Thông tin tài liệu
25 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng năm 2021 HDedu - Page 1 Mục Lục Trang Chủ đề Hệ thức cạnh đường cao Chủ đề Tỉ số lượng giác góc nhọn Chủ đề Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Chủ đề Hệ thức tỉ số lượng giác góc Chủ đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng tỉ số lượng giác Chủ đề Xác định đường trịn, tính chất đối xứng đường trịn Chủ đề Đường kính dây đường tròn liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Chủ đề Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Chủ đề Vị trí tương đối hai đường tròn Chủ đề 10 Vẽ hình phụ để giải tốn chương đường trịn Chủ đề 11 Chứng minh điểm di động đường tròn đường thẳng cố định Chủ đề 12 Góc tâm số đo cung liên hệ cung dây Chủ đề 13 Góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung Chủ đề 14 Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Chủ đề 15 Cung chứa góc Chủ đề 16 Tứ giác nội tiếp Chủ đề 17 Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp Chủ đề 18 Độ dài đường tròn, cung tròn diện tích hình trịn, hình quạt trịn Chủ đề 19 Một số hệ thức lượng đường tròn Chủ đề 20 Định lý ptơlêmê Chủ đề 21 Quỹ tích (tìm tập hợp điểm) Chủ đề 22 Đường thẳng simson Chủ đề 23 Hình trụ Chủ đề 24 Hình nón Chủ đề 25 Hình hình cầu HDedu - Page CHƯƠNG I: Hệ thức lượng tam giác vuông Chuyên đề MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông A, đường cao AH (h.1.1) Khi ta có: ′; c ac′ ; 1) b ab = = 2) h = b′c′ ; 3) bc = ah ; 1 4) = + ; h b2 c2 5) a= b + c (định lí Py-ta-go) B Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC cân A ( A ≠ 90° ), đường cao BH Chứng minh rằng: 2AB = CH BC Giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Do BA = AC = AD = CD Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD BA = CD nên tam giác BCD vuông B Xét ∆BCD vng B, đường cao BH ta có: BC = CD.CH (hệ thức 1) Suy BC = AB.CH (vì CD = AB ) Do 2AB = CH BC Nhận xét: Đề cho BH đường cao chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền tam giác vuông Vì ta vẽ thêm hình phụ để tạo tam giác vuông đỉnh B cho BH đường cao ứng với cạnh huyền vận dụng hệ thức (1) Ta vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt tia CA D HDedu - Page Cách tạo tam giác vuông với BH đường cao ứng với cạnh huyền = 90° BD ⊥ BC Biết Ví dụ Hình thang ABCD có A= D = AD 12 = cm, CD 25cm Tính diện tích hình thang Giải Vẽ BH ⊥ CD Tứ giác ABHD có ba góc vng nên hình chữ nhật Suy BH = AD = 12cm AB = DH Xét ∆BDC vng B, đường cao BH ta có: BH = HD.HC (hệ thức 2) = 25 − x ta được: Đặt HD = x HC 122= x ( 25 − x ) ⇔ x − 25 x + 144= 0 hay ( x − 16 )( x − ) = Suy x = 16 x = Với x = 16 AB = 16 Diện tích hình thang là: S = 16 + 25 ) 12 (= 246 ( cm ) Với x = AB = Diện tích hình thang là: S = + 25 ) 12 (= 204 ( cm ) Nhận xét: Để tính diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm độ dài AB Ta vẽ BH ⊥ CD để "chuyển" AB thành DH Có thể tính DH tam giác vng BDC biết hai yếu tố độ dài Ngoài ra, ta dùng công cụ đại số giải phương trình để tính tốn độ dài DH Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, BC = 2a Gọi D E hình chiếu H AB AC Tính giá trị lớn diện tích tứ giác AEHD HDedu - Page Giải * Tìm cách giải: Để tính diện tích lớn tứ giác AEHD ta phải viết biểu thức tính diện tích tứ giác AEHD theo độ dài biết, tìm giá trị lớn biểu thức * Trình bày lời giải: Vẽ đường trung tuyến AM = AM = BC a Tứ giác AEHD có ba góc vng nên hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật là: S = AD AE Xét ∆ABH vng H ta có: AH = AB AD (hệ thức 1), suy AD = Tương tự ta có AE = AH AB AH AH AH AH Do S = = AC AB AC AB AC Mặt khác AB AC = BC AH (hệ thức 3)= nên S AH AH = BC AH BC AM Suy S ≤ (vì AH ≤ AM ) BC Do S ≤ a3 a = (dấu "=" xảy ⇔ ∆ABC vuông cân A) 2a Vậy max S = a2 ∆ABC vng cân A Nhận xét: Để tìm liên hệ chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM Do AH ≤ AM ; AM = BC nên AH liên hệ với BC qua vai trò "bắc cầu" AM = BC = a Vẽ tam giác ADE vng Ví dụ Cho ba điểm A, B, C, A, B cố định, AB A cho AC đường cao Tìm giá trị nhỏ tổng 1 + AD AE HDedu - Page Giải * Tìm cách giải: Hệ thức 1 gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4) Vì ta dùng hệ thức để giải + AD AE tốn * Trình bày lời giải: Ta có AC đường cao tam giác ADE vng A nên 1 (hệ thức 4) + = 2 AD AE AC Tổng 1 có giá trị nhỏ ⇔ có giá trị nhỏ + 2 AD AE AC ⇔ AC có giá trị lớn 2a (dấu “=” xảy B trung điểm AC) Xét ba điểm A, B, C ta có AC ≤ AB + BC = 1 + = = B trung điểm AC Vậy 2 4a AE ( 2a ) AD = 90° , hai đường chéo vuông góc với Cho Ví dụ Cho hình thang ABCD, A= D biết= AB a= , CD b a) Tìm giá trị nhỏ diện tích hình thang ABCD b) Chứng minh độ dài AC, BD AB + CD độ dài ba cạnh tam giác vuông Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD Có thể tính AD nhờ phương pháp đồng dạng * Trình bày lời giải: = 90° ; (cùng a) ∆ADB ∆DCA có: A= D ADB = DCA HDedu - Page phụ với góc BDC) Do ADB DCA (g.g) Suy AB AD = ⇒ AD = AB.CD =a.b DA DC Do AD = ab Diện tích hình thang ABCD là: S Vì AB + CD ) AD ( a + b ) (= ab a+b ab ≥ ab (bất đẳng thức Cô-si) nên S ≥ ab ab = (dấu “=” xảy a = b hay ABCD hình vng) Vậy S = ab ABCD hình vng b) Xét ∆ADB vng A ta có: BD = AB + AD = a + ab = a ( a + b ) Xét ∆DCA vng D ta có: AC = AD + CD = ab + b = b ( a + b ) Xét tổng AC + BD = b ( a + b ) + a ( a + b ) = ( a + b ) mà ( AB + CD ) =+ ( a b ) Vậy 2 AC + BD = ( AB + CD ) Do theo định lí Py-ta-go đảo AC, BD AB + CD độ dài ba cạnh tam giác vuông C Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1 Cho tam giác ABC vuông A,= AB c= , AC b Vẽ đường cao AH Gọi E F hình chiếu H AB AC Tính theo b c giá trị tỉ số: a) HB ; HC b) BE CF 1.2 Cho tam giác ABC vuông A, BC = 20cm Biết tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền :16 Tính diện tích tam giác ABC HDedu - Page 1.3 Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác góc A góc B cắt O Biết OA = 3cm , OB = 2cm , tính độ dài AB 1.4 Cho tam giác ABC cân A, góc A nhọn, trực tâm H Biết HA = 7cm , HB = HC = 15cm Tính diện tích tam giác ABC Vận dụng hệ thức (2) 1.5 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết diện tích tam giác ABH ACH 54cm 96cm Tính độ dài BC 1.6 Cho hình thang cân ABCD, AB / / CD , AD ⊥ AC Biết = AB 7= cm, CD 25cm Tính diện tích hình thang = 90° Hai đường chéo vng góc với O Biết 1.7 Cho hình thang ABCD, A= D OB = 5, 4cm ; OD = 15cm a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC M N Tính độ dài MN 1.8 Cho trước đoạn thẳng a b ( a ≥ b ) Hãy dựng đoạn thẳng thứ ba x cho x trung bình nhân hai đoạn thẳng a b Vận dụng hệ thức (4) 1.9 Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M điểm nằm B c Tia AM cắt đường thẳng CD N Tính giá trị biểu thức = P 1 + AM AN 1.10 Cho hình thoi ABCD, AB = 2cm , = A 120° Trên cạnh BC lấy điểm E cho = 15° Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh BAE 1 + = 2 AE AF = 90° , AD = CD hai đáy không Gọi E 1.11 Cho hình thang ABCD, A= D 1 giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh = + 2 AD CB CE 1.12 Cho hình thoi ABCD, đường cao AH Cho biết AC = m ; BD = n AH = h HDedu - Page 1 Chứng minh = + 2 h m n 1.13 Cho tam giác ABC vuông A, AB 15 = = cm, AC 20cm Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC cho D thuộc cạnh AB; E thuộc cạnh AC; F G thuộc cạnh BC Xác định vị trí D E để diện tích hình chữ nhật DEFG lớn Tính diện tích lớn Vận dụng hệ thức (5) Định lí Py-ta-go 1.14 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AB + AC = AM + BC Áp dụng: Tam giác ABC có= AB 5,= AC BC = 10 Tính độ dài đường trung tuyến AM 1.15 Cho tam giác ABC, A= 60° Đặt= BC a= , CA b= , AB c Chứng minh a < b3 + c3 1.16 Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Chứng minh rằng: AB MC + AC MB − AM BC = MB.MC.BC 1.17 Cho tam giác ABC Đặt= BC a= , CA b= , AB c Chứng minh rằng: a) Nếu A < 90° a < b + c ; b) Nếu A > 90° a > b + c ; c) Nếu A= 90° a= b2 + c2 1.18 Cho tam giác ABC Đặt= BC a= , CA b= , AB c Chứng minh rằng: a) Nếu a < b + c A < 90° ; b) Nếu a > b + c A > 90° ; c) Nếu a= A= 90° b + c 1.19 Cho tam giác ABC, độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c Độ dài đường HDedu - Page 1 cao tương ứng , hb , hc Chứng minh = + hb = c hc = b 2 hb hc Vận dụng tổng hợp nhiều hệ thức 1.20 = 90° , hai đường chéo vng góc với O Cho Cho hình thang ABCD, A= D biết AD = 12cm ; CD = 16cm Tính độ dài OA, OB, OC, OD 1.21 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao= AH h= , BC a Vẽ HD ⊥ AB , HE ⊥ AC Ta đặt= BD m= , CE n Chứng minh rằng: a) h3 = a.m.n ; a2 b) 3= m2 + n2 1.22 Cho tam giác nhọn ABC Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Trên đoạn = CNA = thẳng HA, HB, HC lấy điểm M, N, P cho BMC APB= 90° Chứng minh rằng: a) Các tam giác ANP, BMP CMN tam giác cân; b) Diện tích tam giác MBC trung bình nhân diện tích tam giác ABC HBC 1.23 Cho năm đoạn thẳng a, b, c, d, e ba đoạn thẳng lập thành tam giác Chứng minh tồn ba đoạn thẳng lập thành tam giác có ba góc nhọn 1.24 Cho tứ giác ABCD, AC = 6, BD = Chứng minh rằng: a) Tồn hai cạnh tứ giác nhỏ 5; b) Tồn cạnh tứ giác lớn 3,6 HDedu - Page 10 * Trình bày lời giải Xét mặt cắt qua trục hình nón ∆SAB cân S Trong mặt phẳng SAB có O′C //OB Theo định lí Ta-lét ta có Do O′C SO′ = OB SO O′C 9, = ⇒ O′C = ( cm ) 21, Trong mặt phẳng SAB vẽ CH ⊥ AB , ta được: CH = OO =′ 12cm , BH = − = ( cm ) Suy BC= 122 + 52= 13 ( cm ) Diện tích xung quanh hình nón cụt là: S xq =π ( R1 + R2 ) l =π ( + ) 13 =169π ( cm ) 24.3 Xét mặt cắt qua trục hình nón cụt, hình thang cân ABCD Trong mặt phẳng ta vẽ CH ⊥ AB ′H OC Ta có CH = 10cm ; BH =O′B − O′H =7cm = OO =′ 24cm ; O= Suy BC= 242 + 2= 25 ( cm ) Diện tích xung quanh xô là: S xq = π ( R1 + R2 ) l = π (17 + 10 ) 25 = 675π ( cm ) ( ) Diện tích đáy xơ là:= S đáy π= 102 100π cm Vậy diện tích tơn đê làm xơ là: 675π + 100π = 775π ( cm ) 24.4 = AD = a; Vẽ BH ⊥ CD ta được: BH DH = AB = a ; CH = 2a − a = a ; BC = a Khi quay hình vng ABCD vịng quanh cạnh CD cố định ta hình trụ hình nón chung đáy Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HDedu - Page 320 Diện tích tồn phần hình tạo thành gồm diện tích xung quanh S1 hình nón, diện tích xung quanh S hình trụ diện tích đáy S3 hình trụ Vậy diện tích tồn phần cần tìm là: ) ( S = S1 + S + S3 = π a.a + ( 2π a.a ) + π a = π a ( ) + (đvdt) 24.5 Gọi R bán kính đáy hình nón l đường sinh = 12 ( cm ) Ta có π R= 144π ⇒ R Diện tích xung quanh hình nón là: S xq = 588π − 144π = 444π ( cm ) Suy π = Rl 444π ⇒ l = 444π = 37 ( cm ) π 12 Chiều cao hình nón là: 37 − 122 = 35 ( cm ) SO = Thể tích hình nón là: V = 1 35 1680π ( cm3 ) = π R2h π 12 = 3 24.6 Phần rượu cốc có dạng hình nón Gọi r bán kính đáy phần rượu hình nón cốc Suy bán kính miệng cốc 3r (do định lí Ta-lét) Thể tích phần rượu cốc là: V1 = π r h Thể tích cốc là: = V2 1 = π ( 3r ) ( 3h ) π 27r h 3 πr h V1 Do = = V2 π 27 r h 27 Suy = ⇒ V2 = 54(cm3 ) V2 27 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HDedu - Page 321 Vậy thể tích cốc 54cm3 24.7 Độ dài cung BB′ hình quạt trịn là: π 37.117 180 ≈ 24π ( cm ) Độ dài cung độ dài đường trịn đáy hình nón Gọi R bán kính đáy hình nón Ta có 2π R= 24π ⇒ R= 12 ( cm ) Xét ∆SOB vuông O, ta có: SO = SB − OB = 37 − 122 = 35 ( cm ) Vậy chiều cao hình nón 35cm Thể tích hình nón 1 1680π ( cm3 ) ≈ 5275cm3 > 5dm3 V = π R h = π 122.35 = 3 Thể tích 5kg nước 5dm3 Vậy hình nón tạo chứa 5kg nước 24.8 Gọi mặt cắt chứa trục hình thang cân ABCD Đặt O′B = a OC = 2a ′B a HC = a = O= Vẽ BH ⊥ OC ta OH Tam giác HBC vuông cân nên BH = HC = a BC = a Diện tích hình thang cân ABCD là: = S + CD ) BH ( 2a + 4a ) a ( AB = = 2 3a 2 Theo đề ta có: 3a = 27 ⇒ a = ( cm ) Thế tích cùa hình nón cụt là: V = = π h ( R12 + R22 + R1 R2 ) 7 π a = π 33= 63π ( cm3 ) π a ( a + 4a + 2a )= 3 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 322 24.9 Xét tam giác vuông ABH ACH vng H, ta có: HB = 252 − 242 = ( cm ) ; HC = 262 − 242 = 10 ( cm ) Khi quay tam giác ABC vòng quanh cạnh BC cố định ta hai hình nón chung đáy có bán kính đáy 24cm chiều cao 7cm 10 cm Thể tích hình tạo thành tổng thể tích hai hình nón 1 V =V1 + V2 = π R h1 + π R h2 3 = π 242 ( += 10 ) 3264π ( cm3 ) 24.10 Tam giác ABC có góc C tù nên đường cao AH nằm tam giác Điểm H nằm tia đối tia CB Xét tam giác ABH ACH vng H, ta có: HB = 152 − 122 = ( cm ) ; HC = 132 − 122 = ( cm ) Khi quay tam giác ABC vòng quanh cạnh BC cố định ta hai hình nón chung đáy, bán kính đáy 12cm, chiều cao hình nón đỉnh B 9cm, chiều cao hình nón đỉnh C 5cm với đỉnh C nằm hình nón đỉnh B Thể tích hình tạo thành hiệu thể tích hình nón đỉnh B đỉnh C 1 V = V1 − V2 = π 122.BH − π 122.CH 3 = 1 π 144 ( BH − CH = = 192π ( cm3 ) ) π 144.4 3 Nhận xét: Hai 24.9 24.10 giải theo phương pháp Đó là: Tính hình chiếu hai cạnh tam giác trục quay tính tổng hay hiệu thể tích hai hình nón 24.1 Gọi R bán kính đáy đống cát h chiều cao đống cát Vì chu vi đáy đống cát 12,56m nên 2π R = 12,56 R ⇒= 12,56 ≈ 2, ( cm ) 2.π ( ) ( ) Thể tích đống cát là: V = 250 × 20 = 5000 dm3 = m3 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 323 Ta có V= 3V 3,5 h π R2h ⇒ = ≈ ≈ 1, ( m ) π R π 22 24.12 Gọi mặt cắt chứa trục hình nón tam giác ABC cân A Gọi DE đường kính hình trịn ( O′) , DE //BC Ta đặt O′D = R1 , OC = R2 , AO′ = h1 , AO = h2 Thể tích hình nón nhỏ là: V1 = π R12 h1 Thể tích hình nón lớn là: V2 = π R22 h2 Vì tỉ số thể tích hình nón nhỏ hình nón cụt 1: 26 nên tỉ số thể tích hình nón nhỏ hình nón lớn 1: 27 π R12 h1 R2h V1 hay 12 = Ta có = = (1) 27 R h 27 V2 27 2 π R2 h2 Theo định lý Ta-lét ta có Từ (1) ( ) suy Do R13 = h1 R1 = h2 R2 ( 2) R13 = R2 27 R23 303 = = 1000 ⇒ R1 = 27 27 1000 = 10 ( cm ) Vậy bán kính đáy hình nón nhỏ 10cm 24.13 Gọi mặt cắt chứa trục chao đèn hình thang cân ABCD Chiều cao OO′ = h đường sinh BC = l Vì diện tích xung quanh chao đèn 306π cm nên ta có π ( R1 + R2 ) l = 306π ⇒ π ( + 13= ) l 306π ⇒=l 17 ( cm ) Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ BH ⊥ CD ′B R1 , HC = R2 − R1 = 8cm = OO =′ h ; OH Ta có BH = O= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 324 Xét ∆BHC vuông C, ta có BH 2= 17 − 82= 15 ( cm ) BC − HC 2= Vậy chiều cao chao đèn 15cm 24.14 Gọi bán kính đáy hình nón R đường sinh hình nón l Vì mặt cắt chứa trục tam giác ABC nên AB = BC = CA suy l = 2R Ta có S đáy = π R (1) = S xq π= Rl π R.2 = R 2π R ( 2) () Từ ( ) suy S xq = 2S đáy 24.15 • Khi quay tam giác AOB vịng quanh cạnh OA cố định ta hình nón đỉnh A có chiều cao a bán kính đáy b đường sinh a + b2 Thể tích hình nón là: V1 = π b a Diện tích xung quanh nó= là: S1 π b a + b • Khi quay tam giác AOB vòng quanh cạnh OB cố định ta hình nón đỉnh B có chiều cao b bán kính đáy a đường sinh a + b2 Thể tích hình nón là: V2 = π a 2b Diện tích xung quanh = là: S π a a + b 2 π b a b S π b a + b2 b V1 = = ; Ta= có = V2 π a 2b a S π a a + b a Vậy V1 S1 = V2 S V V2 Nhận xét: Gọi α nửa góc đỉnh hình nón = S1 = tan α S2 24.16 C 2= π R 2= π 10π ( cm ) Độ dài đường trịn đáy hình nón là:= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 325 Khi khai triển mặt xung quanh hình nón theo đường sinh AB ta hình quạt tâm A bán kính 12cm số đo cung BB′ n° Vì độ dài cung trịn BB′ 10π nên ta có: π 12.n 180 Vì = 10π ⇒ n = 150° 120° sđ BC = nên = 360° sđ B B′ = Suy sđ BC 150° = 50° Quãng đường ngắn từ B đến C mặt xung quanh hình nón qng đường ngắn từ B đến C hình quạt, đoạn thẳng BC Xét ∆ABC có AB = AC = 12cm , A= 50° Áp dụng định lí cơ-sin ta có BC = AB + AC − AB AC cos A = 122 + 122 − 2.12.12.cos 50° ≈ 102,877 Do BC ≈ 10,1( cm ) Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 10,1 cm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 326 CHƯƠNG Chuyên đề 25 HÌNH CẦU A Kiến thức cần nhớ Hình cầu • Khi quay nửa hình trịn (O; R) vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu tâm O, bán kính R • Nửa đường trịn quay tạo nên mặt cầu Cắt hình cầu • Khi cắt hình cầu mặt phẳng mặt cắt hình trịn; • Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường tròn: - Có bán kính R (gọi đường kính lớn) mặt cắt qua tâm; - Có bán kính nhỏ R mặt cắt không qua tâm Diện tích mặt cầu S= 4πR hay S = πd (R bán kính; d đường kính mặt cầu) Thể tích hình cầu V= πR B Một số ví dụ Ví dụ Hai hình cầu có hiệu bán kính 3cm hiệu thể tích 1332π cm3 Tính hiệu diện tích hai mặt cầu Giải * Tìm hướng giải Để tính hiệu diện tích hai mặt cầu ta cần biết bán kính hai mặt cầu * Trình bày lời giải Gọi bán kính hình cầu lớn R bán kính hình cầu nhỏ r Ta có R - r = hay R = r + Thể tích hình cầu lớn là: V1= Vì V1 – V2 = 1332π (cm3) nên ( ) 4 πR Thể tích hình cầu nhỏ là: V2= πr 3 π R3 − = r 1332π ⇔ R −= r 999 ( ) Do ( r + − r = 999 ⇔ r + 3r − 108= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HDedu - Page 327 Giải r1 = -12 (loại); r2 = (chọn) Vậy bán kính hình cầu nhỏ 9cm Bán kính hình cầu lớn 12cm ( ) Diện tích mặt cầu lớn là: S1 =4πR =4.π.122 =576π cm ( ) Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2 =4πr =4.π.92 =324π cm Hiệu diện tích hai mặt cầu là: ( ) = S S1 − S= 576π − 324= π 252π cm Ví dụ Một hình cầu nội tiếp hình nón bán kính đáy 6cm đường sinh l0cm Chứng minh diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Giải Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH ⊥ BC, OD ⊥ AB Ta có AH= 102 − 62= ( cm ) AB2 − BH 2= Gọi bán kính đáy hình nón R, bán kính hình cầu r Ta có BH = BD = R = 6cm; OH = OD = r AD = AB - BD= 10 - = 4cm AOD ∽ABH ( g.g ) ⇒ Do OD AD = BH AH r = ⇒ r = ( cm ) ( ) Diện tích đáy hình nón là: S1 = πR = π.62 = 36π cm ( ) Diện tích mặt cầu là: S2 =4πr =4.π.32 =36π cm Vậy diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Ví dụ Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi H giao điểm AD BC Quay hình vẽ vịng quanh đường kính AD cố định ta hai hình nón nội tiếp hình cầu Biết AH = 24cm; DH = 6cm, tính: a) Thể tích hình cầu tạo thành; b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy hình trịn đường kính BC Giải a) Tam giác ABC cân A, AD đường kính nên AD ⊥ BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 328 = 90° (vì AD đường kính) Ta có ABD Xét ∆ABD vng B ta có: BH = HA.HD = 24.6 = 144 Suy BH = 12(cm) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC R = (24 + 6): = 15(cm) Thể tích hình cầu tạo thành là: 4 V1 = πR = π.153 =4500π cm 3 ( ) b) Thể tích hình nón đỉnh A là: 1 V2 = πr h = π.122.24 =1152π cm 3 ( ) Ví dụ Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ Giải * Tìm hướng giải Cần tìm mối quan hệ bán kính hình cầu với bán kính đáy hình trụ chiều cao hình trụ * Trình bày lời giải Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R a) Thể tích hình cầu là: V1= πR πR h = 2πR Thể tích hình trụ là: V2 = V1 πR = = Ta có: V2 2πR b) Diện tích mặt cầu là: S1 = 4πR ( ) ( ) Diện tích hình trụ là: S2 =π R h + R =π R 2R + R =π R S1 4πR 2 Ta có: = = S2 6πR Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 329 Ví dụ Cho đoạn thẳng AB = 24cm Lấy điểm C nằm A B Vẽ phía AB ba nửa đường trịn đường kính AB, AC BC Quay tồn hình vẽ vịng quanh đường kính AB cố định ta ba hình cầu Tìm thể tích lớn phần khơng gian giới hạn ba hình cầu Giải * Tìm hướng giải Cần tìm mối quan hệ bán kính ba nửa hình trịn, từ tìm quan hệ thể tích ba hình cầu * Trình bày lời giải Đặt AC = 2x BC = 24 - 2x Bán kính nửa đường trịn đường kính AB 12cm Bán kính nửa đường trịn đường kính AC x Bán kính nửa đường trịn đường kính BC 12 - x Thể tích ba hình cầu đường kính AB, AC BC là: 4 π.123 ; πx3 π (12 − x ) 3 Thể tích phần khơng gian giới hạn ba hình cầu là: = V 2304π − π x3 + (12 − x ) = 2304π − π x3 + 1728 − 432x + 36x − = x3 2304π − 48π x − 12x + 48 ( ( ) ) ( ) Vmax ⇔ x − 12x + 48 ⇔ ( x − ) + 12 ⇔ x = V 1728π cm AC = 12cm hay C trung điểm Khi max= AB C Bài tập vận dụng • Tính diện tích 1.1 Mặt cắt chứa trục hình nón tam giác Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón 1.2 Cắt hình cầu tâm O mặt phẳng ta hình trịn tâm K, đường kính AB Biết OK = 9cm diện tích hình trịn tâm K 16% diện tích mặt cầu Tính diện tích mặt cầu Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 330 1.3 Người ta cắt địa cầu cũ mặt phẳng theo vĩ tuyến phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo 24cm độ sâu chảo 8cm Tính diện tích bể mặt địa cầu • Tính thể tích 1.4 Một hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh 12cm Tính thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương 1.5 Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu 1.6 Một hình cầu nội tiếp hình trụ Biết diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 Tính thể tích hình cầu 1.7 Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền l,2m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền khơng? • Tính độ dài, tính tỉ số 1.8 Cho hình cầu tâm O, bán kính OA = 10 cm Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với OA trung điểm M OA ta đường trịn Tính độ dài đường trịn 1.9 Một hình cầu có số đo thể tích (tính m3) số đo diện tích mặt cầu (tính m2) Tính độ dài đường trịn lớn 1.10 Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước Trong bình có vật rắn hình cầu ngập hồn tồn nước Khi người ta lấy vật rắn khỏi bình mực nước bình giảm 48,6mm Biết đường kính bên đáy bình 50mm, tính bán kính vật hình cầu 1.11 Vĩ độ Thanh Hố 20° Bắc Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hố biết bán kính Trái Đất 6370km HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 1.1 Vì mặt cắt chứa trục hình nón tam giác nên gọi bán kính đáy hình nón R độ dài đường sinh l = 2R chiều cao hình nón= h 2R = R Diện tích tồn phần hình nón là: Stp = πR ( l + R ) = πR ( 2R + R ) = 3πR ( Diện tích mặt cầu là: S = πd = π R ) = 3πR Vậy diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC HDedu - Page 331 1.2 Xét ∆AOB cân O có KA = KB nên OK ⊥ AB Gọi R bán kính hình cầu, r bán kính hình trịn (K) Xét ∆KOA vng K ta có: r2 = R − OK = R − 81 ( ) Diện tích hình trịn (K) là: S1 = πr = π R − 81 Diện tích mặt cầu là: S2 = 4πR ( ) Vì S1 = 16%S2 nên π R − 81 = 16 4πR 100 Thu gọn phương trình ta 36R = 8100 Suy R = 225 ( ) Do diện tích mặt cầu S =4πR =900π cm 1.3 Mặt cắt qua tâm hình trịn tâm O với AB đường kính miệng chảo Vẽ bán kính OC ⊥ AB K Ta có KA = KB = 24: = 12 (cm) Gọi R bán kính địa cầu Xét ∆KOA vng K ta có: OA = OK + AK ⇒ R = ( R − 8) + 122 ⇒ R = R − 16R + 64 + 144 ⇒ 16R = 208 ⇒ R = 13(cm) ( ) Diện tích bề mặt địa cầu là: S =4πR =4.π.132 =676π cm 1.4 Vì độ dài cạnh hình lập phương 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp 6cm Thể tích hình lập phương là: ( ) = V1 12 = 1728 cm Thể tích hình cầu là: V2 = π.63 =288π cm ( ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 332 Thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương là: ( ) V= V1 − V2= 1728 − 288π ≈ 824 cm V V2 Nhận xét: Ta có= 288π π = 1728 Tổng quát, ta chứng minh hình cầu nội tiếp hình lập phương tỉ số thể tích chúng π 1.5 Gọi bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là: πRl = 12πR Diện tích mặt cầu là: 4πR Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên 12πR = 4πR ⇒ R = ( cm ) 4 ( ) Thể tích hình cầu là: V = πR = π.33 =36π cm 1.6 Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R Vì diện tích tồn phần hình trụ 384π cm2 nên ta có: 2πR ( 2R + R= R ( cm ) ) 384π ⇒ 6πR=2 384π ⇒ = 4 Thể tích hình cầu là: V = πR = π.83 = 2048π cm 3 ( ) 1.7 Bán kính thuyền thúng là: 1,2: = 0,6 (m) = (dm) Thể tích thuyền là: V= 4 πR = π.63 = 144π dm ≈ 452dm 3 ( ) Tổng Khối lượng thuyền, người cá là: 45 + 65 + 240 = 350 (kg) Khối lượng riêng thuyền là: 350: 452 = 0,8 (kg/dm3) Khối lượng riêng nước là: kg/dm3 Vậy khối lượng riêng thuyền nhỏ khối lượng riêng nước nên nước không ngập đến mép thuyền Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 333 1.8 Xét ∆OBC có OB = OC OM ⊥ BC nên MB = MC ( Ta có: MC2 =OC2 − OM = 10 ) − (5 ) 2 =225 Suy MC = 15(cm) Độ dài đường tròn (M) là: 2π.15 = 30π (cm) 1.9 Gọi bán kính hình cầu R Vì số đo tích số đo diện tích mặt cầu nên ta có: πR =4πR ⇒ R =3 ( m ) ( ) Độ dài đường tròn lớn là: C = 2πR = 2π.3 = 6π m 1.10 Gọi r bán kính vật hình cầu Thể tích vật hình cầu là: V1= Thể tích khối nước rút xuống là: ( πr ) V2 = π.502.48,6 = 121500π mm Ta có phương trình: = πr 121500π= ⇒ r 91125 Do r = = 91125 45 ( mm ) 1.11 Gọi R bán kính Trái Đất, gọi r bán kính vĩ tuyến 20° qua Thanh Hố = AOB = 20° Ta có HBO Xét ∆HBO vng H có: r = HB = OB cos20° = Rcos20° Do độ dài vĩ tuyến 20° là: 2πr = 2πRcos20° = 2π.6370.cos20° ≈ 37610 ( km ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC HDedu - Page 334 ... 144 12 ( cm ) HDedu - Page 19 Ta có BC = 152 + 202 = 25 ( cm ) Gọi K giao điểm AH với DE Ta đặt= DG x= ; DE y Khi AK= 12 − x Vì DE / / BC nên ADE ABC Suy DE AK = BC AH 25 (12 − x ) y... y 12 − x Do = ⇒= y 25 12 12 Diện tích hình chữ nhật DEFG là: x .25 (12 − x ) 25 S= xy = = − ( x − 12 x ) 12 12 25 25 = − ( x − 12 x + 36 − 36 ) = − ( x − ) + 75 12 12 Vì − 25 ( x − ) ≤ nên S ≤... AE = ∆ADE ∆ABC có A chung; AB AC S AD Do ∆ADE ∽ ∆ABC (c.g c).suy ADE = S ABC AB Xét ∆ABD vuông D có Do AD = cos A AB S ADE = cos A S ABC Ta có S ADE = S BCDE suy (1) S ADE = S
Ngày đăng: 17/08/2021, 13:50
Xem thêm:
