Trong Giải tích hàm, có rất nhiều bất đẳng thức cơ bản và quan trọng như: Bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Bessel, bất đẳng thức Schwarz 5,... đã và đang được nghiên cứu đem lại những ứng dụng hiệu quả trong nhiều ngành. Đặc biệt, bất đẳng thức Schwarz là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vectơ, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Để ý rằng, khi một vấn đề được giải quyết bằng bất đẳng thức Schwarz theo một chiều, thế thì chiều ngược lại của vấn đề đó giải quyết như thế nào. Từ đó sinh ra bất đẳng thức Schwarz ngược. Do đó chúng ta cần nghiên cứu kĩ hơn về bất đẳng thức Schwarz ngược. Khóa luận đặt mục tiêu trình bày về bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng thức Schwarz ngược trong không gian có tích vô hướng và ứng dụng của bất đẳng thức này.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ NGƯỢC VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên: Võ Xuân Hiếu Chun ngành: Sư phạm Tốn học Khóa: 2014 Đắk Lắk, tháng năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CƠNG NGHỆ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ NGƯỢC VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên: Võ Xuân Hiếu Chuyên ngành: Sư phạm Toán học Người hướng dẫn ThS Dương Quốc Huy Đắk Lắk, tháng năm 2018 LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn ThS Dương Quốc Huy Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cám ơn tời thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, tồn thể giảng viên giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập trường Đại học Tây Nguyên Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp Sư phạm Tốn K14, khoa Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Đắk Lắk, ngày 24 tháng 05 năm 2018 Sinh viên Võ Xuân Hiếu i MỞ ĐẦU Trong Giải tích hàm, có nhiều bất đẳng thức c bn v quan trng nh: Bt ng thc Hăolder, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức Bessel, bất đẳng thức Schwarz [5], nghiên cứu đem lại ứng dụng hiệu nhiều ngành Đặc biệt, bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức thường áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn đại số tuyến tính dùng cho vectơ, giải tích dùng cho chuỗi vơ hạn tích phân tích, lý thuyết xác suất dùng cho phương sai hiệp phương sai Để ý rằng, vấn đề giải bất đẳng thức Schwarz theo chiều, chiều ngược lại vấn đề giải Từ sinh bất đẳng thức Schwarz ngược Do cần nghiên cứu kĩ bất đẳng thức Schwarz ngược Khóa luận đặt mục tiêu trình bày bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức Schwarz ngược khơng gian có tích vơ hướng ứng dụng bất đẳng thức Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức |⟨x, y⟩| ≤ ⟨x, x⟩ ⟨y, y⟩ trường hợp vectơ thực hữu hạn chiều đến năm 1859, học trò Cauchy Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng quát trường hợp khơng gian tích vơ hướng chứng minh Schwarz vào năm 1888 Khơng dừng lại đó, nhà tốn học tìm chứng minh bất đẳng thức Schwarz ngược (thêm lượng để dấu bất đẳng thức Schwarz đổi chiều) Tiêu biểu báo Sever Silvestru Dragomir [3],[4] Ngoài lời mở đầu, danh mục ký hiệu, kết luận, nội dung khóa luận gồm ba chương Chương nhắc lại khái niệm số kiến thức tích vơ hướng, khơng gian có tích vơ hướng khơng gian Hilbert nhằm làm sở cho chương sau Chương cung cấp cho ta bất đẳng thức Schwarz hai loại bất đẳng ii thức Schwarz ngược khơng gian có tích vơ hướng, từ làm tảng cho ứng dụng chương Chương trình bày ứng dụng bất đẳng thức Schwarz ngược cho toán tử tuyến tính, tích phân, dãy, miền số, Do thời gian có hạn nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến chân thành từ q thầy bạn iii Mục lục Mở đầu ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt v Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tích vơ hướng 1.2 Không gian có tích vơ hướng 1.3 Không gian Hilbert Chương Bất đẳng thức Schwarz ngược 2.1 Bất đẳng thức Schwarz 2.2 Bất đẳng thức Schwarz ngược 2.3 Bất đẳng thức Vectơ 13 Chương Ứng dụng bất đẳng thức Schwarz ngược 24 3.1 Ứng dụng cho phiếm hàm tuyến tính bảo tồn thứ tự 24 3.2 Ứng dụng cho tích phân 26 3.3 Ứng dụng cho toán tử tuyến tính 29 3.4 Ứng dụng cho miền số 32 3.5 Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc bất đẳng thức tích phân 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT a.e : almost every (hầu mọi) L2 (X, µ) : hàm bình phương µ − khả tích Lebesgue inf : cận lớn sup : cận nhỏ ||x|| : chuẩn vectơ x l2 : khơng gian dãy bình phương khả tổng C [a, b] : không gian hàm có giá trị phức liên tục đoạn [a, b] l0 : khơng gian tuyến tính chuỗi hữu hạn khác không α ¯ : liên hợp phức α |x| : môđun x N⊥ : phần bù trực giao N Rex : phần thực x M ⊥N : tập M tập N trực giao với C : tập số phức N : tập số tự nhiên R : tập số thực A∗ : toán tử liên hợp toán tử A ⟨x, y⟩ : tích vơ hướng x y ([6], tr 36) : trích dẫn tài liệu số [6] trang 36 v Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nhắc lại tích vơ hướng, khái niệm trang bị cho không gian vectơ X trường F (F trường số phức hay số thực) để biến thành khơng gian Hilbert Ta nhớ lại rằng, x = (x1 , x2 , x3 ) y = (y1 , y2 , y3 ) hai vectơ R3 tích vơ hướng x y x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 Như vậy, độ dài vectơ x ∥x∥ = x1 + x2 + x3 = √ x · x Không gian Hilbert tổng quát tự nhiên không gian Euclide hữu hạn chiều Không gian Hilbert phát sinh thường gặp toán học, vật lý kỹ thuật, thường không gian hàm vô hạn chiều 1.1 Tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.1 ([6], tr 36) Cho X khơng gian tuyến tính trường F Một tích vơ hướng X ánh xạ ⟨·, ·⟩ : X × X → F cho với x, y, z ∈ X với α ∈ F, ta có (i) ⟨x, x⟩ ≥ 0; (ii) ⟨x, x⟩ = ⇔ x = 0; (iii) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩; (iv) ⟨αx, y⟩ = α ⟨x, y⟩; (v) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ Từ (iii) đến (v) ta suy công thức Với x, y, z ∈ X với α, β ∈ F, ta có ⟨αx + βy, z⟩ = α ⟨x, z⟩ + β ⟨y, z⟩ ; (1.1) ⟨x, αy⟩ = α ¯ ⟨x, y⟩; (1.2) ⟨x, αy + βz⟩ = α ¯ ⟨x, y⟩ + β¯ ⟨x, z⟩ (1.3) Cơng thức (1.1) cho thấy tích vơ hướng tuyến tính theo biến thứ Trong (1.3) có liên hợp phức α ¯ β¯ vế phải, ta nói tích vơ hướng liên hợp tuyến tính theo biến thứ hai Kết hợp hai tính chất này, ta nói tích vơ hướng bán song tuyến tính (hay nửa song tuyến tính) ([5], tr 129) Chú ý 1.1.2 Để thuận tiện từ sau khơng nói thêm ta hiểu trường F trường số thực hay trường số phức Ví dụ 1.1.3 Trên khơng gian vectơ n-chiều Fn Cho x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) Fn , ánh xạ ⟨·, ·⟩ : Fn × Fn → F cho n ⟨x, y⟩ = xi yi i=1 tích vơ hướng Fn Ví dụ 1.1.4 Giả sử X = C [a, b], khơng gian hàm có giá trị phức liên tục đoạn [a, b] Cho x, y ∈ X, ánh xạ ⟨·, ·⟩ : X × X → F cho b ⟨x, y⟩ = x(t)y(t)dt a tích vơ hướng X 1.2 Khơng gian có tích vô hướng Định nghĩa 1.2.1 ([6], tr 36) Một không gian có tích vơ hướng (X, ⟨·, ·⟩) khơng gian tuyến tính với tích vơ hướng ⟨·, ·⟩ Một khơng gian có tích vơ hướng cịn gọi không gian tiền Hilbert Sau số ví dụ khơng gian có tích vơ hướng Ví dụ 1.2.2 Cho số nguyên dương n Giả sử X = Fn Cho x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) X, xác định n ⟨x, y⟩ = xi yi i=1 Vì tổng hữu hạn, ⟨·, ·⟩ xác định Nên dễ dàng chứng minh (X, ⟨·, ·⟩) khơng gian có tích vơ hướng Khơng gian Rn (tương ứng Cn ) với tích vơ hướng gọi không gian Euclide n-chiều (tương ứng không gian unita n-chiều) Ví dụ 1.2.3 Giả sử X = l0 , khơng gian tuyến tính chuỗi hữu hạn khác không Cho x = (x1 , x2 , ) y = (y1 , y2 , ) X, xác định ∞ ⟨x, y⟩ = xi yi i=1 Vì thực chất tổng hữu hạn, ⟨·, ·⟩ xác định Nên dễ dàng chứng minh (X, ⟨·, ·⟩) khơng gian có tích vơ hướng Ví dụ 1.2.4 Giả sử X = l2 , không gian tất dãy số thực số ∞ |xi | < ∞ Cho x = (x1 , x2 , ) y = (y1 , y2 , ) phức x = (x1 , x2 , ) với i=1 X, xác định ∞ ⟨x, y⟩ = xi yi i=1 Để chứng minh ⟨·, ·⟩ xác định, ta thấy a b số thực ≤ (a − b) ⇔ ab ≤ a + b2 Ta có |xi yi | = |xi | |yi | ≤ ∞ ⇒ |xi yi | ≤ i=1 2 |xi | + |yi | ∞ ∞ |xi | + i=1 |yi | < ∞ i=1 Vì vậy, ⟨·, ·⟩ xác định tốt (tức chuỗi hội tụ) Một tốn tử tuyến tính T bị chặn không gian Hilbert phức (H, ⟨·, ·⟩) gọi accretive Re⟨T y, y⟩ ≥ với y thuộc H Cho α, β ∈ C A ∈ B(H), mệnh đề sau tương đương: (n) Biến đổi Cα,β (A) accretive; ∗ (nn) Biến đổi Cα, ¯ β¯ (A ) accretive; (nnn) Ta có bất đẳng thức A− α+β I ≤ |β − α| 2 Định lí 3.3.1 ([4], tr 736) Giả sử A tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert phức H, e vectơ đơn vị riêng A với giá trị riêng λ tương ứng (tức Ae = λe, ||e|| = 1) đồng thời giá trị riêng A∗ µ Khi g ∈ H với g = αe + f f ⊥ e ta có 2 2 |α| ∥(A − λI) g∥ ≤ ∥g∥ ∥Ag∥ − |⟨Ag, g⟩| 2 ≤ |α| + ∥f ∥ ∥(A − λI) g∥ (3.8) Chứng minh Áp dụng đồng thức tham số ta viết đẳng thức sau 2 2 ∥g∥ ∥Ag∥ − |⟨Ag, g⟩| = ∥g∥ ∥Ag − λg∥ − |⟨Ag − λg, g⟩| (3.9) Vì tính trực giao f ⊥ e chuẩn vectơ đơn vị riêng ∥e∥ = nên ta có 2 ∥g∥ = |α| + ∥f ∥ Vì e vectơ đơn vị riêng A với giá trị riêng λ tương ứng nên ta có Ag − λg = A (αeλ + f ) − λ (αeλ + f ) = αA (eλ ) + Af − λαeλ − λf = αλeλ + Af − λαeλ − λf = Af − λf (3.10) Vì e vectơ đơn vị riêng A∗ với giá trị riêng µ tương ứng nên ta có |⟨Ag − λg, g⟩| = ⟨A (αe + f ) − λ (αe + f ) , αe + f ⟩ = ⟨αA (e) + Af − λαe − λf, αe + f ⟩ = ⟨Af − λf, αe + f ⟩ 30 = ⟨Af, αe + f ⟩ + ⟨−λf, αe + f ⟩ = ⟨Af, αe⟩ + ⟨Af, f ⟩ + ⟨−λf, αe⟩ + ⟨−λf, f ⟩ =α ¯ ⟨Af, e⟩ + ⟨Af, f ⟩ − λ¯ α ⟨f, e⟩ − λ ⟨f, f ⟩ =α ¯ ⟨f, A∗ e⟩ + ⟨Af, f ⟩ − λ ⟨f, f ⟩ =α ¯ ⟨f, µe⟩ + ⟨Af, f ⟩ − λ ⟨f, f ⟩ = α ¯µ ¯ ⟨f, e⟩ + ⟨Af, f ⟩ − λ ⟨f, f ⟩ = ⟨Af, f ⟩ − λ ⟨f, f ⟩ = ⟨Af − λf, f ⟩ (3.11) Thay đẳng thức vào đẳng thức (3.9) ta nhận 2 ∥g∥ ∥Ag∥ − |⟨Ag, g⟩| 2 = |α| + ∥f ∥ ∥Af − λf ∥ − |⟨Af − λf, f ⟩| (3.12) Vì vậy, rõ ràng 2 ∥g∥ ∥Ag∥ − |⟨Ag, g⟩| 2 ∥Af − λf ∥ − |⟨Af − λf, f ⟩| 2 ∥Af − λf ∥ 2 ∥Ag − λg∥ = |α| + ∥f ∥ ≤ |α| + ∥f ∥ ≤ |α| + ∥f ∥ 2 2 (3.13) Ta vừa chứng minh xong bất đẳng thức thứ hai (3.8) Ngoài ra, áp dụng bất đẳng thức Schwarz (3.12) ta có 2 ∥g∥ ∥Ag∥ − |⟨Ag, g⟩| 2 = |α| + ∥f ∥ 2 ∥Af − λf ∥ − |⟨Af − λf, f ⟩| 2 = |α| ∥Af − λf ∥ + ∥f ∥ ∥Af − λf ∥ − |⟨Af − λf, f ⟩| ≥ |α| ∥Af − λf ∥ , 2 (vì ∥f ∥ ∥Af − λf ∥ − |⟨Af − λf, f ⟩| > 0) Vậy ta chứng minh xong bất đẳng thức thứ (3.8) Mệnh đề 3.3.2 ([4], tr 737) Cho toán tử A tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Hilbert phức H Khi với λ, δ ∈ C với λ ̸= δ ta có bất phương trình 2 ∥Ag∥ ∥g∥ − |⟨Ag, g⟩| ≤ 2 |δ − λ| ∥Ag − λg∥ ∥Ag − δg∥ (3.14) Đẳng thức xảy Ag − λg ⊥ Ag − δg Chứng minh Theo Hệ 2.3.5 chọn x = Ag y = g ta dễ dàng suy điều phải chứng minh 31 3.4 Ứng dụng cho miền số Cho (H; ⟨·, ·⟩) không gian Hilbert phức Miền số toán tử A tập số phức C cho W (A) = {⟨Ax, x⟩ , x ∈ H, ∥x∥ = 1} Bán kính số w(A) toán tử A H cho w(A) = sup {|λ| , λ ∈ W (A)} = sup {|⟨Ax, x⟩| , ∥x∥ = 1} (3.15) Người ta biết w(·) quy tắc đại số Banach B(H) Quy tắc tương đương với quy tắc tốn tử Định lí 3.4.1 (Quy tắc tương đương) ([4], tr 737) Với A ∈ B(H) ta có w(A) ≤ ∥A∥ ≤ 2w(A) (3.16) Sau số bất đẳng thức ngược w(A) ≤ ∥A∥, tức số chặn ∥A∥ − w2 (A) thu Mệnh đề 3.4.2 ([4], tr 737) Với A ∈ B(H) λ ∈ C ta có ≤ ∥A∥ − w2 (A) 2 ≤ ∥A − λI∥ − wi2 (A − λI) ≤ ∥A − λI∥ , (3.17) wi (B) := inf ∥x∥=1 |⟨Bx, x⟩| với B ∈ B(H) Chứng minh Áp dụng đẳng thức (2.10) cho Ax, x ∈ B(H) λ ∈ C ta có 2 2 2 2 ∥Ax∥ ∥x∥ − |⟨Ax, x⟩| = ∥Ax − λx∥ ∥x∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| Hay ∥Ax∥ − |⟨Ax, x⟩| = ∥Ax − λx∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| với ∥x∥ = 32 (3.18) Dùng cận nhỏ x ∈ H, ∥x∥ = 1, ta suy từ (3.18), ta có 2 2 2 2 ∥Ax∥ − |⟨Ax, x⟩| = ∥Ax − λx∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| ⇔ ∥Ax∥ = |⟨Ax, x⟩| + ∥Ax − λx∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| ⇒ sup ∥Ax∥ ≤ sup ∥x∥=1 2 |⟨Ax, x⟩| + ∥Ax − λx∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| ∥x∥=1 2 ⇒ sup ∥Ax∥ ≤ sup |⟨Ax, x⟩| + sup ∥x∥=1 ∥x∥=1 2 ∥Ax − λx∥ − |⟨Ax − λx, x⟩| ∥x∥=1 2 2 ⇒ sup ∥Ax∥ ≤ sup |⟨Ax, x⟩| + sup ∥Ax − λx∥ − inf |⟨Ax − λx, x⟩| ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 2 2 ⇒ sup ∥Ax∥ − sup |⟨Ax, x⟩| ≤ sup ∥Ax − λx∥ − inf |⟨Ax − λx, x⟩| ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 Theo (3.15) wi (B) := inf ∥x∥=1 |⟨Bx, x⟩| với B ∈ B(H) ta suy 2 ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ ∥A − λ∥ − wi2 (A − λ) ≤ ∥A − λ∥ Thay λ = λI vào bất đẳng thức ta 2 ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ ∥A − λI∥ − wi2 (A − λI) ≤ ∥A − λI∥ Vậy mệnh đề chứng minh xong Nhận xét 3.4.3 ([4], tr 738) Ta quan sát thấy rằng, A ∈ B(H) α, β ∈ C cho biến đổi Cα,β (A) accretive ta có bất đẳng thức ≤ ∥A∥ − w2 (A) α+β ≤ A− I 2 α+β ≤ A− I 2 − wi2 A − ≤ α+β I 2 |α − β| (3.19) α+β vào bất đẳng thức (3.17) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ = Ngoài kết thu ([2], Định lý 3) Mệnh đề 3.4.4 ([4], tr 738) Với A ∈ B(H) δ, λ ∈ C với δ ̸= λ 33 ta có ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ ≤ |δ − λ| |δ − λ| 2 ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ − wi2 Cδ,λ (A) 2 ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ (3.20) Chứng minh Áp dụng đẳng thức (2.14), với A ∈ B(H), x ∈ H δ, λ ∈ C với δ ̸= λ ta có 2 ∥Ax∥ ∥x∥ − |⟨Ax, x⟩| |δ − λ| 2 2 = ∥Ax − λx∥ ∥Ax − δx∥ − |⟨Ax − λx, Ax − δx⟩| 2 ⇔ ∥Ax∥ ∥x∥ − |⟨Ax, x⟩| = 2 |δ − λ| 2 ∥Ax − λx∥ ∥Ax − δx∥ − |⟨Ax − λx, Ax − δx⟩| 2 ⇔ ∥Ax∥ ∥x∥ = |⟨Ax, x⟩| + 2 |δ − λ| 2 ⇔ ∥Ax∥ ∥x∥ = |⟨Ax, x⟩| + ∥Ax − λx∥ ∥Ax − δx∥ − |⟨Ax − λx, Ax − δx⟩| |δ − λ| 2 2 × ∥(A − λ)x∥ ∥(A − δ)x∥ − |⟨(A − λ)x, (A − δ)x⟩| Thay λ = λI, δ = δI vào đẳng thức ta 2 ∥Ax∥ ∥x∥ = |⟨Ax, x⟩| + |δI − λI| 2 × ∥(A − λI)x∥ ∥(A − δI)x∥ − |⟨(A − λI)x, (A − δI)x⟩| (3.21) 2 ⇔ ∥Ax∥ ∥x∥ = |⟨Ax, x⟩| + |δ − λ| 2 2 × ∥(A − λI)x∥ ∥(A − δI)x∥ − |⟨(A − λI)x, (A − δI)x⟩| (3.22) 34 Lấy cận nhỏ x ∈ H, ∥x∥ = cho (3.22) ta 2 ∥x∥=1 sup ∥Ax∥ ∥x∥ = sup |⟨Ax, x⟩| + ∥x∥=1 ∥(A − λI)x∥ |δ − λ| 2 × ∥(A − δI)x∥ − |⟨(A − λI)x, (A − δI)x⟩| 2 ⇒ sup ∥Ax∥ ∥x∥ ≤ sup |⟨Ax, x⟩| + sup ∥x∥=1 ∥x∥=1 2 |δ − λ| ∥x∥=1 ∥(A − λI)x∥ 2 × ∥(A − δI)x∥ − |⟨(A − λI)x, (A − δI)x⟩| 2 ⇒ sup ∥Ax∥ ≤ sup |⟨Ax, x⟩| + sup ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 − inf 2 ⇒ sup ∥Ax∥ ≤ sup |⟨Ax, x⟩| + sup ∥x∥=1 ∥x∥=1 ∥x∥=1 − inf |δ − λ| ∥x∥=1 2 |δ − λ| ∥(A − λI)x∥ ∥(A − δI)x∥ |⟨(A − λI)x, (A − δI)x⟩| 2 |δ − λ| ∥(A − λI)x∥ ∥(A − δI)x∥ ¯ (A∗ − δI)(A − λI)x, x Vì ∥x∥ = nên ta suy ∥A∥ ≤ w2 (A) + − |δ − λ| ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ ¯ (A∗ − δI)(A − λI) |δ − λ| ⇒ ∥A∥ ≤ w2 (A) + − 2 2 wi 2 |δ − λ| 2 wi ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ Cδ,λ (A) |δ − λ| Từ suy ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ ≤ |δ − λ| |δ − λ| 2 |δ − λ| ∥x∥=1 ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ − wi2 Cδ,λ (A) 2 ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ Vậy mệnh đề chứng minh xong 35 Nhận xét 3.4.5 ([4], tr 738) Nếu A ∈ B(H) α, β, χ, ψ ∈ C với α + β ̸= χ + ψ cho biến đổi Cα,β (A) Cχ,ψ (A) accretive ta có chuỗi bất đẳng thức ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ χ+ψ − α+β 2 ≤ χ+ψ − α+β 2 α+β A− I 2 ≤ α+β I A− 2 χ+ψ A− I χ+ψ A− I − wi2 C χ+ψ , α+β (A) 2 2 |α − β| |χ − ψ| |χ + ψ − α − β|2 (3.23) α+β χ+ψ ,δ = vào bất đẳng 2 thức (3.20) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ = Các kết sau cho lũy thừa toán tử: w(An ) ≤ wn (A) (3.24) với n ≥ tốn tử A tuyến tính bị chặn Trường hợp quan tâm n = cho ta số đảo ngược sau: Mệnh đề 3.4.6 ([4], tr 739) Nếu A ∈ B(H) λ, δ, γ, η ∈ C với λ ̸= δ γ ̸= η ≤ w2 (A) − w A2 ≤ ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ ∥A∗ − γI∥ ∥A∗ − ηI∥ |λ − δ| |γ − η| (3.25) Chứng minh Từ (3.24) ta suy ≤ ∥A∥ − w2 (A) Nếu ta chọn x = Au, y = A∗ u với u ∈ H ∥u∥ = bất đẳng thức 36 (2.21) ta Au, A∗ u − ⟨Au, u⟩ ⟨u, A∗ u⟩ = ≤ ∥Au − λu∥ ∥Au − δu∥ ∥A∗ u − γu∥ ∥A∗ u − ηu∥ |λ − δ| |γ − η| − |⟨Au − λu, Au − δu⟩| ≤ A2 u, u − ⟨Au, u⟩ A∗ u − γu, A∗ u − ηu ∥Au − λu∥ ∥Au − δu∥ ∥A∗ u − γu∥ ∥A∗ u − ηu∥ |λ − δ| |γ − η| (3.26) Bởi tính chất mơđun nên ta có A2 u, u |⟨Au, u⟩| − ≤ A2 u, u − ⟨Au, u⟩ (3.27) với u ∈ H Từ bất đẳng thức (3.26) (3.27) ta có |⟨Au, u⟩| ≤ + A2 u, u ∥Au − λu∥ ∥Au − δu∥ ∥A∗ u − γu∥ ∥A∗ u − ηu∥ |λ − δ| |γ − η| (3.28) với u ∈ H ∥u∥ = Lấy cận với ∥u∥ = (3.28), ta sup |⟨Au, u⟩| ≤ sup ∥u∥=1 A2 u, u + ∥u∥=1 |λ − δ| |γ − η| × ∥Au − λu∥ ∥Au − δu∥ ∥A∗ u − γu∥ ∥A∗ u − ηu∥ ≤ sup A2 u, u ∥u∥=1 ∥u∥=1 |λ − δ| |γ − η| + sup × ∥Au − λu∥ ∥Au − δu∥ ∥A∗ u − γu∥ ∥A∗ u − ηu∥ = sup ∥u∥=1 A2 u, u ∥u∥=1 |λ − δ| |γ − η| + sup × ∥(A − λ)u∥ ∥(A − δ)u∥ A∗ − γ u A∗ − η u (3.29) 37 Từ (3.15) (3.29) ta suy ≤ w2 (A) − w A2 ≤ ∥A − λ∥ ∥A − δ∥ ∥A∗ − γ∥ ∥A∗ − η∥ |λ − δ| |γ − η| Thay λ = λI, δ = δI, γ = γI, η = ηI vào bất đẳng thức ta ≤ w2 (A) − w A2 ≤ ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ ∥A∗ − γI∥ ∥A∗ − ηI∥ |λI − δI| |γI − ηI| Suy ≤ w2 (A) − w A2 ≤ ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ ∥A∗ − γI∥ ∥A∗ − ηI∥ |λ − δ| |γ − η| Vậy mệnh đề chứng minh xong Hệ 3.4.7 ([4], tr 739) Nếu A ∈ B(H) λ, δ ∈ C với λ ̸= δ ≤ w2 (A) − w A2 ≤ 2 |λ − δ| ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ (3.30) ¯ η = δ¯ ta Chứng minh Trong bất đẳng thức (3.28) chọn γ = λ, ≤ w2 (A) − w A2 ≤ ∗ ¯ ¯ − δ¯ ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ A − λI |λ − δ| λ ¯ A∗ − δI Mặt khác ta lại có ¯ − δ¯ = λ − δ = |λ − δ| λ ¯ = A∗ − λI ¯ A∗ − λI ¯ A∗ − λI, ¯ + −λI, ¯ A∗ + −λI, ¯ −λI ¯ = ⟨A∗ , A∗ ⟩ + A∗ , −λI 1/2 1/2 = (⟨A, A⟩ + ⟨−λ, AI⟩ + ⟨AI, −λ⟩ + ⟨−λI, −λI⟩) = ⟨A, A⟩ − I ⟨−λ, AI⟩ − I ⟨AI, −λ⟩ + ⟨−λI, −λI⟩ 1/2 = (⟨A, A⟩ + ⟨−Iλ, −IAI⟩ + ⟨−IAI, −Iλ⟩ + ⟨−λI, −λI⟩) 1/2 = (⟨A, A⟩ + ⟨−Iλ, A⟩ + ⟨A, −Iλ⟩ + ⟨−λI, −λI⟩) = ∥A − λI∥ 38 1/2 Từ suy ≤ w2 (A) − w A2 ≤ 2 |λ − δ| ∥A − λI∥ ∥A − δI∥ Vậy hệ chứng minh xong Nhận xét 3.4.8 ([4], tr 739) Nếu A ∈ B(H) α, β, χ, ψ ∈ C với α + β ̸= χ + ψ cho biến đổi Cα,β Cχ,ψ accretive ta có chuỗi bất đẳng thức ≤ ∥A∥ − w2 (A) ≤ χ+ψ − α+β 2 α+β A− I 2 χ+ψ A− I 2 |α − β| |χ − ψ| ≤ |χ + ψ − α − β|2 (3.31) α+β χ+ψ ,δ = vào bất đẳng 2 thức (3.30) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ = 3.5 Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc bất đẳng thức tích phân Các dạng rời rạc tích phân bất đẳng thức Cauchy-BunyakovskySchwarz đóng vai trị quan trọng nhiều ứng dụng Giải tích tốn học Ở đây, khóa luận nêu vài ứng dụng bất đẳng thức (2.17) cho hàm giá trị vectơ dạng rời rạc dạng tích phân khơng gian Hilbert Lưu ý trường hợp không gian Hilbert lấy trường số phức C, với tích vơ hướng ⟨z, w⟩ := zw, z, w ∈ C Cho (H, ⟨·, ·⟩) không gian Hilbert trường F, pj ≥ 0, j ∈ N với ∞ j=1 pj = Xét lp2 (H) không gian ∞ lp2 (H) := x = (xj )j∈N xj ∈ H, j ∈ N pj ∥xj ∥ < ∞ j=1 39 Không gian lp2 (H) không gian Hilbert trường F trang bị tích vơ hướng ∞ j=1 ⟨x, y⟩p := pj ⟨xj , yj ⟩ Chuẩn ∥ · ∥p lp2 (H) cho ∞ j=1 ∥x∥p := 1/2 pj ∥xj ∥ Nếu x, y ∈ lp2 (H) ta có bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz dạng rời rạc sau pj ∥xj ∥ 2 pj ⟨xj , yj ⟩ pj ∥yj ∥ ≥ j=1 j=1 ∞ ∞ ∞ (3.32) j=1 đẳng thức xảy tồn λ ∈ F cho xj = λyj với j ∈ N (tức xj yj phụ thuộc tuyến tính) Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ngược (2.17) ta đưa bất đẳng thức ngược cho (3.32) ∞ ∞ 0≤ ≤ pj ∥xj ∥ j=1 pj ∥yj ∥ − j=1 ∞ pj ∥xj − λyj ∥ |δ − λ| pj ⟨xj , yj ⟩ j=1 ∞ ∞ 2 pj ∥xj − δyj ∥ , (3.33) j=1 j=1 λ, δ ∈ C với λ ̸= δ Đặc biệt cho λ = 1, δ = −1, ta có ∞ ∞ 0≤ pj ∥xj ∥ j=1 ≤ ∞ pj ∥yj ∥ − j=1 pj ⟨xj , yj ⟩ j=1 ∞ ∞ 2 pj ∥xj − yj ∥ j=1 pj ∥xj + yj ∥ , (3.34) j=1 Hơn nữa, tồn số dương M N cho ∥xj − yj ∥ ≤ M ∥xj + yj ∥ ≤ N với j ∈ N ta có ∞ ∞ 0≤ pj ∥xj ∥ j=1 pj ∥yj ∥ − j=1 ∞ pj ⟨xj , yj ⟩ j=1 40 ≤ 2 M N (3.35) Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức (3.32),(3.33) (3.34) Bây ta chứng minh (3.35), ta có ∞ 0≤ pj ∥xj ∥ j=1 ≤ ≤ ∞ ∞ pj ⟨xj , yj ⟩ pj ∥yj ∥ − j=1 j=1 ∞ ∞ pj ∥xj + yj ∥ pj ∥xj − yj ∥ j=1 j=1 ∞ ∞ pj M j=1 pj N j=1 ∞ = M 2N pj = j=1 Giả sử (K, ⟨·, ·⟩) không gian Hilbert trường số thực số phức F Nếu ρ : [a, b] ⊂ R → [0, ∞) hàm khả tích Lebesgue với b a ρ(t)dt = ta xét không gian L2ρ ([a, b]; K) hàm f : [a, b] → K, đo Bochner b a ρ(t) ∥f (t)∥ dt < ∞ Khơng gian L2ρ ([a, b]; K) với tích vơ hướng cho ⟨f, g⟩ρ := b a ρ(t) ⟨f (t), g(t)⟩ dt b a ρ(t) ∥f (t)∥ dt sinh chuẩn ∥f ∥ρ := 1/2 , không gian Hilbert trường F Sau bất đẳng thức CauchyBunyakovsky-Schwarz dạng tích phân b b ρ(t) ∥f (t)∥ dt a b ρ(t) ∥g(t)∥ dt ≥ ρ(t) ⟨f (t), g(t)⟩ dt a (3.36) a với f, g ∈ L2ρ ([a, b]; K) đẳng thức xảy tồn λ ∈ F cho f (t) = λg(t) với t ∈ [a, b] Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ngược (2.17) ta đưa bất đẳng thức ngược cho (3.36) b 0≤ b ρ(t) ∥f (t)∥ dt a ≤ |λ − δ|2 b ρ(t) ⟨f (t), g(t)⟩ dt ρ(t) ∥g(t)∥ dt − a a b b ρ(t) ∥f (t) − λg(t)∥ a a 41 ρ(t) ∥f (t) − δg(t)∥ , (3.37) λ, δ ∈ C với λ ̸= δ Đặc biệt cho λ = 1, δ = −1, ta có b 0≤ ρ(t) ∥f (t)∥ dt a ≤ b ρ(t) ⟨f (t), g(t)⟩ dt ρ(t) ∥g(t)∥ dt − a a b b b ρ(t) ∥f (t) − g(t)∥ a ρ(t) ∥f (t) + g(t)∥ (3.38) a Nếu tồn số dương P Q cho ∥f (t) − g(t)∥ ≤ P ∥f (t) + g(t)∥ ≤ Q với t ∈ [a, b] b 0≤ ρ(t) ∥f (t)∥ dt a ≤ b ρ(t) ∥g(t)∥ dt − a b ρ(t) ⟨f (t), g(t)⟩ dt a 2 P Q (3.39) 42 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày bất đẳng thức Schwarz ngược với số ứng dụng quan trọng khơng gian có tích vơ hướng cách chi tiết phần chứng minh nhằm đem lại cho người đọc cách nhìn tổng quan dễ hiểu làm quen với bất đẳng thức Schwarz ngược ứng dụng Cụ thể kết khóa luận bao gồm: Tìm hiểu trình bày lại nội dung bất đẳng thức Schwarz ngược số ứng dụng cho phiếm hàm tuyến tính bảo tồn thứ tự, tích phân, tốn tử tuyến tính, dãy, miền số Chứng minh chi tiết số Bổ đề, Định lí, Mệnh đề Hệ mà báo chứng minh ngắn gọn Định lí 2.2.1, Bổ đề 2.3.1, Bổ đề 2.3.4, Mệnh đề 3.4.2, Mệnh đề 3.4.4, Mệnh đề 3.4.6, Hệ 3.4.7 Tự chứng minh làm rõ số vấn đề mà báo nói đơn giản dễ thấy Hệ 2.3.2, Định lí 2.2.1, Hệ 2.3.5, Nhận xét 2.3.6, Hệ 2.3.7, Hệ 3.2.3 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2012), Giáo trình Giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh: [2] S S Dragomir (2008), New inequalities of the Kantorovich type for bounded linear operators in Hilbert spaces, Linear Algebra Appl Page 2750–2760 [3] S S Dragomir (2015) Reverses of Schwarz inequality in inner product spaces with applications: Reverses of Schwarz inequality in inner product paces, Mathematische Nachrichten [4] S S Dragomir (2015), "Reverses of Schwarz inequality in inner product spaces with applications", Math Nachr., (288, No 7) Page 730–742 [5] Erwin Kreyszing (1989), Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons., Inc [6] Mr Andrew Pinchuck (2011), Functional analysis notes, Rhodes University [7] Yutaka Yamamoto (2012), From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications, the Society for Industrial and Applied Mathematics 44 ... Chương Bất đẳng thức Schwarz ngược Bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức quen thuộc với ứng dụng nhiều giải tích hàm Khi ta thêm lượng vào bất đẳng thức Schwarz để dấu đổi chiều ta bất đẳng thức Schwarz. .. = vào bất đẳng 2 thức (3.30) ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức Theo bất đẳng thức (2.4) thay λ = 3.5 Ứng dụng cho bất đẳng thức rời rạc bất đẳng thức tích phân Các dạng rời rạc tích phân bất. .. 2.1 Bất đẳng thức Schwarz 2.2 Bất đẳng thức Schwarz ngược 2.3 Bất đẳng thức Vectơ 13 Chương Ứng dụng bất đẳng thức Schwarz ngược