Bài toán chặn trạng thái cho một hệ số dương có chậm thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NHẬT TỒN BAI TỐN CHẠN TRẠNG THÁI CHO MỘT SỐ HỆ DƯƠNG CÓ CHẬM THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HUỲNH NHẬT TỒN BÀI TỐN CHẶN TRẠNG THÁI CHO Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MỘT HỆ SỐ DƯƠNG CĨ CHẬM THỜI GIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PGS TS PHAN THANH NAM Bình Định - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực chưa sử dụng để bảo vệ học vị Mọi giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc phép công bố Bình Định, tháng năm 2020 Tác giả Huỳnh Nhật Toàn Muc luc Muc luc Danh muc ký hiệu MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho hệ có nhiễu 1.2.1 Hệ vi phân 1.2.2 Hệ sai phân 10 1.3 Hệ dương số bổ đề liên quan 10 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần 14 2.1 Chặn 2.2 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn 14 trạng thái cho hệ rời rạcdương có nhiễu bị chặn 19 2.2.1 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc 19 2.2.2 Chặn thành phần cho hệ tuyến tính rời rạc có nhiều chậm thời gian 23 2.2.3 Chặn thành phần cho hệ phi tuyến 23 2.3 Chặn trạng thái cho hệ suy biến dương có nhiễu bị chặn 26 2.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn hệ tuyến tính dương 28 2.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi-sai phân dương khơng có nhiễu 33 2.3.3 Chặn trạng thái cho hệ vi-sai phân dương có nhiễu 36 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn 41 3.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn chuẩn II*H1,1 41 3.1.1 Điều kiện đủ để tập đạt hệ dương bị chặn siêu chóp 41 3.1.2 Tối ưuđa diện 44 3.1.3 Bài toán điều khiển ngược dựa trạng thái 45 3.2 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 46 3.2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương tuyến tính có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát 47 3.2.2 Mở rộng kết cho hệ có chậm thời gian, hệ phi tuyến 51 3.2.3 Một số hướng tiếp cận khác cho toán 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 Danh mục ký hiệu R (R+, R0,+) : Tập hợp số thực (dương, không âm) R (R ) Rnxm (Rnxm) : Tập hợp vectơ thực (không âm) n chiều : Tập hợp ma trận thực (không âm) n X m chiều N Ilx(t)ll1 : {1,2,3, } : {0}U N : ^ = |xi(t)|, x(t) = [xi(t) ••• Xn(t)] ||x(t)||TO : maxn |xi(t)|, x(t) = [x (t) ••• x (t)] n n ,+ N0 n =1 : IMI1,1 n T T R n R n ds J(T M lli s) : ess supt>o|Mt)||i : Tập giá trị riêng ma trận A 11^11^,1 a(A) ( ) PA : max{|A| : A a(A)}, bán kính phổ ma trận A : max{Re(A) : A a(A)} : Ma trận A ma trận đối xứng xác định dương (A) ^ A > (> ) (không âm) : Tất phần tử ma trận A dương A > (> ) (không âm) A,B Rnxm,A > (>) B x = [xi X2 x ] > (>) n T :a ( ) b ,i6 j> > j {l, ,n}, j {1, .,m} : Vectơ x dương (không âm), nghĩa xi > (>) với i {1, , n} x,y Rn,x > (>) y B(0, q) deg(P) C([a,b],Rn) : x — y > (> ) : {x Rn : x + q}, hình cầu Rn + : Bậc đa thức P(s) : Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị R với chuẩn ||x|| = max ||x(t)|| n te[a,b] MỞ ĐẦU Vì nhiều lý hệ thống bị