Một số đặc trưng của môđun buchsbaum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 80.46.01.04 Người hướng dẫn TS NGUYỄN THÁI HÒA Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 11 Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa 2.3 13 13 phương 24 Môđun Buchsbaum phân bậc 42 KẾT LUẬN 50 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 i MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hoán Noether địa phương, M Rmôđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ q iđêan tham số Khi đó,định lý đa thức Hillbert nói hàm độ dài λM,q (n) = l (M/q n M ) 0) Đặc biệt, bậc đa thức đa thức theo n n đủ lớn (n d, cịn tích hệ số nd với d! bội số e(q, M ) Hơn nữa, hiệu I (M )=l (M/q n M ) − e(q, M ) cho ta nhiều thơng tin cấu trúc Mơđun M Ví dụ môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quan trọng Đại số giao hốn,có thể đặc trưng điều kiện đây: i (i) Hm (M) = với i = d (ii) Mọi hệ tham số M dãy quy (iii) Iq (M) = với iđêan tham số q M Từ ý tưởng nghiên cứu Iq (M) hàm theo q dẫn đến việc hình thành lý thuyết môđun Buchsbaum sau: Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với môđun M tùy ý, Iq (M ) số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q Năm 1973, Vogel Stă uckrad ó xõy dng nhiu phn vớ d chứng tỏ giả thiết Buchsbaum không trường hợp tổng quát Tuy nhiên, Vogel lớp môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum cịn nhiều kết tốt.Vogel gọi mơđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : “Một số đặc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất địa phương hóa, phân tích nguyên sơ, chiều Krull, đối đồng điều địa phương Chương 2: Đặc trưng môđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đặc trưng mơđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum phân bậc Nội dung gồm: Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số, đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương, môđun Buchsbaum phân bậc Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy giáo để luận văn hồn thiện Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Tri Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa Nội dung tiết trình bày theo [1] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S ⊂ R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Xét tập S × R = {(s, r) | s ∈ S r ∈ R} định nghĩa S × R quan hệ hai ngôi: ∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(st − kr) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương Với (s, r) ∈ S × R, r ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) tập thương (S × R)/∼ S −1 R s hay RS Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: Với r k r k tr + sk r k rk ∈ Rs , + = = s t s t st s t st Chúng ta kiểm tra (RS , +, ) vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Vành RS gọi vành thương vành R tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, vành RS cịn kí hiệu Rp Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành giao hốn có đơn vị, S tập nhân đóng R I iđêan R Khi khẳng định sau r (i) Tập IRS = IS = { | r ∈ I s ∈ S} iđêan vành RS s (ii) Với p ∈ Spec(R), Spec(Rp ) = {qRp | q ∈ Spec(R) q ⊂ p} (iii) Với p ∈ Spec(R), vành Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp Cho M R-môđun Xét vành thương RS với S tập nhân đóng Xét tập S × M = {(s, m) | s ∈ S m ∈ M } Trên tập S × M ta định nghĩa quan hệ hai ngôi: ∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương S × M với m (s, m) ∈ S × M , ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) tập thương s (S × M )/∼ S −1 M hay MS Ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng sau: m n m n tm + sn , ∈ MS , + = s t s t st m a m a am Với ∈ MS , ∈ RS , = s r s r rs Với Chúng ta kiểm tra MS RS -mơđun Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS vành RS gọi mơđun địa phương hóa M tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Nội dung tiết trình bày theo [5] Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) hay Ass(M ) Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau (i) p ∈ Ass(M ) tồn môđun N M cho R/p ∼ = N (ii) Nếu p phần tử cực đại tập iđêan {Ann(x) | x ∈ M x = 0} p ∈ Ass(M ) Hệ 1.2.3 Ass(M ) = ∅ ⇔ M = Bổ đề 1.2.4 Cho S tập nhân đóng R Đặt R = S −1 R, M = S −1 M Khi AssR (M ) = AssR (M ) ∩ {p ∈ Spec(R) | p ∩ S = ∅} Định lý 1.2.5 Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Khi Ass(M ) ⊆ Supp(M ) phần tử cực tiểu Supp(M ) thuộc Ass(M ) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether M R-mơđun hữu hạn sinh Khi Ass(M ) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Một môđun N M gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N ) = {p}, ta nói N p-nguyên sơ hay N liên kết với p Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr với Qi nguyên sơ M Hơn nữa, phân tích nguyên sơ gọi rút gọn bỏ Qi iđêan nguyên tố liên kết M/Qi phần tử khác với i r Hiển nhiên, phân tích nguyên sơ N đưa phân tích ngun sơ rút gọn Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q1 ∩ ∩ Qr phân tích nguyên sơ rút gọn Qi liên kết với pi , ta có Ass(M/N ) = {p1 , , pr } Định lý 1.2.9 Cho R vành Noether M R-môđun Khi = Q(p), Q(p) mơđun p-nguyên sơ p∈Ass(M ) 1.3 Chiều Krull Nội dung tiết trình bày theo [5] 37 toàn ánh với i < dim M Nhận xét 2.2.14 Tìm hiểu ban đầu mơđun Buchsbaum thể cần thiết để nghiên cứu tất hệ tham số (xem ví dụ, Mệnh đề 2.1.10 Định lý 2.1.11) Sử dụng đặc tính đối đồng điều mơđun Buchsbaum rút gọn xem xét đến tập hữu hạn hệ tham số, xem Định lý 2.2.12 Trong tình đặc biệt, Mệnh đề 2.2.9 cho phép làm việc với hệ tham số Vì vậy, muốn đặt điều sau Vấn đề Có điều kiện cho môđun Buchsbaum sử dụng hệ tham số cố định? Câu hỏi Cho M R-môđun Noether R chiều d ≥ Giả sử có phần tử x1 , , xd m cho d xns(1) , , xns(d) M -dãy yếu cho hoán vị s {1, , d} cho tất số nguyên n1 , , nd > Khi M có phải mơđun Buchsbaum khơng? Ví dụ sau (chưa cơng bố) S Goto cho thấy câu hỏi có phản ví dụ Ví dụ Cho R := k[[X1 , , Xd , Yd , , Yd ]], d ≥ 3, vành chuỗi lũy thừa hình thức với biến [X1 , , Xd , Y1 , , Yd ] trường tùy ý k 38 Đặt a := (X1 , , Xd )R ∩ (Y1 , , Yd ) · R, q := (X12 , X2 , , Xd , Y12 , Y2 , , Yd ) · R, Fi := Xi + Yi , với i = 1, , d A := R/ (a ∩ q) + F1n · R) với n ≥ Khi đó, dim R = d − A khơng phải vành Buchsbaum m ·U (O) = R Bây dễ dàng thấy ảnh F2 , , Fd A tạo thành hệ tham số cho A có tính chất mong muốn Chú ý ảnh F2 , , Fd phần A- sở iđêan cực đại m A chúng tạo thành phần sở cực tiểu m Một ứng dụng quan trọng Định lý 2.2.12 lời giải cho toán nâng mơđun Buchsbaum, nghĩa khả nâng tính chất Buchsbaum ước khác không M Hochster hỏi câu hỏi liên quan sau đây: Cho R = R/a vành địa phương R quy a một iđêan R Giả sử rằng: (i) Ap vành Cohen-Macaulay với p ∈ SpecA \ {m} (ii) tồn ước khác không x A cho A/x · A vành Buchsbaum A có vành Buchsbaum? Ví dụ sau cho thấy câu trả lời cho câu hỏi phủ định 39 Ví dụ 2.2.15 Lấy A := k[[X1 , X2 , X3 , X4 ]]/(X12 , X2 ) ∩ (Xs , X4 ) k trường tùy ý X1 , , X4 biến Khi đó, có điều sau đây: (i) Ap vành Cohen-Macaulay với p ∈ Spec A \ {m} (ii) A/(X1 + X3 ) · A vành Buchsbaum (iii) A vành Buchsbaum (iv) m · Hm1 (R) = Mệnh đề 2.2.16 Gọi M R-môđun Noether với depth M > O Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) Có ước khác khơng x ∈ m2 M cho M/x · M môđun Buchsbaum (ii’) M/x · M môđun Buchsbaum cho ước khác khơng x ∈ m2 M (iii) Có ước khác không x ∈ m M cho: a) M/x · M môđun Buchsbaum b) x · Hmi (M ) = O với i < dim M (iii’) Đối với tất ước khác không x ∈ m M a) b) (iii) (iv) Có ước khác khơng x ∈ m M cho: c) M/x · M môđun Buchsbaum d) x · Hmi (M/x2 · M ) = O với i < dim M − 40 (iv’) Đối với tất ước khác không x ∈ m M , điều kiện c) d) (iv) Mệnh đề 2.2.17 Giả sử P ∈ V ∩Fu độ dài (f1 , , fr )·R > Nếu P điểm Buchsbaum V /k P điểm Buchsbaum V ∩ Fu /k(u) Điều ngược lại grade(f1 , , fr )·R > (f1 , , fr )· R ⊆ p2 · R Kết chứng minh N V Trung (xem [2], Định lý 4) Nó cung cấp thơng tin thuộc tính nâng trường hợp depth M = O Mệnh đề 2.2.18 Cho M R-môđun Noether chiều dương d depth M = O Khi M mơđun Buchsbaum điều kiện sau thỏa: (i) m · Hm0 (M ) = O (ii) M/Hm0 (M ) mơđun Buchsbaum (iii) Có M -cơ sở x1 , , xt m cho Hm0 (M ) ∩ (xi1 xxid ) · M = Ovới ≤ i1 < · · · < id ≤ t Chứng minh Cho M mơđun Buchsbaum Khi đó, (i) suy từ Hệ 2.2.5, (ii) suy từ Hệ 2.1.9 (iii) suy từ chứng minh Định lý 2.2.12(iii) ⇒ (ii) Ngược lại, chứng minh Định lý 2.2.12(iii)⇒(ii) cho thấy ánh xạ tắc λiM : H i (m, M ) → Hmi (M ) toàn ánh với 41 i < dim M , nghĩa M môđun Buchsbaum theo Định lý 2.2.12 Hệ 2.2.19 Cho M R-môđun Noether với d := dim M ≥ depth M > O Giả sử thêm R ảnh toàn cấu vành Gorenstein hay Hm1 (M ) mơđun Noether Khi đó, M môđun Buchsbaum M/xM : m môđun Buchsbaum với x ∈ m với dim M/xM = d − Mệnh đề 2.2.20 Cho R vành địa phương với d := dim R ≥ iđêan a, b R với a ∩ b = 0, dim R/a + b < d Giả sử R/a R/b vành Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, R vành Buchsbaum a + b = m B := R/(a + b) vành Buchsbaum kích thước d − Bổ đề 2.2.21 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương Khi M môđun Buchsbaum R M ∗ mơđun Buchsbaum R Ngồi ra, I(M ∗ ) = I(M ) Chứng minh Chúng ta có λiM ∗ ∼ = λiM ⊗R idR∗ ⊗A A∗ hàm tử khớp, λiM ∗ toàn ánh λiM toàn ánh Điều chứng minh phát biểu Tiếp theo, cho M (và đó, M ∗ ) mơđun Buchsbaum Cho q iđêan tham số M Khi q∗ iđêan tham số M ∗ I(M ∗ ) = l(M ∗ /q∗ · M ∗ ) − e0 (q∗ , M ∗ ) = l((M/q · M )∗ ) − e0 (q∗ , M ∗ ) = l(M/q · M ) − e0 (q, M ) = I(M ) 42 Bổ đề 2.2.22 Cho R vành phân bậc giả thiết p ⊂ R iđêan nguyên tố với [R]1 p Khi Rp ∼ = R(∗p) có R-môđun M phân bậc: Mp ∼ = M(∗p) Hệ 2.2.23 Cho R vành Noether phân bậc cho M R-môđun Noether phân bậc Khi đó, với iđêan nguyên tố p ⊂ R với [R]1 ⊆ p : Mp môđun Buchsbaum M(p) môđun Buchsbaum Trong trường hợp này, I(Mp ) = I(M(p) ) 2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc Trong mục ta kí hiệu R k-đại số phân bậc với iđêan cực đại (thuần nhất) m = ⊕n≥1 [R]n Định nghĩa 2.3.1 Cho M R-môđun Noether phân bậc có chiều dương Khi M gọi môđun Buchsbaum phân bậc Mm môđun Buchsbaum (trên Rm ) M gọi môđun h-Buchsbaum hệ tham số ứng với M M -dãy yếu Rõ ràng M mơđun h-Buchsbaum mơđun Buchsbaum Mục tiêu phần nghiên cứu điều ngược lại phát biểu Chúng ta chứng minh điều k trường vơ hạn Nghĩa là, mặt hình học, tính 43 Buchsbaum vành địa phương nón affine đỉnh đa tạp xạ ảnh xác định hệ tham số Trong [6], M -cơ sở bao gồm phần tử iđêan a với dim M/a · M định nghĩa Vì vậy, chúng tơi bỏ qua định nghĩa bổ sung Nhưng ngược lại với trường hợp địa phương, sở khơng tồn Chúng ta đưa hai ví dụ: (a) Trong sở a xuất phần tử có bậc khác nhau: Chúng ta chọn R = k[X, Y ], a = (X, Y ) · R, M = R/X · R (X, Y biến) (b) Trong trường k hữu hạn: Chúng ta chọn a = m M := R/p · R, p tích tất phần tử bậc R Nếu loại trừ hai trường hợp này, chứng minh tồn M -cơ sở Các chứng minh giống trường hợp địa phương (Mệnh đề 2.1.8) Ngoài cần điều sau Bổ đề 2.3.2 Giả sử trường sở k vô hạn Nếu y1 , , yt phần tử [R]l , l ≥ 0, có iđêan b1 , , bs R với (y1 , , yt )R bi với i = 1, , s tồn phần tử α1 , , αt k thỏa α · y1 + · · · + α t · yt ∈ / b1 ∪ · · · ∪ bs Chứng minh Cho V ⊆ [R]t không gian véctơ sinh yi s Ta đặt Vi := V ∩ bi , i = 1, , s Vì (y1 , , yt ) · R bi với i nên Vi 44 không gian thực V với i Vì k vơ hạn nên ta suy V ∩ (b1 ∪ · · · ∪ bs ) = V1 ∪ · · · ∪ Vs V V Do có b1 ∪ · · · ∪ bs Mệnh đề 2.3.3 Giả sử trường sở k vô hạn Cho a ⊂ R iđêan có sở bao gồm phần tử bậc r M1 , , Mn R-môđun Noether phân bậc với dimR Mi /aMi = với i = 1, , n Khi tồn phần tử a1 , , at ∈ a tạo thành M -cơ sở a với = 1, , n Chứng minh Chúng ta sử dụng chứng minh Mệnh đề 2.1.8 với ý rằng, xây dựng am , cần chọn phần tử bậc r không chứa (a1 , , am−1 )R ∪ p∈L p (áp dụng Bổ đề 2.3.2) Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.4 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) Có hệ tham số M m2 mà M -dãy yếu (ii) Mỗi hệ tham số M m2 M -dãy yếu (iii) m · H im = O với i = d Chứng minh (ii)⇒ (i) hiển nhiên (i)⇒ (iii) chứng minh chứng minh Mệnh đề 2.2.1 Chúng ta phải ý đến thay đổi bậc Cuối cùng, (iii)⇒(ii) suy cách địa phương hóa m áp dụng Mệnh đề 2.2.1 45 Định lý 2.3.5 Cho M R-môđun Noether phân bậc với dim M > Nếu ánh xạ tự nhiên (k = R/m) ϕiM : ExtiR (k, M ) → Him (M ) tồn ánh với i < dim M M môđun Buchsbaum Hệ 2.3.6 Cho môđun M Định lý 2.3.5 Giả sử thêm r := depth M < dim M =: d H im (M ) = O với i = r, d Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M môđun h-Buchsbaum (iii) m · H rm (M ) = O Chứng minh (i)⇒ (ii) hiển nhiên, (ii)⇒(iii) suy từ Mệnh đề 2.3.4 (iii)⇒ (i) chứng minh địa phương hóa m áp dụng Mệnh đề 2.2.9 Bây chứng minh kết phần này: Định lý 2.3.7 Giả sử k trường vô hạn Nếu M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > 0.Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M môđun h-Buchsbaum (iii) Lấy M -cơ sở x1 , , xt m Khi đó, với hệ i1 , , id số nguyên với ≤ i1 < · · · < id ≤ t, dãy xri11 , , xridd M -dãy yếu với r1 , , rd ∈ {1, 2} 46 (iv) Ánh xạ tự nhiên λiM : H i (m, M ) → H im (M ) toàn ánh với i < d Nếu R k-đại số tự (i)-(iv) tương đương với phát biểu sau: (v) Ánh xạ tự nhiên ϕiM : ExtiR (k, M ) → H im (M ) toàn ánh với i < d Bổ đề 2.3.8 Cho R := k[X1 , , Xn ] (X1 , , Xn biến) cho H R-môđun phân bậc với m · H = O Khi ExtiR (k, H) ∼ = HomR R( n i) (−i)H ∼ = H( n i) (i) với i ≥ Chứng minh Phức Koszul phân bậc K(X1 , , Xn ; R): O → R( n n) (−n) → · · · → R( n 2) (−2) → R( n 1) (−1) → R → O cho ta phép giải tự k = R/m Áp dụng HomR ( , H) ta có, với i ≥ (m · HomR ( , H) = O): ExtiR (k, H) ∼ = HomR R( n i) (−i)H ∼ = HomR R( n i) , H(i) ∼ = H( n i) (i) Bây giờ, với R-môđun phân bậc M , ta định nghĩa tập hợp số nguyên g(M ) := {i ∈ Z|[M ]i = O} 47 Mệnh đề 2.3.9 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > m · H im (M ) = O với i < d Nếu với cặp số nguyên i, j với ≤ i < j < d p ∈ g(H im (M )), q ∈ g(H jm (M )), (i + p) − (j + q) = M môđun Buchsbaum Chứng minh Giả sử R = k[X1 , , Xn ], X1 , , Xn biến Nếu = i < j < d với q ∈ g(H jm (M )), theo Bổ đề 2.3.8): j−i+1 (k, H im (M )) ExtR q ∼ = H im (M )( n j−i+1 ) q+j−i+1 = O Điều suy từ giả thiết q + j − i + ∈ / g(H im (M )) Cho O → I → I → phép giải xạ ảnh phân bậc cực tiểu M đặt J i := H 0m (I i ) Ta nghiên cứu phức tương ứng d0 d1 O → J0 − → J1 − → Đặt B i := Im di , Z j := Ker di Khi có dãy khớp O → B j−1 → Z j → H jm (M ) → O(với j ≥ 0) đẳng cấu j HomR (k, Z j ) ∼ = ExtR (k, M )(vì phép giải xạ ảnh tối tiểu) Ánh xạ Z j → H jm (M ) cảm sinh đồng cấu π j : j π ExtjR (k, M ) ∼ → HomR (k, H jm (M )) ∼ = HomR (k, Z j ) − = H jm (M ) Hợp thành ánh xạ ánh xạ tự nhiên ϕjM 48 Bằng lập luận quy nạp theo j, ta chứng minh π j tồn ánh Vì m · H 0m (M ) = O nên π đẳng cấu Cho < j < d Khi với q ∈ g(H jm (M )), tồn dãy khớp O → → HomR (k, B j−1 ) q → HomR (k, Z j ) (π j )q q −−→ HomR (k, H jm (M )) Ext1R (k, B j−1 ) q Với i < j, theo giả thiết quy nạp , với l ≥ 0, tồn dãy khớp O → ExtlR (k, B i−1 ) → ExtlR (k, Z i ) → ExtlR (k, H im (M )) → O i−1 Vì ExtlR (k, B i−1 ) ∼ ) với l ≥ 0, i ≥ nên ta có = Extl+1 R (k, Z Ext1R (k, B j−1 ) q ∼ = Ext2R (k, Z j−1 ) q ∼ = Ext2R (k, B j−2 ) ∼ = Ext3R (k, Z j−2 ) q j ∼ = ∼ = ExtR (k, B ) ∼ = Extj+1 R (k, H m (M )) q q q = O Hơn nữa, với r ∈ / g(Hmj (M )) ta có HomR (k, Hjm (M )) r = H jm (M ) r O [π j ]i tồn ánh với i ∈ Z Vậy π j toàn ánh M môđun Buchsbaum theo Định lý 2.3.5 Bây cho R k-đại số phân bậc, đồng thời ảnh toàn cấu S := k[X1 , , Xn ] Cho n := (X1 , , Xn ) · S Khi H im (M ) đẳng cấu với H in (M ) S-môđun Vậy M mơđun Buchsbaum S R theo Bổ đề 2.1.5 Chúng ta lưu ý tiêu chuẩn không cần thiết Để chứng minh điều này, ví dụ sử dụng tích Segre mơđun phân bậc (xem [6], Ví dụ V.5.5) = q 49 Hệ 2.3.10 Cho V ⊆ Pn W ⊆ Pm đa tạp xạ ảnh chiều dương Phép nhúng Segre S(V × W ) đa tạp Cohen-Macaulay địa phương V W đa tạp Cohen-Macaulay địa phương KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực số công việc sau: (a) Trình bày số kiến thức chuẩn bị nhằm bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương 2: Địa phương hóa, phân tích ngun sơ, chiều Krull, môđun phân bậc, đối đồng điều dịa phương (b) Trình bày định nghĩa mơđun Buchsbaum, đặc trưng mơđun Buchsbaum qua hệ tham số, số ví dụ mơđun Buchsbaum qua hệ tham số đối, đồng điều địa phương, môđun phân bậc 50 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyal, M.F and I.G Macdonald (1969), Introducation to Commutative Algebra, Reading, Mass [2] Auslander, M and D.A Buchsbaum (1958) Codimension and Multiphicity Ann: Math, 68, 625-657 [3] Brodman, M.P and R.Y Sharp (1998), Local Cohomology and Algebraic introducation with Geometric Applications, Cambridge University Press [4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the parameter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85 490-534 [5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press [6] Stiickrad, J and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York 51 ... Chương 2: Đặc trưng môđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đặc trưng mơđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum phân bậc Nội dung gồm: Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số, đặc trưng môđun Buchsbaum. .. 11 Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa 2.3 13 13 phương 24 Môđun Buchsbaum. .. phương (xem [4]) Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số Trong chương 2, chúng tơi trình bày mốt số đặc trưng môđun Buchsbaum, môđun phân bậc theo [6] Kí