Môđun không bé, môđun không đối bé và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỒ THỊ MINH HƯƠNG MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Đức Thoang Bình Định - 2020 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu 1.2 Môđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 1.4 Vành Artin, Vành Nơte 1.5 Vành nửa hoàn chỉnh, hoàn chỉnh 1.6 Vành Goldie vành QF 5 10 12 Môđun không bé, môđun không đối bé 2.1 Môđun không bé 2.2 Môđun không đối bé 14 14 17 Áp dụng vào vành 3.1 Về đặc trưng vành co-H 3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 21 21 30 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 40 Bảng ký hiệu N, Z, Q, R, C : R MR ( R M ) A ≤ B( A < B) A ≤max A≤ B A ≤e B A B ∼ A=B A B A B Z ( M) E( M), Soc( M) End( M) Hom R ( M, N ) Im( f ), Ker ( f ) Rad( M), J ( R) ann( M) : : : : : : : : : : : : : : : : : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức (tương ứng); vành với đơn vị = 0; M R-môđun phải (t.ư., trái); A môđun (t.ư., thực sự) B; A môđun cực đại B; A hạng tử trực tiếp B; A môđun cốt yếu B; A môđun đối cốt yếu B; A đẳng cấu với B; A không đẳng cấu với B; tổng trực tiếp môđun A môđun B; Mô đun suy biến mô đun M; bao nội xạ, đế môđun M (tương ứng); vành tự đồng cấu mơđun M; nhóm R-đồng cấu từ M vào N; ảnh, hạt nhân đồng cấu f (tương ứng); môđun M, vành R (tương ứng); linh hóa tử mơđun M MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không bé môđun không đối bé khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành, Rayar đề xuất nghiên cứu vào năm 1971, sau Harada tiếp tục nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa áp dụng, áp dụng đặc trưng lớp vành Đây hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Chúng tơi chọn đề tài: MƠĐUN KHƠNG BÉ, MƠĐUN KHƠNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Khái niệm môđun bé, trước nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu W W Leonard (xem [9]), M Rayar (xem [11]) Năm 1978, M Harada định nghĩa dùng khái niệm môđun không bé để nghiên cứu lớp vành Artin thu nhiều tính chất kết đẹp cho lĩnh vực lý thuyết vành Từ khái niệm môđun không bé trở thành khái niệm công cụ tiện ích cho việc nghiên cứu vành Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Môđun không bé, môđun không đối bé Chương 3: Áp dụng vào vành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Đức Thoang, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Khoa Toán Thống kê trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Hồ Thị Minh Hương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niêm lý thuyết mô-đun, lý thuyết vành Các khái niệm, kết chương trình bày dựa vào [1] 1.1 Môđun cốt yếu, đối cốt yếu Định nghĩa 1.1 (1) Môđun N R-môđun M gọi môđun cốt yếu (hay lớn) M, kí hiệu N ≤e M với mơđun khác khơng K M ta có K ∩ N = Có nghĩa là, ∀U ≤ M, U ∩ E = U = Khi ta nói M mở rộng cốt yếu N (2) Cho M R-môđun Môđun K M gọi đối cốt yếu ( hay bé) M với môđun X M mà X = M K + X = M Nói cách khác, mơđun K gọi môđun