Khóa luận Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC HÌNH Chương Chương MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TỐN NGUN TỬ TRUNG HỊA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1 Tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa đặt từ trường 1.2 Tách khối tâm cho toán nguyên tử heli chưa đặt từ trường 13 CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TỐN NGUN TỬ TRUNG HỊA TRONG TỪ TRƯỜNG 18 2.1 Ảnh hưởng từ trường lên hạt mang điện chuyển động 18 2.2 Tách khối tâm cho tốn ngun tử hydro trung hịa từ trường 20 2.3 Tách khối tâm cho tốn ngun tử heli trung hịa từ trường 26 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG 34 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 KẾT LUẬN 37 HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37 PHỤ LỤC 38 A Toán tử động lượng suy rộng hệ N hạt mang điện 38 B Các biểu thức giải tích 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Tiếng Việt 41 Tiếng Anh 41 DANH MỤC CÁC HÌNH Chương Hình 1: Ngun tử hydro hệ tọa độ Descartes Hình 2: Nguyên tử heli hệ tọa độ Descartes 12 Chương Hình 3: Nguyên tử hydro đặt từ trường tọa độ Descartes 19 Hình 4: Nguyên tử heli đặt từ trường tọa độ Descartes 25 MỞ ĐẦU Đối với học lượng tử, khảo sát chuyển động đối tượng vi mô (như hạt hay hệ hạt chẳng hạn nguyên tử), ta viết Hamiltonian cho hệ đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải nghiệm hàm sóng 𝜓(𝒓) lượng Hàm sóng thân khơng có ý nghĩa vật lí Tuy nhiên, theo Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy hạt vi phân thể tích [1] Tuy nhiên, toán nguyên tử (hệ gồm hai nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger phức tạp số bậc tự toán nhiều Giả sử xét chuyển động nguyên tử hydro từ trường, ta phải xét vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 vector bán kính electron 𝒓𝒆 Trong khơng gian Descartes, vector có ba thành phần, Hamiltonian hệ có đến sáu bậc tự [18] Điều gây khó khăn giải phương trình Schrodinger Để giảm số bậc tự do, ta đưa toán hệ quy chiếu khối tâm Lúc này, thay xét vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 electron 𝒓𝒆 , ta đưa vector bán kính khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron (đối với tốn có nhiều electron xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối electron) Sau đó, Hamiltonian biến đổi qua hệ khối tâm Lúc này, phép biến đổi giải tích, ta đưa Hamiltonian hệ khối tâm dạng phân ly biến số, tức chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron nguyên tử tách cách rõ rệt Việc giải phương trình Schrodinger lúc đơn giản hai biến số hồn tồn độc lập với Do đó, khảo sát chuyển động ngun tử, ta ln tìm cách đưa Hamiltonian nguyên tử hệ quy chiếu khối tâm biểu diễn Hamiltonian dạng phân ly biến số, từ việc giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng đơn giản nhiều Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, nay, việc tách khối tâm toán nguyên tử khơng có điện từ trường giải trình bày, điển hình tốn ngun tử hydro khơng có điện từ trường [1] Tiếp sau toán nguyên tử heli với cách giải gần tương tự