Một số bất đẳng thức loại aczél và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ NHƯ NGỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MAI THỊ NHƯ NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn TS LÂM THỊ THANH TÂM i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.3 Bt ng thc Hăolder BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Bất đẳng thức Aczél 2.2 Một số bất đẳng thức loại Aczél 2.2.1 Bất đẳng thức Aczél-Popoviciu 2.2.2 Bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu 2.2.3 Bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược 2.2.4 2.3 10 Bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược 11 Một số ứng dụng 17 MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL 3.1 23 Mở rộng bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược 23 ii 3.2 Mở rộng dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasi´cPeˇcaríc đảo ngược 28 3.3 Một vài làm mịn bất đẳng thức loại Aczél 30 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Một số vấn đề bất đẳng thức loại Aczél ứng dụng cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS.Lâm Thị Thanh Tâm, nội dung không chép chưa cơng bố hình thức nào, kết riêng trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Mai Thị Như Ngọc MỞ ĐẦU Từ xưa đến nay, bất đẳng thức vấn đề khó, đa dạng, hấp dẫn thu hút quan tâm đơng đảo người giảng dạy Tốn từ bậc phổ thông đến đại học nhà nghiên cứu Toán Hiện nay, bất đẳng thức lĩnh vực toán học đồ sộ, phát triển rộng phạm vi ứng dụng lớn Các bất đẳng thức công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực toán học khác Ở tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh giỏi Trong số bất đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức Aczél phát biểu với số thực không âm , bi (i = 1, 2, , n) cho a21 − n i=2 a2i > b21 − n i=2 b2i > 0, ta có n n a21 a2i − i=2 b21 − i=2 n b2i ≤ a1 b1 − bi i=2 Bất đẳng thức Aczél đóng vai trị quan trọng lý thuyết phương trình hàm hình học phi Euclide Trong năm gần đây, nhiều tác giả cải tiến mở rộng bất đẳng thức Aczél theo hướng khác ứng dụng Theo mở rộng thế, bất đẳng thức loại Aczél thiết lập công bố tạp chí tốn học uy tín giới Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Tốn học sơ cấp bậc Trung học phổ thông Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số bất đẳng thức kinh in nh bt ng thc AM-GM, Cauchy-Schwarz, Hăolder Chng 2: Bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng Chương trình bày bất đẳng thức Aczél số bất đẳng thức loại Aczél thiết lập cơng bố tạp chí tốn học uy tín giới Đồng thời trình bày số ứng dụng bất đẳng thức Chương 3: Một số mở rộng bất đẳng thức loại Aczél Trong chương này, ta tìm hiểu số mở rộng số bất đẳng thức loại Aczél bao gồm: dạng tổng quát bất đẳng thức Aczél-Vasi´cPeˇcaríc đảo ngược, dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược làm mịn số bất đẳng thức loại Aczél Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình hướng dẫn TS Lâm Thị Thanh Tâm, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến cô giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp tốn sơ cấp khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số bất đẳng thức kinh điển bt ng thc AM-GM, Cauchy-Schwarz, Hăolder Cỏc kt qu chương trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [3, 4] 1.1 Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1.1.1 Với số thực không âm a1 , a2 , , an , (n ≥ 2) ta có √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 an n (1.1) Định lý 1.1.2 Với số thực không âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2), n số thực λ1 , λ2 , , λn cho λi > 1, i = 1, , n = Khi i=1 λi n a1 a2 an ≤ i=1 1.2 aλj i λi (1.2) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.2.1 Cho số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn (n ≥ 2), n n a2i i=1 i=1 n b2i ≥ b i i=1 (1.3) 1.3 Bất đẳng thức Hă older nh lý 1.3.1 Cho 0, bi ≥ 0, i = 1, 2, , n (n ≥ 2) 1 + =1 p q với p > Khi p n q n bqi api n ≥ bi i=1 i=1 (1.4) i=1 Định lý 1.3.2 Cho ≥ 0, bi ≥ 0, i = 1, 2, , n (n ≥ 2) 1 + =1 p q với p < q < Khi p n q n bqi api n ≤ bi i=1 i=1 (1.5) i=1 Định lý 1.3.3 Với aij > (i = 1, 2, · · · , n; j = 1, 2, · · · , m) m (i) Nếu λj > j=1 λj n ≥ m m λ aijj aij ≤ i=1 j=1 λj n j=1 (1.6) (1.7) i=1 (ii) Nếu λj < (j = 1, 2, , m) n m m λ aijj aij ≥ i=1 j=1 λj n j=1 i=1 m (iii) Nếu λ1 > 0, λj < (j = 2, 3, , m) j=1 n m m n λ aijj aij ≥ i=1 j=1 j=1 i=1 λj ≤ λj (1.8) 37 aλ144 − × aλi44 aλi33 λ3 − a13 i=2 i=2 n n aλ133 − × λ3 n n aλi33 λ3 λ4 a14 − i=2 aλi44 i=2 ×  m ×  aλ(n+1)m n+1 m m + 2aλ(n+1)m aλ1m − aλimm m + aλ1m − i=2 n m aλ1m × − i=2 λ λ m−1 ai(m−1) m aλ1m − λ j=1 aλimm i=2 n λ a1jj − λm−1 n i=2 =−  i=2 m−1 a1(m−1) − m −λ m−1 ai(m−1) n × m i=2 λ − aλimm  λ1 λm−1 n λm−1 a1(m−1) aλimm n+1 arjj    λj = −Ψ(n) r=2 Điều chứng tỏ Φ(n + 1) − Ψ(n + 1) ≥ Φ(n) − Ψ(n) Hay Ψ(n + 1) − Φ(n + 1) ≤ Ψ(n) − Φ(n) Suy V (n + 1) ≤ V (n) (3.6C) Như vậy, sử dụng bất đẳng thức (2.4) (3.6C), ta bất đẳng thức (3.6) Trường hợp 2: λ1 > λ2 > · · · > λm > k số lẻ Khi m−1 38  Ψ(n) =   n aλ122 aλi22 − aλ122 ×  aλi11 − n aλ122 n aλi22 n aλ111 − i=2  ×  aλi44 − aλ144 × aλi33 n aλ144 n aλi44 n aλ133 − i=2 ×   λ1 j=2  ×  aλ144 −  λ1 aλj33  j=2  n λ  n λ λ  aλimm − i=2 λ m−2  aj(m−2) j=1 λm n × m−2  λ n λm−1 aλm−2 − ai(m−1) 1(m−2) i=2 m aλ1m λ m−1  aj(m−1) j=2 n m−1 ×  a1(m−1) − m−2  λ n λm−2 aλm−1 − ai(m−2) 1(m−1) i=2  λ m−1  aj(m−1) j=2 i=2 m−2 ×  a1(m−2) − −λ m−1 m−2  λ n λm−1 aλm−1 − ai(m−1) 1(m−1) m−1 ×  a1(m−1) −  aλj44  − i=2  aλj44  −  −  λ1 − λ1 j=2 n aλ133 aλj11  n i=2   λ1 j=2 n aλ144 j=2  ×  aλ122 −  λ1 aλj22  − i=2  j=2 n aλ111 aλj22  − i=2   λ1 − λ1 n (3.6D) 39 Áp dụng (2.5), ta Φ(n + 1) − Φ(n)  m a1j − =  2 n+1 m r=2 j=1 m n+1 m a1j −  ×  r=2 j=1 k   m j=1  n λ m =− λ λ1 aλimm m aλ1m − aλimm aλ(n+1)1 aλ122 − λ1 aλi22 i=2 λ1 aλi11 1 λ4 − λ3 n aλi44 aλ(n+1)4 aλ144 − i=2 i=2 λ3 aλi44 i=2  n i=2 n  i=2 aλi22 × aλ(n+1)3 aλ144 − λm 1 λ2 − λ1 n × aλ(n+1)2 aλ111 − λm n+1 λ3 n aλ(n+1)4 aλ133 − aλi33 i=2   r=2 m aλ1m − aλi11 n arjj n i=2  λ a1jj − + λj i=2 n+1 aλ(n+1)2 aλ122 − n+1 λ1 aλi11 arj  r=2 j=1 m i=2  a1j − j=1 n j=1   arjj r=2 a(n+1)j  aλ111 − + λ a1jj −  n+1 m j=1 λj n  m arj  +  m j=1   r=2 j=1 a(n+1)j  aλ111 − = −   m a1j − j=1 m arj  r=2 j=1 m a(n+1)j    m a1j − j=1  n j=1 a(n+1)j   ≤− r=2 j=1 arj + j=1  arj  m j=1  m a1j + j=1 a1j − =− arj  r=2 j=1 n n+1 m 2 m a1j − m arj − m n j=1 r=2 j=1 j=1 m arj  −  j=1 =  40 × 1 λm−1 − λm−2 n λ λ λ m−1 m−1 × a(n+1)(m−1) a1(m−1) − m−1 ai(m−1) i=2 λm−2 n λ λ λ m−2 m−1 × a(n+1)(m−2) a1(m−1) − m−1 ai(m−1) i=2 λm−2 n λ λ λ m−1 m−2 × a(n+1)(m−1) a1(m−2) − m m aλ(n+1)m aλ1m − m−2 ai(m−2) 1 λ2 − λ1 n+1 + aλ122 aλi22 − aλ111 aλi11 − i=2 λ1 n+1 1 λ4 − λ3 n+1 aλ(n+1)4 aλ144 − aλi22 aλi44 i=2 i=2 λ3 n+1 × aλ(n+1)4 aλ133 − λ1 n+1 aλ(n+1)2 i=2 × aλ(n+1)1 aλ122 − aλimm i=2 i=2 aλ(n+1)2 λm n aλ(n+1)3 aλ144 − aλi33 λ3 n+1 i=2 aλi44 i=2 × 1 λm−1 − λm−2 n+1 λ λ λ m−1 m−1 × a(n+1)(m−1) a1(m−1) − m−1 ai(m−1) i=2 λm−2 n+1 λ λ λ m−1 m−2 × a(n+1)(m−1) a1(m−2) − m−2 ai(m−2) i=2 λm−2 n+1 λ λ λ m−2 m−1 × a(n+1)(m−2) a1(m−1) − m−1 ai(m−1) i=2 λm n+1 m m × aλ(n+1)m aλ1m − aλimm i=2   (3.6E)  Từ (3.6E), (3.6D) (1.6), cách lập luận tương tự trường hợp 1, ta thu bất đẳng thức (3.6) Trường hợp 3: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm > có dấu "=" xảy ra, m số chẵn Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự 41 trường hợp 1, ta bất đẳng thức (3.6) Trường hợp 4: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm > có dấu "=" xảy ra, m số lẻ Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự trường hợp 2, ta bất đẳng thức (3.6) Bằng phương pháp chứng minh tương tự Định lý 3.3.1 sử dụng Định lý 2.2.4 thay cho Định lý 2.2.3, nhận kết sau Định lý 3.3.2 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ 2, λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λm < với arj λ n (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho a1jj − r=2 λ arjj > (j = 1, 2, , m) Nếu m n λ λ a1jj − V (n) = λj arjj  − r=2 j=1 m n m a1j − 2 arj  r=2 j=1 j=1 V (n + 1) ≥ V (n) ≥ (3.7) Định lý 3.3.3 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ ; λ1 > 0, λ2 ≤ · · · ≤ λm < với m ≤ arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương j=1 λj λ cho a1jj − n λ r=2 arjj > (j = 1, 2, , m) Nếu n m λ λ arjj a1jj − V (n) = j=1 r=2 λj  m − n m a1j − j=1 2 arj  r=2 j=1 V (n + 1) ≥ V (n) ≥ (3.8) 42 Đặt m = 2, ar1 = ar , ar2 = br (r = 1, 2, · · · , n) từ Định lý 3.3.2 Định lý 3.3.3, ta hệ sau Hệ 3.3.4 Cho n ∈ N+ , n ≥ 2; λ1 = 0, λ2 < 0, 1 + ≤ λ1 λ2 , bi (i = 1, 2, , n) số thực dương, cho aλ1 b1λ2 − n i=2 − i=2 aλi > bλi > Nếu λ1 n V ∗ (n) = n aλ1 − bλ1 − aλr λ2 n r=2 bλr 2 n − a1 b1 − r=2 ar b r r=2 V ∗ (n + 1) ≥ V ∗ (n) ≥ (3.9) Tương tự, đặt m = 2, ar1 = ar , ar2 = br (r = 1, 2, , n) từ Định lý 3.3.1, ta có hệ sau Hệ 3.3.5 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ1 ≥ λ2 > 0, 1 + ≥ với λ1 λ2 bi (i = 1, 2, , n) số thực dương cho aλ1 − bλ1 − n i=2 n i=2 aλi > bλi > Nếu λ1 n V ∗ (n) = aλ1 − aλr r=2 λ2 n bλ1 − bλr r=2 n − a1 b1 − ar b r r=2 V ∗ (n + 1) ≤ V ∗ (n) ≤ (3.10) Đặc biệt, đặt λ1 = λ2 = λ < Hệ 3.3.4 nhận hệ sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica đảo ngược (2.15) 43 Hệ 3.3.6 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ < với , bi (i = 1, 2, · · · , n) số thực dương cho aλ1 − V ∗ (n) = bλr − r=2 n i=2 bλi > Nếu λ n bλ1 aλr − i=2 aλi > bλ1 − λ n aλ1 n n − a1 b1 − r=2 ar b r r=2 V ∗ (n + 1) ≥ V ∗ (n) ≥ (3.11) Tương tự, đặt λ1 = λ2 = λ Hệ 3.3.5 ta nhận hệ sau bất đẳng thức Aczél-Bjelica (2.14) Hệ 3.3.7 Cho n ∈ N+ , n ≥ < λ ≤ với , bi (i = 1, 2, · · · , n) số thực dương cho aλ1 − n i=2 aλi > bλ1 − n i=2 bλi > Nếu λ n V ∗ (n) = aλ1 aλr − r=2 λ n bλ1 bλr − n − a1 b1 − r=2 ar b r r=2 V ∗ (n + 1) ≤ V ∗ (n) ≤ (3.12) Từ Định lý 3.3.2, ta nhận số bất đẳng thức làm mịn bất đẳng thức loại Aczél (2.5) sau Hệ 3.3.8 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ≤ λm < với arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho 44 n λ a1jj − λ r=2 arjj > (j = 1, 2, · · · , m) Khi m λj n λ λ a1jj − arjj r=2 j=1  12  m n ≥    1 +   m a1j − arj r=2 j=1 j=1 V (2) n m n ≥ arj r=2 j=1 j=1 m m a1j −    2   m a1j − arj , (3.13) r=2 j=1 j=1 với m λ λ a1jj − a2jj V (2) = λj j=1  m 2 m − a1j − j=1 a2j  j=1 Chứng minh Từ Định lý 3.3.2, ta có V (n) ≥ V (2) ≥ Khi m λj n λ λ a1jj − arjj r=2 j=1   ≥  m n m a1j − r=2 j=1 j=1  21 2  arj  + V (2)  12  m ≥ n m a1j − j=1 arj r=2 j=1    1 +   V (2) m n m a1j − j=1 arj r=2 j=1    2   45 Bằng kĩ thuật tương tự chứng minh Hệ 3.3.8 sử dụng Định lý 3.3.3 Định lý 3.3.1 ta thu vài làm mịn bất đẳng thức loại Aczél (2.5) (2.4) sau Hệ 3.3.9 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ λ1 > 0, λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ m λj λm < với j=1 ≤ arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương cho n λ a1jj m λ − r=2 λj n λ λ a1jj − arjj > (j = 1, 2, , m) Khi arjj r=2 j=1  12  m n ≥    1 +   m a1j − arj r=2 j=1 j=1 V˜ (2) m n j=1 m ≥ n arj r=2 j=1 m a1j − j=1 m a1j −    2   arj , (3.14) r=2 j=1 với m λ λ a1jj − a2jj V (2) = j=1 λj  m − m a1j − j=1 2 a2j  j=1 Hệ 3.3.10 Cho n, m ∈ N+ , n ≥ λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λm > m j=1 λj ≥ với arj (r = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) số thực dương 46 n λ cho a1jj − λ r=2 arjj > (j = 1, 2, , m) Khi m λj n λ λ a1jj − arjj r=2 j=1  12        ≤ a1j − arj 1 +  r=2 j=1 j=1  m n m V (2) n m n ≤ arj r=2 j=1 j=1 m m a1j −    2   m a1j − arj , (3.15) r=2 j=1 j=1 với m λ V˜ (2) = λ a1jj − a2jj λj j=1  m − 2 m a1j − j=1 a2j  j=1 Chứng minh Từ Định lý 3.3.1, ta có V (n) ≤ V (2) ≤ Khi m λj n λ λ a1jj − arjj r=2 j=1  m  ≤  n m a1j − r=2 j=1 j=1 2  12  arj  + V (2)  21  m ≤ n m a1j − j=1 arj r=2 j=1    1 +   V (2) m j=1 a1j n m − arj r=2 j=1    2   47 Tương tự, ta có số hệ làm mịn bất đẳng thức loại Aczél sau Hệ 3.3.11 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ1 = 0, λ2 < 0, với , bi (i = 1, 2, , n) số thực dương cho b1λ2 − n i=2 aλ1 1 + ≤1 λ1 λ2 n − i=2 aλi > bλi > Khi λ1 n aλ1 − λ2 n bλ1 − aλr r=2 bλr r=2  21  n   ≥ a1 b1 − ar br 1 +  r=2 V ∗ (2) n a1 b − ar b r   2  r=2 n ≥ a1 b − ar br , (3.16) r=2 với ∗ V (2) = aλ1 − aλ2 λ1 bλ1 − bλ2 2 λ2 − (a1 b1 − a2 b2 )2 ≥ Chứng minh Từ Hệ 3.3.8 với m = λ1 < 0, λ2 < ta suy bất đẳng thức (3.16) Từ Hệ 3.3.9 với m = λ1 > 0, λ2 < ta suy bất đẳng thức (3.16) Hệ 3.3.12 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ1 > 0, λ2 > 0, với , bi (i = 1, 2, , n) số thực dương cho aλ1 1 + ≥1 λ1 λ2 n − i=2 aλi > 48 b1λ2 − n i=2 bλi > Khi λ1 n aλ1 − λ2 n bλ1 − aλr r=2 bλr r=2  21  n ≤ a1 b1 − V ∗ (2)   1 +  ar br r=2 n a1 b1 − ar b r   2  r=2 n ≤ a1 b1 − ar br , (3.17) r=2 với ∗ V (2) = aλ1 λ1 aλ2 − bλ1 − λ2 bλ2 − (a1 b1 − a2 b2 )2 ≤ Chứng minh Từ Hệ 3.3.10 với m = λ1 > 0, λ2 > ta suy bất đẳng thức (3.17) Hệ 3.3.13 Cho n ∈ N+ , n ≥ λ < 0, với , bi (i = 1, 2, , n) n số thực dương cho aλ1 − i=2 aλi > bλ1 − n i=2 bλi > Khi λ n aλ1 − aλr λ n bλ1 − r=2 bλr r=2  21  n   ≥ a1 b1 − ar br 1 +  r=2 V ∗ (2) n a1 b − ar b r   2  r=2 n ≥ a1 b − ar br , (3.18) r=2 với ∗ V (2) = aλ1 − aλ2 λ bλ1 − bλ2 λ − (a1 b1 − a2 b2 )2 ≥ 49 Chứng minh Từ Hệ 3.3.8 với m = λ1 = λ = λ2 < ta suy bất đẳng thức (3.18) 50 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số bất đẳng thức loại Aczél, ứng dụng mở rộng bất đẳng thức loại Aczél cụ thể là: Trình bày số kiến thức chuẩn bị nhằm bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương 3: bất đẳng thức kinh điển nh bt ng thc AM-GM, Cauchy-Schwarz, bt ng thc Hăolder mở rộng tổng quát bất đẳng thc Hăolder Trỡnh by bt ng thc Aczộl v số bất đẳng thức loại Aczél thiết lập cơng bố tạp chí tốn học uy tín giới: bất đẳng thức Aczél-Popoviciu, bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Popoviciu, bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc, bất đẳng thức Aczél-Bjelica số đảo ngược bất đẳng thức Đồng thời trình bày số ứng dụng bất đẳng thức giải toán trung học phổ thơng Trình bày số mở rộng số bất đẳng thức loại Aczél bao gồm: dạng tổng quát bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược, dạng tích phân bất đẳng thức Aczél-Vasi´c-Peˇcaríc đảo ngược làm mịn số bất đẳng thức loại Aczél 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Aczél, Some general methods in the theory of functional equations in one variable, New applications of functional equations, Uspehi Mat Nauk (N S.) 11, 69(3), 1956 [2] J-F Tian, Reversed version of a generalized Aczél’s inequality and its application, Journal of Inequalities Applications, 2012 [3] J E Peˇcaríc, P M Vasi´c, On the Jensen inequality for monotone functions, An Univ TimisoaraSer S¸ t Matematice 17, 1, 1976 [4] D S Mitrinovíc, P M Vasi´c, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York, 1970 [5] Ming-Hu Ha , J-F Tian, Properties and refinements of Aczél type inequalities, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 12, Number 1, 2018 [6] J E Peˇcaríc, F Proschan, Y.L Tong Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, Volume 187, Academic Press, Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo and Toronto, 1992 ... ≤ λj (1.8) Chương BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI ACZÉL VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng tơi trình bày bất đẳng thức Aczél, số bất đẳng thức loại Aczél số ứng dụng bất đẳng thức Các kết chương... VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Bất đẳng thức Aczél 2.2 Một số bất đẳng thức loại Aczél 2.2.1 Bất đẳng thức Aczél- Popoviciu 2.2.2 Bất đẳng thức Aczél- Vasi´c-Popoviciu... Bất đẳng thức (2.1) định lý gọi bất đẳng thức Aczél 2.2 Một số bất đẳng thức loại Aczél 2.2.1 Bất đẳng thức Aczél- Popoviciu Năm 1959, Popoviciu trình bày mở rộng số mũ bất đẳng thức Aczél phát