Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS LÊ CÔNG TRÌNH Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết đề tài “Một số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử ” cơng trình nghiên cứu hướng dẫn TS Lê Công Trình Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, tháng 07 năm 2019 Học viên thực đề tài Châu Thị Huỳnh Trâm i Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 1.2 Định lý phân tích phổ giá trị toán tử hàm số 1.3 Toán tử nửa xác định dương xác định dương 1.4 Phép nối trung bình tốn tử Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu tốn tử 10 2.1 Hàm lồi lơgarit toán tử 10 2.2 Đơn điệu toán tử, lồi lơgarit tốn tử, trung bình tốn tử 14 2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử dương qua trung bình tốn tử 24 2.4 Thêm số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình tốn tử 29 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học 33 3.1 Các trung bình số đặc trưng hàm đơn điệu 34 3.2 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học 37 3.3 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học có trọng 44 KẾT LUẬN 46 ii TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 49 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực không âm H : Khơng gian Hilbert B(H) : Tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn H B(H)+ : Tập hợp tốn tử tuyến tính nửa xác định dương H B(H)++ : Tập tốn tử tuyến tính xác định dương H x, y : Tích vơ hướng vectơ x y Cn : Không gian vectơ phức n chiều Mn (C) : Tập hợp ma trận vng phức cấp n A∗ : Tốn tử liên hợp toán tử A A−1 : Toán tử nghịch đảo toán tử A I : Toán tử đơn vị A ≥ : Toán tử A nửa xác định dương A > : Toán tử A xác định dương λ(A) : Giá trị riêng toán tử A σ(A) : Phổ toán tử A ||A|| : Chuẩn toán tử toán tử A A B : Trung bình số học hai tốn tử A B A!B : Trung bình điều hịa hai tốn tử A B A#B : Trung bình hình học hai tốn tử A B λ : Trung bình số học với trọng số λ !λ : Trung bình điều hịa với trọng số λ #λ : Trung bình hình học với trọng số λ log : Hàm lôgarit sinh(t) : Hàm sin hyperbolic t cosh(t) : Hàm cos hyperbolic t MỞ ĐẦU Cho H không gian Hilbert (tách được) vô hạn chiều Ký hiệu B(H) tập hợp toán tử tuyến tính bị chặn H; B(H)+ tập hợp B(H) gồm tốn tử tuyến tính nửa xác định dương; B(H)++ tập B(H)+ gồm tốn tử tuyến tính khả nghịch Cho f : (0, +∞) → R hàm liên tục f gọi hàm đơn điệu toán tử (rõ hơn, đơn điệu tăng toán tử ) với A, B ∈ B(H)++ , A ≥ B ⇒ f (A) ≥ f (B), A ≥ B có nghĩa A − B tốn tử nửa xác định dương f gọi hàm lồi toán tử với A, B ∈ B(H)++ với λ ∈ [0, 1], f (λA + (1 − λ)B) ≤ λf (A) + (1 − λ)f (B) Lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử lớp hàm quan trọng Giải tích ma trận Lý thuyết toán tử Vào năm 1930, lý thuyết hàm đơn điệu toán tử khởi xng bi Lăowner [12], sau ú Kraus [10] ó tiếp tục phát triển lý thuyết hàm lồi toán tử Gần nửa kỷ sau, lý thuyết đại lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử đưa Hansen Pedersen [8] Đã có nhiều đặc trưng đưa cho lớp hàm đơn điệu/lồi tốn tử, chủ yếu dựa vào trung bình toán tử bất đẳng thức toán tử Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu số đặc trưng lớp hàm đơn điệu toán tử qua trung bình tốn tử Ngồi Mở đầu, Mục lục, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết toán tử không gian Hilbert với số kết liên quan đến chương sau luận văn Chương Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu toán tử Trong chương chúng tơi trình bày báo Ando Hiai [2] số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua đặc trưng hàm lồi lơgarit tốn tử Chương Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua trung bình hình học Trong chương chúng tơi trình bày báo Dinh, Dumitru Franco [5] số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua trung bình hình học Luận văn hồn thành sau hai năm học tập rèn luyện Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy Lê Cơng Trình Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q Thầy, Cơ giảng dạy khoa Tốn Thống kê Trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng trình thực luận văn hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết dùng chương sau luận văn, gồm: Toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert, định lý phân tích phổ, giá trị tốn tử hàm số, hàm đơn điệu toán tử, hàm lồi toán tử, Các khái niệm kết chương chúng tơi trình bày từ sách Hiai Petz [9] 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert Cho H không gian Hilbert phức Ký hiệu B(H) khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn H Chú ý dim H = n, B(H) đồng với tập hợp Mn (C) gồm ma trận vuông phức cấp n Với A ∈ B(H), ký hiệu A := sup { Ax : x ∈ H, x = 1} < +∞ gọi chuẩn (toán tử ) toán tử A A gọi co rút (contraction) A ≤ A gọi tự liên hợp (hay Hermite) A = A∗ , A∗ toán tử liên hợp A, định nghĩa A∗ x, y = x, Ay , ∀x, y ∈ H 35 Định lý 3.1.1 Gọi M trung bình số đối xứng R+ cho # < M Nếu số thực ≤ a, b, √ f ( ab) ≤ f (M (a, b)), (3.3) hàm f : (0, +∞) −→ R đơn điệu tăng (0, +∞) Chứng minh Để chứng minh định lý, ta phải với < x ≤ y , tồn a, b > cho x = √ ab y = M (a, b) = ah(b/a), h(t) = M (1, t) hàm đại diện M Hoặc, tương đương, với y0 ≥ 1, √ tồn a, b > cho = ab y0 = M (a, b) = a−1 h(a2 ) (vì đồng thức đầu tiên) Hàm ϕ(t) = t−1 h(t2 ) toàn ánh từ (0, ∞) tới [1, γ), đó, γ = limt→∞ (ϕ(t)) > Do đó, với ≤ y0 < γ , tồn a > cho y0 = a−1 h(a2 ) Cho nên, < x ≤ y ≤ γx, lập luận trước suy f (x) ≤ f (y) Nếu y > γx, tương đương y0 > γ , gọi γ0 ∈ (1, γ) xét dãy {γ0n }n∈N Vì {γ0n } → ∞ n → ∞, tồn k ∈ N cho < x < γ0 x ≤ ≤ γ0k x ≤ y < γ0k+1 x Do đó, lập luận trước rằng: f (x) < f (γ0 x) ≤ ≤ f (γ0k x) ≤ f (y) Vì vậy, f đơn điệu tăng R+ Bây bất đẳng thức trung bình Heinz trung bình Heron cho số đặc trưng cho tính đơn điệu Định lý 3.1.2 ([5, Theorem 2]) Một hàm f liên tục [0, ∞) đơn điệu tăng với cặp số dương x, y s ∈ (0, 1/2) ∪ (1/2, 1), f xs y 1−s + x1−s y s α(s) = 2s − ≤ f α(s)2 x+y √ + (1 − α(s)2 ) xy , (3.4) 36 Chứng minh Điều kiện cần cho tính đơn điệu f suy từ (3.2) tính đơn điệu Do ta cần chứng minh điều kiện đủ Cho hai số dương a ≤ b Ta tồn số dương x y cho a= x+y xs y 1−s + x1−s y s √ , b = α(s)2 + (1 − α(s)2 ) xy 2 (3.5) Khi f (a) ≤ f (b), tức f hàm đơn điệu tăng Nếu x y tồn vậy, từ (3.5) ta có a xs y 1−s + x1−s y s = √ b α(s)2 (x + y) + 2(1 − α(s)2 ) xy (y/x)α(s)/2 + (y/x)−α(x)/2 α(s)2 ((y/s)1/2 + (y/x)−1/2 ) + 2(1 − α(s)2 ) cosh(α(s)c) = , α(s) cosh(c) + (1 − α(s)2 ) = e2c = y/x Ta định nghĩa fα (c) = cosh(αc) α2 cosh(c) + (1 − α2 ) fα : [0, ∞) → (0, 1] song ánh Thật vậy, ý fα (0) = lim fα (c) = c→∞ Do fα liên tục áp dụng Định lý giá trị trung bình, nên hàm fα : [0, ∞) → (0, 1] tồn ánh Hơn nữa, ta chứng tỏ hàm fα : [0, ∞) → (0, 1] đơn ánh Để chứng minh điều này, ta cần chứng tỏ fα đơn điệu [0, ∞) Vì vậy, ý d fα (c) ≤ dc gα (c) := αsinh(αc)(α2 cosh(c) + (1 − α2 )) − α2 sinh(c)cosh(αc) ≤ Vì gα (0) = 0, ta cần chứng minh gα đơn điệu giảm [0, ∞) Lấy đạo hàm theo biến c, ta có được, d gα (c) = 2α(−1 + α2 )cosh(cα)sinh(c/2)2 , dc 37 rõ ràng không dương c ≥ Do đó, hàm fα : [0, ∞) → (0, 1] song ánh Để có nghiệm (3.5), cố định s ∈ (0, 1/2) ∪ (1/2, 1) đặt −1 c = fα(s) (a/b) Với điều này, ta có x y thỏa mãn (3.5) Chú ý 3.1.3 Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức sau thỏa mãn với số không âm x ≤ y : √ (1) f (x) ≤ f ( xy); (2) f x+y (3) f xs y 1−s + x1−s y s ≤ f (y); ≤ f (|2s − 1| x+y √ + (1 − |2s − 1|) xy) hàm f đơn điệu tăng R+ 3.2 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học Trong phần sử dụng đặc trưng trung bình đối xứng đưa [3] trung bình tự liên hợp đưa [6] để thiết lập dạng ma trận cho kết phần trước Trước hết chúng tơi trình bày định nghĩa trung bình tốn tử đối xứng Định nghĩa 3.2.1 Cho f : R+ → R+ Ta nói f đối xứng (hoặc f ∈ Fop ) f thỏa mãn điều kiện sau: (1) f đơn điệu toán tử; (2) tf (t−1 ) = f (t) với t ∈ R+ , (3) f (1) = Trong [3], Audenaert cộng giới thiệu thứ tự tập hợp hàm đối xứng sau 38 Định nghĩa 3.2.2 Với f, g ∈ Fop , định nghĩa ψ(t) = Ta nói f t + f (t) , t > g(t) g ψ ∈ Fop Rõ ràng, f ∈ Fop , 2t 1+t f (t) 1+t trường hợp đặc biệt này, ψ(t) = t−1 f (t) ψ(t) = f (t) hai hàm đơn điệu toán tử Chú ý thứ tự mạnh thứ tự thông thường ≤ Tức là, f g f ≤ g Theo [3, Proposition 2.1] điều kiện f ∈ Fop suy f có biểu diễn tích phân dạng f (t) = + t H(t) e , (3.6) H(t) = (λ2 − 1)(1 − t)2 h(λ)dλ (t + λ)(1 + tλ)(λ + 1)2 h : [0, 1] → [0, 1] hàm đo xác định f hầu khắp nơi, ký hiệu hf Các tác giả [3] chứng tỏ f Nếu f g ⇒ hf ≥ hg hầu khắp nơi g hf = hg tập có độ đo khác 0, ta nói f ≺ g Bổ đề 3.2.3 ([5, Lemma 4]) Cho f ∈ Fop định nghĩa ϕ(t) = t−1 f (t2 ) Khi đó, (1) Nếu √ · ≺ f , ϕ đơn điệu giảm (0, 1) đơn điệu tăng (1, ∞) (2) Nếu √ · f ϕ đơn điệu tăng (0, 1) đơn điệu giảm (1, ∞) Chứng minh Xét đạo hàm ϕ (t) = −t−2 f (t2 ) + 2f (t2 ) 39 Để chứng tỏ tính đơn điệu ϕ hàm thực, ta cần chứng tỏ 2tf (t) ≶ f (t) phụ thuộc vào khoảng xác định quan hệ thứ tự xét Theo (3.6), ta xét 2tf (t) = teH(t) (1 + (1 + t)H (t)) ≶ f (t) H (t) ≶ 1−t 2t(1 + t) Bằng cách tính tốn chi tiết H (t), ta H (t) = 1 − (t + λ)2 (1 + tλ)2 h(λ)dλ = (1 − λ2 )(1 − t2 ) h(λ)dλ (t + λ)2 (1 + tλ)2 Dễ thấy h(λ) thay hàm , tích phân trở thành Bây giờ, giả sử √ 1−t (1 − λ2 )(1 − t2 ) dλ = 2 (t + λ) (1 + tλ) 2t(1 + t) · ≺ f t ∈ (0, 1) Trong trường hợp này, h(λ) ≤ 1/2 biểu thức dấu tích phân, (1 − λ2 )(1 − t2 ) h(λ) ≥ (t + λ)2 (1 + tλ)2 với (t, λ) ∈ (0, 1) × [0, 1] Do đó, H (t) ≤ 1−t , 2t(1 + t) điều chứng tỏ ϕ đơn điệu giảm (0,1) Khi t ∈ (1, ∞) biểu thức dấu tích phân không dương, bất đẳng thức trở thành ngược, suy ϕ đơn điệu tăng khoảng Trường hợp √ · f cho tương tự, trường hợp h(λ) ≥ 1/2 Bổ đề 3.2.4 ([5, Lemma 6]) Cho σ trung bình tốn tử đối xứng R+ với hàm đại diện f cho √ · ≺ f (tương ứng, √ · f ) đặt γ := limt→∞ f (t2 )/t Khi đó, X Y tốn tử xác định dương 40 cho X ≤ Y < γX (tương ứng, γX < Y ≤ X ), tồn toán tử dương A B cho X = A#B Y = AσB Chứng minh Chú ý rằng, ta chứng tỏ với T ≤ X −1/2 Y X −1/2 := Y0 ≤ γIn ta tìm tốn tử dương A0 B0 cho: In = A0 #B0 Y0 = A0 σB0 , ta có kết mong muốn cách chọn A := X 1/2 A0 X 1/2 B := X 1/2 B0 X 1/2 Điều tương đương với toán sau: Cho In ≤ Y0 ≤ γIn Tìm A0 ≥ cho Y0 = A0 σA−1 Vì vậy, định nghĩa ϕ(t) = tσt−1 = tf (t−2 ) Bởi tính đối xứng, ta có ϕ(t) = t−1 f (t2 ) Vì ϕ(t) liên tục [1, ∞) ϕ(1) = f (1) = 1, nên hàm ϕ song ánh từ [1, ∞) đến [1, γ) Và vậy, ta định nghĩa A0 = ϕ−1 (Y0 ) Điều suy kết mong muốn Phép chứng minh cho trường hợp √ · f giống trên, trường hợp sử dụng ϕ : [1, ∞) → (γ, 1] song ánh Định lý sau đặc trưng hàm đơn điệu toán tử [0, +∞) Định lý 3.2.5 ([5, Theorem 11]) Cho σ trung bình tốn tử đối xứng R+ với hàm đại diện f cho √ · ≺ f Khi đó, g(A#B) ≤ g(AσB), (3.7) với tốn tử nửa xác định dương A B , hàm g đơn điệu tốn tử R+ Mặt khác, nếu, √ · f g(A#B) ≥ g(AσB) g đơn điệu tốn tử R+ (3.8) 41 Chứng minh Giả sử ta có với (3.7) với √ · ≺ f Gọi f ϕ giống chứng minh Bổ đề 3.2.4, tức là, f hàm đại diện trung bình tốn tử đối xứng σ ϕ(t) = tσt−1 = tf (t−2 ) Giả sử f √ · chọn γ0 ∈ (1, γ) Cho < X ≤ Y Y0 = X −1/2 Y X −1/2 Xét phân tích phổ, Y0 = n i=1 λi Pi , với giá trị riêng λi xếp theo thứ tự khơng tăng Khi đó, tồn tập hợp số nguyên không tăng {mi | ≤ i ≤ n} cho γ0mi < λi ≤ γ0mi +1 Đặc biệt, ta có n−1 n−1 I < γ0 I < γ02 I < < k γ0mn I < λ n Pn + mn−k λn−j Pn−j + j=0 ≤ λ n Pn + γ0mn +1 Pi < i=1 n−k−1 m +1 λn−j Pn−j + γ0 n−k Pi j=0 i=1 i=1 k n−k−1 ≤ γ0mn Pi γ0 Pi ≤ i=1 ≤ ≤ Y0 ≤ γ0m1 I Nhân hai bên hạng tử chuỗi bất đẳng thức với X 1/2 , ta nhận chuỗi bất đẳng thức ≤ X ≤ γ0 X ≤ γ02 X < < Y ≤ γ0m1 X Bây giờ, xét hạng tử thứ k k + chuỗi Chúng thỏa mãn bất đẳng thức Zk := k 1/2 P 1/2 n−j X j=0 λn−j X + n−k−1 mn−k 1/2 X Pi X 1/2 γ0 i=1 k ≤ Zk+1 := n−k−1 λn−j X 1/2 Pn−j X 1/2 j=0 ≤γ mn−k +1 γ0 + X 1/2 Pi X 1/2 i=1 k 1/2 P 1/2 n−j X j=0 λn−j X + n−k−1 mn−k 1/2 γ0 X Pi X 1/2 i=1 = γZk Do đó, Bổ đề 3.2.4 suy tồn toán tử dương Ak Bk cho: Zk = Ak #Bk Zk+1 = Ak σBk g(X) ≤ g(Z1 ) ≤ g(Z2 ) ≤ ≤ g(Zn ) = g(Y ) 42 Tương tự, (3.8) thỏa mãn với √ · f , ta chứng minh g đơn điệu toán tử Sau chúng tơi trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình tốn tử tự liên hợp Định nghĩa 3.2.6 Một trung bình toán tử σ gọi tự liên hợp thỏa mãn (AσB)−1 = A−1 σB −1 với A, B > Định nghĩa 3.2.7 Cho f : R+ → R+ Ta nói f ∈ ε thỏa mãn điều kiện sau: (1) f đơn điệu toán tử , (2) f (t−1 ) = f (t)−1 với t ∈ R+ Hansen [6] chứng tỏ tồn tương ứng 1-1 lớp trung bình tốn tử tự liên hợp với hàm thuộc lớp ε Hansen [6] chứng minh f ∈ ε có biễn tích phân dạng t + λ − t − λt f (t) = exp h(λ)dλ, −1 h : [−1, 0] → [0, 1] hàm đo được, xác định f , ký hiệu hf Tương tự trước ta định nghĩa thứ tự Định nghĩa 3.2.8 Cho f, g ∈ ε Ta nói f sa ε g f g −1 đơn điệu toán tử Nếu f sa g hf = hg tập có độ đo khác khơng, ta nói f Mệnh đề 3.2.9 ([5, Proposition 9]) Cho f, g ∈ ε Khi đó, f sa sa g g hf ≥ hg hầu khắp nơi Chứng minh Chú ý rằng, f, g ∈ ε suy (f /g)(t−1 ) = ((f /g)(t))−1 Vì vậy, yêu cầu f g −1 đơn điệu toán tử tương đương với yêu cầu f g −1 ∈ ε Do đó, tồn lớp hàm đo hf g−1 : [−1, 0] → [0, 1] cho (f g −1 )(t) = exp −1 t + λ − t − λt hf g−1 (λ)dλ, 43 hf g−1 (λ) = hf (λ) − hg (λ) hầu khắp nơi Điều cần chứng minh suy từ nhận xét Bổ đề 3.2.10 ([5, Lemma 11]) Cho f ∈ ε định nghĩa ϕ(t) = t−1 f (t2 ) Khi √ (1) Nếu · sa f ϕ đơn điệu tăng (0, +∞) √ (2) Nếu · sa f ϕ đơn điệu giảm (0, +∞) Chứng minh Như trước đó, để chứng minh tính đơn điệu ϕ, ta cần chứng tỏ 2tf (t) ≶ f (t) (3.9) phụ thuộc vào khoảng xác định quan hệ thứ tự xét Với biểu thức tích phân f , (3.9) trở thành: t + (λ − t) (1 − λt)2 2t h(λ)dλ ≶ −1 Kết cần chứng minh suy từ tính khơng âm biểu thức dấu tích √ phân với h(λ) = 1/2, f (t) = t t + (λ − t) (1 − λt)2 dλ = t −1 Sử dụng lập luận giống Bổ đề 3.2.4 Định lý 3.2.5, ta chứng minh đặc trưng sau cho hàm đơn điệu toán tử qua trung bình tốn tử tự liên hợp Định lý 3.2.11 ([5, Theorem 12]) Cho σ trung bình toán tử tự liên hợp √ R+ với hàm đại diện f cho · ≺sa f Khi đó, g(A#B) ≤ g(AσB) (3.10) với tốn tử dương A B cho A < B, hàm g đơn điệu tốn tử √ R+ Mặt khác, nếu, · sa f g(A#B) ≥ g(AσB), với tốn tử dương vậy, g đơn điệu toán tử R+ (3.11) 44 3.3 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học có trọng Từ bất đẳng thức (3.2) có bất đẳng thức sau cho trung bình ma trận: A#B ≤ A sB + A 1−s B ≤ α(s)2 A+B A+B + (1 − α(s)2 )A B ≤ 2 Ở s ∈ [0, 1] α(s) = 2s − Trong phần này, sử dụng bất đẳng thức xây dựng đặc trưng cho hàm đơn điệu toán tử Định lý 3.3.1 ([5, Theorem 17]) Cho f hàm liên tục [0, ∞), s ∈ (0, 1/2) ∪ (1/2, 1) α(s) = − 2s Khi phát biểu sau tương đương (i) f đơn điệu toán tử [0, ∞); (ii) Với ma trận nửa xác định dương A B, f (A B) ≤ f A sB + A 1−s B (3.12) (iii) Với ma trận nửa xác định dương A B, f A sB + A 1−s B ≤f α(s)2 A+B + (1 − α(s)2 )A B ; (3.13) (iv)Với ma trận nửa xác định dương A B, f α(s)2 A+B + (1 − α(s)2 )A B ≤f A+B Chứng minh Rõ ràng (i) suy (ii), (iii) (iv) Đầu tiên ta chứng tỏ (iii) suy (i), sau ta chứng tỏ (ii) suy (i) Điều suy chứng minh cho định lý, (iv) suy (i) suy từ Mệnh đề 2.4.1, trung bình Heron đối xứng khác với trung bình số học Bây ta chứng minh (iii) =⇒ (i) Giả sử (3.13) thỏa mãn với ma trận xác định dương A B Ta cần với < X ≤ Y , f (X) ≤ f (Y ) 45 Đầu tiên, ta xét trường hợp Y = In , In ma trận đơn vị Mn (C) bậc n Bây chứng tỏ tồn ma trận xác định dương A0 , B0 cho A0 s B0 + A0 1−s B0 1/2 = A0 C0s + C01−s 1/2 A0 =X (3.14) In + C0 1/2 1/2 + (1 − α(s)2 )C0 A0 = In , (3.15) 1/2 α(s)2 A0 −1/2 1/2 đó, C0 = A0 B0 A0 1/2 A0 = Từ (3.15), ta nhận α(s)2 In + C0 1/2 + (1 − α(s)2 )C0 −1/2 Thay đồng thức cuối vào (3.15), ta nhận X= C0s + C01−s α(s)2 In + C0 1/2 + (1 − α(s)2 )C0 (3.16) Từ chứng minh Định lý 3.1.2 hàm số f (x) = xs + x1−s α(s)2 √ 1+x + (1 − α(s)2 ) x −1 song ánh nhận giá trị (0, 1] Do đó, với < X ≤ In , tồn ma trận C0 thỏa mãn (3.16) Do đó, ma trận A0 nhận từ 1/2 1/2 (3.15) ma trận B0 A0 C0 A0 Trong trường hợp tổng quát, với < X ≤ Y , ta có < Y −1/2 XY −1/2 ≤ In Theo lập luận trên, ta tìm A0 , B0 ∈ M+ n cho A0 s B0 + A0 1−s B0 = Y −1/2 XY −1/2 A0 + B0 + (1 − α(s)2 )A0 B0 = In Từ đó, áp dụng (3.13) cho ma trận A = Y 1/2 A0 Y 1/2 , B = Y 1/2 B0 Y 1/2 ta có α(s)2 f (X) ≤ f (Y ) Cuối cùng, tính liên tục f nên ta nhận tính đơn điệu tốn tử f [0, ∞) Để chứng minh (ii) suy (i), lập luận tương tự, ta cần chứng tỏ hàm ks (x) : (0, 1] → (0, 1] định định nghĩa √ x ks (x) = s x + x1−s song ánh Tuy nhiên, điều chứng minh dễ dàng Định lý chứng minh 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết báo Ando Hiai [2] báo Dinh-Dumitru-Franco [5] đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình tốn tử Cụ thể, luận văn đạt kết sau: (1) Trình bày chi tiết chứng minh cho tương đương tính đơn điệu giảm tốn tử lồi lơgarit tốn tử hàm liên tục, khơng âm (0, +∞), tính chất đặc trưng qua trung bình tốn tử đối xứng (Định lý 2.2.1) (2) Trình bày chi tiết chứng minh cho tương đương tính đơn điệu tốn tử lõm lơgarit tốn tử hàm liên tục, khơng âm (0, +∞), tính chất đặc trưng qua trung bình tốn tử đối xứng (Định lý 2.2.3) (3) Trình bày đặc trưng cho tính đơn điệu toán tử hàm liên tục, dương (0, +∞) qua trung bình tốn tử (Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.4) (4) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử (khơng thiết khơng âm) qua trung bình tốn tử (Mệnh đề 2.4.1) (5) Trình bày số đặc trưng hàm đơn điệu qua trung bình đối xứng (Định lý 3.1.1) qua trung bình Heinz Heron (Định lý 3.1.2) (6) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học trung bình tốn tử đối xứng (Định lý 3.2.5), qua trung bình tốn tử tự liên hợp (Định lý 3.2.11) (7) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học có trọng (Định lý 3.3.1) 47 Tài liệu tham khảo [1] T Ando, Topics on Operator Inequalities, Lecture notes (mimeographed) Hokkaido., Sapporo (1978) [2] T Ando, F Hiai, Operator log-convex functions and operator means, Math Ann 350 (2011), 611-630 [3] Audenaert, L Cai, F Hansen, Inequalties for quantum skew information, Lett Math Phys., 85 (2008) 135-146 [4] R Bhatia, Interpolatinh the airthmetic-geometric mean inequality and its operator version Linear Algebra Appl 413 (2006) 355-363 [5] T.H Dinh, R Dumitru and J A Franco, New characterizations of operator monotone functions, Linear Alg Appl (2018) https://doi.org/10.1016/ j.laa.2018.02.004 [6] F Hansen, Selfadjoint Means and Operator Monotone Functions, Math, Ann., 256 (1981) 29-35 [7] F Hansen, Extensions of Lieb’s concavity theorem J.Stat Phys 124, 87-101 (2006) [8] F Hansen, G K Pedersen, Jensens inequality for operators and Lăowners Theorem, Math Ann 258(1982), 229-241 [9] F Hiai, D Petz, Introduction to matrix analysis and applications, Springer, 2014 ă [10] F Kraus, Uber konvexe Matrixfunktionen, Math Z 41 (1936), 18–42 [11] F Kubo,T Ando Means of positive linear operators, Math Ann 246 205224 (1980) 48 ă [12] K Lăowner, Uber monotone Matrixfunktionen, Math Z 38(1934), 177 – 216 49 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN ... điệu toán tử qua trung bình hình học 33 3.1 Các trung bình số đặc trưng hàm đơn điệu 34 3.2 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học 37 3.3 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung... Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu toán tử 10 2.1 Hàm lồi lơgarit tốn tử 10 2.2 Đơn điệu tốn tử, lồi lơgarit tốn tử, trung bình tốn tử 14 2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu. .. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết đề tài ? ?Một số đặc trưng hàm đơn