Bài giảng Nguyên lý thực hành bảo hiểm - Chương 4

Bài giảng Nguyên lý thực hành bảo hiểm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện Chương 4: Xác định chuyển vị trong hệ thanh phẳng đàn hồi tuyến tính Nội dung 4.1. Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm 4.2. Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy 4.3. Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng 4.4. Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện 4.1. Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm Trên mặt cắt ngang thanh chịu kéo (nén) đúng tâm chỉ có thành phần lực dọc Nz tạo ra ứng suất pháp , ứng suất pháp sẽ gây ra biến dạng dài theo phương z. Xét thanh chịu kéo nén đúng tâm dưới tác dụng của lực P (hình 4.1). Trong chương tính bền môn sức bền vật liệu, ta đã có biểu thức Hình 4.1 Biểu thức trên cho ta biết biến dạng dài tương đối của một đoạn dz nào đó thì bằng tỷ số giữa lực dọc Nz của đoạn đó với độ cứng EF của thanh (E: hệ số modulus đàn hồi của vật liệu, F: diện tích tiết diện ngang của thanh). Từ kết quả trên ta tính độ biến dạng dài tuyệt đối trong đoạn dz: (4.1) Ta có thể phát triển công thức trên để tính biến dạng dài tuyệt đối cho cả đoạn chiều dài A của thanh bằng phương pháp tích phân xác định: (4.2) Công thức (4.2) là công thức tổng quát để xác định biến dạng tuyệt đối cho cả chiều dài A của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm. Trong trường hợp tính toán cụ TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện thể ta có thể chia ra các trường hợp sau: 1) Nếu Nz = const, EF = const trong suốt chiều dài A của thanh thì: (4.3) 2) Nếu Nz ≠ const, EF ≠ const, trường hợp này có thể là biểu đồ lực dọc thay đổi theo từng đoạn, hay thanh được làm bằng nhiều loại vật liệu khác nhau nối lại (E ≠ const) hoặc cấu tạo thanh có mặt cắt ngang thay đổi. Để tính toán cho đơn giản, ta nên chia thanh ra thành n đoạn sao cho trên mỗi đoạn có chiều dài là Ai thì và biến dạng dài tuyệt đối của thanh sẽ được tính bằng công thức: (4.4) TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện Thí dụ 4.1 Hình 4.2 Tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh có sơ đồ chịu lực và kích thước như trên hình 4.2. Cho E = 2.105 N/mm2, diện tích mặt cắt ngang: FAB = 20 mm2, FBC = 30 mm2, FCD = 60 mm2. Để tính toán biến dạng dài tuyệt đối của thanh có biểu đồ NZ thay đổi theo từng đoạn, ta dùng công thức (4.3). Vậy biến dạng dài tuyệt đối của thanh là 0,01 mm. 4.2. Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy Khi thanh chịu xoắn (xoắn thuần túy hay uốn và xoắn đồng thời) trên mặt cắt ngang có moment xoắn MZ. Thành phần nội lực này gây ra biến dạng góc gọi là góc xoắn tương đối ϕ của thanh. Cũng trong chương tính bền ta có biểu thức: TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện Hình 4.3 Dựa vào biểu thức này ta cũng có lý luận và cách tính biến dạng góc khi thanh chịu xoắn tương tự như khi tính biến dạng dài khi thanh chịu kéo nén ở phần trên. (4.5) GJO: độ cứng của thanh; G: hệ số modulus đàn hồi trượt, JO: moment quán tính chống xoắn của mặt cắt ngang đối với tâm O. Đối với tiết diện tròn: * Nếu Mz = const, GJO = const: * Nếu Mz ≠ const, GJO ≠ const, chia ra thành n đoạn sao cho (4.6) 4.3. Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng 4.3.1. Khái niệm TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện  Khi thanh chịu uốn người ta thường gọi là dầm.  Sau khi chịu uốn trục thanh vẫn nằm trong mặt phẳng tải trọng thì gọi là uốn phẳng.  Trục dầm sau khi bị biến dạng thì được gọi là đường đàn hồi. Trong mặt phẳng Oyz, phương trình của đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm y = f(z). Khảo sát biến dạng của dầm chịu tác dụng của lực P như hình 4.4. Hình 4.4  Xét một điểm K bất kỳ trên trục dầm, sau biến dạng điểm K dịch chuyển đến K’, ta gọi KK’ là chuyển vị của thanh dầm tại K.  