mà đề tài giải Còn nguyên tử từ trường, lời giải cho toán nguyên tử hydro, heli công bố [4, 5, 13, 14] Tất trình bày lại cách hệ thống đề tài Sau đạt thành công việc tách khối tâm toán nguyên tử trung hịa khơng có điện từ trường từ trường, nhà khoa học bắt đầu chuyển đối tượng nghiên cứu exciton khơng trung hịa bán dẫn, nghĩa số electron số lỗ trống không Lúc họ gặp phải số khó khăn định việc đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số [15, 16] Vấn đề đặt exciton khơng trung hịa Hamiltonian hệ quy chiếu khối tâm đưa dạng phân ly biến số cách dễ dàng nguyên tử trung hịa Và liệu có điều kiện, hay phép gần giúp ta làm điều này? Đây vấn đề nan giải mà báo khoa học đặt Đề tài nghiên cứu kĩ bước để tách khối tâm cho tốn ngun tử Đối tượng nghiên cứu ban đầu nguyên tử hydro heli chưa có từ trường Khi đặt nguyên tử trung hịa từ trường, có xuất vector nên toán tử xung lượng hạt bị biến đổi [1] Lúc việc tách khối tâm phức tạp Đề tài khác biệt Hamiltonian nguyên tử từ trường với Hamiltonian nguyên tử khơng có từ trường trình bày bước cách để tách khối tâm toán nguyên tử từ trường Ban đầu, để đơn giản, ta chọn đối tượng nguyên tử hydro từ trường Sau heli mở rộng ion có hạt nhân Z electron, kiểm chứng xem với cách làm tốn tách khối tâm cho tốn ion khơng Mặc dù phạm vi đề tài đến bước thiết lập Hamiltonian nguyên tử dạng phân ly biến số chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hạt nhân electron, kết làm tiền đề cho nghiên cứu sâu hơn, exciton khơng trung hịa bán dẫn hai chiều Ngoài phần Mở đầu Kết luận hướng phát triển, khóa luận gồm có hai chương: Chương 1: Khối tâm tốn ngun tử trung hịa chưa đặt từ trường Chương trình bày chi tiết bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa chưa đặt từ trường Đối tượng nghiên cứu nguyên tử hydro heli Chương bao gồm hai phần, nguyên tử trình bày phần Chương 2: Khối tâm tốn ngun tử trung hịa từ trường Chương trình bày chi tiết bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa từ trường Chương bao gồm ba phần Hai phần đầu trình bày việc tách khối tâm cho hydro heli Phần thứ ba, chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với hạt nhân 𝑍 electron với 𝑍 ≠ để kiểm chứng với bước tách khối tâm thực tốn hydro heli ion có thành công hay không CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TỐN NGUN TỬ TRUNG HỊA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 1.1 Tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa đặt từ trường Nguyên tử hydro trung hòa bao gồ m ̣t nhân là mô ̣t proton và mô ̣t electron chuyể n đô ̣ng xung quanh ̣t nhân Trong nguyên tử hydro chưa đặt từ trường thì lực tác du ̣ng giữa proton và electron chính là lực Coulomb Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ , 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆 ≡ (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝑧𝑒 ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ̣t nhân và electron z 𝒓𝒉 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 𝒓𝒆 y x Hình 1: Nguyên tử hydro hệ tọa độ Descartes Hamiltonian của nguyên tử hydro đươ ̣c viế