Các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh lớp 10 chuyên toán

PHAN QUANG ĐẠT NGUYỄN NHẤT HUY • DƯƠNG QUỲNH CHÂU CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC TUYỂN CHỌN TỪ CÁC ĐỀ TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN MATHPIAD TUYỂN TẬP SỐ HỌC TRONG KÌ THI CHUN TỐN 2020 − 2021 Mathpiad − Tạp chí tư liệu tốn học Phan Quang Đạt − Nguyễn Nhất Huy − Dương Quỳnh Châu LATEX by Mathpiad LAT EX by Mathpiad Chương I Một số kiến thức sử dụng tài liệu Các định nghĩa ngồi sách giáo khoa Ȋ Số phương số biểu diễn dạng bình phương số tự nhiên Ȋ Số lập phương số biểu diễn dạng lập phương số ngun Các kí hiệu, quy ước ngồi sách giáo khoa Ȋ Kí hiệu a | b dùng thay cho mệnh đề "a ước b", đọc "a chia hết b" Ȋ Kí hiệu (a, b) dùng để ước chung lớn a b Đơi lúc, cịn dùng để cặp số (a, b), cần phân biệt rõ Ȋ Kí hiệu a ≡ b (mod m) dùng thay cho mệnh đề "a b có số dư chia cho m", đọc "a đồng dư với b theo modulo m" Các đẳng thức mở rộng Ȋ (A + B +C)2 = A2 + B2 +C2 + 2AB + 2BC + 2CA Ȋ A3 + B3 +C3 − 3ABC = (A + B +C) A2 + B2 +C2 − AB − BC −CA Các tính chất ước chung lớn a) Với số nguyên a, b, c khác thỏa mãn c | ab (a, c) = 1, ta suy c | b b) Với số nguyên a, b, c khác thỏa mãn ab = c2 , (a, c) = 1, ta có |a| |b| hai số phương c) Với số nguyên a, b, c khác thỏa mãn ab = c3 , (a, c) = 1, ta có a b hai số lập phương Các tính chất đồng dư thức chia hết (a) Tính chia hết tổng, tích số nguyên liên tiếp Ȋ Tổng n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Ȋ Tích n số nguyên liên tiếp ln chia hết cho n!, n! tích tất số tự nhiên từ đến n LAT EX by Mathpiad CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU (b) Nếu a ≡ b (mod m), ta suy Ȋ m | (a − b) Ȋ a + c ≡ b + c (mod m), với c số nguyên Ȋ ac ≡ bc (mod m), với c số nguyên m a b Ȋ ≡ (mod ), với n ước chung a, b, m n n n Ȋ an ≡ bn (mod m) (c) Một số phương Ȋ Đồng dư với theo modulo Ȋ Đồng dư với theo modulo Ȋ Đồng dư với 0, theo modulo (d) Định lý Fermat nhỏ Cho p số nguyên tố a số nguyên dương thỏa mãn a khơng chia hết cho p, a p−1 ≡ (mod p) Bổ đề kẹp Giữa hai lũy thừa số mũ n liên tiếp, không tồn lũy thừa số n Hệ quả, với số ngun a Ȋ Khơng có số phương nằm a2 (a + 1)2 Ȋ Số phương nằm a2 (a + 2)2 (a + 1)2 Ȋ Có k − số phương nằm a2 (a + k)2 , (a + 1)2 , (a + 2)2 , , (a + k − 1)2 Bổ đề nghiệm nguyên phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên ax2 + bx + c = có hai nghiệm ngun (khơng thiết phân biệt) ∆ = b2 − 4ac số phương LAT EX by Mathpiad Chương II Giới thiệu số toán số học đề thi vào lớp 10 chun Tốn Câu 1 Tìm tất số tự nhiên n cho (2n + 1)3 + chia hết cho 22021 2n + 4n2 + 2n + b = số p p nguyên Chứng minh a b không đồng thời số phương Cho số tự nhiên n số nguyên tố p cho a = Chuyên Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh Câu Tìm tất số nguyên dương m, n thỏa mãn m(m + 1)(m + 2) = n2 Hà Tĩnh Câu Tìm tất nghiệm (x; y) phương trình x2 − 2x + 2y = 2(xy + 1) Cho p số nguyên tố cho tồn số nguyên dương x, y thỏa mãn x3 + y3 − p = 6xy − Tìm giá trị lớn p Lào Cai Câu Tìm tất ba số nguyên tố (p, q, r) thỏa mãn pq = r + p2 + q2 = r2 + Quảng Nam Câu Tìm tất số tự nhiên a b với lớn cho (a − 1)(b − 1) | (ab − 1) Chuyên Đại học Khoa học Huế Câu Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n + 1) + không chia hết cho Chứng minh 4n3 − 5n − khơng số phương Thái Bình LAT EX by Mathpiad CHƯƠNG II GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Câu Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 2y2 − 2xy − 2x − 4y + = Tìm tất số nguyên tố p cho p2 − p − lập phương số tự nhiên Thanh Hóa - Chun Tốn Câu Tìm tất ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn đồng thời điều kiện √ √ √ xy + xz − yz = y, 1 + − = x y z số nguyên tố p thỏa mãn p − chia hết cho n n3 − chia hết cho p Chứng minh n + p số phương Cho số tự nhiên n Thanh Hóa - Chuyên Tin Câu Tìm tất số nguyên dương n để n − 1989 n − 2022 số phương Biết phương trình x2 − ax + b + = (với a, b số nguyên) có hai nghiệm nguyên Chứng minh 2a2 + b2 hợp số Quảng Trị Câu 10 Cho hình lăng trụ đứng, đáy tam giác vuông, chiều cao Số đo ba cạnh tam giác đáy số ngun Số đo diện tích tồn phần lăng trụ số đo thể tích lăng trụ Tính số đo ba cạnh tam giác đáy lăng trụ Quảng Ninh Câu 11 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức 5x2 + 3y2 + 4xy − 2x + 8y + Trong 2021 số nguyên dương đầu tiên, có số không chia hết cho không chia hết cho 11? Đồng Nai Câu 12 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn (xy − 1)2 = x2 + y2 Bà Rịa - Vũng Tàu Câu 13 Giải phương trình nghiệm nguyên x2 y − xy + 2x − = y2 − xy2 − 2y LAT EX by Mathpiad MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Bến Tre Câu 14 Tìm x, y ∈ N cho x3 = 1993 · 3y + 2021 Tìm số nguyên dương n để n − 23 bình phương số hữu tỉ dương n + 89 Nghệ An Câu 15 Cho a số nguyên tố lẻ a không chia hết cho Chứng minh a2 − 2021 chia hết cho 24 Cho số nguyên tố p, q thỏa mãn p + q2 số phương Chứng minh a, p = 2q + b, p2 + q2021 khơng phải số phương Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi khác (n 3) thỏa mãn tính chất: tổng phần tử S số nguyên tố Tìm giá trị lớn n Quảng Ngãi Câu 16 Chứng minh tổng bình phương số ngun liên tiếp khơng thể số phương Tìm nghiệm ngun dương phương trình x2 y + 2xy + y = 32x Vĩnh Long b Câu 17 Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a = b − c = Chứng minh a + b + c c lập phương số nguyên Bình Dương Câu 18 Cho m, p, r số nguyên tố thỏa mãn mp + = r Chứng minh m2 + r p2 + r số phương Tìm tất số ngun tố q cho tồn số nguyên dương n để n2 + 22q lũy thừa với số mũ nguyên dương 11 Kiên Giang LATEX by Mathpiad CHƯƠNG II GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Câu 19 Hỏi có số tự nhiên n không vượt 2021 mà n3 + 2021 chia hết cho Hịa Bình Câu 20 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn y2 + 3y = x4 + x2 + 18 Ninh Thuận Câu 21 Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn x2 − 2y · x − 421 · = Thừa Thiên Huế - Chuyên Toán Câu 22 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn điều kiện x2 y − y2 x − 2x2 − 3y2 + 10xy − 16x + 21y = 100 Chứng minh từ 1012 số ngun bất kì, ln tồn hai số mà hiệu bình phương chúng số nguyên chia hết cho 2021 Thừa Thiên Huế - Chuyên Tin Câu 23 Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − 2y(x − y) = 2(x + 1) Tây Ninh Câu 24 Cho m, n số nguyên dương cho m2 + n2 + m chia hết cho mn Chứng minh m số phương Tiền Giang Câu 25 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 5y2 + 4xy + 4y + 2x − = Cần