Để tính toán được đơn giản, người ta phân KK’ thành hai thành phần:  Thành phần u song song với trục z (nằm ngang), trong điều kiện dầm có biến dạng bé chuyển vị u rất nhỏ so với v nên có thể bỏ qua.  Thành phần v song song với trục y (thẳng đứng) được gọi là độ võng của dầm. Ta thấy độ võng của dầm phụ thuộc  vào tọa độ của mặt cắt ngang của dầm, nên có thể biểu diễn phương trình của độ võng bởi hàm: v(z) = y(z) (phương trình đường đàn hồi).  Trong quá trình chịu uốn mặt cắt ngang vẫn phẳng và xoay một góc , ta gọi biến dạng góc là góc xoay của mặt cắt ngang. Do biến dạng bé, góc xoay tại K xấp xỉ bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường đàn hồi tại K’, cho nên ta có thể tính: θ(z) = y’(z) = v’(z) Vậy đạo hàm bậc nhất của độ võng (hay đường đàn hồi) là góc xoay của mặt cắt ngang khi dầm bị biến dạng. TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện Tóm lại, khi tính biến dạng cho thanh chiụ uốn ta cần tính:  Độ võng: v(z) = y(z)  Góc xoay: (z) = y’(z) Như vậy, để tính độ võng hay góc xoay, ta phải biết hàm y’(z), có nghĩa là ta cần phải có phương trình của đường đàn hồi. 4.3.2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Xét một đoạn cong dz của đường đàn hồi. Gọi dx là biến dạng góc của hai mặt cắt ngang khi dz bị uốn cong và đ: bán kính cong của đường đàn hồi. Trong điều kiện biến dạng và kích thước bé ta có mối quan hệ: (1) Trong chương tính bền, ta đã chứng minh được biểu thức Do đó: (2) Mặt khác, theo toán học đường đàn hồi được biểu diễn bởi hàm y(z), nên độ TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện cong của nó được tính theo công thức: (3) So sánh giữa (2) & (3), ta có thể viết: (4) Phương trình (4) là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Tuy nhiên, để tính toán được đơn giản và có kết quả đúng với thực tế, ta có thể xem vô cùng bé bậc cao 1 + y’2(z) ≈ 1 và chọn một dấu sao cho phù hợp với quy ước dấu của y”(z) và Mx (lưu ý rằng EJx là độ cứng của dầm, là đại lượng luôn dương). Hình 4.6 Để xét dấu giữa y”(z) và Mx, ta khảo sát quan hệ của chúng qua sự biến dạng trong hệ trục Oyz. Ta nhận thấy TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện y”(z) và Mx luôn ngược dấu nhau, nên phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi sẽ là: (4.7) Dựa vào (4.7), ta có thể tính độ võng và góc xoay bằng phưong pháp tích phân bất định. 4.3.3. Tính độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân bất định Từ sơ đồ ngoại lực đã cho ta viết được biểu thức moment uốn là hàm Mx(z). Từ đó ta thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi: Tích phân lần thứ nhất ta sẽ được phương trình của góc xoay: (4.8) Tích phân lần thứ hai ta sẽ được phương trình của độ võng hay phương trình của đường đàn hồi: TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện (4.9) Trong đó C và D là các hằng số tích phân sẽ được xác định tùy theo điều kiện liên kết của dầm. Thí dụ 4.2 Cho dầm console chịu tác dụng của tải lực phân bố đều q (hình 4.7). Hãy viết phương trình góc xoay và độ võng của dầm. Hình 4.7 Bài giải Chọn gốc tọa độ z = 0 tại ngàm O. Ta có biểu thức: Thay vào (4.7) ta có phương trình vi phân của đường đàn hồi: Xác định hằng số tích phân theo điều kiên liên kết ngàm của dầm. Do tính chất của ngàm ta có: Tại z = 0 thì y(0) = 0, Φ(0)= 0 thay vào (a) và (b) ta được C = 0; [...]... Hãy giải lại thí dụ 4. 4 bằng phương pháp biểu đồ Vereshchagin Bài giải Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Để tính góc xoay tại A ta tạo trạng thái “k” như hình 4. 15b Theo công thức (4. 23), ta có: Để tính độ võng tại B ta tạo trạng thái “k” như hình 4. 15c Theo công thức (4. 23), ta có: (4. 24) Hình 4. 15 Hình 4. 15 Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu... đó phải xác định 2n hằng số tích phân Viêc này sẽ làm bài toán trở nên phức tạp khi n càng lớn Vì vậy khi dầm chịu lực phức tạp ta sẽ dùng những phương pháp khác: hàm đặc biệt & nguyên lý năng lượng Sau đây giáo trình sẽ giới thiệu phương pháp nguyên lý năng lượng 4. 4 Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng 4. 4.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG... lý di chuyển khả dĩ, ta có: (4. 15) Hay: (4. 16) Vậy công của nội lực toàn hệ lực phẳng là (4. 17) Thay (4. 17) vào (4. 14) và chọn Pk = 1 hoặc Mk = 1 đơn vị không thứ nguyên, ta sẽ thu được công thức tổng quát tính chuyển vị Δm như sau: (4. 18) Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Trong đó Mk , Nk , Qk là các các thành phần nội lực trong hệ... định lý cần thiết Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH 4. 4.3.1 Định lý về công tương hỗ Công của ngoại lực ở trạng thái “m” thực hiện trên chuyển vị của trạng thái “k” thì bằng công của ngoại lực ở trạng thái “k” thực hiện trên chuyển vị của trạng thái “m” Trong không gian hai chiều, ta có quan hệ: (4. 20) 4. 4.3.2 Định lý về chuyển vị đơn... 4. 14)  Thay vào (4. 22), ta có: Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH (4. 23) Với zG là hoành độ của trọng tâm diện tích của đồ thị f(z) và F(zG) là tung độ của đồ thị F(z) tại tọa độ zG của đồ thị f(z) Hình 4. 14 Đối với một số dạng đồ thị thường gặp, diện tích và tọa độ trọng tâm được cho trong bảng 4. 1 Thí dụ 4. 5 Hãy giải lại thí dụ 4. 4... Xét phân tố ds, gọi Nm, Qm, Mm là các thành phần nội lực của phân tố trên hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 4. 9b) Các thành ph nội lực này tạo ra các ần thành phần chuyển vị tương đối giữa hai mặt cắt như sau: Chuyển vị dọc trục: (4. 11) Chuyển vị xoay tương đối do uốn (hình 4. 10a): Do đó: (4. 12) Chuyển vị trượt tương đối do lực cắt giữa hai mặt cắt (hình 4. 10b): Hình 4. 10 trong đó γtb,  tb la góc trượt tỷ... thức (4. 18) nếu là bài toán phẳng hoặc công thức (4. 19) nếu là bài toán không gian ba chi u Lúc đó, Δm sẽ là ề chuyển vị dài nếu Pk = 1 và là góc xoay nKhi muốn tìm chuyển vị dài hay góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại hai điểm bất kỳ , ta tạo ra trạng thái “k” bằng cách đặt một hệ hai lực hay hai moment tập trung, ngược chiều không thứ nguyên và có trị số đơn vị (hình 4. 12) 4. 4.3 Một số định lý cần... 0 (4. 10) 4. 4.2 Công thức Mohr để tính chuyển vị Khảo sát bài toán phẳng như hình 4. 9a Tính chuyển vị theo phương K-K của trọng tâm mặt cắt qua D Gọi trạng thái tải tác động (Pm) đã cho là trạng thái “m” Ngoại lực và nội lực Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH ở trạng thái này được dùng chỉ số “m” để đánh dấu Chuyển vị theo phương K-K... “k” được thực hiện trên chuyển vị ở trạng thái “m” khi đó là Pp  k= We Theo công thức (4. 10), ta có: (4. 14) Chú ý rằng các phản lực tại A và B không sinh công vì gối A không tịnh tiến theo Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH hai phương và gối B không tịnh tiến theo phương đứng Xét phân tố ds, công của ngoại lực là: Theo nguyên lý di chuyển... ta sẽ được góc xoay và độ võng tại đầu tự do A có tọa độ z = l là: Thí dụ 4. 3 Thiết lập phương trình góc xoay và độ võng của thanh dầm đặt trên hai gối tựa chịu tác dụng của lực P như hình 4. 8 Hình 4. 8 Bài giải Xác định phản lực tại A và B, ta được: Bài toán này, dầm được chia thành hai đoạn AB và CB, biểu thức của Mx v à Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS Trương Tích Thiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA . trình sẽ giới thiệu phương pháp nguyên lý năng lượng. 4. 4. Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng 4. 4.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ TRƯỜNG ĐẠI HỌC. lực là: Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có: (4. 15) Hay: (4. 16) Vậy công của nội lực toàn hệ lực phẳng là (4. 17) Thay (4. 17) vào (4. 14) và chọn