giới hạn tốc độ đường truyền, tác động không mong muốn từ bên ngoài, sai số đo đạc, yếu tố khơng chắn mơ hình hóa hệ thống nên chậm thời gian nhiễu không tránh khỏi hệ thống kỹ thuật thực tế Hai yếu tố gây tính khơng ổn định cho hệ thống Trong nhiều trường hợp, nhiễu giả sử bị chặn chặn biết Khi đó, thay nghiên cứu tính ổn định người ta nghiên cứu tốn tìm chặn trạng thái cho hệ có nhiễu Trong năm gần đây, nhiều quan tâm nghiên cứu dành cho toán chặn trạng thái cho hệ dương có chậm Nhằm hệ thống kết có tìm kiếm vài phát triển hướng nghiên cứu định hướng Thầy hướng dẫn, chọn đề tài “ Bài Tốn chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian” Hướng nghiên cứu chặn trạng thái cho hệ dương mở rộng lần lên hệ dương có chậm thời gian báo [7] Sau năm 2014 báo [9] mở rộng lên lớp hệ với ma trận biến thiên Năm 2015 báo [15] mở rộng lên hệ phi tuyến đưa chặn nhỏ Các kết chủ yếu dành cho lớp hệ có nhiễu dương bị chặn theo thành phần Sau năm 2016 mở rộng tốn chặn trạng thái cho lớp hệ rời rạc với nhiễu bị chặn khoảng [17] Và sau hai báo [4], [24] tiếp tục mở rộng cho lớp hệ dương với chặn theo chuẩn l chặn tập Trong luận văn này, chúng tơi hệ thống trình bày số kết chặn trạng thái cho số lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đối tượng nghiên cứu luận văn là: Bài toán tìm chặn trạng thái tập trung vào lớp hệ dương có chậm thời gian nhiễu bị chặn Đề tài sử dụng phương pháp so sánh nghiệm, kết hợp với số kiến thức đại số tuyến tính liên quan đến ma trận khơng âm, ma trận Metzler, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ dương số kỹ thuật tính tốn tối ưu Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, giới thiệu toán chặn trạng thái, hệ dương tính chất liên quan Chương hai trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Chương ba trình bày chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình, nghiêm khắc Thầy Phan Thanh Nam, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán quý thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Giải Tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù cố gắng khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến, góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bi Trong chương tơi xin trình bày số kiến thức cần thiết hệ vi phân, hệ sai phân, tính chất hệ dương có liên quan đến toán chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian 1.1 Một số khái niêm (a) Phương trình hệ vi phân có chậm thời gian Trong mục này, chúng tơi trình bày dạng tổng qt hệ phương trình vi phân có chậm thời gian Giả sử hệ thống phụ thuộc vào khứ với độ chậm thời gian < h < ■ 'X x(-) hàm liên tục R, nhận giá trị Rn, với t G R ta xây dựng hàm x E C, phụ thuộc chậm thời gian sau: t xt(s) = x(t + s), s G [— h,0], C := C ([—h, 0],Rn) không gian hàm liên tục từ [—h,0] vào R Như vậy, n đồ thị x đoạn quỹ đạo đồ thị x(-) [t — h,t], tức x (s) biến t t trạng thái x(-) thời điểm khứ t + s, s G [—h, 0] Chuẩn x chuẩn t C xác định ||x || = sup ||x(t + s)|| Khi đó, hệ t se[-h,0] phương trình có chậm thời gian mơ tả phụ thuộc tốc độ thay đổi trạng thái hệ thống thời điểm t vào trạng thái hệ thống khoảng thời gian trước [t — h, t] cho dạng: () íx t =f (t,x tL t > 0, (11) f : R , + XC- R hàm vectơ cho trước hàm ự n GC hàm giá trị ban đầu với llựll = sup ||ự(s)|| Nghiệm x(-) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện se[-h,0] ban đầu x(s) = ự(s), s G [-h,0] ký hiệu x(t,ự) Để nghiên cứu tính ổn định hệ (1.1), ta giả thiết: (i) Hệ (1.1) ln có nghiệm x(t) = 0, tức là, f (t, 0) = 0, t G R , + (ii) Hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện tồn tại, kéo dài nghiệm đến vô (b) Các khái niệm ổn định Trong mục này, nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi phân có chậm thời gian (1.1): Định nghĩa 1.1 ([3]) Nghiệm x(t) = hệ (1.1) gọi (i) ổn định với số e > 0, tồn số ỏ > cho với ự E C thỏa mãn ||ự|| < ỏ ||x(t, ự)|| < e với t > (ii) ổn định tiệm cận ổn định tồn số ỏ0 > cho với ự E C thỏa mãn ||ự|| < ỏ lim ||x(t,ự)||=0 t^+w (iii) ổn định mũ tồn số M > số a > cho nghiệm x(t, ự) hệ thỏa mãn ||x(t, ự)|| < Me-at||ự|| với t > Khi M gọi hệ số ổn định Lyapunov, a gọi số mũ ổn định Để cho ngắn gọn, thay nói nghiệm x(t) = hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) (c) Hệ sai phân Xét hệ phương trình sai phân có chậm thời gian sau: x(k + 1) = f (k,Xk), k G No, x(s) = ự(s), s G {—h, — h +1, , 0} (1.2) C chứa tập đạt hệ (3.9) p Vì đa diện C xác định vectơ p xác định, hệ (3.11) (3.12) tuyến p tính với biến K a giá trị thích hợp K a dễ dàng tìm lập trình Mặt khác tồn K thỏa Mệnh đề 3.1 cho trạng thái hệ khép kín bao lại đa diện biết C p =VG R+ | p Ệ < 1,p E R+} Ta điều chỉnh K để tối ưu đa diện cho cách giải T toán: Cho p = [p ,p , ,p ] , tối thiểu Y = ^Y^i=1 log('Pi), cho (A + B K) p 0, B p n n T u T T Kí hiệu Y* giá trị nhỏ Y, tương ứng với Y* ta có p* đa diện Cp tích khơng lớn C Lặp lại trình tối ưu tham số Y đến tìm Y* thích p hợp Ví dụ 3.1 Xét hệ íX(t) = Ax(t) + Buu(t) + Bww(t) với Với đa diện xác định C với p = [1.5 1,5 0,9] , u(t) = 10e (w G Q1,1) nằm đa diện Từ Mệnh đề 3.1 ta tìm K = -0.64 -0.5 -0.1 T p -2, 10t 0.0013 0, 64 0.8 0.78 0.51 0.4987 -3, 78 0.19 1, 3594 0.61 -2, 355 Metzler Khi trạng thái hệ bị chặn C p 3.2 Chặn trạng thái cho vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Trong mục ta tìm chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Phương pháp tiếp cận gồm bước: (i) Phân tích số tính chất ma trận Metzler Hurwitz (ii) Dựa vào tính chất mới, mở rộng hệ xét lên số chiều cao (iii) Tìm chặn thành phần cho hệ có số chiều cao tìm hàm tuyến tính chặn trạng thái cho hệ xét Phương pháp mở rộng cho hệ dương có chậm thời gian phi tuyến 3.2.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương tuyến tính có nhiễu biến thiên tập bị chặn tổng quát Xét hệ: ( ) íx = Ax t (0) ì |x = () + Bxí/i t > 0, (3 13) với x(.) £ R vectơ trạng thái, A £ R ma trận Metzler Hurwitz, B £ Rn+ ma n nxn m trận không âm, w(.) £ S c Rm vectơ nhiễu biến thiên bị chặn tập đóng S + Đặt z(t) = L x(t) hàm vectơ tuyến tính vectơ trạng thái với L £ Rn+ ma trận T r dương biết Mục tiêu toán ta phải tìm chặn thành phần nhỏ T cho hàm z(t), ta gọi chặn cần tìm chặn hàm tuyến tính hệ z(t) = L x(t) Chú ý 3.2.1 Trường hợp nhiễu bị chặn tập đóng S trường hợp tổng quát cho trường hợp xét trước luận văn + Trong trường hợp nhiễu bị chặn thành phần Tập S hình chữ nhật khơng gian vectơ Rm , ta đặt S sau: + Sc(w) = {w G Rm+ : w A w}, với w vectơ không âm biết + Trường hợp IHIro < 1, ta đặt S sau: S ( ) c 1m : w A1 = {x G Rm+ } m + Trường hợp nhiễu bị chặn chuẩn ( Bổ đề 3.2 ([24]) Giả sử A = [aij] i, j = 1, ,n, ma trận Metzler Hurwitz Cho j G {1, ,n}, kí hiệu Cj = 52n=1 aij tổng hàng thứ j ma trận A Cmin := minj=1, ,nCj < Bổ đề 3.3 ([24]) Cho vectơ h không âm khác 0, h = [h1 h2 hn]T, A E Rnxn ma trận Metzler Hurwitz Kí hiệu Aj vectơ hàng thứ j ma trận A, j = 1, , n s = {£ G R : A h + £h > 0}, T (i) E = (ii) E = — I ' h I > h j=1, ,n,h j>0 h j Chứng minh (i) Bước 1: Đầu tiên ta xét trường hợp h vectơ dương T Kí hiệu g«) = A h + 0, hàm vectơ g(£) liên tục tăng ngặt nên lim g(£) = [+rc>, , ■ -X T Do tồn £o G R cho g(£o) > 0, suy tập E ; X khác rỗng Bước 2: Trường hợp h = [h , , h ] vectơ không âm khác vectơ 0, giả sử n T vectơ h có k thành phần dương hj > 0, , hj > với < j < j k k < n Đặt P = {ji, , jk}, PC = {1, , n} \ P hd = [hji • • • hjk]T hd G Rk vectơ dương Từ ma trận A, ta lấy ma trận a j1j1 a j2j1 Ad = a jlj2 • ajljk a • aj2jk /2./2 • a jkj1 a jkj2 a jkjk E Rkxk Vì A Metzler Hurwitz, A Metzler Hurwitz Kí hiệu gj (£) = AjTh + Ệhj j = 1, , n vài phép tính ta có d ( Ad)rjshd ( ) gj < = + 0, Vj P} Vì Bước 1, ta có tập S khác rỗng Mặt khác, h 1 i = với i PC, vectơ h không âm aij > Vi = j, ta có n gj«) = A h = n aijhi > với j PC aijhi = T i=1 i=1,i=j Suy s = s ? s khác rỗng (ii) Bước 1: Ta xét trường hợp h vectơ dương Vì hàm g(Ệ) hàm tăng ngặt nên ta có s max - j=1, ,n j=1, ,n Mặt khác, đặt D = diag{h ,h , , h } D / = diag{hl, h1, , h~} Vì A R ma trận Metzler Hurwitz nên ma trận h n h nxn hi n, M a11 D AD h 1/h h a12 = h a n2 • • • hna1n h2 a22 • • • hn a2n hữnn ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Bổ đề 3.2 ma trận D AD / , a hn n1 h suy {-j—} < j'=1, ,n h h T A h } Suy s > Bước 2: Ta xét trường hợp h vectơ không âm Bằng cách sử dụng kĩ thuật tách bước (2) chứng minh (i) bước chứng minh (ii) ta có với (A )j hàng thứ j ma trận A Mặt khác ta có j = j P, (Adj h = A h Do d s s d s (Ad)Ts d ì hjs Ị j=1, ,n,hj>0 (A ) h d s d) > 0, s = S1 = -min hJ js - P d T j h js&P T (3.15) (3.14) Kết hợp (3.14) (3.15) ta có (ii) Nhận xét 3.1 Với £ E s, đặt bn+1(h) = — £ b(h) = [61(h) bn(h)] [g1 (£) • • • gn(£)]T T Ta có hàm tuyến tính h Ax biểu diễn sau: T hTAx = b1(h)x1 + +bn(h)xn + bn+1(h)hT x, (3.16) với b (h) < b(h) = [b (h) ••• b (h)] y Hơn giá trị lớn b (h) n+1 T n n+1 biểu diễn (3.16) thu bn +i (h) AjTh = =j=1mn, >o| (3.17) \ Cho s = 1, , r, kí hiệu L vectơ hàng thứ s ma trận L Với h = L , s = S S 1, , r, ta có vectơ khơng âm [b1(L ) • • • bn(L )] số âm bn+1(L ) cho S S S (3.18) (LS)TAx = b11(LS)x1 + + bn(LS)xn + bn+1(LS)(LS)Tx b1(L1) bn(L1) Kí hiệu b(L) = e b1(Lr) R0 + c(L) = diag{bn+1 (L ), , bn+l(L )} e X n r bn(Lr) R Từ (3.18) ta có L A = b(L) + c(L)L Lấy vi phân hai vế phương trình z(t) = rXr T T LTx(t) ta T (3.19) z(t) = LT x(t) = L Ax(t) + L Bai(t) = b(L)x(t) + c(L)z(t) + LT Bai(t) T Bằng cách đặt x(t) = [x(t) z(t)] , B = [B L B] A = T T T hệ (3.13) mở rộng lên hệ n + r chiều A b(L) n,r c(L) _ , x(t) = Ax(t) + Bi^(t), t > x(0) = Ỉ (3.20) Vì A ma trận Metzler Hurwitz, b(L) y 0, c(L) ma trận đường chéo Hurwitz, nên dễ dàng chứng minh A Metzler Hurwitz Bằng 5 cách sử dụng Bổ đề 3.1 cho hệ (3.20) kí hiệu u = maxBu,uL = maxL Bu sau: T Ũ = [Ũ T ŨL] Ta có chặn thành phần x(t) x(t) —A 1u, Vt > 0, Kí hiệu z = — [0r,n Ir]A 1Ũ (3.21) Suy z(t) bị chặn thành phần z, z(t) z, Vt > Vì ma trận c(L) ma trận đường chéo âm, nên nghịch đảo tồn c 1(L) = - diag{b 1LI, , b } G Rrxr Suy ma trận nghịch đảo A Lr T Thay (3.22), b(L) = L A — c(L)L Avà Ũ = [Ũ ŨL] vào 0(3.21) vài phép tính đơn n,r (3.22) giản Ta có c (L) —c (L)b(L)A T T -1 -1 -1 -1 T z = —C-1(L)(ŨL — L Ũ) — L A-1Ũ (3.23) T từ bất đẳng thức max(f + g) < max(f) + max(g) suy ŨL T L Ũ (3.24) Từ (3.17), (3.23) và(3.24), z nhỏ với s = 1, , n, bn+1(L ) S ) = bn+1(LS = (3.25) S j=1, ,n,L >0 j S Từ nhận xét ta có định lý sau Định lý 3.4 ([24]) Giả sử A ma trận Metzler Hurwitz, z tính (3.23) (3.25) chặn hàm tuyến tính nhỏ hệ z(t) = L x(t) T 3.2.2 Mở rộng kết cho hệ có chậm thời gian, hệ phi tuyến Trong mục này, ta mở rộng kết cho hệ dương tuyến tính có chậm thời gian hệ phi tuyến bị chặn hệ dương tuyến tính Trước hết ta xét hệ dương có chậm thời gian sau x(t) = Ax(t) + A1x(t — h(t)) + Bw(t), t > 0, (3.26) x(s) = 0, s G [—hmax, 0], với x(.) G R vectơ trạng thái, A G R ma trận Metzler Hurwitz biết, A n nxn G R ma trận không âm cho A + A ổn định Hurwitz, nxn h(t) G [0,hmax] hàm chậm thời gian chưa biết Tương tự cách chứng minh Định lí 3.4 Kí hiệu A = A1 L A1 T x(t) = n,r chiều hệ (3.26) mở rộng lên hệ n + r r,r Ax(t) + A1x(t — h(t)) + B^(t), t > 0, x(s) = (3.27) 0, s G [—hmax, 0] Vì A + A ma trận Metzler Hurwitz kết hợp với Bổ đề 1.4, suy A + A 1 ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Định lí 2.1 cho hệ (3.27) ta tìm chặn thành phần x(t) sau x(t) — (A + A1) 1u, Vt > 0, Tương tự ta tìm chặn hàm tuyến tính z(t) T z = —C-1(L)(ŨL — LTŨ) — L (A + A1)-1Ũ, (3.28) chặn nhỏ với s = 1, , r, b (L ) tính (3.25) Do đó, ta n+1 S suy định lí sau Định lý 3.5 ([24]) Giả sử A ma trận Metzler Hurwitz, A1 ma trận không âm cho A + A ma trận Metzler Hurwitz z tính (3.28) (3.25) chặn hàm tuyến tính nhỏ hệ z(t) = L x(t) T Tiếp theo ta xét hệ phi tuyến có chậm thời gian x(t) = Ax(t) + f (t,x(t),x(t — h(t),w(t)), t > 0, x(s) = 0, s G [—hmax, 0], (3.29) Với A ma trận Metzler Hurwitz, f (.) giả sử bị chặn hàm tuyến tính dương |f (3.30) (.)H Ao,f |x(t)| + A1,f |x(t - h(t))| + u(w(t)), t > 0, với A ,f, A ,f ma trận không âm ũ(w(t)) hàm không âm Ta xét hệ dương p(t ) —(A + y(s) I — ) () + A0,f y t 0,s [ h max ( ( )) + ũ Ai,fy t - h t (331) (^'ư)) t > 0, , 0], Giả sử (A + A ,f + A ,f) ma trận Metzler Hurwitz Áp dụng Định lí 2.1 ta có ( 0)| |x t ( 0) yt Suy () |z t | 0)| = \LTx(t, |LT 0) \\x(t, | |LT 0) \y(t, Từ ta có định lí sau Định lý 3.6 ([24]) Giả sử f(.) thỏa điều kiện (3.30), (A + A0,f + A1,f) ma trận Metzler Hurwitz Thì z tính (3.28) (3.25) với A,A thay A + A ,f,A ,f chặn 1 nhỏ giá trị tuyệt đối hàm tuyến tính z(t) — L x(t) T 3.2.3 Một số hướng tiếp cận khác cho toán Trong mục ta sử dụng Định lí 3.4 để giải tốn hàm chặn trạng thái nghiên cứu so sánh phương pháp với phương pháp trước để thấy tính hiệu Hướng tiếp cận dựa việc tìm chặn thành phần Từ kết chặn thành phần cho hệ dương có chậm thời gian có vectơ biến thiên hình chữ nhật biết, ta mở rộng kết với vectơ nhiễu w(t) biến thiên chặn biết tập S đóng Giả sử ũ — maxB^ weS tính được, từ chặn thành phần Bổ đề 3.1 ta tìm chặn hàm tuyến tính hàm z(t) = L x(t) sau: T z(t) — —LTA-1U, Vt h Hơn từ (3.24) —c (L) ma trận dương Nên ta suy z = —c (L)(uL — -1 T T -1 L u) — L A-1U chặn nhỏ ZH = — LTA-1U tìm phương pháp [7], [15] Hướng tiếp cận dựa phương pháp Du et al.(2016) Với trường hợp S = S^,1(1) = {' G Rm : + H'11^4 — 1}, Du et al (2016) trình bày phương pháp tìm chặn hàm tuyến tính cho hệ dương (3.13) với z(t) G R Tuy nhiên phương pháp áp dụng cho vài hàm tuyến tính thích hợp, ví dụ hàm tuyến tính z(t) = p x(t) với p G Rn cho T + (AT + ai)p — 0, BTp — a1m, với a > Trong trường hợp z(t) bị chặn 1, hay z(t) = pTx(t) < 1, Vt > 0, Bằng cách mở rộng kết ta có điều kiện đủ để tồn chặn e cho hàm z(t) = pTx(t) tồn a > e > cho T (A + ai)p — 0, BTp — ae1m, z(t) bị chặn e, hay z(t) = p x(t) < e, Vt > T Trong số trường hợp phương pháp Du et al(2016) không áp dụng (ví dụ điều kiện "tồn a > cho (A + ai)p — 0" không xảy ) ta sử T dụng cách tiếp cận gián tiếp từ phương pháp Du gồm bước sau: (i) Tìm chặn thành phần cho vectơ trạng thái, x(t) — fì, Vt > (ii) Tìm chặn hàm tuyến tính z(t) < pTB Vt > Tuy nhiên hướng tiếp cận cho chặn hàm tuyến tính lớn chặn tìm từ Định lí 3.4, làm rõ Ví dụ 3.2 Hướng tiếp cận dựa L -gain x Với hàng L , s = 1, , r, L, L -gain, Y , z (t) = (L ) x(t) tính S x s S T s riêng biệt L -gain hệ (3.13) với z (t) = (L ) x(t) định nghĩa Birat (2013) x S T s Shen and Lam (2015) giá trị Y > nhỏ cho ||z (t)|L < Y ||Ũ(Ì)||L«, , Y có s s ^ s S thể tính cách giải tốn tối ưu sau: minYs cho A G R+, Ys > 0, AA + B1 F LSA — Ys1r 0, A,Ys sử dụng công thức Y = II — L A B11^ Do đó, trường hợp chuẩn L , ta có S s thể tính ũ* thõa mãn ||ũ(t)|| TO < -1 TO ũ*, V > 0, chặn hàm tuyến tính cho giá trị z (t) z = Y ũ* Suy chặn hàm tuyến tính z(t) = Lx(t) z = [zi, ,z ] s s s r T Ví dụ 3.2 Xét hệ dương (3.13) với — 1.20 0.50 0.29 — 1.10 0.50 2.00 0.30 0.23 0.15 0.1 0.0 0.1 0.1 0.10 0.20 0.00 — ,B= 0.20 1.50 0.33 — 1.10 0.3 0.1 0.2 0.0 0.1 0.2 0.0 0.2 T L = [2 1 2.5] Ta xét vectơ nhiễu, ũ(t) G R0+ hai trường hợp sau: A= (a) ũ(t) G SF1 (1) = {ũ G R3+ : F1ũ V 1}; (b) ũ(t) G SF2 (1 ) = {ũ s R0,+ :F ũV Xét trường hợp (a): Đầu tiên 1.00 ta sử1.00 dụng hướng 1.00 tiếp cận dựa phương pháp Du et tìmFchặn tuyến tính hệ Bằng cách tăng dần a từ đến a vớial.(2016) F = [1 để 1] = hàm 0.90 1.10 1.10 với bước nhảy 0.001, ta tìm a =1.20 0.4310 thỏa mãn ; A + ai) < 0, Va G [0, a ] max max max 1.30 0.95 Tương tự cách tăng dần a từ đến amax với bước nhảy 0.001, ta kiểm tra khơng có số a G T [0,amax] thỏa mãn điều kiện (A +al)p V Bằng cách giải tốn tối ưu tìm minp cho(A +aI)p T V 0, BTp a13 với i = 1, , n, p = [p i pn]T > 0n, ta tính chặn thành phần vectơ trạng thái x = [1.2875 3.6077 2.0212 2.5968] T chặn hàm tuyến tính ZD = 14.6958 Với hướng tiếp cận dựa việc tính L x — gain, Bổ đề Briat (2013) Định lí Shen Lam (2015), ta tính L x — gain hệ Y = 7.7809, ũ' = zs = Ysũ* = 7.7809 Sau sử dụng hướng tiếp cận dựa việc tính chặn thành phần hệ, ta tính ũ = [0.35 0.21 0.23 0.24] chặn hàm tuyến tính z = 4.1685 T k Cuối áp dụng Định lí 3.4 ta tính [b b ] = [1.655 0.195 1.465 0.000 T — 0.940]T, LTBũ(t) = [0.8500 1.1450 1.200]ũ(t), ZN = 3.5940 Xét trường hợp (b): Ta có S (1 ) c S (1), hàm z(t) với ũ(t) G S (1 ) nhỏ F2 Fl F2 z(t) với ũ(t) G SF (1) Từ hướng tiếp cận 3, ta tính ũ* = 0.9091, (z)L = 'ũ' = 7.7809 l X l 0.9091 = 7.0735 Với hướng tiếp cận một, ta tính ZK = 3.6939 Cuối áp l dụng Định lí 3.4 ta tìm Z = 3.2152 Nl Cả hai trường hợp (a),(b) phương pháp từ Định lí 3.4 tìm chặn hàm tuyến tính nhỏ phương pháp lại KỀT LUÂN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cưú chặn trạng thái cho số hệ dương có chậm thời gian, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Hệ thống, làm rõ, cung cấp chứng minh chi tiết số kết cho toán chặn trang thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn ứng dụng tốn chặn trạng thái thơng qua số tốn ví dụ minh họa 61 Tài liêu tham khảo Tiếng Viêt: Tiếng Viêt: [1] V N Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội (2001) Tiếng Anh: [2] Berman A., Plemmons R.J (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Science, Academic Press, New York [3] Bokharaie V.S (2012), Stability Analysis of Positive Systems with Applications to Epidemiology, Hamilton Institute National University of Ireland Maynooth [4] Du, B., Lam, J., Shu, Z., Chen, Y (2016), “ On reachable sets for positive linear systems under constrained exogenous inputs”, Automatica, pp.74, 230-237 [5] Eris O., Ergenc A.F (2016), “Delay scheduling for delayed resonator applications”, IFAC-PapersOnline, 49(10), pp 77-81 [6] Gu K., Kharitonov V.L., Chen J (2002), Stability of Time-Delay Systems, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin [7] Haimovich, H., Seron, M M (2010),“Componentwise ultimate bound and invariant set computation for switched linear systems”, Automatica, 46(11), pp.1897-1901 59 [8] Han X., Fridman E., Spurgeon S.K (2010), “Sliding-mode Control of Uncertain Systems in the Presence of Unmatched Disturbances with Applications”, International Journal of Control, 83, pp 2413-2426 [9] Hien L.V., Trinh H (2014), “A new approach to state bounding for linear timevarying systems with delay and bounded disturbances”, Automatica, 50(6), pp 1735-1738 [10] Kaczorek T (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London [11] Khalil H.K., (2002), Nonlinear Systems (3rd Edition), Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 [12] Kofman E., Haimovich H., Seron M.M (2007), “A systematic method to obtain ultimate bounds for perturbed systems”, International Journal of Control, 80(2), pp 167-178 [13] Liu X., Yu W., Wang L (2009), “Stability analysis of positive systems with bounded time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and SystemsII:Express Briefs, 56(7), pp 600-604 [14] Nam P.T., Hiep L.T (2019), “State bounding for positive coupled differentialdifference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 13(11), pp 1728-1735 [15] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Reachable set bounding for nonlinear perturbed time-delay systems: The smallest bound”, Applied Mathematics Letters, 43(9), pp 68-71 [16] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2016), “Partial state bounding with a prespecified time of non-linear discrete systems with time-varying delays”, IET Control Theory and Applications, 10(13), pp 1496-1502 [17] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2016), “Componentwise ultimate bounds for positive discrete time-delay systems perturbed by interval disturbances”, Automatica, 72, pp 153-157 60 [18] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2018), “Minimization of state bounding for perturbed positive systems with delays”, SIAM Journal on Control and Optimization, 56(3), pp 1739-1755 [19] Ngoc P.H.A., Trinh H (2016), “Novel criteria for exponential stability of linear neutral time-varying differential systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 61(6), pp 1590-1594 [20] Park P.G., Lee W.I., Lee S.Y (2015), “Auxiliary function-based integral inequalities for quadratic functions and their applications to time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(4), pp 1378-1396 [21] Pathirana P.N., Nam P.T., Trinh H (2018), “Stability of positive coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays”, Automatica, 92, pp 259-263 [22] Rami M.A (2009), “Stability analysis and synthesis for linear positive systems with time-varying delays”, Positive Systems, LNCIS, Springer, Berlin Heidelberg, 389, pp 205-215 [23] Shen J., Zheng W.X (2015), “Positivity and stability of coupled differentialdifference equations with time-varying delays”, Automatica, 57, pp 123-127 [24] Trinh H., Nam P.T., Pathirana P.N.(2020),“Linear functional state bounding for positive systems with disturbances varying within a bounded set”, Automatica, 111 , pp.108644] [25] Zuo Z., Fu Y., Wang Y (2012), “Results on reachable set estimation for linear systems with both discrete and distributed delays”, IET Control Theory and Applications, 6, pp 2346-2350 ... 10 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần 14 2.1 Chặn 2.2 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn 14 trạng thái cho hệ rời rạcdương có nhiễu bị chặn ... 33 2.3.3 Chặn trạng thái cho hệ vi-sai phân dương có nhiễu 36 Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn theo chuẩn 41 3.1 Chặn trạng thái cho hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn chuẩn II*H1,1... Chương Chặn trạng thái cho hệ dương có nhiễu bị chặn thành phần Trong chương tơi trình bày ba kết có chặn trạng thái cho hệ: hệ vi phân dương có nhiễu bị chặn, hệ rời rạc dương có nhiễu bị chặn hệ