bé M với môđun X M mà K + X = M X = M Khi ta kí hiệu: K M Ví dụ 1.1.1 Xét Z-mơđun Z, Q ta có 2Z ≤e Z, Z ≤e Q Nếu R miền ngun ideal phải khác khơng cốt yếu R R Môđun M, môđun 2Z đối cốt yếu Z-mơđun Q Tính chất 1.1.1 (1) Cho A, B, C môđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C A ≤e M kéo theo B ≤e C (b) Nếu A ≤e M B ≤e M A ∩ B ≤e M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A ≤e N ϕ−1 ( A) ≤e M (2) Cho A, B, C môđun M Khi đó: (a) Nếu A ≤ B ≤ C B (b) Nếu A M B C kéo theo A M A + B M M (c) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A Hệ 1.1 Giả sử M = I M ϕ( A) N Mi B môđun M Khi phát biểu sau tương đương: (1) ( B ∩ Mi ) ≤e Mi , ∀i ∈ I (2) I ( B ∩ Mi ) ≤e M (3) B ≤e M Mệnh đề 1.1 Giả sử A, B, C môđun môđun M Khi đó: (1) Nếu B ≤ C A B A C (2) A ≤ B, A ≤ M B hạng tử trực tiếp M A 1.2 B Môđun mở rộng Định nghĩa 1.2 (1) Một R-môđun M gọi môđun mở rộng (hay CS-Môđun) môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Tương đương, R-môđun M gọi môđun mở rộng mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (2) Một R-môđun M gọi mở rộng (uniform-extending) môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M (3) Một môđun M gọi môđun FI-mở rộng với N tồn hạng tử trực tiếp N ≤⊕ M cho N ≤e N M Định lý 1.1 Cho M R-mơđun Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun mở rộng (2) Mỗi môđun N M có phân tích M = M1 N ≤ M1 N + M2 ≤e M M2 cho (3) Mỗi mơđun đóng M hạng tử trực tiếp Hệ 1.2 Một R-mơđun M khơng phân tích mở rộng M môđun Định lý 1.2 Nếu M môđun mở rộng M = M1 mơđun mở rộng M2 M1 , M2 Nhận xét 1.1 Mọi hạng tử trực tiếp môđun mở rộng (uniformextending) môđun mở rộng (uniform-extending) Ví dụ 1.2.1 (1) Mỗi mơđun nửa hồn chỉnh mở rộng, mơđun hạng tử trực tiếp (2) Mỗi môđun mở rộng, mơđun khác cốt yếu Định lý 1.3 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 mơđun mở rộng Khi đó, M môđun mở rộng mơđun đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = K ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M Mệnh đề 1.2 Cho M = M1 M2 với M1 , M2 môđun mở rộng Nếu M1 M2 -nội xạ M2 M1 -nội xạ M mơđun mở rộng Mệnh đề 1.3 Cho M R-mơđun có chiều uniform hữu hạn Nếu M mơđun mở rộng M = n i =1 Mi , với Mi môđun u dim( M) = n Mệnh đề 1.4 Cho M môđun chuỗi với chuỗi hợp thành ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi đóM (U/V ) khơng mơđun mở rộng 1.3 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Định nghĩa 1.3 R-môđun P gọi xạ ảnh với đồng cấu f : P −→ B tồn cấu g : A −→ B R-mơđun tồn đồng cấu h : P −→ A cho g◦ h = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán P ∃h A  g G  f G0 B Định nghĩa 1.4 R-môđun Q gọi nội xạ với đồng cấu f : A −→ Q đơn cấu g : A −→ B R-môđun tồn đồng cấu h : B −→ Q cho h◦ g = f Có nghĩa, biểu đồ sau giao hốn g GA GB f   ∃h Q Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Baer) R-môđun Q nội xạ với iđêan phải U R R đồng cấu f : U −→ Q tồn đồng cấu h : R R −→ Q cho h◦ i = f với i : U −→ R phép nhúng tắc Có nghĩa, biểu đồ sau giao hoán GU f   i G R ∃h Q Định nghĩa 1.5 Đơn cấu ϕ : A R −→ CR gọi cốt yếu Imϕ môđun cốt yếu C Định nghĩa 1.6 Cho R-môđun A, đơn cấu α : A −→ Q gọi bao nội xạ A Q môđun nội xạ α đơn cấu cốt yếu Kí hiệu E( A) Ví dụ 1.3.1 Đơn cấu tắc i : ZZ −→ QZ bao nội xạ Z QZ nội xạ ZZ môđun cốt yếu QZ Bổ đề 1.1 Đối với R-mơđun vành R 27 (a) R thỏa mãn điều kiện (∗) (b) R R R R mô-đun CS (b)’ Mọi R−môđun phải 2−sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (k) (c) R R mô-đun CS với k ∈ N (c)’ Mọi R−môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh mô-đun suy biến (d) R vành CS phải R−môđun phải 2−sinh trực tiếp suy biến (iii) Với i, ≤ i ≤ k, tồn số nguyên ti cho ei J t môđun xạ ảnh với t ≤ ti ei J ti +1 môđun suy biến, với J = J ( R) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.3, ta nhận điều kiện (ii) tương đương Giả sử R vành co-H phải, theo [[10], Mệnh đề 3.18], ta có R vành nửa nguyên sơ, R vành hoàn chỉnh phải trái Áp dụng Định lý 3.2, ta có (i) kéo theo (ii) Từ định nghĩa vành co-H, ta có (ii) kéo theo (i) Ví dụ 3.1.2 Vành R xác định sau     R R a b a, b ∈ R, C ∈ Q = R=   c Q Ta có, R vành hồn chỉnh trái, R vành Artin trái, R R R R không mô-đun CS Áp dụng Định lý 3.4 ta suy R khơng co− H phải Ví dụ 3.1.3 Vành R xác định sau        C V  c1 v1      V =  C V =  c2 v2  ci ∈ C, v j ∈ V, i = 1, 2, 3; j = 1,    0 c  0 C V C− song đại số với dim (C V) = dim (VC ) = V2 = 28 Khi đó, R vành Artin, R R R R R R R R môđun CS Vậy R vành co− H phải trái, theo Định lý 3.4, nhiên R không vành QF Tiếp theo, kết áp dụng cho vành co− H hai phía Hệ 3.1 Cho vành R Các phát biểu tương đương (i) R vành co-H (phải trái) (ii) R vành H (phải trái) (iii) R vành Artin phải trái thỏa mãn ( R mô-đun CS R) R R (R R) Chứng minh (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) Rõ ràng (iii) ⇒ (i) Giả sử R vành Artin phải thỏa mãn điều kiện (iii) Khi đó, R vành hồn chỉnh (phải trái) thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử phải Theo Định lý 3.4, ta có R vành co− H phải Ngoài ra, R thỏa mãn DCC iđêan linh hóa tử phải nên R thỏa mãn ACC iđêan linh hóa tử trái Theo Định lý 3.4 lần nữa, ta có R vành co− H trái Vậy R vành co− H Trường hợp, H vành Artin trái, chứng minh tương tự Kết cho mối liên hệ vành Artin chuỗi vành H vành co− H vành R không suy biến Định lý 3.5 Các kết sau tương đương vành không suy biến phải R: (i) R vành chuỗi Artin tổng quát (ii) R vành co− H (phải trái) (iii) R vành H (phải trái) (iv) R vành hoàn chỉnh trái phải thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (a) R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ 29 (b) R R R R môđun CS (b)’ Mọi R−môđun phải 2−sinh tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mô-đun suy biến (k) (c) R R mô-đun CS với k ∈ N (c)’ Mọi R−môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun xạ ảnh mô-đun suy biến (d) R vành CS phải R−môđun phải 2−sinh xạ ảnh suy biến Chứng minh (i) ⇒ (ii) ⇔ (iii) Theo [[10], Định lý 4.5] (ii) ⇒ iv Áp dụng Định lý 3.4 [[3], Định lý 4] (iv) ⇒ (i) Với giả thiết (iv) ta có R R = e1 R ··· ek R e k +1 R ··· en R, k ≥ 1, {ei }in=1 tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao R thỏa mãn ei R môđun nội xạ với i = 1, 2, , k; e j R môđun không nội xạ với j = k + 1, , n tồn ei nội xạ cho e j R ei R Từ ta thấy R vành QF − phải QF − phải Khi Z ( R R ) = 0, áp dụng bổ đề 2.1.3 ta có ei R môđun chuỗi với i = 1, 2, , n Mặt khác, R thỏa mãn điều kiện (∗)∗ nên với ei R nội xạ mơđun ei R địa phương xạ ảnh xiclic Do vậy, ta có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp R vành hoàn chỉnh trái: Do R thỏa mãn DCC iđêan phải nên suy ei R Artin với i = 1, 2, , k Với j = k + 1, , n tồn ei R nội xạ thỏa mãn e j R ei R nên ta có e j R Artin Vậy R vành Artin phải Trường hợp R vành hoàn chỉnh phải: Do R thỏa mãn ACC iđêan phải nên suy ei R Nơte với i = 1, 2, , k Với j = k + 1, , n tồn ei R nội xạ thỏa mãn e j R ei R nên ta có e j R Nơte Vậy R vành Nơte phải Từ suy R vành Artin phải 30 Như vậy, R vành QF − Artin phải Do ta có R vành Artin chuỗi tổng quát 3.2 Đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF-3 Trong mục này, chúng tơi trình bày mơ tả cấu trúc nội vành nửa hoàn chỉnh QF − Chúng ta bắt đầu với kết sau Bổ đề 3.2 ([1], Định lý 27.11) Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh e1 , e2 , , em tập lũy đẳng nguyên thủy sở R Khi đó, P xạ ảnh tồn tập hữu hạn A1 , A2 , , Am (có thể rỗng) thỏa mãn P Re1 ( A1 ) Re2 ( A2 ) Rem ( Am ) ··· Định nghĩa 3.2 Vành R gọi QF − phải (trái) R R (tương ứng R R) phân tích thành tổng trực tiếp iđêan phải (trái) Vành R gọi QF − phải (trái) E ( R R ) (tương ứng E ( R R)) môđun xạ ảnh Ta gọi vành R QF − ( QF − 3) R QF − ( QF − 3) phải trái Từ định nghĩa trên, rõ ràng vành QF vành QF − QF − Kết điều kiện cần đủ để vành R vành QF − điều kiện (∗)∗ xảy Mệnh đề 3.1 Giả sử (∗)∗ xảy Khi R vành QF − phải điều kiện sau thỏa mãn (i) P có chiều Goldie hữu hạn (ii) R nửa hoàn chỉnh Chứng minh (a) Gọi {Ki }in=1 tập hợp tất iđêan phải R thỏa n i =1 Ki cốt yếu R Khi n E = E( R) = Ki i =1 31 Gọi g : R −→ E( R) phép nhúng Qi = ker πi g, πi phép chiếu từ E vào E (Ki ) Vì E (Ki ) nên Qi tối giản Hơn = Q1 ∩ Q2 ∩ · · · ∩ Q n không rút gọn E ( R/Qi ) = E (Ki ) • Nếu n ≥ R/Qi khơng đối bé E ( R/Qi ) xạ ảnh, từ (∗)∗ • Nếu n = 1, R bất khả quy E khơng phân tích khơng đối bé Do vậy, E xạ ảnh b) Giả sử 1= ∑ ei + ∑ f j , {ei , f j } tập lũy linh nguyên thủy trực giao thỏa mãn ei R nội xạ Vì f j R nên E = E f j R khơng phân tích Ej = Z Ej Do vậy, Ej xạ ảnh Kết đặc trưng vành QF − Kết mở rộng kết Harada [[7], Định lý 1.3] Định lý 3.6 ([13], Định lý 2.2.3) Cho R vành nửa hồn chỉnh Khi điều kiện sau tương đương (i) R vành QF − phải; (ii) (a) eR nội xạ, với lũy đẳng nguyên thủy không bé e R, (b) E ( R R ) hữu hạn sinh; (iii) (a) eR nội xạ, với lũy đẳng nguyên thủy không bé e R, (b) E f R có phủ xạ ảnh, với lũy đẳng nguyên thủy f R Chứng minh (i ) ⇒ (ii )b Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh QF − phải Khi E ( R R ) môđun xạ ảnh Áp dụng Bổ đề 3.2, ta có RR Mi , i∈ I 32 Mi R−mơđun nội xạ, xạ ảnh khơng phân tích I tập số Xét phần tử đơn vị ∈ R, ta có = m i1 + · · · + m i t , mi j ∈ Mi j (j = 1, , t) Khi ta có t RR ≤ Mi j j =1 Do t j =1 Mi j môđun nội xạ, nên suy t E (RR ) = Mi j j =1 Vậy E ( R R ) môđun hữu hạn sinh (i ) ⇒ (ii ) a Giả sử e lũy đẳng nguyên thủy R với eR mơđun khơng bé Vì E ( R R ) môđun xạ ảnh, nên E (eR) mơđun xạ ảnh n E (eR) = Mi , i =1 Mi mơđun nội xạ, xạ ảnh khơng phân tích Xét R−đồng cấu chiếu (lên thành phần thứ i tổng trực tiếp): n M j → Mi (i = 1, , n) pi : j =1 Đặt pi (eR) = Ui ≤ Mi Giả sử Ui = Mi , ∀i Khi Ui 1, , n Từ suy Ui mơđun bé Vậy mơđun bé Mặt khác eR ≤ n i =1 n i =1 Mi , ∀ i = Ui Ui , từ suy eR mơđun bé Điều mâu thuẫn với giả thiết eR môđun không bé Vậy tồn số k thỏa mãn pk (eR) = Mk 33 Ngoài ra, Mk mơđun xạ ảnh eR khơng phân tích nên suy eR = Mk , điều có nghĩa eR mơđun nội xạ (ii ) ⇒ (iii ) Do E f R hạng tử trực tiếp E ( R R ) nên E f R hữu hạn sinh Vậy E f R có phủ xạ ảnh (iii ) ⇒ (i ) Gọi f lũy đẳng nguyên thủy R Vì E f R có phủ xạ ảnh, nên ta có R−tồn cấu p P− → E( f R) → Mặt khác, P xạ ảnh nên ta có P = i∈ I Mi , Mi R−môđun không bé nội xạ, xạ ảnh khơng phân tích với i ∈ I, với I tập số Xét biểu đồ sau fR ϕ P | p G  θ E fR G θ đơn cấu nhúng Do f R môđun xạ ảnh, nên tồn R-đồng cấu ϕ : f R → P, thỏa mãn θ = pϕ Vì θ đơn cấu, nên ϕ đơn cấu Mặt khác, fR mơđun xiclic, nên tồn số tự nhiên n cho có đơn cấu fR → n i =1 Mi Ngoài ra, Mi (i = 1, , n) môđun nội xạ, xạ ảnh nên suy E f R mơđun xạ ảnh Từ suy E ( R R ) xạ ảnh Hệ sau mô tả kĩ cấu trúc vành nửa hoàn chỉnh QF − phải Hệ 3.2 Cho vành nửa hồn chỉnh Khi đó, R vành QF − phải     t RR =  m ei R  i =1 f j R ,  j =1 {ei }it=1 ∪ { f i }m j=1 tập đầy đủ lũy đẳng nguyên thủy trực giao, thỏa mãn 34 (i) t ≥ 1, ei R nội xạ với i = 1, , t f j R không nội xạ với j = 1, , m (i) Với f j ( j = 1, , m), tồn tập số hữu hạn F1 , F2 , , Ft cho     E fjR ∼ = e1 R  ··· et R   Et E1 Trước trình bày đặc trưng điều kiện (∗)∗ vành nửa hoàn chỉnh R thỏa mãn R R R R môđun CS, xét bổ đề sau Bổ đề 3.3 Cho R vành nửa hoàn chỉnh Nếu R R R R mơđun CS eR R-mơđun nội xạ phải, với lũy đẳng không bé e R Chứng minh Vì R nửa hồn chỉnh nên R R = e1 R ··· en R, với {ei }in=1 tập lũy đẳng nguyên thủy trực giao R Vì R R R R mô-đun mở rộng nên R R mơ-đun mở rộng Từ đó, eR với lũy đẳng nguyên thủy e ∈ R Bây giờ, ta chứng minh eR nội xạ với lũy đẳng nguyên thủy không bé e ∈ R Gọi U iđêan phải R α R- đồng cấu U eR Ta cần rằng, α mở rộng thành phần tử HomR ( R R , eR) Giả sử UR cốt yếu R R Dễ dàng chứng minh u − α(u)|u ∈ U môđun M = R R eR Mặt khác, ta có R R eR mơđun CS, R R R R môđun CS Do vậy, tồn hạng tử trực tiếp U ∗ M thỏa mãn u − α(u)|u ∈ U ≤e U ∗ Do U ∩ eR = nên suy U ∗ ∩ eR = U ∗ eR ≤e M Vì U ∗ hạng tử trực tiếp M nên ta có M = U ∗ M , với M mơđun 35 M Vì eR môđun nên suy M môđun khơng phân tích Mặt khác, R vành nửa hoàn chỉnh nên M = e1 R ··· en R eR ε Do đó, M ∼ = ei R với ei lũy đẳng nguyên thủy R Xét phép chiếu p U∗ eR − →M đặt p1 = p|eR Khi đó, p1 đơn cấu Từ suy ϕ = εp1 R− đồng cấu từ eR vào ei R: p1 ε ϕ : eR − →M − → ei R Do e lũy đẳng không bé nên suy ϕ đẳng cấu Vậy ei R = ϕ (eR) = εp1 (eR) = ε p1 (eR) Vì ε đẳng cấu nên suy p1 (eR) = M Từ đó, ta nhận p (eR) = M U∗ eR = U ∗ M = M Gọi π phép chiếu từ U ∗ eR lên eR Khi đó, β = π | R ∈ HomR ( R R , eR) mở rộng α Kết cho điều kiện cần đủ để vành nửa hoàn chỉnh R thỏa mãn R R R R CS-môđun trở thành QF −phải Mệnh đề 3.2 Cho R vành nửa hồn chỉnh cho R R rộng Khi đó, điều kiện sau tương đương R R mô-đun mở (1) R QF-3 phải (2) Với lũy đẳng bé f , tồn lũy đẳng không bé e R để f R nhúng vào eR 36 Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải cho R R R R mô-đun mở rộng Gọi f lũy đẳng bé R Khi đó, E f R xạ ảnh khơng phân tích được, f R mơ-đun Khi đó, E f R ∼ = eR, với lũy đẳng e ∈ R Do vậy, f R eR (2) ⇒ (1) Ta viết R R = e1 R ··· f1 R · · · ek R f n R, {ei }ik=1 tập lũy đẳng nguyên thủy trực giao R, ei R (i = 1, 2, , k) mô-đun không bé f j R (i = 1, 2, , k) mô-đun bé Từ giả thiết (2), ta nhận k ≥ Áp dụng Bổ đề 3.3, ta có ei R mơ-đun mội xạ i = 1, 2, , k Do đó, E (RR ) ∼ = e1 R( I1 ) ··· ek R( Ik ) , I1 , I2 , , Ik tập hữu hạn số Điều kéo theo R QF-3 phải Kết cho phép kiểm tra vành R thỏa mãn điều kiện (∗) R R R R mô-đun CS Định lý 3.7 Cho R vành nửa hoàn chỉnh cho R R Khi đó, điều kiện sau tương đương R R mô-đun CS (1) R thỏa mãn (∗)∗ (2) Với lũy đẳng nguyên thủy f R, f R không tự đẳng cấu với môun thực Chứng minh (1) ⇒ (2) Gọi e lũy đẳng nguyên thủy cho eR khơng bé Vì R QF-3 phải nên eR nội xạ Đặt eJ = J (eR) Nếu eJ = Z (eR) eJ khơng đối bé Do vậy, eJ xạ ảnh Tiếp theo, J (eJ ) = eJ = Z (eR) khơng đối bé Do vậy, eJ xạ ảnh, (∗)∗ Cứ tiếp tục trên, ta thu chuỗi mô-đun xạ ảnh eR eR ⊃ eJ ⊃ eJ ⊃ · · · (I) 37 eJ k /eJ k+1 đơn Bây giờ, ta (I) có hữu hạn số hạng Xét ϕ : eJ n ∼ = eJ n+k , với k ≥ Khi đó, ϕ mở rộng thành đồng cấu ϕ : eR −→ eR Đặt ϕ (eR) = M, M ⊃ eJ Điều kéo theo M xạ ảnh Vì vậy, ϕ đơn cấu ϕ (eR) = eR eR xạ ảnh Vậy nên, eR/eJ n ∼ = eR/eJ n+k , điều mẫu thuẫn length (eR/eJ n ) = n length eR/eJ n+k = n + k Do vậy, chuỗi eR ⊃ eJ ⊃ eJ ⊃ · · · có hữu hạn số hạng eR/Z (eR) có độ dài hữu hạn Gọi f lũy đẳng tùy ý cho f R bé Theo Mệnh đề 3.2, tồn mô-đun không đối bé eR cho f R eR Vì eR/Z (eR) có độ dài hữu hạn nên f R/Z f R có độ dài hữu hạn (2) ⇒ (1) Gọi R vành nửa hoàn chỉnh cho R R R R môđun mở rộng, L mơ-đun khơng đối bé Khi đó, L chứa mơđun địa phương cyclic Xét sơ đồ giao hốn G  θ G ι N | E (N) L θ ι θ đơn cấu Rõ ràng, θ ( N ) ≤ θ ( L) Vì θ ( N ) cyclic nên θ ( N ) = xR với x ∈ θ ( N ) Chọn x1 ∈ θ ( L) \ θ ( N ) Khi đó, N1 = xR + x1 R tổng trực tiếp mơ-đun xạ ảnh mơ-đun kì dị Vì N1 khơng phân tích chứa mô-đun không đối bé nên N1 xạ ảnh tồn lũy đẳng nguyên thủy e1 ∈ R cho N1 ∼ = e1 R Do đó, N1 mô-đun xyclic nội xạ Chọn x2 ∈ θ ( L) \ N1 Khi đó, N2 = xR + x1 R tổng trực tiếp mô-đun xạ ảnh mơ-đun kì dị Lập lại khẳng định trên, ta nhận N1 xạ ảnh Cứ tiếp tục vậy, ta