t sau ̂ (𝒓𝒉 , 𝒓𝒆 ) = 𝐻 1 𝑒2 ̂𝒉 𝟐 + ̂𝒆 𝟐 − 𝒑 𝒑 , 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 | ̂, đó 𝒑 𝒑𝒆 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ̣t nhân và electron, có dạng 𝒉 ̂ ̂𝒉 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒉 , 𝒑 ̂𝒆 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒆 , 𝒑 ∇ là toán tử Nabla, đươ ̣c đinh ̣ nghiã sau (1.1) (1.2) (1.3) ∇= 𝒊 𝜕 𝜕 𝜕 +𝒋 +𝒌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (1.4) Để đưa bài toán về ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng hai vector mới sau 𝒓 = 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 , 𝑹= 𝑚ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚𝑒 𝒓𝒆 , 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 (1.5) (1.6) đó r là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của electron so với ̣t nhân; R là vector to ̣a đô ̣ khố i tâm của nguyên tử hydro Ta sẽ biế n đổ i sang hệ quy chiếu khố i tâm qua các công thức liên ̣ sau 𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑥ℎ {𝑦 = 𝑦𝑒 − 𝑦ℎ , 𝑧 = 𝑧𝑒 − 𝑧ℎ 𝑚ℎ 𝑥ℎ + 𝑚𝑒 𝑥𝑒 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑦ℎ + 𝑚𝑒 𝑦𝑒 𝑌= , 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑧ℎ + 𝑚𝑒 𝑧𝑒 𝑍= { 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑋= 𝑒2 𝑉 ( 𝒓) = − 4πεε0 |𝒓| (1.7) (1.8) (1.9) Các biể u thức đa ̣o hàm riêng phầ n cũng sẽ đươ ̣c biế n đổ i sang ̣ quy chiếu khố i tâm, cụ thể đố i với ̣t nhân, ta có 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑋 𝜕 𝑚ℎ = + =− + 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑥 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑋 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑌 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 𝜕 = + =− + ; 𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑦 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑌 𝜕𝑦ℎ 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑍 𝜕 𝑚ℎ = + =− + { 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑧 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑍 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍 (1.10) đố i với electron, ta có 10 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑋 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 𝜕 = + = + 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑋 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑌 𝜕 𝑚𝑒 = + = + 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑌 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑍 𝜕 𝑚𝑒 𝜕 𝜕 = + = + { 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑍 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍 (1.11) Bây giờ, ta đưa toán tử động lượng hạt nhân electron hệ quy chiếu khối tâm Viết toán tử xung lượng hạt nhân dạng tường minh ta thu ̂𝒉 = −𝑖ℏ (𝒊 𝒑 𝜕 𝜕 𝜕 ) +𝒋 +𝒌 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑥ℎ Thay (1.10) vào biểu thức trên, ta thu ̂𝒉 = −𝑖ℏ [− (𝒊 𝒑 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝑚ℎ 𝜕 𝜕 ) (𝒊 +𝒋 +𝒌 )+( +𝒋 + 𝒌 )] 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑌 𝜕𝑍 𝜕𝑋 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑥 ̂𝒉 = −𝑖ℏ(−∇𝐫 ) + ( ⟹𝒑 ̂𝒉 = −𝐩 ̂+( ⟹𝒑 𝑚ℎ ) (−𝑖ℏ∇𝐑 ) 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝑚ℎ )𝒑 ̂ , 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 (1.12) ̂ = −𝑖ℏ∇𝐫 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa đó 𝐩 ̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng electron và ̣t nhân ứng với to ̣a đô ̣ (x,y,z); 𝒑 cho chuyể n đô ̣ng khố i tâm của ̣ ứng với to ̣a đô ̣ (X,Y,Z) Thực tương tự bước biến đổi với toán tử động lượng electron, ta thu 𝑚𝑒 ̂𝒆 = 𝐩 ̂+( )𝒑 ̂ 𝒑 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 (1.13) Bây giờ, ta sẽ lầ n lươ ̣t thay các biể u thức toán tử đô ̣ng lươ ̣ng và thế vào Hamiltonian ban đầ u của nguyên tử hydro Để đơn giản, ta sẽ xét toán tử đô ̣ng của ̣ trước 11 2 1 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝟐 𝟐 ̂ + ̂ = [−𝐩 ̂+( )𝒑 ̂ ] + [𝐩 ̂+( )𝒑 ̂ ] 𝒑 𝒑 2𝑚ℎ 𝒉 2𝑚𝑒 𝒆 2𝑚ℎ 𝑚ℎ + 𝑚 𝑒 𝒄 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄 2𝑚𝑒 Thực phép biến đổi toán học, ta thu 1 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝟐 1 ̂𝒉 𝟐 + ̂𝒆 𝟐 = ( )𝐩 ̂ + ( )𝒑 ̂𝒄 𝟐 𝒑 𝒑 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑚 𝑒 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 (1.14) Đến đây, ta đặt sau 𝑚= 𝑚ℎ 𝑚𝑒 , 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝑀 = 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 , (1.15) (1.16) với 𝑀 khối lượng khối tâm, 𝑚 khối lượng rút gọn chuyển động tương đối hạt nhân electron Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro hệ quy chiếu khố i tâm sau ̂= 𝐻 −ℏ2 −ℏ2 𝑒2 ∇𝐑 + ∇𝐫 − 2𝑀 2𝑚 4πεε0 |𝒓| (1.17) Như vâ ̣y từ (1.17), ta thấ y chuyể n đô ̣ng của nguyên tử hydro chưa có từ trường có thể tách làm hai chuyể n đô ̣ng: mô ̣t là chuyể n đô ̣ng của mô ̣t ̣t có khố i lươ ̣ng rút gọn 𝑚, hai là chuyể n đô ̣ng của khố i tâm có khố i lươ ̣ng 𝑀 [1] Từ đây, Hamiltonian tách thành hai thành phần sau ta có ̂𝑟𝑒𝑙 , ̂=𝐻 ̂𝑐 + 𝐻 𝐻 ̂𝑐 = 𝐻 ̂𝑟𝑒𝑙 = 𝐻 −ℏ2 ∇ , 2𝑀 𝐑 𝑒2 −ℏ2 ∇ − 2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓| Lúc hàm sóng có dạng phân ly biến số sau 12 Ψ(𝑹, 𝒓, 𝒓𝟎 ) = 𝜓(𝑹)𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ) ̂ Ψ = 𝐸Ψ, ta có hai phương trình sau Thay vào phương trình Schrodinger 𝐻 −ℏ2 ∇ 𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶 𝜓(𝑹), 2𝑀 𝐑 𝑒2 −ℏ2 ( ) 𝜙(𝒓) = 𝐸𝑟𝑒𝑙 𝜙(𝒓) ∇ − 2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓| (1.18) (1.19) (1.20) Việc giải phương trình Schrodinger lúc đơn giản nhiều hai biến số phân ly hoàn toàn Do khối lượng hạt nhân proton lớn nhiều (1836 lần) so với khối lượng electron nên 𝑚 ≈ 𝑚𝑒 , nhiên tính tốn xác hơn, ta cần tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân Phương trình (1.19) mơ tả chuyển động tự hạt có khối lượng 𝑀 Vì có tách biến hai chuyển động này, khảo sát nguyên tử hydro, ta xem đứng yên để lại thành phần chuyển động tương đối electron hạt nhân Hamiltonian [1] 1.2 Tách khối tâm cho toán nguyên tử heli chưa đặt từ trường Nguyên tử heli bao gồ m ̣t nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chủ n ̣ng xung quanh ̣t nhân Lực tác du ̣ng giữa proton và electron và giữa các electron với chin ́ h là lực điê ̣n (lực Coulomb) Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆𝟏 ≡ (𝑥𝑒1 𝑦𝑒1 , 𝑧𝑒1 ), 𝒓𝒆𝟐 ≡ (𝑥𝑒2 𝑦𝑒2 , 𝑧𝑒2 ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ̣t nhân và electron thứ nhất, thứ hai; 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ̣t nhân và electron 13 𝟐 𝟐 𝒑̂ ̂𝒉 𝟐 𝒑̂ ̂𝒄 𝟐 𝒑 ̂𝟎 𝟐 ̂𝟐 𝐩 𝒑 𝒑 𝒆𝟏 𝒆𝟐 + + = + + , 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒 2𝑀 2𝑚 𝑚𝑒 với 𝑀 = 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 khối lượng khối tâm, 𝑚 = chuyển động tương đối electron hạt nhân 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑚ℎ +2𝑚𝑒 (2.59) khối lượng rút gọn Xét số hạng Hamiltonian có chứa tích số vector với tốn tử động lượng để biến đổi hệ quy chiếu khối tâm, ta 𝑒𝑨𝒆𝟏 𝒑̂ 𝑒 1 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝒆𝟏 ̂−𝐩 ̂ ), ̂𝟎 + ( 𝑩 × 𝑹 − 𝑩 × 𝒓𝟎 + = 𝑩 × 𝒓) ( 𝐩 𝒑 𝑀 𝑀 𝒄 𝑚𝑒 𝑚𝑒 𝑒𝑨𝒆𝟐 𝒑̂ 𝑒 1 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝒆𝟐 ̂+𝐩 ̂ ), ̂𝟎 + ( 𝑩 × 𝑹 + 𝑩 × 𝒓𝟎 + = 𝑩 × 𝒓) ( 𝐩 𝒑 𝑀 𝑀 𝒄 𝑚𝑒 𝑚𝑒 ̂𝒉 2𝑒 2𝑒𝑨𝒉 𝒑 𝑚𝑒 𝑚ℎ ( 𝑩×𝑹− ̂+ ̂ ) = 𝑩 × 𝒓) (−𝐩 𝒑 𝑚ℎ 𝑀 𝑀 𝒄 𝑚ℎ (2.60) (2.61) (2.62) Cộng (2.60), (2.61), (2.62) vế theo vế, khai triển rút gọn, ta 𝑒𝑨𝒆𝟐 𝒑̂ 𝑒𝑨𝒆𝟏 𝒑̂ ̂𝒉 2𝑒𝑨𝒉 𝒑 𝒆𝟐 𝒆𝟏 + − 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝑚𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 ( 𝑩 × 𝒓𝟎 ) 𝐩 ̂+ ̂𝒄 ̂𝟎 + (𝑩 × 𝒓) 𝒑 = (𝑩 × 𝑹) 𝐩 𝑚 2𝑚𝑒 𝑀 𝑒 𝑒 ) (𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂ − +( 2𝑚𝑒 𝑚ℎ (2.63) Xét số hạng Hamiltonian có chứa thành phần bình phương vector, biến đổi hệ khối tâm, ta 𝟐 𝑒 𝟐 𝑨𝒆𝟏 𝟐 𝑒𝟐 1 𝑚ℎ ( 𝑩 × 𝑹 − 𝑩 × 𝒓𝟎 + = 𝑩 × 𝒓) , 2𝑚𝑒 𝑀 2𝑚𝑒 𝟐 𝑒 𝟐 𝑨𝒆𝟐 𝟐 𝑒𝟐 1 𝑚ℎ ( 𝑩 × 𝑹 + 𝑩 × 𝒓𝟎 + = 𝑩 × 𝒓) , 2𝑚𝑒 𝑀 2𝑚𝑒 𝟐 2𝑒 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 2𝑒 𝟐 𝑚𝑒 ( 𝑩×𝑹− = 𝑩 × 𝒓) 𝑚ℎ 𝑀 𝑚ℎ (2.64) (2.65) (2.66) Cộng (2.64), (2.65), (2.66) vế theo vế, khai triển thu gọn, ta 29 𝑒 𝟐 𝑨𝒆𝟏 𝟐 𝑒 𝟐 𝑨𝒆𝟐 𝟐 2𝑒 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 + + 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑒2 𝑒2 (𝑩 × 𝑹) + (𝑩 × 𝒓𝟎 )2 = 16𝑚𝑒 2𝑚 (2.67) 𝑒 3𝑒 𝑒2 𝑒2 ) (𝑩 × 𝒓) + ( ) (𝑩 × 𝑹) (𝑩 × 𝒓) +( − − 2𝑚 2𝑀 2𝑚𝑒 𝑚ℎ Thay (2.59), (2.63), (2.67) vào (2.52), ta đươ ̣c ̂𝒄 𝟐 𝒑 ̂𝟎 𝟐 ̂𝟐 𝐩 𝒑 ̂= 𝐻 + + 2𝑀 2𝑚 𝑚𝑒 𝑒 𝑒 ( 𝑩 × 𝒓𝟎 ) 𝐩 ̂+ ̂𝟎 + (𝑩 × 𝑹)𝐩 2𝑚𝑒 𝑚 𝑒 𝑒 𝑒 ) (𝑩 × 𝒓)𝐩 ̂ ̂𝒄 + ( + ( 𝑩 × 𝒓) 𝒑 − 𝑀 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑒2 𝑒2 (𝑩 × 𝑹)2 + (𝑩 × 𝒓𝟎 )2 + 2𝑚 16𝑚𝑒 2 3𝑒 𝑒2 𝑒2 𝑒 ) (𝑩 × 𝒓)2 + ( ) (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) − − +( 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 2𝑚 2𝑀 (2.68) 2𝑒 𝑒2 2𝑒 (− 𝒓 ) − 𝒓 + + 4πεε0 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | 2 Biểu thức Hamiltonian đưa hệ khối tâm Để đưa dạng phân ly biến số chuyển động khối tâm chuyển động tương đối proton electron, ta xét toán tử động lượng suy rộng (2.31) Trong toán heli, ta có 𝑖 = (𝑒, 𝑒, ℎ) Khai triển biểu thức trên, ta 1 ̂𝟎 = 𝒑 ̂𝒉 + 𝑩 × 2𝑒𝒓𝒉 + 𝒑̂ ̂ 𝑷 𝒆𝟏 + 𝑩 × (−𝑒 )𝒓𝒆𝟏 + 𝒑 𝒆𝟐 + 𝑩 × (−𝑒 )𝒓𝒆𝟐 2 Rút gọn ta toán tử động lượng suy rộng theo hệ quy chiếu khối tâm sau ̂𝟎 = −𝑖ℏ 𝑷 𝜕 − 𝑒𝑩 × 𝒓 𝜕𝑹 (2.69) 30 Tương tự toán hydro từ trường, ta giải phương trình hàm