Thơ Câu 26 Hai số tự nhiên khác gọi "thân thiết" tổng bình phương chúng chia hết cho Hỏi tập X = {1; 2; 3; ; 2021} có cặp số "thân thiết" (khơng phân biệt thứ tự)? Khánh Hịa Câu 27 Cho phương trình bậc hai với tham số m x2 −2(m−2)x+m2 −3 = Tìm tất giá trị ngun m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn P = nhận giá trị nguyên 2x1 x2 x1 + x2 Tìm tất nghiệm nguyên (x, y) phương trình x2 + 3y2 + 4xy − 2x − 4y − = Đắk Nông LATEX by Mathpiad MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Câu 28 Tìm nghiệm nguyên phương trình (2x + y)(x − y) + 3(2x + y) − 5(x − y) = 22 Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 + a = 3b2 + b Chứng minh 2a + 2b + số phương Bình Phước Câu 29 Tìm tất số tự nhiên n k để n4 + 42k+1 số nguyên tố Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn x4 − x2 + 2x2 y − 2xy + 2y2 − 2y − 36 = Đắk Lắk Câu 30 Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n2 − 2n − n2 − 2n + 12 lập phương số ngun dương Quảng Bình Câu 31 Tìm tất số nguyên dương n để A = 4n3 + 2n2 − 7n − số phương Thái Ngun - Chun Tốn Câu 32 Tìm tất số nguyên tố p, q cho phương trình x2 − px + q = có nghiệm số nguyên Thái Nguyên - Chuyên Tin Câu 33 Giải phương trình x3 + y3 − x + 3z = 2021 với x, y, z số nguyên Hà Nam Câu 34 Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn a + b + 20c = c3 Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho Lâm Đồng Câu 35 Tìm tất số tự nhiên n cho n4 + n3 + số phương Cho phương trình x2 − mx + m + = Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm ngun Bình Định - Chun Tốn LATEX by Mathpiad MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC ǥ Câu 45 Chứng minh với số nguyên n, ta có n2 + 3n + 16 khơng chia hết cho 25 Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x2 − xy − 2y2 + x + y − = Hà Nội − Chuyên Tin Lời giải Giả sử tồn số tự nhiên n thỏa mãn 25 | n2 + 3n + 16 Giả sử cho ta 25 | n2 + 3n + 16 ⇒ 25 | (2n + 3)2 + 55 ⇒ | (2n + 3)2 + 55 ⇒ | (2n + 3)2 ⇒ | (2n + 3) ⇒ 25 | (2n + 3)2 Tiếp tục kết hợp điều với 25 | (2n + 3)2 + 55 , ta có 55 chia hết cho 25, điều vơ lí Như vậy, giả sử phản chứng sai, ta có điều phải chứng minh Phương trình cho tương đương với (x + y)(x − 2y) + (x + y) − = ⇔ (x + y)(x − 2y + 1) = Tới đây, ta lập bảng giá trị x+y x − 2y + x y −5 −1 −4 −1 −1 −5 ∈Z ∈Z −1 ∈Z ∈Z Như vậy, có tổng cộng hai cặp (x, y) thỏa đề, bao gồm (−4, −1) (2, −1) ∇ ǥ Câu 46 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận số dư tương ứng 3, 4, 5, Cho tập A = {1, 2, 3, , 2021} Tìm số nguyên dương k lớn (k > 2) cho ta chọn k số phân biệt từ tập A mà tổng hai số phân biệt k số chọn khơng chia hết cho hiệu cúa chúng Chuyên Khoa học Tự nhiên − Vòng Lời giải LATEX by Mathpiad 47 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Giả sử tồn số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu Ta có  n≡3    n≡4 n≡5    n≡6 (mod (mod (mod (mod  7) 2n ≡    9) 2n ≡ ⇒ 11) 2n ≡ 10    13) 2n ≡ 12  (mod 7) 2n + ≡    (mod 9) 2n + ≡ ⇒ (mod 11) 2n + ≡    (mod 13) 2n + ≡ (mod (mod (mod (mod 7) 9) 11) 13) Dựa vào nhận xét trên, ta suy 2n + số nguyên dương nhỏ chia hết cho 7, 9, 11, 13 Bốn số đơi nguyên tố nhau, nên 2n + = · · 11 · 13 = 9009 Từ đây, ta thu n = 4504 Ta dự đoán k = 674 Ta chứng minh kết