Kĩ thuật chọn hàm trong các bài toán tích phân từ NB – TH đến VD – VDC

LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 LỜI NĨI ĐẦU Tích phân phần quan trọng bậc môn Tốn, phần quan trọng đề thi THPT Quốc gia Sau loga có lẽ tích phân phần u thích nhất, phong phú dạng đòi hỏi tư tốt Trong thời gian ơn thi THPT QG tích lũy nhiều kĩ để giải tích phân, số kĩ thuật chọn hàm Đây kĩ thuật hay đề thi trắc nghiệm Bộ giáo dục Nó giúp đưa tốn cực khó toán chọn hàm đơn giản, rút ngắn thời gian giải Nói thêm chút tích phân để nắm vững tích phân bạn tham khảo cách học sau + Một phân hay đưa vào phần VDC đề thi thử trường BĐT Tích Phân Phần viết tài liệu nói sơ qua (Có thể inbox facebook mình) + Cuốn sách “Chuyên đề: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” thầy Nguyễn Đăng Ái sách theo đánh giá ổn Nó viết đầy đủ tích phân, phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Học hết sách tin bạn tự tin 99% khả làm tích phân + Ngồi bạn tham khảo thêm sách “TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ & KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN" thầy Trần Phương Cuốn sách viết đầy đủ tích phân, tiền đề cho tựa sách tích phân sau đời Học sách bạn nên biết chọn lọc để học, tránh học phần không cần thiết (Nếu cần link PDF inbox mình) Quảng Bình, 15 tháng 07 năm 2020 Dương Đình Tuấn MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 KĨ THUẬT CHỌN HÀM Để làm rõ khái niệm thể “chọn hàm” thử giải tốn Tích phân mức VD đề thi THPT QG 2019 vừa để hiểu qua Bài tốn: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  Biết f     xf  x  dx  ,  x f   x  dx 0 A 25 B 15 C 123 D 23 Cách (Theo hướng tự luận) Chọn A dt  dx   Đặt t  x   Đổi cận: x   t  ; x   t  t x   5 5 t dt Khi đó:  xf  x  dx    f  t     t f  t  dt  25   x f  x  dx  25 5 0 0  * du  f '  x  dx u  f  x    Đặt:  x2 d v  x d x  v   15 x2 Ta có: *  f  x    x f '  x  dx  25 20 5 25    x f '  x  dx  25   x f '  x  dx  25 20 Cách (Theo hướng chọn hàm) Gọi hàm cần tìm f  x   ax  b MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 Ta có  f  5  5a  b  5a  b  3 5a  b   1 1   a     5ax bx    5a b   x a x  b d x   |      xf x d x           b   3  0  0 Vậy hàm cần tìm có dạng f  x    x  5 Khi 2 3 0 x f   x  dx  0 x    dx  25 *Nhận xét: Có thể thấy từ tốn nhìn phức tạp với số bạn từ phương pháp chọn hàm ta đưa toán đơn giản khoản tính tốn tư duy, giúp số bạn giải toán nhanh bớt phức tạp MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 BÂY GIỜ CHÚNG TA SẼ ĐI VÀO CỤ THỂ TỪNG DẠNG TOÁN CHỌN HÀM DẠNG Hàm Với tốn đưa có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   a  const Các ví dụ: [TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018] Cho I   f  x  dx  Khi J    f  x   3 dx bằng: A B C D Cách (Theo hướng tự luận) 2 2 Ta có J    f  x   3 dx   f  x  dx  3 dx  4.3  x  0 Cách (Theo hướng chọn hàm) Như ta thấy đề có giả thuyết nên ta chọn hàm f  x   a Khi I   adx   ax |02   2a   a  2   Vậy f  x   Suy J    f  x   3 dx     3 dx  2  0 MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục  4;     f   x  dx  Tính I   x f  x  dx A I  B I  C I  16 D I  4 Cách (Theo hướng tự luận) x   t  x  t2  3 x   t  Khi     f  t  d  t     2t f  t  dt  x   t  2 Đặt 3 Mà  2t f  t  dt   x f  x  dx   x f  x  dx   I  2 Cách (Theo hướng chọn hàm) Như ta thấy đề có giả thuyết nên ta chọn hàm f  x   a Khi  adx   a  8 Suy I   x f  x  dx   xdx  5 DẠNG Hàm bậc Với toán đưa có hai giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   ax  b Các ví dụ: (THPT Chun Biên Hịa-Hà Nam-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn f    2 ;  f  x dx  Tính tích phân I  f  x dx A I  10 B I  5 C I  D I  18 Cách (Theo hướng tự luận) Đặt t  x , ta có: t  x 2tdt  dx Khi x   t  ; x   t  I  f  x dx   2tf  t dt MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 Đặt u  2t; dv  f   t  dt ta được: du  2dt ; v  f  t  2 Khi đó: I   2tf  t     f  t dt  f    2.1   2    10 0 Cách (Theo hướng chọn hàm) Như ta thấy đề có hai giả thuyết nên ta chọn hàm f  x   ax  b  f    2 2a  b  2 5   a  b  2 2  a  Khi    ax      f  x dx    bx  |0  2a  2b  b    0 Vậy f  x   5 x3 Suy I   f  x dx    dx  10   (THPT Chuyên Thái Bình-lần năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;5 f    10 ,  xf   x  dx  30 Tính  f  x  dx A 20 B 30 C 20 D 70 Cách (Theo hướng tự luận) u  x  du  dx Đặt  dv  f   x  dx  v  f  x  5 5  x f   x  dx   x f  x     f  x  dx  30  f  5   f  x  dx 0 0   f  x  dx  f    30  20 Cách (Theo hướng chọn hàm) Như ta thấy đề có hai giả thuyết nên ta chọn hàm f  x   ax  b MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020  f    10 5a  b  10 12  5a  b  10 5   a  Khi    ax    25    xf   x  dx  30   |0  30  a  30 b  2   0 Vậy f  x   12 x  suy 5   12  f  x  dx    x  dx  20  0 DẠNG Hàm bậc hai Với tốn đưa có ba giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   ax  bx  c *Lưu ý: Với mà có ba giả thiết ta nên làm theo hướng tự luận nhanh so với làm cách chọn hàm khó nhiều kiện, bí q dùng đến chọn hàm Đối với dạng ba giả thiết người ta đề thi nên khó kiếm ví dụ phần -_- DẠNG Hàm chẵn Dạng 4.1 Hàm chẵn giả thiết Với tốn đưa hàm hàm chẵn có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   a Các ví dụ: Cho f  x  hàm chẵn,  f  x dx  10 Tính  f  x dx A 10 B 20 2 C 10 D 20 Cách (Theo hướng tự luận) Đặt x  t  dx  dt MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 2 0  f  x  dx   f  t   dt   f  t  dt   f  t  dt 0  2 f  x dx  2  2 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 2 0 Cách (Theo hướng chọn hàm) Như ta thấy đề có giả thuyết hàm hàm chẵn giả thiết nên ta chọn hàm f  x   a Khi  f  x dx  10  a  Vậy  f  x dx   5dx  20 2 2 *Ngoài cách ta áp dụng cơng thức nhanh tích phân hàm chẵn Cái nhắc phần cuối tài liệu Dạng 4.2 Hàm chẵn hai giả thiết Với tốn đưa hàm hàm chẵn có hai giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   3ax  b Các ví dụ: Cho hàm số f  x  hàm chẵn xác định  thỏa mãn điều kiện:  f  x  dx   f  x  dx  3 Hãy xác định tích phân: I   f  x  dx ? 1 A I  4 B I  C I  1 D I  Nhận thấy hàm hàm chẵn có hai giả thiết ta chọn hàm f  x   3ax  b MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 1  f x dx     3ax2  b dx  a  b   a     30 Khi  02   f x dx  3a x  b dx  32a  2b  3 b  67     0  30  0  Suy f  x   21x  67 30 Vậy I    f  x  dx  1 21x  67  30 dx  4 1 DẠNG Hàm lẻ Dạng 5.1 Hàm lẻ giả thiết Với toán đưa hàm hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   2ax Các ví dụ: Cho f  x  hàm lẻ  f  x dx  10 Tính 2 A 10 B 20  f   x dx C 10 D 20 Nhận thầy hàm có dạng hàm lẻ có giả thiết nên ta chọn hàm f  x   2ax Khi  2 f  x dx  10   2axdx  10  a  2 5 Suy f  x   5 x Vậy  f   x dx   xdx  10 0 Dạng 5.2 Hàm lẻ hai giả thiết Với toán đưa hàm hàm lẻ có hai giả thiết ta có cách chọn hàm sau: MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 Chọn hàm f  x   4ax3  2bx Các ví dụ: Cho f  x  hàm số lẻ  A 100 f   x   3;  f  3 x  dx  Tính B 270  f  x  dx C 100 D 270 Nhận thầy hàm có dạng hàm lẻ có giả thiết nên ta chọn hàm f  x   4ax3  2bx Khi 3  f  x dx   4ax3  2ax dx  81a  9b     a   0  24  3  f 3 x dx  4a 3 x  2a 3 x dx  3 x  x |3  240a  24b  b        1     24 1   1 Suy f  x    x  x 12 Vậy    f  x  dx     x  x dx  270 12  0 DẠNG Hàm tuần hoàn với chu kì T giả thiết Với tốn đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   a cos 2 x T DẠNG Hàm tuần hoàn với chu kì T hàm lẻ giả thiết Với tốn đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   a sin 2 x T DẠNG Hàm tuần hồn với chu kì T hàm chẵn giả thiết MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 Với tốn đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm chẵn có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: 2 x T Chọn hàm f  x   a cos DẠNG Hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ giả thiết Với toán đưa hàm hàm tuần hồn với chu kì T hàm lẻ có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn hàm f  x   a sin 2 x T DẠNG Với tốn có giả thiết sau a f  x   f  a  b  x  ,  f  x  dx  c b Với tốn có giả thiết ta chọn hàm sau Chọn hàm f  x   c  const  Các ví dụ: 2 Cho f  x   f   x  ,  f  x  dx  10 Tính A 20  x  x  f  x  dx B 10 C 10 D 20 Chọn f  x   c Khi  f  x  dx  10   cdx  10  c  0 Suy f  x   Vậy 3   x  3x  f  x  dx    x  3x  dx  20 0 DẠNG 10 Với tốn có giả thiết sau f  x  f  a  b  x   g  x   Với tốn có giả thiết ta chọn hàm sau MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 Chọn hàm f  x   g  x  Các ví dụ: Cho f  x   , đạo hàm liên tục  0;2 ; f    ; f  x  f   x   e2 x x   0;2 Tính  x  3x  f ' x  f  x 16 A B Chọn hàm f  x   e x Khi  x 4x  3x  f '  x  f  x dx   4 x với dx 16  ex C  16 D 16 2 x x  x   x   e x e x2  x 2 x dx  16 *Rất nhanh không ạ, làm tự luận phức tạp sau  x3  3x  f '  x   I   dx f  x  Ta có:  2   x   3  x  f '  x   x3  x   f '   x    dx   dx I   f 2  x f 2  x  0     f ' x  f '  x    f '  x  2 I    x  3x   dx dx  4   f   x    f 2  x 0  f  x  Đạo hàm hai vế giả thiết: f '  x  f   x   f  x  f '   x    x   e x f ' x  f   x   f  x  f '  x   f  x  f   x  4 f '   x  dx f 2  x  4 d  f   x  f 2  x 4x x   e x  x    4x  f  x  f   x   4ln f   x  |20  4ln f 0 f  2 0 MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 2 I    x3  x   x   dx  32 16 I 5 DẠNG 10 Với toán có giả thiết sau b b   f  x   dx   ;  f  x .g  x  dx   ta có cách chọn hàm sau a a Chọn hàm f  x  cho f  x   kg  x  từ thay lại giả thiết ban đầu để tìm k Các ví dụ: Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1   f  x   dx  21;   x  1 f  x  dx  Hãy tính tích phân  e f  x  dx x 0 A e B e Ta thấy giả thiết C 3e   f  x   dx  21;   x  1 f  x  dx  suy f  x   k  x  1 Dựa vào giả thiết: D 3e   x  1 f  x  dx     x  1 k  x  1 dx   k 0 k 3 x Suy f  x   k  x  1   x  1   e f  x  dx  3 e x  x  1 dx  3e 0 *Trên 11 dạng mà soạn cho bạn tham khảo, ngồi tùy tốn khác mà ta cịn có nhiều cách chọn hàm khác dựa vào tư bạn Chọn hàm giúp ta giải toán nhanh nhiên đừng làm dụng để rời xa chất tốn MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 MỘT SỐ THỦ THUẬT GIẢI NHANH CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN Tính chất tích phân dựa vào phép biến đổi biến cận tích phân b  I   f  x  dx a  Đổi biến x  a  b  t b b  I   f  x  dx   f  a  b  x  dx a a Tính chất tích phân dựa phép đổi biến  Nếu f  x  hàm chẵn  a; a  , tức f  x   f   x  ta có a *  f  x  dx   f  x  dx a a *  a a a f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a f  x a a *  x dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b 1 a a a  Nếu f  x  hàm lẻ  a; a  , tức f  x    f   x  ta có a *  f  x  dx    f  x  dx a a *  f  x  dx  a  Nếu f  x  hàm tuần hoàn chu kì T , , tức f  x  T   f  x  ta có MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 T * T a  f  x  dx   f  x  dx a nT * * T  f  x  dx  n f  x  dx 0 b b T  f  x  dx   f  x  dx a a T b Áp dụng tính chất  b f  x  dx   f  a  b  x  dx vào toán a  a Viết hai lần I b   I   f  x  dx  a  b  I  f a  b  x dx     a  b  Cộng lại theo vế suy I    f  x   f  a  b  x  dx a  Thông thường f  x   f  a  b  x  rút gọn dạng đơn giản b  f  x  f  a  b  x   c  c  0   a ba dx  c  f  x c MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN LUYỆN ĐỀ ĐH 2020 MINH CHUNG – DƯƠNG ĐÌNH TUẤN ... nhiều kĩ để giải tích phân, số kĩ thuật chọn hàm Đây kĩ thuật hay đề thi trắc nghiệm Bộ giáo dục Nó giúp đưa tốn cực khó toán chọn hàm đơn giản, rút ngắn th? ??i gian giải Nói th? ?m chút tích phân. .. vững tích phân bạn tham khảo cách học sau + Một phân hay đưa vào phần VDC đề thi th? ?? trường BĐT Tích Phân Phần viết tài liệu nói sơ qua (Có th? ?? inbox facebook mình) + Cuốn sách “Chuyên đề: TÍCH PHÂN... dùng đến chọn hàm Đối với dạng ba giả thiết người ta đề thi nên khó kiếm ví dụ phần -_- DẠNG Hàm chẵn Dạng 4.1 Hàm chẵn giả thiết Với tốn đưa hàm hàm chẵn có giả thiết ta có cách chọn hàm sau: Chọn