riêng trị tốn tử có dạng [13] ̂𝟎 𝜓 = ℏ𝑲𝜓 𝑷 Giải phương trình trên, ta thu hàm sóng Ψ(𝑹, 𝒓) có dạng Ψ (𝐑 ) = 𝑖 𝑒𝑥𝑝 { [ℏ𝑲 + (𝑒𝑩 × 𝒓)]𝑹} 𝜓(𝒓) ℏ √𝐶 Chuẩn hóa hàm sóng, ta 𝐶 = (𝐶 hệ số chuẩn hóa [13]) Đặt 𝑖 𝑈 = 𝑒𝑥𝑝 { [ℏ𝑲 + (𝑒𝑩 × 𝒓)]𝑹} ℏ (2.70) Lúc hàm sóng có dạng sau Ψ(𝑹) = 𝑈(𝑹, 𝒓)𝜓(𝒓) Thay hàm sóng vào phương trình Schrodinger, biến đổi tương tự hydro từ trường, Hamiltonian biến đổi trở thành ̂′ = 𝑈 −1 𝐻 ̂𝑈 𝐻 (2.71) Từ công thức (2.70) biểu thức 𝑈 toán tử xung lượng hệ quy chiếu khối tâm, ta có phép biến đổi sau ̂𝑈 𝑈 −1 𝒑 𝒄 = ℏ𝑲 + 𝑒 (𝑩 × 𝒓), (2.72) ̂𝑈 ̂ 𝑈 −1 𝒑 𝟎 = 𝒑 𝟎 (2.74) ̂𝑈 = 𝒑 ̂ − 𝑒(𝑩 × 𝑹), 𝑈 −1 𝒑 (2.73) Bình phương hai vế (2.72), (2.73), (2.74), ta 31 𝑈 −1 (ℏ𝑲)2 𝑒 ̂𝒄 𝟐 𝒑 𝑒2 ( 𝑩 × 𝒓) , ( ) 𝑈= + ℏ𝑲 𝑩 × 𝒓 + 𝑀 2𝑀 2𝑀 2𝑀 𝑈 −1 ̂𝟐 ̂2 𝒑 𝒑 𝑒 𝑒2 (𝑩 × 𝑹)2 , ̂ (𝑩 × 𝑹) + 𝑈= − 𝒑 2𝑚 2𝑚 𝑚 2𝑚 (2.75) (2.76) ̂𝟎 𝟐 ̂𝟎 𝟐 𝒑 𝒑 (2.77) 𝑈 𝑈= 𝑚𝑒 𝑚𝑒 Tiếp theo, từ kết trên, ta biến đổi các số hạng lại Hamiltonian −1 sau 𝑒 𝑒 𝑒2 −1 (𝑩 × 𝑹)𝑈 𝒑 ̂𝑈 = (𝑩 × 𝑹)𝒑 ̂ − (𝑩 × 𝑹)𝟐 , 𝑚 𝑚 𝑚 𝑒 𝑒 ( ) (𝑩 × 𝒓)𝑈 −1 𝒑 ̂𝑈 − 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑒 𝑒 𝑒2 𝑒2 ) ( 𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂−( ) (𝑩 × 𝒓)(𝑩 × 𝑹), =( − − 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑒 𝑒 (𝑩 × 𝒓𝟎 )𝑈 −1 𝒑 ( 𝑩 × 𝒓𝟎 ) 𝐩 ̂𝑈 ̂, = 𝟎 𝟎 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒 𝑒2 𝑒 𝑒 ( ) (𝑩 × 𝒓)𝑈 −1 𝒑 ̂𝑈 ℏ𝑲 𝑩 × 𝒓 + (𝑩 × 𝒓)𝟐 𝒄 = 𝑀 𝑀 𝑀 (2.78) (2.79) (2.80) (2.81) Thay (2.75), (2.76), (2.77), (2.78), (2.79), (2.80), (2.81) vào (2.68), Hamiltonian cuối sau biến đổi có dạng ̂′ = 𝐻 (ℏ𝑲)2 𝒑 ̂2 2𝑒 𝑒 𝑒 𝑒2 (𝑩 × 𝒓)2 ) (𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂+ + + ℏ𝑲 (𝑩 × 𝒓) + ( − 2𝑚 𝑀 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 2𝑀 2𝑚 2𝑒 𝑒2 e 2𝑒 ̂ + 𝑩 × 𝒓𝟎 ) + (𝐩 (− 𝒓 ) − 𝒓 + + 4πεε0 𝑚𝑒 𝟎 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | 2 (2.82) Lúc Hamiltonian phân ly thành thành phần chuyển động sau ̂′ = 𝐻 ̂𝑐 + 𝐻̂ 𝐻 𝑟𝑒𝑙 , (2.83) ̂𝑐 thành phần chuyển động khối tâm 𝐻 32 ̂𝑐 = 𝐻 (ℏ𝑲)2 , 2𝑀 (2.84) ̂ 𝐻𝑟𝑒𝑙 thành phần chuyển động tương đối proton electron 𝐻̂ 𝑟𝑒𝑙 = ̂2 2𝑒 𝑒 𝒑 𝑒 𝑒2 (𝑩 × 𝒓)2 ) ( 𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂+ + ℏ𝑲 (𝑩 × 𝒓) + ( − 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 2𝑚 𝑀 2𝑚 + e (𝐩 ̂𝟎 + 𝑩 × 𝒓𝟎 ) 𝑚𝑒 (2.85) 2𝑒 𝑒2 2𝑒 (− 𝒓 ) − 𝒓 + + 4πεε0 |− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 | 2 33 CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG Trong phần này, ta xét ion bao gồm hạt nhân 𝑍 (𝑍 ≠ 1) electron Ta đưa Hamiltonian hệ hệ quy chiếu khối tâm tương tự hydro, heli từ trường kiểm chứng xem với bước làm tương tự đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số chuyển động khối tâm chuyển động tương đối hai hạt hệ hay khơng Đây coi bước đầu tiếp cận với toán exciton khơng trung hịa bán dẫn Go ̣i rh  ( xh , yh , zh ) và re  ( xe , ye , ze ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ̣t nhân và electron Hamiltonian của nguyên tử từ trường đươ ̣c viế t sau ̂ (𝒓𝒉 , 𝒓𝒆 ) = 𝐻 𝑍𝑒 1 ̂𝒉 − 𝑍𝑨𝒉 )𝟐 + ̂𝒆 + 𝑒𝑨𝒆 )𝟐 − (𝒑 (𝒑 , 2𝑚𝑒 4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 | 2𝑚ℎ (3.1) ̂, ̂𝒆 toán tử động lượng hạt nhân electron đó 𝒑 𝒉 𝒑 Từ (2.3), vector 𝑨 chọn (2.19), (2.20) Từ (3.1), biế n đổ i Hamiltonian của ̣, ta đươ ̣c ̂𝒉 𝟐 𝑍𝑨𝒉 𝒑 ̂𝒉 𝑍 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 𝒑 ̂𝒆 𝟐 𝑒𝑨𝒆 𝒑 ̂𝒆 𝑒 𝟐 𝑨𝒆 𝟐 𝒑 ̂ (𝒓𝒉 , 𝒓𝒆 ) = 𝐻 − + + + + 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 𝑚ℎ 𝑚𝑒 2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 𝑍𝑒 − 4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 | (3.2) Biến đổi theo bước tương tự toán hydro heli từ trường, ta thu Hamiltonian ion hệ quy chiếu khối tâm từ trường sau 34 ̂𝟐 ̂𝒄 𝟐 𝒑 𝒑 + 2𝑀 2𝑚 𝑒 𝑍 𝑒𝑚ℎ 𝑍𝑚𝑒 ) (𝑩 × 𝑹)𝐩 ̂+ ( ) ( 𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂ + ( + − 𝑚ℎ 𝑚𝑒 𝑚 ℎ 2𝑀 𝑚𝑒 𝑒𝑚ℎ + 𝑍𝑚𝑒 𝑒−𝑍 ( 𝑩 × 𝒓) 𝒑 (𝑩 × 𝑹)𝒑 ̂𝒄 + ̂𝒄 + 2𝑀 2𝑀 𝑒 𝑚ℎ 𝑍 𝑚𝑒 𝑒2 𝑍2 ) (𝑩 × 𝑹)2 + ( ) (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) +( + − 4𝑀 𝑚𝑒 8𝑚𝑒 8𝑚ℎ 𝑚ℎ ̂ (𝑹, 𝒓) = 𝐻 𝟐 (3.3) 𝟐 𝑍 𝟐 𝑚𝑒 𝑍𝑒 𝑒 𝟐 𝑚ℎ 𝟐 ( ) ) ( + − 𝑩 × 𝒓 + [11] 𝑚𝑒 8𝑀2 𝑚ℎ 4πεε0 |𝒓| ̂0 toán có dạng Tốn tử động lượng suy rộng 𝑃 ̂𝟎 = −𝑖ℏ 𝑷 𝑍−𝑒 𝑍𝑚𝑒 + 𝑒𝑚ℎ 𝜕 + 𝑩×𝑹− 𝑩 × 𝒓 2𝑀 𝜕𝑹 Ta biến đổi Hamiltonian trở thành ̂′ = 𝑈 −1 𝐻 ̂ 𝑈, 𝐻 với 𝑈 phương trình hàm riêng trị riêng có dạng [11] 𝑖 𝑍𝑚𝑒 + 𝑒𝑚ℎ ) (𝑩 × 𝒓)] 𝑹} 𝑈 = exp { [ℏ𝑲 + ( ℏ 2𝑀 (3.4) (3.5) ̂𝟎 [8] ℏ𝑲 thành phần trị riêng phương trình hàm riêng trị riêng 𝑷 ( 𝑍𝑚𝑒 +𝑒𝑚ℎ 2𝑀 ) (𝑩 × 𝒓) thành phần phép biến đổi Power – Zienau – Wolley [6] Biến đối tương tự toán hydro heli từ trường, ta Hamiltonian ion có dạng 35 ̂ ′(𝑹, 𝒓) = 𝐻 (ℏ𝑲)2 𝒑 ̂2 𝑒 − 𝑍 𝑒𝑚ℎ + 𝑍𝑚𝑒 + + ℏ𝑲(𝑩 × 𝑹) + ℏ𝑲(𝑩 × 𝒓) 𝑀2 2𝑀 2𝑚 2𝑀 (𝑒 − 𝑍 )𝟐 𝑒𝑚ℎ 𝑍𝑚𝑒 (𝑩 × 𝑹)𝟐 ( ) ( 𝑩 × 𝒓) 𝐩 ̂+ + − 𝑚ℎ 2𝑀 𝑚𝑒 8𝑀 (𝑒𝑚ℎ + 𝑍𝑚𝑒 )(𝑒 − 𝑍) (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) + 2𝑀2 𝑒 𝑚ℎ 𝑍𝑒 3(𝑒𝑚ℎ + 𝑍𝑚𝑒 )2 𝑍 𝑚𝑒 2 ( ) ] + + − 𝑩 × 𝒓 +[ 8𝑀2 𝑚ℎ 8𝑀2 𝑚𝑒 4πεε0 |𝒓| 8𝑀3 (3.6) Biểu thức Hamiltonian (3.5) chứa thành phần (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) khiến ta khơng thể tách riêng chuyển động khối tâm chuyển động tương đối electron hạt nhân Tuy nhiên, ta tìm điều kiện cho thành phần triệt tiêu, ta đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số Thật vậy, để Hamiltonian đưa dạng phân ly biến số (𝑒𝑚ℎ + 𝑍𝑚𝑒 )(𝑒 − 𝑍) (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) = 2𝑀2 Mà 𝑍 > 𝑒𝑚ℎ + 𝑄𝑚𝑒 > hạt nhân mang điện tích dương nên 𝑍 = 𝑒 (3.7) (3.8) Trong trường hợp 𝑍 ≠ 𝑒, Hamiltonian khơng có dạng phân ly biến số Tuy nhiên tồn phép biến đổi Hamiltonian, khác với (3.22) giúp ta đưa Hamiltonian dạng phân ly biến số trường hợp tổng quát 𝑄 ≠ 𝑒 [11] 36 CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN KẾT LUẬN Trong đề tài này, tơi đã: • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử hydro chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử heli chưa có từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán ngun tử hydro đặt từ trường; • Trình bày bước cần làm để tách khối tâm cho toán nguyên tử heli đặt từ trường; • Kiểm chứng bước tách khối tâm áp dụng cho toán ion (𝑍,𝑒) từ trường HƯỚNG PHÁT TRIỂN Đề tài chưa đề cập đến cách tách khối tâm cho toán exciton bán dẫn Việc giải toán hàm riêng trị riêng không giống tốn trình bày Khi đó, hàm sóng tìm có dạng phức tạp hơn, dẫn đến việc đưa Hamiltonian hệ dạng phân ly biến số gặp khó khăn Tuy nhiên, bước tách khối tâm từ đầu bước giải phương trình hàm riêng trị riêng tốn exciton bán dẫn giống toán nguyên tử hydro, heli từ trường [15, 16] Do đó, đề tài bước đệm cho nghiên cứu sâu hơn, mà điển hình chuyển động exciton bán dẫn, tính cấp thiết ứng dụng chúng vật liệu bán dẫn [10] Tôi hi vọng qua đề tài này, người đọc có nhìn tổng quan việc tách khối tâm cho tốn ngun tử khơng có từ trường từ trường, hiểu ý nghĩa việc tách khối tâm áp dụng vào nghiên cứu 37 PHỤ LỤC A Toán tử động lượng suy rộng hệ N hạt mang điện Xét hệ gồm N hạt mang điện, hạt có điện tích 𝑒𝑖 có khối lượng 𝑚𝑖 (𝑖 = 1,2,3, … , 𝑁) không gian từ trường 𝑩 Giá trị vector 𝑨 vị trí 𝒓𝒊 hạt thứ 𝑖 thể 𝑨𝒊 = 𝑨(𝒓𝒊 ) Lúc này, để tổng quát, ta chưa chọn định chuẩn cho vector Hamiltonian cho hệ có dạng 𝑁 ̂ =∑ 𝑯 𝑖=1 (𝒑̂ − 𝑒𝑖 𝑨𝒊 )𝟐 + 𝑉̂ (𝒓𝟏 , 𝒓𝟐 , … , 𝒓𝑵 ) 2𝑚𝑖 𝒊 (A.1) Ta xét đại lượng bảo tồn, xung lượng suy rộng hệ Khi hệ từ trường, từ trường gây thay đổi giá trị vector Cụ thể biết 𝑩, xây dựng phương trình ngược để tìm lại vector, thuộc dạng tích phân xuất số tùy ý Do đó, ta cần phải có định chuẩn áp đặt lên vector Dạng xung lượng suy rộng 𝑁 𝑷𝟎𝝁 = ∑ ( 𝑖=1 𝑟𝑖 ℏ 𝜕 𝜕𝑨 − 𝑒𝑖 ∫ 𝑑𝒓), 𝑖 𝜕𝑥𝑖𝜇 𝜕𝑥𝜇 (A.2) với 𝜇 = 1,2,3 ba bậc tọa độ Descartes Lại có 𝑩 = 𝜵 × 𝑨, thay vào biểu thức ta 𝑁 ̂𝟎 = ∑(𝒑̂𝒊 − 𝑒𝑖 𝑨𝒊 + 𝑒𝑖 𝑩 × 𝒓𝒊 ) 𝑷 (A.3) 𝑖=1 ̂𝟎 ; 𝑯 ̂ ] = Và cách xây dựng này, ta ln có [𝑷 𝟏 Ta sử dụng định chuẩn Lorentz 𝑨 = 𝑩 × 𝒓 [3], toán tử xung lượng suy rộng hệ ̂𝟎 trở thành 𝑷 𝟐 38 𝑁 ̂𝟎 = ∑ (𝒑̂𝒊 + 𝑒𝑖 𝑩 × 𝒓𝒊 ) 𝑷 (A.4) 𝑖=1 Xét giao hoán tử xung lượng suy rộng tọa độ hệ Descartes sau [𝑷𝟎𝝁 ; 𝑷𝟎𝜹 ] = 𝑖ℏ𝜀𝜇𝛿𝜗 𝐵𝜗 ∑ 𝑒𝑖 , (A.5) 𝜀𝜇𝛿𝜗 kí hiệu Levi-Civita 𝜀𝜇𝛿𝜗 = có hai số trùng Vậy ̂𝟎 khơng giao hốn với Chúng trường hợp tổng qt, thành phần toán tử 𝑷 giao hoán ∑ 𝑒𝑖 = 0, nghĩa tổng đại số điện tích hệ khơng Khi đó, ̂𝟎 trị riêng xác định theo phương trình thành phần 𝑷 ̂𝟎 𝜓 = ℏ𝑲𝜓 𝑷 (A.6) ̂𝟎 ; 𝑯 ̂ ] = [13] nên chúng có trị riêng Thay 𝜓(𝑹, 𝒓) vào phương trình hàm Do [𝑷 ̂ 𝜓 = 𝐸𝜓, ta tìm trị riêng E toán tử 𝑯 ̂ riêng trị riêng 𝑯 B Các biểu thức giải tích Xét hạt có vector bán kính 𝒓 ≡ (𝑥, 𝑦, 𝑧) chuyển động hệ tọa độ Descartes Toán tử động lượng hạt học lượng tử có dạng ̂ = −𝑖ℏ𝛁𝐫 , 𝒑 (B.1) 𝜕 𝜕 𝜕 +𝒋 +𝒌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (B.2) 𝛁𝐫 ký hiệu toán tử Nabla viết tường minh dạng 𝛁=𝒊 Vậy toán tử động lượng hạt viết dạng tường minh sau ̂ = −𝑖ℏ (𝒊 𝒑 𝜕 𝜕 𝜕 +𝒋 + 𝒌 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (B.3) Đối với nguyên tử chuyển động hệ tọa độ Descartes, ta có toán tử động lượng hạt nhân với vector bán kính 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ , 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) electron với vector bán kính 𝒓𝒆 ≡ (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝑧𝑒 ) viết sau 39 ̂𝒉 = −𝑖ℏ𝛁𝐫𝐡 = −𝑖ℏ (𝐢 𝒑 ̂𝒆 = −𝑖ℏ𝛁𝐫𝐞 = −𝑖ℏ (𝐢 𝒑 ∂ ∂ ∂ ) +𝐣 +𝐤 ∂xh ∂yh ∂zh ∂ ∂ ∂ ) +𝐣 +𝐤 ∂ye ∂ze ∂xe (B.4) (B.5) Thế vector sử dụng đề tài theo Avron et al 1978 [15], có dạng 𝑨= 𝑩 × 𝒓 (B.6) Hàm cho nguyên tử gồm hạt nhân mang điện tích Q N electron có dạng 𝑁 𝑉̂ = ∑ 𝑖=1 −𝑒𝑄 |𝒓𝒆𝒊 − 𝒓𝒉 | + 𝑁 ∑ 𝑖=1,𝑗=2,𝑖