a, Điều kiện cần Nếu k 675, ta xét 675 số A Ta phân hoạch A thành tập sau {1; 2; 3}, {4; 5; 6}, , {2017; 2018; 2019}, {2020; 2021} Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số a, b nằm tập kể Tuy nhiên, a + b lại chia hết cho a − b, mâu thuẫn với giả thiết cho b, Điều kiện đủ Nếu k = 674, ta xét số chia dư A, 1, 4, 7, · · · , 2020 Tổng số 674 số chia dư 2, hiệu chúng chia hết cho 3, nên khơng ước tổng Kết tốn k = 674 ∇ ǥ Câu 47 Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 3x + 29 = 2y Chuyên Khoa học Tự nhiên − Vòng Lời giải Giả sử tồn số nguyên dương x, y thỏa mãn yêu cầu toán Với x = 1, kiểm tra trực tiếp, ta nhận y = Với x 2, ta có 3x + 29 ≡ (mod 9) ⇒ 2y ≡ (mod 9) Xét số dư chia cho y, ta nhận y ≡ (mod 6) Bằng cách đặt y = 6z + (trong z số tự nhiên), ta 2y = 26z+1 = · 64z ≡ (mod 7) LATEX by Mathpiad 48 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Ta tiếp tục suy 3x + 29 ≡ (mod 7) ⇒ 3x ≡ (mod 7) Xét số dư chia cho x, ta nhận x ≡ (mod 6) Tiếp tục đặt x = 6t (trong t số tự nhiên), ta 3x + 29 = 36y + 29 = 729t + 29 ≡ (mod 8) Ta 2y ≡ (mod 8) từ đây, điều xảy Kết luận, (x, y) = (1, 5) cặp số nguyên dương thỏa yêu cầu ∇ Cơ sở việc chọn modulo để xét cho x y ta tìm 2y ≡ (mod 9) 3x ≡ (mod 7) nhờ vào hai định lí sau: Cho số nguyên dương a số nguyên tố p, (a, p) = a p−1 ≡ ! (mod p) Cho số nguyên dương a, b nguyên tố Khi đó, tồn số nguyên dương n cho an ≡ (mod b) Số nguyên dương n nhỏ định lí thứ hai modulo ta cần xét ǥ Câu 48 4b2 + 20b Tìm tất số nguyên a, b thỏa mãn a4 − 2a3 + 10a2 − 18a − 16 = Cao Bằng Lời giải Phương trình cho tương đương với a4 − 2a3 + 10a2 − 18a + = 4b2 + 20b + 25 ⇔ a4 − 2a3 + a2 + 9a2 − 18a + = (2b + 5)2 ⇔ a2 (a − 1)2 + 9(a − 1)2 = (2b + 5)2 ⇔ a2 + (a − 1)2 = (2b + 5)2 Nếu a = 1, ta suy b = − , mâu thuẫn giả thiết a, b số nguyên Lập luận chứng tỏ (a − 1)2 > 0, vậy, a2 + số phương Ta đặt a2 + = c2 , với c số nguyên dương Phép đặt cho ta (c − a)(c + a) = Do c > |a|, ta suy c − a > c + a > Dựa vào đây, ta lập bảng giá trị sau c+a c−a a 3 −4 LATEX by Mathpiad 49 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Lần lượt thay a = −4, 0, trở lại phương trình ban đầu, ta tìm tất cặp (a, b) thỏa yêu cầu, (−4, −15), (−4, 10), (0, −4), (0, −1), (4, −1), (4, 5) ∇ ǥ Câu 49 Tìm tất cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn x2 y2 (y − x) = 5xy2 − 27 Cho p1 , p2 , , p12 số nguyên tố lớn Chứng minh p21 + p22 + + p212 chia hết cho 12 Nam Định Lời giải Giả sử tồn cặp số (x, y) thỏa đề Theo đó: xy 5y − xy2 + x2 y = 27 (*) Biến đổi chứng tỏ xy ước nguyên dương 27 Ta xét trường hợp sau Ȋ Trường hợp xy = Trong trường hợp này, rõ ràng x = y = Đối chiếu với (*), ta thấy không thỏa Ȋ Trường hợp xy = Thay trở lại (*), ta 5y − 3y + 3x = ⇔ 3x + 2y = Lần lượt kiểm tra với (x, y) = (1, 3), (3, 1) ta thấy có (x, y) = (3, 1) thỏa mãn Trường hợp xy = Thay trở lại (*), ta 5y − 9y + 9x = ⇔ 9x − 4y = Lần lượt kiểm tra với (x, y) = (1, 9), (3, 3), (9, 1), ta thấy chúng không thỏa mãn Ȋ Trường hợp xy = 27 Thay trở lại (*), ta 5y − 27y + 27x = ⇔ 27x − 22y = Lần lượt kiểm tra với (x, y) = (1, 27), (3, 9), (9, 3), (27, 1), ta thấy chúng không thỏa mãn Kết luận, (x, y) = (3, 1) cặp số thỏa đề LATEX by Mathpiad 50 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Tất số p21 , p22 , p212 không chia hết cho 3, nên chúng chia cho dư Lập luận cho ta p21 + p22 + + p212 ≡ 12 (mod 3) Ta p21 + p22 + + p212 chia hết cho Đây điều phải chứng minh ∇ ǥ Câu 50 Tìm tất số tự nhiên có chữ số abcd thỏa mãn đồng thời điều kiện: abcd chia hết cho abc − bda = 650 Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x2 + 4y2 + 2z2 + 2(xz + 2x + 2z) = 396, x2 + y2 = 3z Hải Dương Lời giải Giả sử tồn số tự nhiên abcd thỏa đề Rõ ràng, c = a Đồng thời, từ giả thiết, ta nhận thấy a Ta xét trường hợp sau Ȋ Trường hợp a = c = Trong trường hợp này, ta có 650 = abc − bda = 7b7 − bd7 = 700 − 90b − 10d 700 − 90 · = 630, điều mâu thuẫn Ȋ Trường hợp a = c = Trong trường hợp này, ta có 650 = abc − bda = 8b8 − bd8 = 800 − 90b − 10d Từ đây, ta suy 9b + d = 15, tức b = c = Kiểm tra trực tiếp, ta thấy số abcd = 8186 không chia hết cho 3, mâu thuẫn Ȋ Trường hợp a = c = Trong trường hợp này, ta có 650 = abc − bda = 9b9 − bd9 = 900 − 90b − 10d Từ đây, ta suy 9b+d = 25 Do b, d chữ số, có trường hợp b = 2, d = xảy Kiểm tra trực tiếp, ta thấy số abcd = 9297 chia hết cho 3, số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu Từ phương trình thứ hai, ta x, y, z chia hết cho 3, đồng thời z dương Ngồi ra, phương trình thứ hệ tương đương với (x + z + 2)2 + (2y)2 + z2 = 400 LATEX by Mathpiad 51 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Có hai cách để viết 400 thành tổng ba số phương, 400 = 02 + 02 + 202 = 02 + 122 + 162 Dựa vào nhận xét kể trên, ta xét trường hợp sau Ȋ Trường hợp Nếu z = 0, phương trình thứ hai trở thành x2 + y2 = Ta có x = y = Thế ngược lại phương trình thứ nhất, ta thấy không thỏa Ȋ Trường hợp Nếu z = 12, hai số x + y + 2, 2y phải 0, nên    x+y+2 = x = 6, y = 2y = ⇒  x = −6, y =  2 x + y = 36 Thế ngược lại phương trình thứ nhất, ta thấy khơng thỏa Như vậy, không tồn số nguyên x, y, z thỏa yêu cầu ∇ ǥ Câu 51 Cho số nguyên dương n > Chứng minh A = n3 − 3n2 + 2n chia hết cho B = nA+1 − chia hết cho Tuyên Quang Lời giải Ta viết lại biểu thức A sau: A = n n2 − 3n + = n(n − 1)(n − 2) Cách viết kết hợp giả thiết n > cho ta A tích ba số ngun dương liên tiếp, thế, A chia hết cho Theo kết trên, ta đặt A = 6m, với m số nguyên dương Ta xét trường hợp sau: Ȋ Trường hợp Nếu n chia hết cho 7, hiển nhiên B chia hết cho Ȋ Trường hợp Nếu n không chia hết cho 7, ta suy n3 ≡ 1, −1 (mod 7), kéo theo n6 ≡ (mod 7) Kết cho ta n6 ≡ (mod 7) ⇒ n6m ≡ (mod 7) ⇒ n6m+1 ≡ n (mod 7) ⇒ | nA+1 − n LATEX by Mathpiad 52 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Như vậy, tốn chứng minh trường hợp ∇ Nhận xét Cách xét modulo lũy thừa thông qua xét modulo số mũ ý tưởng xuất đề thi chuyên Khoa học Tự nhiên vào năm: "Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 3x + 29 = 2y " ǥ Câu 52 Cho a, b hai số hữu tỉ √ √ Chứng minh a + b số hữu tỉ a = b = Chuyên Sư phạm − Vòng Lời giải √ √ Từ giả thiết, ta đặt a + b = c, với c số hữu tỉ Bình phương hai vế, ta √ 2a2 + 3b2 + 2ab = c2 , √ 2a2 + 3b2 − c2 = 2ab Trong trường hợp ab = 0, ta suy √ 2a2 + 3b2 − c2 6= 2ab √ số hữu tỉ, mâu thuẫn Như vậy, ta thu ab = √ Ȋ Nếu a = 0, ta suy b số hữu tỉ, nên b = √ Ȋ Nếu b = 0, ta suy a số hữu tỉ, nên a = Lập luận chứng tỏ Bài toán chứng minh ∇ ǥ Câu 53 Tìm tất số nguyên dương N cho N biểu diễn cách biểu diễn dạng x2 + y với x, y hai số nguyên dương xy + Cho a, b, c ba số nguyên dương cho số ba số biểu diễn dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên Biết phương trình bậc hai ax2 − bx + c = có hai nghiệm số nguyên Chứng minh hai nghiệm phương trình Chuyên Sư phạm − Vòng Lời giải LATEX by Mathpiad 53 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Giả sử tồn số nguyên dương N thỏa mãn, tức tồn cặp (x, y) cho x2 − (Ny) x + y − N = (*) Tính tồn x chứng tỏ N y2 − 4y + 4N số phương Ta nhận thấy (Ny + 2)2 − N y2 − 4y + 4N = 4Ny + 4y − 4N + = 4(N + 1)(y − 1) + > 0, N y2 − 4y + 4N − (Ny − 2)2 = 4Ny − 4y + 4N − = 4(N − 1)(y + 1) 0, Các đánh giá cho ta (Ny − 2)2 N y2 − 4y + 4N < (Ny + 2)2 Đến đây, ta xét trường hợp sau Ȋ Trường hợp N y2 − 4y + 4N = (Ny − 2)2 Trường hợp cho ta N y2 − 4y + 4N = N y2 − 4Ny + ⇔ 4Ny + 4N − 4y − = ⇔ 4(N − 1)(y + 1) = Ta tìm N = Thay trở lại (*), ta có x2 − xy + y − = ⇔ (x − 1)(x − y + 1) = Bằng phân tích vậy, ta số có vơ hạn dạng biểu diễn thỏa mãn, 1= x2 + (x + 1) , x(x + 1) + với x số nguyên dương Ȋ Trường hợp N y2 − 4y + 4N = (Ny − 1)2 Trường hợp cho ta N y2 − 4y + 4N = N y2 − 2Ny + ⇔ 2Ny − 2y + 4N = So sánh tính chẵn lẻ hai vế, ta thấy mâu thuẫn Ȋ Trường hợp N y2 − 4y + 4N = (Ny)2 Trường hợp cho ta y = N Thay trở lại (*), ta tìm x = N Ȋ Trường hợp N y2 − 4y + 4N = (Ny + 1)2 Trường hợp cho ta N y2 − 4y + 4N = N y2 + 2Ny + ⇔ −2Ny − 2y + 4N = So sánh tính chẵn lẻ hai vế, ta thấy mâu thuẫn LATEX by Mathpiad 54 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Kết luận, tất số nguyên dương N > thỏa mãn yêu cầu toán, cách biểu diễn số N N= N2 + N N2 · N + Từ giả thiết, ta đặt a = 2m , b = 2n , c = p , với m, n, p nguyên dương Phương trình cho trở thành 2m x2 − 2n x + p = Phương trình có hai nghiệm ngun ∆ = 4n − 2m+p = 22n − 2m+p số phương, hiển nhiên 2n m + p Ta đặt 22n − 2m+p = q2 , với q nguyên dương Theo đó, (2n − q) (2n + q) = 2m+p Rõ ràng, 2n −q 2n +q lũy thừa số Ta tiếp tục đặt 2n −q = 2k , 2n +q = 2l , với k, l số tự nhiên k l Lấy tổng theo vế, ta 2n+1 = 2k + 2l = 2k 2l−k + So sánh số mũ hai vế, ta tìm k = l, kéo theo q = ∆ = Nói cách khác, phương trình bậc hai cho có nghiệm kép Bài tốn chứng minh ∇ ǥ Câu 54 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức x2 − y2 = + 20y Đà Nẵng Lời giải Giả sử tồn cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn Rõ ràng y 0, đồng thời thay x thành −x, đẳng thức đúng, nên không tổng quát, giả sử x Ta nhận thấy x = y không thỏa mãn Trong trường hợp x = y, ta suy (x − y)2 1, + 20y = x2 − y2 = (x − y)2 (x + y)2 (x + y)2 y2 Dựa vào đánh giá trên, ta có y2 20y + ⇒ (y − 10)2 √ 101 ⇒ 10 − 101 y √ 10 + 101 Do y số tự nhiên, ta chọn y = 0, 1, 2, , 20 Trong số này, 20y + nhận giá trị số phương với y = 0, y = 4, y = y = 18 LATEX by Mathpiad 55 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Với y = 0, ta có x4 = Do x Với y = 4, ta có x2 − 16 Do x = 81 ⇔ x2 − 16 = ±9 ⇔ x2 = x2 = 25 ⇔ x = ±5 0, ta chọn x = Với y = 6, ta có Do x 0, ta chọn x = x2 − 36 = 121 ⇔ x2 − 36 = ±11 ⇔ x2 = 25 x2 = 47 ⇔ x = ±5 0, ta chọn x = Với y = 18, ta có x2 − 324 = 381 ⇔ x2 − 324 = ±19 ⇔ x2 = 305 x2 = 343 , mâu thuẫn Kết quả, có tất cặp (x, y) thỏa đề, bao gồm (1, 0), (−1, 0), (5, 4), (−5, 4), (5, 6), (−5, 6) ∇ ǥ Câu 55 Cho số nguyên x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2xyz Chứng minh xyz chia hết cho 24 Tìm ba số nguyên dương (a, b, c) cho (a + b + c)2 − 2a + 2b số phương Vĩnh Phúc Lời giải Ta thực bước làm sau toán a, Ta chứng minh xyz chia hết cho Từ giả thiết, ta suy x2 + y2 + z2 số chẵn, nên x, y, z có số chẵn Khơng tính tổng qt, ta xét trường hợp sau Ȋ Trường hợp x số chẵn, y, z số lẻ Trong trường hợp này, ta có xyz ≡ (mod 4) (1) Ta biết số chẵn dạng a2 chia cho dư 4, số dư số lẻ dạng a2 Lập luận cho ta x2 + y2 + z2 ≡ 2, (mod 8) (2) Đối chiếu (1) (2), ta nhận thấy điều mâu thuẫn Trường hợp không thỏa LATEX by Mathpiad 56 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Ȋ Trường hợp x, y, z số chẵn Trong trường hợp này, hiển nhiên xyz chia hết cho b, Ta chứng minh xyz chia hết cho Giả sử phản chứng x, y, z không chia hết cho 3, lúc x2 + y2 + z2 ≡ + + ≡ (mod 3) Đánh giá chứng tỏ xyz chia hết cho 3, tức ba số x, y, z chia hết cho 3, mâu thuẫn với giả sử Mâu thuẫn chứng tỏ ba số x, y, z chia hết cho Như vậy, xyz chia hết cho [3, 8] = 24 Bài toán chứng minh Ta xét hiệu sau (a + b + c + 1)2 − (a + b + c)2 − 2a + 2b = 2a + 2b + 2c + + 2a − 2b = 4a + 2c + > 0, 2 (a + b + c) − 2a + 2b − (a + b + c − 1) = 2a + 2b + 2c − − 2a + 2b = 4b + 2c − > Các đánh giá cho ta (a + b + c − 1)2 < (a + b + c)2 − 2a + 2b < (a + b + c + 1)2 Như vậy, (a + b + c)2 − 2a + 2b số phương (a + b + c)2 − 2a + 2b = (a + b + c)2 , tức a = b Nói cách khác, tất số (a, b, c) thỏa đề (k, k,t), với k,t số nguyên dương ∇ Đây dạng toán sử dụng bổ đề kẹp trường hợp nhiều biến Dạng toán xuất đề thi chuyên Sư phạm vào năm, đề thi vòng chuyên Khoa học Tự nhiên vào năm 2014 - 2015: Cho x, y số nguyên lớn cho 4x2 y2 − 7x + 7y số phương Chứng minh x = y ! Chuyên Khoa học Tự nhiên 2014 - 2015 vịng 2 Tìm tất số nguyên dương N cho N biểu diễn cách biểu diễn dạng x2 + y với x, y hai số nguyên xy + dương Chuyên Sư phạm 2021 - 2022 vòng LATEX by Mathpiad 57 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO ǥ Câu 56 Tìm tất số nguyên (x, y) thỏa mãn x3 y − x3 − = 2x2 + 2x + y Có số tự nhiên gồm chữ số có dạng 357abc, biết số chia hết cho 3, Kon Tum Lời giải Phương trình cho tương đương với y(x − 1)(x2 + x + 1) = (x + 1)(x2 + x + 1) Do x2 + x + = x + 2 + > 0, ∀x ∈ Z nên phương trình tiếp tục tương đương y(x − 1) = x + ⇔ y(x − 1) = x − + ⇔ (y − 1)(x − 1) = Tới đây, ta lập bảng giá trị x−1 y−1 x y 2 3 −1 −2 −1 −2 −1 −1 Như vậy, phương trình cho có nghiệm nguyên (2, 3), (0, −1), (3, 2), (−1, 0) Từ giả thiết, ta có số 357abc = 357000 + abc = · · · 3400 + abc chia hết cho 3, 7, nên số abc có tính chất tương tự Trong cụm abc từ 000 đến 999, có tất 999 + = 10 105 số chia hết cho 3, 5, 7, có số thỏa mãn yêu cầu đề ∇ ǥ Câu 57 Tìm tất số nguyên dương n để n5 + n4 + số nguyên tố Sóc Trăng Lời giải LATEX by Mathpiad 58 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC Ta nhận thấy n5 + n4 + = n5 − n2 + n4 − n + n2 + n + = n2 (n − 1) n2 + n + + n (n − 1) n2 + n + = n2 + n + n3 − n2 + n2 − n + = n2 + n + n3 − n + Do n5 + n4 + nên n2 + n + = 1, n3 − n + = Kiểm tra trực tiếp trường hợp, ta nhận thấy n = số nguyên dương thỏa yêu cầu ∇ ǥ Câu 58 Chứng minh n5 − n chia hết cho 240 với n số tự nhiên lẻ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x2 − y2 x + y4 + 6y2 = Bắc Giang Lời giải Ta chia toán kể thành bước làm Ȋ Ta chứng minh n5 − n chia hết cho 16 Ta biết n4 ≡ 0, (mod 16) Tuy nhiên, n số lẻ nên n4 ≡ (mod 16), 16 | n n4 − = n5 − n Ȋ Ta chứng minh n5 − n chia hết cho Ta nhận xét n5 − n = n n4 − = n n2 − n2 + = n(n − 1)(n + 1) n2 + Tích n(n − 1)(n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp, tích chia hết cho Ȋ Ta chứng minh n5 − n chia hết cho Ta biết n2 ≡ 0, 1, −1 (mod 5) Dựa biến đổi n5 − n = n n2 − n2 + , mệnh đề ý chứng minh Thông qua kết trên, ta số n5 − n chia hết cho [16, 3, 5] = 240 Toàn tốn chứng minh Phương trình cho tương đương với x2 − xy2 = y6 + 6y4 ⇔ 4x2 − 4xy2 + y4 = 4y6 + 25y4 ⇔ 2x − y2 = y4 4y2 + 25 Tới đây, ta xét trường hợp sau LATEX by Mathpiad 59 CHƯƠNG III LỜI GIẢI THAM KHẢO Ȋ Trường hợp Nếu 2x = y2 , ta tìm x = y = Ȋ Trường hợp Nếu 2x = y2 , ta có 4y2 + 25 số phương Đặt 4y2 + 25 = z2 , z số nguyên dương Phép đặt cho ta z2 − 4y2 = 25 ⇒ (z − 2y)(z + 2y) = 25 Do z − 2y z + 2y nên ta lập bảng giá trị z − 2y −25 −5 z + 2y −1 −5 25 y −6 0 x 252 −216 0 252 −216 Kiểm tra trực tiếp trường hợp, ta nhận thấy phương trình cho có tất nghiệm ngun, (−216, −6), (−216, 6), (0, 0), (252, −6), (252, 6) ∇ ǥ Câu 59 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2x2 − xy + 9x − 3y + = Cho f (x) đa thức với hệ số nguyên Biết f (1) f (2) = 2021, chứng minh phương trình f (x) = khơng có nghiệm ngun Cho tập hợp A có tính chất sau: i, Tập hợp A chứa toàn số nguyên √ √ ii, + ∈ A iii, Với x, y ∈ A x + y ∈ A xy ∈ A √ ∈A Chứng minh √ 2+ Lạng Sơn Lời giải Phương trình cho tương đương với 2x2 + 9x + = (x + 3)y ⇔ (x + 3)(2x + 3) − = (x + 3)y ⇔ (x + 3)(2x − y + 3) = Căn vào biến đổi kể trên, ta lập bảng giá trị LATEX by Mathpiad 60 MATHPIAD − TẠP CHÍ TỐN HỌC 2x − y + −1 −5 x+3 −5 −1 x −8 −4 −2 y −12 −6 Kết luận, có tất cặp (x, y) thỏa yêu cầu, bao gồm (−8, −12), (−4, 0), (−2, −6), (2, 6) Giả sử đa thức f (x) có nghiệm nguyên a Theo định lí Bezout, đa thức f (x) chia hết cho đa thức x − a, nên ta viết f (x) = (x − a)g(x), g(x) đa thức có hệ số nguyên Kết hợp với giả thiết, ta có f (1) = (1 − a)g(1) f (2) = (2 − a)g(2) Lấy tích theo vế, ta 2021 = (1 − a)(2 − a)g(1)g(2) Tuy nhiên, đẳng thức khơng xảy vế trái số lẻ, vế phải chia hết cho số chẵn (a − 1)(a − 2) Giả sử phản chứng sai Bài toán chứng minh Ta chứng minh kết biến đổi hệ liên tục Ta có √ √ √ √ √ √ 2+ ∈ A ⇒ + ∈ A ⇒ + ∈ A ⇒ −5 + ∈ A √ √ √ √ √ √ √ ⇒ 5−2 ∈ A ⇒ 3− ∈ A ⇒ 2+ 3− √ √ √ ∈A ⇒ 3− ∈ A ⇒ √ 2+ ∈A Bài toán cho chứng minh ∇ LATEX by Mathpiad 61 ... Ȋ Tổng số chữ số số có chữ số · = Tổng số chữ số số có hai chữ số · 90 = 180 Tổng số chữ số số có ba chữ số · 900 = 2700 Tổng số chữ số số có bốn chữ số · 102 2 = 4088 Như vậy, số chữ số A + 180... − 4ac số phương LAT EX by Mathpiad Chương II Giới thiệu số toán số học đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Câu 1 Tìm tất số tự nhiên n cho (2n + 1)3 + chia hết cho 22021 2n + 4n2 + 2n + b = số p p... CHƯƠNG II GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN Câu 36 Tìm tất số nguyên dương x cho x2 − x + 13 số phương Bình Định - Chun Tin Câu 37 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa