Tìm hiểu phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ của ảnh và ứng dụng trong xử lí lọc nhiễu ảnh đa mức xám

Tìm hiểu phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ của ảnh và ứng dụng trong xử lí lọc nhiễu ảnh đa mức xám, Xử lí ảnh là một lĩnh vực mang tính khoa học và công nghệ. Nó là một ngành khoa học mới mẻ so với nhiêu ngành khoa học khác nhưng tốc độ phát triển của nó rất nhanh, kích thích các trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt là máy tính chuyên dụng riêng cho nó.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN NHẬP MÔN XỬ LÝ ẢNH Tên đề tài: Tìm hiểu phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ ảnh ứng dụng xử lí lọc nhiễu ảnh đa mức xám GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TH.S LÃ QUANG TRUNG NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: ĐẮC THỊ TRÀ MY NGUYỄN THỊ TRÀ MY ĐÀO THỊ HƯỜNG LỚP: 69DCHT21 HÀ NỘI 04-2021 LỜI NĨI ĐẦU Xử lí ảnh lĩnh vực mang tính khoa học cơng nghệ Nó ngành khoa học mẻ so với nhiêu ngành khoa học khác tốc độ phát triển nhanh, kích thích trung tâm nghiên cứu, ứng dụng, đặc biệt máy tính chuyên dụng riêng cho Lợi ích xử lí số tín hiệu ngày khẳng định rõ ràng Nó ứng dụng nhiều dạng khác với hiệu đặc biệt ngành khoa học môn học Với mức độ phát triển ngày cao bản, phương pháp khả ứng dụng lơi nhiều kỹ sư, nhà vật lý nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Do đó, nhóm em làm luận phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ ảnh để tìm hiểu sâu cách hoạt động ứng dụng xử lý lọc nhiễu đa mức xám Trong suốt q trình thực đề tài này, nhóm em nỗ lực tìm hiểu, khảo sát nhiên, thiếu sót sơ xuất khơng thể tránh khỏi nhiều vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu tương lai Nhóm xin chân thành cảm ơn hướng dẫn giúp đỡ thầy Lã Quang Trung trình học tập môn này! MỤC LỤC CHƯƠNG TÌM HIỂU PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 Giới thiệu 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier liên tục 1.2.2 Biến đổi Fourier rời rạc – DFT(Discrete Fourier Transform) 1.2.3 Thuật toán biến đổi nhanh – FFT (Fast Fourier Transform) .7 1.2.4 Biến đổi Fourier số hàm thường dùng 1.3 Các tính chất biến đổi Fourier 1.3.1 Tính đối xứng 1.3.2 Nguyên lý cộng .9 CHƯƠNG THỬ NGHIỆM PHÂN TÍCH PHỔ CỦA ẢNH 2.1 Khái niệm 2.2 Thử nghiệm phân tích phổ .10 2.2.1 Phân tích phổ Fourier 10 2.2.2 Biến đổi Fourier ảnh 11 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC XÁM 14 3.1 Bộ lọc 1: Áp dụng lọc thông thấp lọc nhiễu làm mịn ảnh 14 3.2 Bộ lọc 2: Áp dụng lọc thông cao lọc nhiễu 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 CHƯƠNG TÌM HIỂU PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 Giới thiệu Biến đổi Fourier công cụ mạnh phân tích hệ thống tuyến tính Nó cho phép xác định số lượng tác dụng hệ thống số hóa, điểm lấy mẫu, khuếch đại điện tử, lọc tích chập, nhiễu điểm hiển thị Những người kết hợp kiến thức nguyên lý tính chất biến đổi Fourier với kiến thức thực tiễn thể vật lý chuẩn bị kỹ để tiếp cận hầu hết toán xử lý ảnh Bình thường, người phát triển kết hợp kỹ sinh viên khoa điện tử vật lý quang học, họ thực công việc khoá học Tuy nhiên, người thực có ý định sử dụng xử lý ảnh số cơng việc họ, thời gian bỏ để thành thạo với biến đổi Fourier đáng để đầu tư Về ý nghĩa đó, biến đổi Fourier giống ngơn ngữ thứ hai để miêu tả chức Những người sử dụng thành thạo hai ngôn ngữ thường xuyên nhận thấy ngôn ngữ tốt ngôn ngữ để diễn tả ý kiến Tương tự, nhà phân tích xử lý ảnh di chuyển lui tới miền không gian miền tần số tiến hành trọn vẹn vấn đề Đầu tiên học ngôn ngữ mới, người ta hay nghĩ đến ngôn ngữ bẩm sinh hay cô ta nhẩm dịch trước nói Tuy nhiên, sau trở nên trơi chảy, họ nghĩ đến ngôn ngữ khác Tương tự, quen thuộc với biến đổi Fourier, nhà phân tích thao tác miền khơng gian hay miền tần số khả hữu ích Trong phần chương này, trình bày tính chất biến đổi Fourier sử dụng hàm chiều cho ký hiệu đơn giản Sau đó, tổng qt hố kết cho trường hợp hai chiều Quy ước phần hai sách xem xét hàm chiều ví dụ đơn giản sau khai triển cho hàm không gian hai biến ví dụ xử lý ảnh 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.2.1 Phép biến đổi Fourier liên tục Biến đổi Fourier cho tín hiệu hình dung sau: - Biến đổi Fourier cho tín hiệu chiều gồm cặp biến đổi: Biến đổi thuận: chuyển biểu diễn từ không gian thực sang không gian tần - số (phổ pha) Các thành phần tần số gọi biểu diễn đối tượng từ không gian tần số sang không gian thực 1.2.1.1 Không gian chiều Cho hàm f(x) liên tục Biến đổi Fourier f(x), kí hiệu F(u), u biểu diễn tần số không gian, định nghĩa : 1.2.1.2 Không gian hai chiều Cho f(x,y) hàm biểu diễn ảnh liên tục không gian chiều f(x,y) định nghĩa: -Biến đổi thuận : -Biến đổi ngược: Trong đó: u,v biểu diễn tần số khơng gian 1.2.2 Biến đổi Fourier rời rạc – DFT(Discrete Fourier Transform) Biến đổi DFT phát triển dựa biến đổi Fourier cho ảnh số Ở đây, ta dùng tổng thay cho tích phân Biến dổi DFT tính giá trị biến đổi Fourier cho tạp giá trị không gian tần số cách 1.2.2.1 DFT cho tín hiệu chiều Khai triển Fourier rời rạc DFT cho dãy {u(n), n = 0,1,…, N-1} định nghĩa : Và biến đổi ngược : WN-kn, với k=0,1,…,N-1 Thực tế xử lý ảnh người ta hay dùng DFT đơn vị: 1.2.2.2 DFT cho tín hiệu hai chiều (ảnh số) DFT hai chiều ảnh M x N : {u(m,n) } biến đổi tách định nghĩa: Và biến đổi ngược: Cặp DFT đơn vị hai chiều định nghĩa : : 1.2.3 Thuật toán biến đổi nhanh – FFT (Fast Fourier Transform) 1.2.3.1 Trường hợp chiều Nhận xét :  Với giá trị k ta cần N phép nhân N phép cộng  Để tính N giá trị v(k) ta cần N2 phép nhân Để tính toán cách hiệu , người ta dùng thuật tốn nhanh gọi FFT với độ phức tạp tính tốn O(Nlog2N) Thuật tốn tính nhanh tóm tắt sau:  Giả sử N = 2n  Giả sử WN nghiệm thứ N đơn vị : ta có: Khai triển cơng thức ta được: 1.2.3.2 Trường hợp hai chiều Do DFT chiều tách nên ta có Ta có cách tính DFT chiều sau :  Tính DFT chiều với giá trị x(theo cột)  Tính DFT chiều theo hướng ngược lại (theo hàng) với giá trị thu 1.2.4 Biến đổi Fourier số hàm thường dùng Bảng liệt kê biến đổi Fourier số hàm phổ biến 1.3 Các tính chất biến đổi Fourier 1.3.1 Tính đối xứng Trong trường hợp tổng quát , hàm phức biến trị thực có biến đổi Fourier hàm phức biến thực Tuy nhiên , có số lớ hàm bị hạn chế tính đối xứng chúng tạo hành vi phép biến đổi Fourier 1.3.1.1 Tính chẵn lẻ Danh sách tính chất đối xứng biến đổi Fourier: 1.3.1.2 - Một hàm thành phần chẵn tạo thành phần biến đổi chẵn - Một hàm thành phần lẻ tạo hàm thành phần biến đổi lẻ - Một hàm thành phần lẻ có hệ số -j - Một hàm thành phần chẵn khơng có hệ số Các thành phần thực ảo Chúng ta sử dụng qui tắc cho trước để giảm ảnh hưởng cho biến đổi Fourier hàm phức Nếu phân rã hàm phức tổng quát thành tổng thành phần – phần thực chẵn lẻ, cộng với phần ảo chẵn lẻ-chúng ta viết qui tắc biến đổi Fourier sau: - Phần chẵn thực tạo phần chẵn thực Phần lẻ thực tạo phần lẻ thực Phần chẵn ảo tạo phần chẵn ảo Phần lẻ ảo tạo phần lẻ ảo Trong quan tâm khác mối quan tâm với trường hợp hàm nhập mà thực, thông thường sử dụng hàm thực để đưa lại ảnh nhập vào ý hàm thực đưa biến đổi mà có phần hàm chẵn thực phần hàm lẻ ảo Điều đề cập hàm Hermite, có tính chất đối xứng liên hợp F(s) = F*(-s) Trong đó: * ký hiệu cho liên hợp phức Bảng tính chất đối xứng biến đổi Fourier 1.3.2 Nguyên lý cộng CHƯƠNG THỬ NGHIỆM PHÂN TÍCH PHỔ CỦA ẢNH 2.1 Khái niệm Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đơi cịn gọi biến đổi Fourier hữu hạn, biến đổi giải tích Fourier cho tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào biến đổi chuỗi hữu hạn số thực số phức, làm biến đổi công cụ lý tưởng để xử lý thơng tin máy tính Đặc biệt, biến đổi sử dụng rộng rãi xử lý tín hiệu ngành liên quan đến phân tích tần số chứa tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, để làm phép tích chập Biến đổi tính nhanh thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) Ảnh thu đồng thời theo nhiều kênh phổ (thường từ đến kênh) hệ thống máy chụp ảnh nhiều ống kính hệ thống quét Ảnh đa phổ thường quét chụp dải phổ từ 0,4 μm đến 1,1 μm Ảnh đa phổ ảnh hàng không ảnh vũ trụ Ảnh đa phổ dựa ngun lí đối tượng có bề mặt với tính chất vật lí khác có khả phản xạ phổ đặc trưng phổ khác nhau, nhằm nâng cao khả suy giải đối tượng ảnh 2.2 Thử nghiệm phân tích phổ 2.2.1 Phân tích phổ Fourier Ảnh trước hết tín hiệu trực quan (visual signal) Giống âm tín hiệu âm (audio signal) Chúng ta phân tích tần số tín hiệu này, để phân tích tần số này, tạo ảnh có chứa tất tần số ảnh giống đồ họa tần số 2D Công cụ : biến đổi Fourier (Fourier Transform) Khi làm việc với tần số ảnh, nói đến miền tần số (frequential domain), đối ngược với miền không gian (spatial domain) (image) Khi sử dụng Fourier để phân tích phổ, dãy {x_n} thường đại diện cho dãy hữu hạn mẫu thời điểm cách tín hiệu x(t), t để thời gian Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), thường gây hiệu ứng cưa Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) vô quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng - Thể thành phần phổ phức: F(u,v) = R(u,v) + jI(u,v) Trong đó: R(u,v) phần thực I(u,v) phần ảo Suy ta định nghĩa cường độ pha thành phần phổ phức sau: MAGNITUDE = |F(u,v)| = và: PHASE = Φ(u,v) = - Dữ liệu cường độ chứa thông tin độ tương phản, cường độ sáng - Dữ liệu pha chứa thơng tin vị trí đối tượng nằm ảnh 10 Đối với hàm tuần hoàn, phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) bao gồm tập hợp thành phần tần số rời rạc (chuỗi Fourier) phép biến đổi phân kỳ tần số Một thực hành phổ biến (khơng thảo luận trên) xử lý phân kỳ thơng qua hàm Dirac delta Dirac comb Nhưng thơng tin phổ tương tự phân biệt từ chu kỳ hàm tuần hồn, tất chu kỳ khác giống hệt Tương tự, hàm có thời lượng hữu hạn biểu diễn dạng chuỗi Fourier, khơng có thơng tin mát thực tế ngoại trừ tính tuần hồn phép biến đổi nghịch đảo vật 2.2.2 Biến đổi Fourier ảnh Âm mà ta nghe được, dù nhạc, lời nói hay tiếng ồn đám đơng kết dao động màng nhĩ lỗ tai, mơ sóng âm lan truyền khơng khí phát từ tai nghe, âm nhạc cụ, tiếng nói người hay từ kẻ vơ dun nói lun thun sau lưng bạn xem phim rạp Khi vẽ đồ thị dao động theo cường độ hay áp suất theo thời gian, ta biểu diễn hình ảnh âm 11 Hình 2.1 Sóng âm phát từ âm thoa (ảnh trên) sóng âm phát người nói (ảnh dưới) Chúng ta xem hình ảnh hàm biến đổi, nhiên, hàm biến đổi không biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo không gian chiều ảnh Đối với ảnh xám, điểm ảnh có giá trị từ đến 255 biểu diễn cường độ ảnh Do đó, cường độ điểm ảnh hàm số theo toạ độ trục tung trục hoành tương ứng với vị trí điểm ảnh Bạn xem ảnh cảnh có gợn sóng nhấp nhơ, với chiều cao cảnh tương ứng với giá trị điểm ảnh VD: Một ảnh số đăng tạp chí Plus, điểm ảnh có giá trị từ đến 255 biểu diễn mức xám điểm ảnh Hình 2.2 Ảnh bên phải hàm ảnh ảnh bên trái, với giá trị xám u(x,y), u(x,y) chiều cao bề mặt mặt phẳng (x,y) Biến đổi Fourier tổ hợp sóng đơn giản có vài điểm sáng, với ảnh phức tạp ảnh kỹ thuật số có nhiều điểm sáng biến đổi Fourier ảnh dùng nhiều sóng để biểu diễn ảnh Biến đổi Fourier nhiều ảnh số mà ta thường gặp, thông thường cường độ trục x y mạnh biến đổi, cho thấy sóng sine biến đổi dọc theo trục có vai trị lớn ảnh cuối ảnh chức nhiều đặc trưng theo chiều ngang dọc đối xứng, ảnh chụp tường, cạnh bàn, kể thể người có tính đối xứng theo chiều dọc Bạn quan sát điều cách xoay ảnh chút, khoảng 45ᵒ, biến đổi Fourier có cường độ mạnh cặp đường thẳng vng góc dã xoay lượng với góc xoay ảnh 12 Hình 2.3 Ảnh xám tạp chí Plus ảnh sau biến đổi Fourier cho thấy chuỗi mức đóng góp sóng dọc biểu diễn điểm sáng dọc theo trục tung Hình 2.4 Ảnh tạp chí Plus xoay góc 45ᵒ biến đổi Fourier Biến đổi Fourier cơng cụ tuyệt diệu phân tích sử dụng âm hay hình ảnh Đối với ảnh, biến đổi Fourier cơng cụ tốn học quan trọng nén ảnh (ví dụ chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh 13 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC XÁM - Trong phần này, tìm hiểu số phương pháp lọc nhiễu ảnh đa mức xám, hay làm trơn ảnh  Đầu vào: Ảnh biến đổi DFT  Đầu ra: Ảnh lọc nhiễu Sử dụng lọc thơng thấp thơng cao lọc nhiễu làm mịn ảnh Bộ lọc 1: Áp dụng lọc thông thấp lọc nhiễu làm mịn ảnh Giả sử, ta có ma trận kết biến đổi DFT ảnh xám, hệ số DC 3.1 - dịch vào Do thành phần tần số thấp gần tâm ma trận, ta thực lọc tần số thấp cách loại bỏ hệ số cách xa tâm Hình Ảnh xám (trái) biến đổi DFT (phải) Hình Lọc thông thấp (trái) kết (phải) 3.2 Bộ lọc 2: Áp dụng lọc thông cao lọc nhiễu - Ngược lại với lọc thông thấp Lọc thông cao loại bỏ hệ số gần tâm lại hệ số cách xa tâm Với kích thước hình trịn lớn biên đối tượng ảnh rõ Tuy nhiên, lọc khơng lọc nhiễu 14 Hình Lọc thơng cao (trái) kết (phải) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chương 3, Digital Image Processing, third edition, Rafael C.Gonzalez, Richard E.Woods [2] Giáo trình xử lý ảnh, PGS.TS Nguyễn Thị Hoàng Lan, Đại học Bách Khoa Hà Nội [3]https://tailieuchung.com/vn/dlID1236606_bai-giang-xu-ly-anh-chuong-10bien-doi-fourier.html\ [4]https://vi.wikipedia.org/wiki/Bi%E1%BA%BFn_%C4%91%E1%BB %95i_Fourier_r%E1%BB%9Di_r%E1%BA%A1c [5] https://vi.nipponkaigi.net/wiki/Fourier_analysis [6]https://diendantoanhoc.org/topic/176090-bi%E1%BA%BFn%C4%91%E1%BB%95i-fourier-trong-%E1%BA%A3nh/ 15 ... chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh 13 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC XÁM - Trong phần này, tìm hiểu số phương pháp lọc nhiễu ảnh đa mức xám, hay làm trơn ảnh  Đầu vào:... làm luận phép biến đổi Fourier, thử nghiệm phân tích phổ ảnh để tìm hiểu sâu cách hoạt động ứng dụng xử lý lọc nhiễu đa mức xám Trong suốt trình thực đề tài này, nhóm em nỗ lực tìm hiểu, khảo... 11 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG XỬ LÍ LỌC NHIỄU ẢNH ĐA MỨC XÁM 14 3.1 Bộ lọc 1: Áp dụng lọc thông thấp lọc nhiễu làm mịn ảnh 14 3.2 Bộ lọc 2: Áp dụng lọc thông cao lọc nhiễu 14 TÀI LIỆU