13)

Bây giờ ta thử tưởng tượng tạo ra một trạng thái “k” bằng cách bỏ qua tất cả các tải ở trạng thái “m” và đặt vào phương K-K một lực tập trung Pk nếu cần tính chuyển vị dài hoặc moment tập trung Mk nếu cần tính góc xoay như hình 4.11a Lực Pk hoặc Mk và các phản lực Rk gây nên các thành phần nội lực Nk, Qk và Mk trên các mặt cắt 1-1 và 2-2 như hình 4.11b

Vì hệ cân bằng nên công của ngoại lực và nội lực tác động lên hệ trong một di chuyển khả dĩ bất kỳ phải bằng không

Ta chọn trạng thái biến dạng đàn hồi bé của trạng thái “m” như là chuyển vị khả dĩ Công của ngoại lực ở trạng thái “k” được thực hiện trên chuyển vị ở trạng thái “m” khi đó là Pp k= We Theo công thức (4.10), ta có:

(4.14)

Chú ý rằng các phản lực tại A và B không sinh công vì gối A không tịnh tiến theo

hai phương và gối B không tịnh tiến theo phương đứng Xét phân tố ds, công của ngoại lực là:

Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có:

Hình 4.12

Lưu ý rằng nếu ta tìm chuyển vị dài tại D theo phương K-K, ta sẽ tạo ra trạng thái “k” bằng cách đặt vào D một lực tập trung P k 1 Còn muốn tìm góc xoay tại D quanh phương K-K, ta sẽ tạo ra trạng thái “k” bằng cách đặt vào D một moment tập trung Mk = 1 Sau đó áp dụng công thức (4.18) nếu là bài toán phẳng hoặc công thức (4.19) nếu là bài toán không gian ba chiều Lúc đó, Δm sẽ là chuyển vị dài nếu Pk = 1 và là góc xoay nKhi muốn tìm chuyển vị dài hay góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại hai điểm bất kỳ , ta tạo ra trạng thái “k” bằng cách đặt một hệ hai lực hay hai moment tập trung, ngược chiều không thứ nguyên và có trị số đơn vị (hình 4.12)

4.4.3 Một số định lý cần thiết

(4.21)

Chuyển vị đơn vị theo phương “k” do lực đơn vị tác dụng theo phương “m” gây ra bằng chuyển vị đơn vị theo phương “m” do lực đơn vị tác dụng theo phương “k” gây ra

Thí dụ 4.4

Hình 4.13

Tìm độ võng tại B và góc xoay tại A của thanh có liên kết và chịu lực như hình 4.13 Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt

Vậy điểm B chuyển vị theo chiều của lực Prk

Để tính góc xoay tại A, ta tạo trạng thái “k” như hình 4.13c Ta có công thức tính moment uốn trong đoạn AC: 0 ≤ z ≤ A

Áp dụng công thức (4.18), ta có:

Vậy góc xoay tại A có chiều ngược với chiều Mrk đã chọn

4.4.4 Phương pháp nhân biểu đồ Vereshchagin

Khi mặt cắt ngang của thanh không thay đổi hay thay đổi trên từng đoạn, các tích phân trong công thức Mohr sẽ có dạng:

(4.22)

Chú ý rằng trạng thái “k” là trạng thái do tải tập trung có giá trị bằng đơn vị gây nên Do đó, Mk (z) ở trạng thái này luôn là hàm tuyến tính Vì thế, trong dấu tích phân của (4.22) luôn có một hàm bậc nhất theo z Trong trường hợp này, phép tích phân trên có thể được thực hiện bằng phương pháp đồ thị như sau:

 Giả thiết trên đoạn dài từ 0 đến A nào đó của thanh, hàm f(z) là một đường cong bất kỳ, còn hàm F(z) = az + b là phương

trình của hàm bậc nhất (hình 4.14)  Thay vào (4.22), ta có:

Để tính góc xoay tại A ta tạo trạng thái “k” như hình 4.15b Theo công thức (4.23), ta có:

Để tính độ võng tại B ta tạo trạng thái “k” như hình 4.15c Theo công thức (4.23), ta có:

(4.24)

Hình 4.15

Hình 4.15