nhận chuỗi tăng dần 38 R-môđun phải cyclic xạ ảnh N1 < N2 < · · · < θ ( L) Sử dụng giả thiết (2) vành nửa hồn chỉnh R trực giao hữu hạn, điều kéo theo tồn k ∈ N cho Nk = θ ( L) Do vậy, θ ( L) xạ ảnh Xét toàn cấu θ : L −→ θ ( L) Vì θ ( L) xạ ảnh nên L = ker θ U, với U modules xạ ảnh L Vậy R thỏa mãn (∗)∗ KẾT LUẬN Luận văn “Mô đun không bé, mô đun không đối bé áp dụng” đạt kết sau: Hệ thống lại khái niệm tính chất quan trọng mô đun không bé, mô đun không đối bé Trình bày lại khái niệm, mơ tả đặc trưng vành co− H Trình bày lại khái niệm, mô tả đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh QF − Tài liệu tham khảo [1] F W Anderson and K R Fuller, Rings and categories of modules, Berlin – Heidelberg - New York, 1992 (2nd edition) [2] P Dan, L D Thoang and L V Thuyet, On semiperfect QF-3 rings, Contributions in Mathematics and Applications – A special volume published by East-West Journal of Mathematics (2005), 211-216 [3] P Dan, Right perfect rings with the extending peroperty on finitely generated free module, Osaka J Math 26 (1989), 265-273 [4] B D Dung, L D Thoang and N V Sanh, When is a semiperfect ring right PF?, Asian-European Journal of Mathematics Vol 1, No (2008), 353-358, World Scientific Publishing Company [5] B D Dung, T C Quynh and L D Thoang, On strictly generalized p-quasi-baer rings, East-West J of Mathematics: Vol 9, No (2007) pp 189-196 [6] K R Goodearl, Ring Theory, Monographs and Textbooks in Pure and Appl Math., 33, Dekker, New York, 1976 [7] M Harada, Non-small and non-cosmall modules, Proc of the Antw Conf., Marcel - Dekker (1978), 669-689 [8] D V Huynh and P Dan, Some characterizations of right co-H rings, Math J Okayama Univ 34 (1992), 165-174 [9] W W Leonard, Small modules, Proc Amer Math Soc 17 (1966), 527-531 40 [10] K Oshiro, Lifting modules, extending modules and their applications to generalized uniserial rings, Hokkaido Math J., Vol 13, 339-346, (1984) [11] M Rayar, Small modules and cosmall modules, Ph D Dissertation, Indiana Univ (1971) [12] T Soonthornkrachang, P Dan, N V Sanh, K P Shum, On Harada Rings and Serial Artinian Rings, Vietnam Journal of Mathematics 36(2008), 229–238 [13] L D Thoang, Về cấu trúc vành QF số vành mở rộng, Luận án tiến sĩ Toán học, Đại Học Huế (2006) [14] N Vanaja, Characterizations of rings using extending and lifting modules, "Ring Theory" (Proc of the Denison Conf., eds: Jain, S K and Rizvi, S T.), World Scientific, Singapore (1993) ... 5 10 12 Môđun không bé, môđun không đối bé 2.1 Môđun không bé 2.2 Môđun không đối bé 14 14 17 Áp dụng vào vành 3.1 Về đặc trưng vành co-H ... có ý nghĩa áp dụng, áp dụng đặc trưng lớp vành Đây hướng nghiên cứu nhiều tác giả quan tâm Chúng chọn đề tài: MÔĐUN KHÔNG BÉ, MÔĐUN KHÔNG ĐỐI BÉ VÀ ÁP DỤNG Khái niệm môđun bé, trước nhiều tác... bày khái niệm số tính chất môđun không bé, môđun không đối bé Các kết chương trình bày dựa vào [1],[7], [11], [13] 2.1 Môđun không bé Định nghĩa 2.1 Môđun N gọi môđun bé (small module) N E( N ),