BaiTap vitichphan KHTN

Mục lục VI G H UY G 11 14 18 22 27 30 34 36 39 44 49 54 60 63 66 72 75 83 90 90 91 91 92 CƯ Ê Ờ N N G Ứng dụng thực tế hàm số Bài toán khảo sát tồn giới hạn Bài toán khảo sát liên tục hàm khúc Bài toán ứng dụng liên tục Bài toán tìm đạo hàm hàm ngược, hàm ẩn Bài tốn tìm cực trị hàm số Bài tốn tính giới hạn quy tắc L’Hospital Bài toán ứng dụng vi phân hàm số Bài toán khai triển Taylor hàm số Bài tốn định lý giá trị trung bình Ứng dụng thực tế đạo hàm Bài tốn tìm ngun hàm tính tích phân xác định Bài tốn tính tích phân phương pháp đổi biến Bài tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài tốn tính tích phân suy rộng Bài tốn khảo sát hội tụ tích phân suy rộng Ứng dụng thực tế tích phân Bài tốn tính giới hạn dãy số Bài tốn tính tổng chuỗi dương Bài toán hội tụ chuỗi dương Bài toán khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi thức lũy thừa mũ thức logarit thức lượng giác thức đạo hàm thức nguyên hàm IẢ N 1.1 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 5.4 Công Công Công Công Công CHƯƠNG CHƯƠNG 1: HÀM SỐ TÍNH CHẤT 1.1 Ứng dụng thực tế hàm số CƯ Ê Ờ N N G 1.1 Thực yêu cầu sau a) Một hình chữ nhật có chu vi 20 m Hãy biểu diễn diện tích hình chữ nhật dạng hàm số theo chiều dài cạnh b) Một hình chữ nhật có diện tích 16 m2 Hãy biểu diễn chu vi hình chữ nhật dạng hàm số theo chiều dài cạnh c) Một hình hộp chữ nhật tích m3 , đáy hình vng Hãy biểu diễn diện tích bề mặt (tồn phần) hình hộp dạng hàm số theo chiều dài cạnh đáy VI ĐS: a) S = f (x) = x(10 − x) m2 với x độ dài cạnh 16 b) C = f (x) = 2(x + ) m với x độ dài cạnh x c) S = f (x) = 2x + m2 với x độ dài cạnh đáy x IẢ N G 1.2 Người ta ghép hộp khơng có nắp từ miếng bìa cứng hình chữ nhật với kích thước 12 × 20 cm2 cách cắt bớt hình vng với cạnh x góc bìa, sau gập cạnh lại hình minh họa Hãy biểu diễn thể tích V hộp dạng hàm số x G Hình 1.1: Ghép hộp từ bìa chữ nhật ĐS: V = f (x) = x(20 − 2x)(12 − 2x) cm3 H UY 1.3 Một đá rơi xuống hồ nước, tạo gợn sóng hình trịn có bán kính r lan với vận tốc 60 cm/s Biết bán kính r hàm số theo thời gian t diện tích vịng trịn A hàm số theo bán kính r Hãy tìm hàm hợp A ◦ r cho biết ý nghĩa ĐS: f (t) = A ◦ r(t) = 0, 36πt2 m2 /s Ý nghĩa: thay đổi diện tích vịng trịn theo thời gian 1.4 Một quần thể vi khuẩn có số lượng 100 Quần thể tăng theo thời gian tăng gấp đôi sau ba a) Viết hàm số mô số lượng vi khuẩn theo thời gian Khi vi khuẩn đạt 200 b) Tìm hàm ngược hàm số cho biết ý nghĩa t ĐS: a) N = f (t) = 100 · Đạt 200 sau 15 N b) t = f −1 (N ) = log2 Ý nghĩa: tìm thời gian 100 sinh sôi quần thể tương ứng với kích thước 1.1 Ứng dụng thực tế hàm số CƯ Ê Ờ N N G 1.5 Số lượng vi khuẩn gây bệnh người bệnh nhân A dự đốn có dạng hàm số f (t) = 11t − t2 với ≤ t ≤ t thời gian tính theo ngày f số lượng vi khuẩn tính theo 1000 a) Vẽ đồ thị hàm số f (t) Dựa vào đồ thị cho biết lượng vi khuẩn nhiều b) Biết số lượng vi khuẩn đạt 24 000 con, bệnh nhân phát sốt Hỏi bệnh nhân phát sốt? c) Tại thời điểm t = 4, người uống thuốc đặc trị, số lượng vi khuẩn giảm nửa tiếp tục giảm 500 ngày Hãy xây dựng hàm số g(t) biểu diễn số lượng vi khuẩn người bệnh nhân A trường hợp (trường hợp uống thuốc) với ≤ t ≤ ĐS: a) f (0) = 0, nhiều f (5, 5) = 30 250 ĐS: b) sau ngày phát sốt, sau ngày khỏi 11t − t2 , t ≤ 4, c) g(t) = 14 − 3, 5(t − 4), < t ≤ G VI 1.6 Lúc sáng, Xe I xuất phát từ thành phố A di chuyển đến thành phố B với vận tốc 25 km/h Cùng lúc xe II xuất phát từ thành phố B di chuyển đến thành phố A với vận tốc 35 km/h Biết quãng đường AB dài 100 km Đặt hai xe hệ tọa độ Ox với gốc O trung tâm thành phố A chiều Ox từ A đến B a) Xác định phương trình chuyển động hai xe Khi hai xe gặp nhau? b) Nếu xe II xuất phát lúc phương trình chuyển động hai xe lúc nào? Khi hai xe gặp nhau? ĐS: a) 40 phút b) 15 phút G IẢ N 1.7 Một trường mẫu giáo có chi phí liệt kê sau (i) Cứ 10 trẻ nhỏ cần người quản lý với thù lao 200 ngàn đồng ngày (ii) Thực phẩm dành cho trẻ nhỏ ngày 30 ngàn đồng em (iii) Các chi phí khác điện, nước, bảo vệ 300 ngàn đồng ngày (iv) Hao mòn vật chất (bàn ghế, đồ chơi) triệu đồng tháng a) Hãy viết chi phí hàm theo biến số lượng trẻ nhỏ trường b) Nếu trường có 150 trẻ nhỏ nên thu học phí em tháng? x ĐS: a) f (x) = 6000 · < > +900 · x + 10 000 ngàn đồng 10 với < r > số nguyên làm tròn lên r b) 1, 57 triệu đồng H UY 1.8 Một công ty vừa tung thị trường sản phẩm họ tổ chức quảng cáo truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x quảng cáo phát số % người xem mua sản phẩm 100 P (x) = + 49e−0,05x Hãy tính số quảng cáo phát tối thiểu để số người mua sản phẩm đạt 50% ĐS: 78 lần 1.9 Một lon nước có nhiệt độ 35o C đưa vào ngăn lạnh 10o C Nhiệt độ lon nước phút thứ t tính theo định luật Newton công thức T (t) = 10 + 25 · 0, 9t a) Sau phút, lon nước làm lạnh đến nhiệt độ bao nhiêu? b) Hỏi sau lon nước có nhiệt độ 20o C ĐS: a) 24, 7o C b) Sau 8, phút H UY G VI CƯ Ê Ờ N N G G IẢ N CHƯƠNG 2.1 Bài toán khảo sát tồn giới hạn CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN LIÊN TỤC 2.1 Bài toán khảo sát tồn giới hạn Theo Định lý 2.2, hàm số f có giới hạn c lim f (x) = lim f (x) Vì để khảo sát giới x→c− x→c+ hạn hàm số, ta cần tính giới hạn phía Một số ý tính giới hạn phía: • Ta có lim f (x) = f (c) f có cơng thức biểu diễn (c − , c] x→c− Ta có lim f (x) = f (c) f có công thức biểu diễn [c, c + ) x→c+ CƯ Ê Ờ N N G • Nếu kết phép tính giới hạn ∞ ta nói hàm số khơng có giới hạn Dạng tốn 2.1 Khảo sát tồn giới hạn Tính giới hạn phía Tính lim f (x) Chú ý x < c x→c− VI Bước 1: Tính lim f (x) Chú ý x > c x→c+ Bước 2: So sánh kết luận Nếu lim f (x) = lim f (x) = L f (x) có giới hạn c lim f (x) = L x→c+ x→c− x→c Nếu lim f (x) = lim f (x) f (x) khơng có giới hạn c x→c− G x→c+ IẢ N ✎ Ví dụ 2.1 Tính giới hạn f (x) = Lời giải Ta có lim f (x) = lim = −∞ x→3− x→3− x − = +∞ lim f (x) = lim x→3+ x→3+ x − x = x−3 Bước 1: Tìm giới hạn phía Khi x < x − âm Khi x > x − dương Bước 2: So sánh kết luận H UY G Do khơng tồn giới hạn f x = ✎ Ví dụ 2.2 Tính giới hạn f (x) = x − x = Lời giải Ta có x − = 2−∞ = lim f (x) = lim x→1− x→1− lim f (x) = lim x − = 2∞ = ∞ x→1+ Bước 1: Tìm giới hạn phía Khi x < x − âm Khi x > x − dương x→1+ Do không tồn giới hạn f x = Bước 2: So sánh kết luận CHƯƠNG |x| x = x ✎ Ví dụ 2.3 Tính giới hạn f (x) = Lời giải Bước 1: Tìm giới hạn phía Ta có |x| −x = lim = −1 x x→0− x x |x| lim f (x) = lim = lim = + + + x x→0 x→0 x x→0 lim f (x) = lim Khi x < |x| = −x x→0− Khi x > |x| = x Bước 2: So sánh kết luận x→0− Do lim f (x) = lim f (x) nên không tồn giới hạn f (x) x→0− x→0+ CƯ Ê Ờ N N G ✎ Ví dụ 2.4 Tính giới hạn f (x) = Lời giải Bước 2: So sánh kết luận Ta có x(x − 2) x = lim = (x − 2)(x + 2) x→2− x + 2 x(x − 2) x lim f (x) = lim = lim = x→2+ x→2+ (x − 2)(x + 2) x→2+ x + x→2− VI lim f (x) = lim x→2− Do lim f (x) = lim f (x) nên lim f (x) = x→2 x→2− x→2+ G Bước 1: Tìm giới hạn phía Do x → 2− hay x → 2+ biểu thức f (x) nên ta rút gon toán thành x(x − 2) lim f (x) = lim x→2 x→2 (x − 2)(x + 2) x = lim = x→2 x + 2 x2 − 2x x = x2 − IẢ N ✎ Ví dụ 2.5 Tính giới hạn x = 2|x| − f (x) = √ 2x2 + Lời giải Bước 1: Tìm giới hạn phía √ Khi x < f (x) = 2x2 + Ta có lim f (x) = lim x→2− 2x2 + = x→2+ · 22 + = x→2+ H UY Bước 2: So sánh kết luận x < lim f (x) = lim 2|x| − = · |2| − = Khi x > f (x) = 2|x| − G x→2− x ≥ 2, Do lim f (x) = lim f (x) nên lim f (x) = x→2− x→2+ x→2 ✎ Ví dụ 2.6 Tính giới hạn x = −2 x2 − x > −2, f (x) = 2x + x ≤ −2 Lời giải Bước 1: Tìm giới hạn phía Khi x < −2 f (x) = 2x + Ta có lim f (x) = lim 2x + = 2(−2) + = −1 x→−2− Khi x > −2 f (x) = x2 − x→−2− lim f (x) = lim x2 − = (−2)2 − = x→−2+ Bước 2: So sánh kết luận Do x→−2+ lim f (x) = lim f (x) nên f khơng có giới hạn −2 x→−2− x→−2+ 2.1 Bài toán khảo sát tồn giới hạn ❖ Bài tập tự giải 2.1 Tính giới hạn sau: lim x + ĐS: x→−2 2.2 Tính giới hạn sau: lim x→1 x − ĐS: khơng tồn 2.3 Tính giới hạn sau: x x − lim e 2.4 Tính giới hạn sau: |x| lim x→0 x + ĐS: G 2.6 Tính giới hạn sau: x−1 lim x→1 x2 − IẢ N 2.8 Tính giới hạn x = −1 hàm số x+2 x = −1, f (x) = x = −1 ĐS: ĐS: ĐS: H UY 2.9 Tính giới hạn x = hàm số x2 − x    x < 1, x −1 f (x) =    x− x ≥ 2.10 Tính giới hạn x = x = π hàm số x ≤ 0,  + sin x cos x ≤ x ≤ π, f (x) =  sin x x > π G ĐS: không tồn VI 2.5 Tính giới hạn sau: x+1 lim x→−1 |x + 1| 2.7 Tính giới √ hạn sau: x+9−3 lim x→0 x CƯ Ê Ờ N N G ĐS: không tồn x→1 ĐS: ĐS: lim = 1, lim khơng tồn x→0 x→π 2.11 Tính giới hạn sau: lim x→0 + x ĐS: khơng tồn 2.12 Tính giới hạn sau: ex lim x→0 + e x ĐS: khơng tồn 2.13 Tính√giới hạn sau: + cos x lim x→0 sin x ĐS: không tồn CHƯƠNG 2.2 Bài toán khảo sát liên tục hàm khúc Người ta chứng minh hàm số sơ cấp liên tục tập xác định Vì ta cần khảo sát liên tục hàm khúc vị trí điểm nối Dạng tốn 2.2 Khảo sát liên tục hàm khúc Bước 2: Xác định miền liên tục tập xác định hàm Hàm số liên tục miền tập xác định Khảo sát liên tục điểm nối Tính giới hạn hàm số điểm nối qua giới hạn bên trái bên phải So sánh giới hạn với giá trị hàm số điểm nối để đưa kết luận liên tục hàm số CƯ Ê Ờ N N G Bước 1: VI ✎ Ví dụ 2.7 Khảo sát liên tục hàm số 3x − x2 x ≥ 3, f (x) = x2 − x < Lời giải x→3− IẢ N Bước 2: Kiểm tra liên tục điểm nối Khi x < f (x) = x2 − Khi x > f (x) = 3x − x2 Do 3x − x2 x2 − hàm sơ cấp nên f (x) liên tục (−∞, 3) (3, ∞) Ta cần xét liên tục hàm số điểm nối x = Tại x = 3, ta có • lim f (x) = lim x2 − = 32 − = G Bước 1: Hàm số liên tục bên tập xác định x→3− • lim f (x) = lim 3x − x2 = · − 32 = x→3+ x→3+ Do lim f (x) = lim f (x) nên hàm số khơng có giới hạn x→3− x→3+ Hàm số khơng có giới hạn nên không liên tục Vậy hàm số liên tục R \ {3} ✎ Ví dụ 2.8 Khảo sát liên tục x = hàm số  x − 3x +   x > 1, x2 − f (x) =  x  − x ≤ H UY G Hàm số khơng có giới hạn khơng liên tục Lời giải Bước 2: Kiểm tra liên tục điểm nối x Khi x < f (x) = − Khi x > x2 − 3x + f (x) = x2 − x Khi x = f (x) = − Tại x = 1, ta có x =− 2 x2 − 3x + (x − 1)(x − 2) • lim f (x) = lim = lim x2 − x→1+ x→1+ x→1+ (x − 1)(x + 1) (x − 2) = lim =− x→1+ (x + 1) • f (1) = − Do lim f (x) = lim f (x) = f (1) nên f liên tục x = • lim f (x) = lim − x→1− x→1− x→1− x→1+ 2.2 Bài toán khảo sát liên tục hàm khúc ✎ Ví dụ 2.9 Khảo sát liên tục hàm số  2x    f (x) = x + x +e    x = −2, x = −2 Lời giải có tập xác định R \ {−2} nên f liên tục R \ {−2} Do x+2 Tại x = −2, ta có x→−2− x2 + e x + x→−2− −4 = + e−∞ x→−2+ x→−2+ x2 = (−2)2 + e x + +e −4 + e∞ = −2− +2 2(−2) (−2)2 = ++2 −2 +e • f (−2) = lim f (x) = lim f (x) nên f khơng có giới hạn −2 x→−2− x→−2+ G Do = −1 2x • lim f (x) = lim = VI • lim f (x) = lim 2(−2) Vậy hàm số liên tục R \ {−2} IẢ N ✎ Ví dụ 2.10 Tìm a b để f (x) liên tục   ax − x2 + 4x − f (x) =  b(x − 3) − Lời giải G H UY Tại x = 2, ta có • lim f (x) = lim x2 + 4x − = x→1− • lim f (x) = lim ax − = 2a − x→2+ x→2+ 22 • f (2) = + · − = Để lim f (x) = lim f (x) = f (2) 2a − = ⇒ a = x→2− Hàm số khơng có giới hạn khơng liên tục R với < x, < x ≤ 2, x ≤ Do hàm hàm sơ cấp nên f liên tục bên tập xác định chúng, nghĩa f liên tục R \ {0, 2} x→2− Bước 2: Kiểm tra liên tục điểm nối Khi x < −2 2x f (x) = x + x +e Khi x > −2 2x f (x) = x2 + e x + Khi x = −2 f (x) = CƯ Ê Ờ N N G 2x Bước 1: Hàm số liên tục bên tập xác định Bước 1: Hàm số liên tục bên tập xác định Bước 2: Kiểm tra liên tục điểm nối Khi x < f (x) = x2 +4x−7 Khi x > f (x) = ax − Khi x = f (x) = x2 +4x−7 x→2+ Tại x = 0, ta có • lim f (x) = lim b(x − 3) − = −3b − x→0− x→0− • lim f (x) = lim x2 + 4x − = −7 x→0+ x→0+ • f (0) = b(0 − 3) − = −3b − Để lim f (x) = lim f (x) = f (0) −3b − = −7 ⇒ b = x→0− x→0+ Vậy để f liên tục R a = b = Khi x < f (x) = b(x−3)−1 Khi x > f (x) = x2 +4x−7 Khi x = f (x) = b(x−3)−1 CHƯƠNG ❖ Bài tập tự giải 2.14 Khảo sát liên tục hàm số x2 − 2x + x = 1, f (x) = x = ĐS: liên tục R \ {1} 2.15 Khảo sát sự√liên tục hàm số x2 − 2x + x = 2, f (x) = e0 x = 2.16 Khảo sátsự liên tục hàm số 2x   x = 1,   f (x) = + e1 − x     x = ĐS: liên tục R \ {1} VI 2.17 Khảo sát liên tục hàm số x2 − 2x + x < −1, f (x) = −2x + −1 ≤ x CƯ Ê Ờ N N G ĐS: liên tục R G 2.18 Khảo sát liên tục hàm số x = cos(x − 1) x ≤ 1, f (x) = |x| + x − x > IẢ N 2.19 Khảo sátsự liên tục hàm số   sin 2x + ln(1 + 2x ) ex − f (x) =   2x + x < 0, ≤ x 2.20 Tìm a để hàm số f liên tục x =   ln(1 + x) x > 0, ax f (x) =   x−1 x ≤ ĐS: liên tục ĐS: liên tục R \ {0} ĐS: a = −1 H UY G 2.21 Tìm a để hàm số f liên tục R   x2 sin x < 0, |x| f (x) =   ax ≤ x ĐS: liên tục R 2.22 Tìm a để hàm số f liên tục R x ≤ 2,   x+a √ f (x) =   x + − < x x−2 2.23 Tìm a để hàm số f liên2 tục R  x sin x − 2x  x < 0, x2 + sin2 x f (x) =   ax + a ≤ x ĐS: a = ĐS: a = − ĐS: a = − 10 CHƯƠNG ❖ Bài tập tự giải 5.27 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n+1 2n − ĐS: phân kỳ n=1 5.28 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2n + 3n 2n ĐS: phân kỳ n=1 5.30 Khảo sát hội tụ chuỗi số 16 25 + + + + + 16 32 5.31 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2n n! en n=1 n=1 IẢ N 5.33 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 3n (n + 1)22n n=1 5.34 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2n+1 n + 3n+2 n + n=1 ĐS: hội tụ G 5.35 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 5n n2 + n ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ G 5.32 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2n−1 (n − 1)! CƯ Ê Ờ N N G n=1 ĐS: phân kỳ VI 5.29 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ + cos2 n ĐS: hội tụ ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ H UY n=1 5.36 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ ln n n2 2n n=1 5.37 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ nn+ n n (n + ) n n=1 5.38 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ (n!)2 n (2n)! ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ ĐS: phân kỳ n=1 78 5.3 Bài toán hội tụ chuỗi dương 5.39 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2n2 + n 5n2 − ĐS: hội tụ n=1 5.40 Khảo sát hội tụ chuỗi số + + + + ĐS: hội tụ 5.41 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n n( )2n 4n − ĐS: hội tụ n=1 5.43 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n10n 42n+1 n=1 5.44 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 2n − n n=1 n=1 IẢ N 5.46 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ ln2 n n n=1 5.47 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ √ n ln n n=2 ĐS: phân kỳ ĐS: phân kỳ 5.49 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ √ √ n n+1− n n=1 5.50 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n − n(n−1) n+2 n=1 ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ H UY G 5.48 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 1 sin n n n=1 ĐS: hội tụ G 5.45 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 1+ 2n ĐS: phân kỳ VI 5.42 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 1−n e 3n+1 n2 CƯ Ê Ờ N N G n=1 5.51 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ (n + 1) ln(n + 1) ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ n=2 79 CHƯƠNG Ta khảo sát hội tụ chuỗi số qua việc so sánh với chuỗi số khác Dạng toán 5.4 Khảo sát gián tiếp hội tụ chuỗi dương ∞ Sử dụng tiêu chuẩn so sánh để khảo sát un ∞ Chọn chuỗi số n→∞ n=1 Bước 2: un hữu hạn vn cho lim ∞ ∞ Kết luận chuỗi số un n=1 có tính chất n=1 CƯ Ê Ờ N N G Bước 1: n=1 ∞ Sử dụng tiêu chuẩn dạng bất đẳng thức để khảo sát ∞ Bước 1: Chọn chuỗi số Chú ý: ∞ n=1 so sánh un với n=1 ∞ Chuỗi n=1 ∞ Nếu un < VI Bước 2: un hội tụ n=1 ∞ Nếu un > un hội tụ phân kỳ un phân kỳ hội tụ < r G n=1 IẢ N Lời giải ∞ 2n sin n=1 4n 1 chọn = n n un sin 1/4n 2n sin 1/4n Khi lim = lim = = lim n→∞ n→∞ 1/4n n→∞ 1/2n Đặt un = 2n sin ∞ Mà n=1 hội tụ ( 2n ∞ nên ∞ n=1 hội tụ với r = > 1) rn 2n sin n hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh H UY G n=1 rn phân kỳ < r ≤ 1, ✎ Ví dụ 5.31 Khảo sát hội tụ Bước 2: Kết luận hội tụ ∞ n=1 ∞ n=1 Bước 1: Tiêu chuẩn so sánh sin u = Chọn theo lim u→0 u nr n=1 ∞ ✎ Ví dụ 5.32 Khảo sát hội tụ n=1 2n 3n2 + Lời giải 2n chọn = 3n + n un 2n2 Khi lim = lim = n→∞ n→∞ 3n + Bước 1: Tiêu chuẩn so sánh Chọn theo tỉ lệ số mũ cao tử thức mẫu thức Đặt un = Bước 2: Kết luận hội tụ Mà ∞ n=1 phân kỳ ( n ∞ nên n=1 ∞ n=1 phân kỳ với r = ≤ 1) nr 2n phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 3n2 + 80 5.3 Bài toán hội tụ chuỗi dương ∞ ✎ Ví dụ 5.33 Khảo sát hội tụ n=1 3n + 4n 2n + 5n Lời giải 4n 3n + n chọn v = Đặt un = n n + 5n 5n n (3/4) + un = lim Khi lim = n→∞ (2/5)n + n→∞ n=1 ∞ nên n=1 ∞ n hội tụ ( n=1 hội tụ với r = > 1) n r 3n + n hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2n + n ∞ ✎ Ví dụ 5.34 Khảo sát hội tụ n=1 Lời giải +1 n2n 1 chọn = n n2n + 1 Dễ thấy ≤ n ⇒ un ≤ , ∀n n2n + ∞ ∞ 1 Mà hội tụ ( hội tụ với r = > 1) n rn n=1 n=1 ∞ IẢ N n=1 Lời giải 2n 5n + n 2n 2n chọn v = n n 5n + nn 2n Dễ thấy n ≤ n ⇒ un ≤ , ∀n +n ∞ ∞ n Mà hội tụ ( hội tụ với r = > 1) n n r G Đặt un = ∞ n=1 ∞ n=2 Lời giải + ln n 1 chọn = Dễ thấy + ln n n 1 ≥ (do n ≥ + ln n) ⇒ un ≥ , ∀n > 1 + ln n n ∞ ∞ 1 Mà phân kỳ ( phân kỳ với r = ≤ 1) n nr n=2 ∞ nên n=2 Bước 2: Kết luận hội tụ 2n hội tụ theo tiêu chuẩn bất đẳng thức +n 5n ✎ Ví dụ 5.36 Khảo sát hội tụ Đặt un = Bước 1: Tiêu chuẩn bất đẳng thức n=1 H UY nên Bước 2: Kết luận hội tụ hội tụ theo tiêu chuẩn bất đẳng thức n2n + ✎ Ví dụ 5.35 Khảo sát hội tụ n=1 Bước 1: Tiêu chuẩn bất đẳng thức G ∞ nên VI Đặt un = n=1 Bước 2: Kết luận hội tụ CƯ Ê Ờ N N G ∞ Mà Bước 1: Tiêu chuẩn so sánh Chọn theo số hạng lớn tử thức mẫu thức n=1 phân kỳ theo tiêu chuẩn bất đẳng thức + ln n 81 Bước 1: Tiêu chuẩn bất đẳng thức Bước 2: Kết luận hội tụ CHƯƠNG ❖ Bài tập tự giải 5.52 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ sin √n n n=1 ĐS: hội tụ 5.53 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n + cos2 n √ n n n=1 5.55 Khảo sát hội tụ chuỗi số √ √ ∞ n n + n2 n √ n3 + n n n=1 5.56 Khảo sát hội tụ chuỗi số nπ ∞ (2 + cos ) √n √ n7 + n=1 n=1 IẢ N 5.58 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ ln n √ n n=1 5.59 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n+1 n4n n=1 ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ H UY G 5.60 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2n − 3n 2n + 3n n=1 ĐS: phân kỳ G 5.57 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ en − (en + 1)2 CƯ Ê Ờ N N G n=1 ĐS: hội tụ VI 5.54 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ 2+n n + n2 ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ 5.61 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n2 + 1) ln2 n (n n=1 ĐS: hội tụ 5.62 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ n+1 √ ln n−1 n n=2 ĐS: hội tụ 5.63 Khảo sát hội tụ chuỗi số ∞ √ n n=1 ĐS: hội tụ 82 5.4 Bài toán khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi 5.4 Bài tốn khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi Phương pháp phổ biến khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu sử dụng tiêu chuẩn Leibniz Dạng toán 5.5 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ ∞ (−1)n−1 un (−1)n un với un dương Bước 1: Viết chuỗi đan dấu dạng Bước 2: Kiểm tra dãy dương {un } giảm tiến un+1 < f (x) < với f (n) = un Kiểm tra dãy dương giảm: un Kiểm tra tiến 0: lim un = n→∞ n=1 CƯ Ê Ờ N N G n=1 Nếu hai điều kiện chuỗi đan dấu hội tụ ∞ (−1)n n VI ✎ Ví dụ 5.37 Khảo sát hội tụ n=1 Lời giải Đặt un = > Chuỗi ban đầu trở thành n n Xét chuỗi đan dấu (−1)n un (−1) un , ta có n=1 Bước 1: Tìm cơng thức biểu diễn n=1 G ∞ ∞ Bước 2: Kết luận hội tụ un+1 1 n = : = < Vậy dãy un giảm un n+1 n n+1 • lim un = lim = Vậy dãy un tiến n→∞ n→∞ n ∞ Vậy chuỗi đan dấu (−1)n hội tụ n IẢ N • n=1 ✎ Ví dụ 5.38 Khảo sát hội tụ ∞ (−1)n−1 n=1 2n − n2 + Đặt un = ∞ H UY G Lời giải 2n − > Chuỗi ban đầu trở thành n2 + ∞ Xét chuỗi đan dấu (−1)n−1 un Bước 1: Tìm cơng thức biểu diễn n=1 (−1)n−1 un , ta có n=1 un+1 2(n + 1) − 2n − • = : un (n + 1)2 + n2 + 2n + n2 + 2n3 + n2 + 4n + = = n + 2n + 2n − 2n + 3n2 + 4n − un+1 Do n2 + < 3n2 − 3, ∀n > nên < 1, ∀n > un 2n − • lim un = lim = n→∞ n→∞ n + ∞ 2n − Vậy chuỗi đan dấu (−1)n−1 hội tụ n +2 n=1 83 Bước 2: Kết luận hội tụ CHƯƠNG ∞ (−1)n−1 √ ✎ Ví dụ 5.39 Khảo sát hội tụ n=1 2n − Lời giải Bước 1: Tìm cơng thức biểu diễn Đặt un = √ Chuỗi ban đầu trở thành 2n − ∞ (−1)n−1 un n=1 ∞ (−1)n−1 un , ta có n=1 √ √ 2n − 2n − un+1 =√ : < 1, ∀n =√ • un 2n + 2n + 1 • lim un = lim √ = n→∞ n→∞ 2n − ∞ Vậy chuỗi đan dấu (−1)n−1 √ hội tụ 2n − n=1 CƯ Ê Ờ N N G Xét chuỗi đan dấu VI Bước 2: Kết luận hội tụ ∞ (−1)n−1 ✎ Ví dụ 5.40 Khảo sát hội tụ Lời giải ln n Chuỗi ban đầu trở thành n ∞ (−1)n−1 un n=1 ∞ (−1)n−1 un , ta có Xét chuỗi đan dấu IẢ N Bước 2: Kết luận hội tụ Đặt un = G Bước 1: Tìm cơng thức biểu diễn n=1 ln n n n=1 n=1 ∞ √ n cos(nπ) ✎ Ví dụ 5.41 Khảo sát hội tụ H UY G ln x − ln x • Đặt f (x) = ⇒ f (x) = < 0, ∀x > x x2 ln n ln x • lim un = lim = lim = lim = n→∞ n→∞ n x→∞ x x→∞ x ∞ ln n Vậy chuỗi đan dấu (−1)n−1 hội tụ n n=1 Lời giải √ n Bước 1: Tìm cơng thức biểu diễn Chú ý cos(nπ) = (−1)n Đặt un = Bước 2: Kết luận hội tụ Xét chuỗi đan dấu ∞ (−1)n un Chuỗi ban đầu trở thành n=1 ∞ (−1)n un , ta có n=1 √ x √ ln x • Đặt f (x) = ⇒ f (x) = − < 0, ∀x > x2 √ n • lim un = lim = = n→∞ n→∞ ∞ Vậy chuỗi đan dấu n=1 84 √ n cos(nπ) phân kỳ 5.4 Bài toán khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi ❖ Bài tập tự giải 5.64 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ (−1)n−1 2n + ĐS: hội tụ n=1 5.65 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ 3n − (−1)n−1 2n + ĐS: phân kỳ n=1 5.67 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu √ ∞ n n (−1) 2n + n=1 n=1 5.70 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ IẢ N (−1)n ne−n n=1 5.71 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ (−1)n+1 e1/n n=1 ĐS: hội tụ ĐS: phân kỳ ĐS: hội tụ H UY G 5.72 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ π (−1)n sin n 5.73 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ n cos nπ 2n n=1 5.74 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ (−1)n+1 n − ln n n=1 ĐS: hội tụ ĐS: hội tụ G 5.69 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ n+1 (−1)n+1 √ n( n + 1) n=1 n=1 ĐS: hội tụ VI 5.68 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ √ √ (−1)n+1 ( n + − n) ĐS: hội tụ CƯ Ê Ờ N N G 5.66 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ n (−1)n √ n + n=1 5.75 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu ∞ · · · · 2n (−1)n · · · · (2n + 1) ĐS: hội tụ ĐS: hội tụ ĐS: hội tụ n=1 85 CHƯƠNG Đối với chuỗi có số hạng mang bất kì, người ta cịn khảo sát hội tụ tuyệt đối Dạng toán 5.6 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ Chứng minh hội tụ chuỗi ∞ Bước 2: un n=1 ∞ |un | Nếu chuỗi hội tụ Khảo sát hội tụ n=1 ∞ đối Ngược lại un hội tụ tuyệt n=1 un nửa hội tụ n=1 CƯ Ê Ờ N N G Bước 1: ∞ ✎ Ví dụ 5.42 Khảo sát hội tụ tuyệt đối (−1)n n n=1 VI Lời giải ∞ Bước 1: Khảo sát hội tụ chuỗi thường Xét chuỗi Bước 2: Khảo sát hội tụ chuỗi tuyệt đối Xét chuỗi (−1)n Chuỗi hội tụ (Ví dụ ??) n n=1 ∞ n=1 G ∞ (−1)n (−1)n Vậy IẢ N n=1 ∞ = n n=1 Chuỗi phân kỳ (Ví dụ ??) n nửa hội tụ n ✎ Ví dụ 5.43 Khảo sát hội tụ tuyệt đối ∞ (−1)n−1 n=1 Lời giải ∞ n=1 Đặt un = 2n + 3n + n > (−1)n−1 un , ta có n=1 3n + n 6n2 + 11n + = 2n + 6n2 + 11n + 2n + n • lim un = lim = 0∞ = n→∞ n→∞ 3n + ∞ 2n + n Vậy chuỗi (−1)n−1 hội tụ 3n + un+1 2n + = • un 3n + n n=1 2n + 3n + n−1 Xét chuỗi (−1) n=1 Tiêu chuẩn thức n n ∞ Xét chuỗi đan dấu ∞ Bước 2: Kết luận hội tụ 2n + 3n + (−1)n−1 Xét chuỗi H UY G Bước 1: Khảo sát hội tụ chuỗi thường 2n + 3n + Chuỗi hội tụ lim n n→∞ ∞ Vậy (−1)n−1 n=1 86 2n + 3n + ∞ n = n=1 +1 n 2n 3n + 2n + 3n + = n hội tụ tuyệt đối n < n < 5.4 Bài toán khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi ∞ (−1)n−1 ✎ Ví dụ 5.44 Khảo sát hội tụ tuyệt đối n=1 n2 Lời giải ∞ (−1)n−1 Xét chuỗi n=1 1 Đặt un = > n n Bước 1: Khảo sát hội tụ chuỗi thường ∞ (−1)n−1 un , ta có: Xét chuỗi đan dấu n=1 |= n2 n−1 |(−1) Xét chuỗi n=1 ∞ Chuỗi hội tụ n=1 ∞ Vậy (−1)n−1 n=1 ∞ n=1 n2 VI n=1 Bước 2: Khảo sát hội tụ chuỗi tuyệt đối hội tụ với r = > nr hội tụ tuyệt đối n2 G ∞ CƯ Ê Ờ N N G 1 n2 un+1 = : = < • un (n + 1)2 n2 (n + 1)2 • lim un = lim = n→∞ n→∞ n ∞ Vậy chuỗi (−1)n−1 hội tụ n ✎ Ví dụ 5.45 Khảo sát hội tụ tuyệt đối ∞ 2n + n(n + 1) IẢ N (−1)n−1 n=1 Lời giải ∞ Xét chuỗi (−1)n−1 n=1 2n + 2n + Đặt un = > n(n + 1) n(n + 1) ∞ (−1)n−1 un , ta có G Xét chuỗi đan dấu Bước 1: Khảo sát hội tụ chuỗi thường n=1 n=1 ∞ H UY un+1 2n + n(n + 1) 2n2 + 3n • = = < un (n + 1)(n + 2) 2n + 2n + 5n + 2n + • lim an = lim = n→∞ n→∞ n(n + 1) ∞ 2n + Vậy chuỗi (−1)n−1 hội tụ n(n + 1) n−1 (−1) Xét chuỗi n=1 2n + = n(n + 1) ∞ n=1 2n + n(n + 1) ∞ Chuỗi phân kỳ so sánh với n=1 Bước 2: Khảo sát hội tụ chuỗi tuyệt đối phân kỳ n 2n + 1 2n + lim : = lim = (hữu hạn) n→∞ n(n + 1) n n→∞ n + Vậy chuỗi ban đầu nửa hội tụ 87 Tiêu chuẩn so sánh tỉ lệ CHƯƠNG ❖ Bài tập tự giải 5.76 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ (−1)n n3 ĐS: hội tụ tuyệt đối n=1 5.77 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ (−3)n−1 √ n n=1 n=1 5.79 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ n (−1)n n+1 n=1 n=1 n=1 IẢ N 5.82 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ ln n (−1)n+1 √ n n=1 5.83 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ ln n (−1)n n ĐS: hội tụ tuyệt đối 5.86 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ nπ cos n+1 n=1 ĐS: nửa hội tụ ĐS: nửa hội tụ 5.85 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ cos (−1)n n en n=1 ĐS: nửa hội tụ ĐS: nửa hội tụ H UY G 5.84 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ (−1)n sin n n=1 ĐS: nửa hội tụ G 5.81 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ (−1)n+1 n ln n n=1 ĐS: hội tụ tuyệt đối VI 5.80 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ (−1)n ln n CƯ Ê Ờ N N G 5.78 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ n2 2n (−1)n n! ĐS: nửa hội tụ 5.87 Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∞ · · · (2n + 1) (−1)n · · · (3n − 1) ĐS: hội tụ tuyệt đối ĐS: nửa hội tụ ĐS: hội tụ tuyệt đối n=1 88 H UY G IẢ N G VI CƯ Ê Ờ N N G 5.4 Bài toán khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu chuỗi 89 PHỤ LỤC Các cơng thức thường gặp A Công thức lũy thừa mũ Cho a, b số thực dương m, n số tự nhiên Khi ta có: an • an = a · a · · a (n số a) • a0 = • a−n = • am an = am+n √ • n a = an • am = am−n an √ m • n am = a n • amn = (am )n = (an )m √ • n m a = a mn • an bn = (ab)n • • a2 − b2 = (a − b)(a + b) • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) • an + an−1 b + an−2 b2 + + abn−1 + bn = • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) • an + an−1 (−b) + + a(−b)n−1 + (−b)n = √ √ √ n a n b = n ab CƯ Ê Ờ N N G a an = n b b • • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 VI n an+1 − bn+1 a−b an+1 + bn+1 a+b • (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 • (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn IẢ N B Công thức logarit G • (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 • (a + b)n = Cn0 an + + Cnn−1 a(−b)n−1 + Cnn (−b)n Cho a, b, c, α, β số thực dương Khi ta có: • loga = • loga aβ = β • logaα a = α • loga bβ = β loga b • logaα b = loga b α • loga (bc) = loga b + loga c • loga b logb c = loga c • aloga b = b • loga a = b = loga b − loga c c logc b • loga b = logc a H UY G • a = logb c ⇔ c = ba • loga • alogb c = clogb a 90 • logaα aβ = β α β loga b α c b • loga = − loga c b • loga b = logb a • logaα bβ = Các công thức thường gặp C Công thức lượng giác Cho α, β số thực dương Khi ta có: sin α cos α • tan α = • cot α = cos α sin α • tan α cot α = 1 cos2 α • sin2 α + cos2 α = • + tan2 α = • sin(−α) = − sin α π • sin(α + ) = cos α • cos(−α) = cos α π • cos(α + ) = − sin α • + cot2 α = sin2 α • sin(π − α) = sin(α) • cos(π − α) = − cos(α) CƯ Ê Ờ N N G tan α − tan2 α − cos 2α + cos 2α − cos 2α • cos2 α = • tan2 α = • sin2 α = 2 + cos 2α √ α±β α∓β π • sin α ± sin β = sin sin • sin α ± cos α = sin α ± 2 α+β α−β α+β α−β • cos α + cos β = cos cos • cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 • cos 2α = cos2 α − • sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β • tan 2α = VI • sin 2α = sin α cos α • cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β G D Công thức đạo hàm Cho k số, u v hai hàm số theo biến x Khi ta có: •x =1 IẢ N •k =0 • (sin x) = cos x • (kx) = c • (xn ) = nxn−1 • (cos x) = − sin x √ • ( x) = √ x √ • ( n x) = • (tan x) = G n xn−1 • (ln x) = x • (ex ) = ex 1 − x2 • (arccos x) = − √ H UY • (arcsin x) = √ √ n 1 − x2 cos2 x sin2 x • (arctan x) = + x2 • (cot x) = − • (un ) = nu un−1 • (sin u) = u cos u √ u • ( u) = √ u √ • ( n u) = • (cos u) = −u sin u • (eu ) = u eu • (au ) = u au ln a • (ku) = ku • (ln u) = u u • (arcsin u) = √ u √ n n un−1 • (loga u) = u − u2 • (u ± v) = u ± v u u ln a • (arccos u) = − √ • (uv) = u v + v u 91 u cos2 u u • (cot u) = − sin u u • (arctan u) = + u2 • (tan u) = u − u2 • u v = uv−v u v2 PHỤ LỤC E Cơng thức ngun hàm • dx = x + C • dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C • ln x dx = x(ln x − 1) + C • sin x dx = − cos x + C • tan x dx = − ln | cos x| + C • x dx = ln tan +C sin x • dx = − cot x + C sin2 x CƯ Ê Ờ N N G Cho a, b, C số, u hàm số theo biến x Khi ta có: dx = C • xn dx = • a2 cos x dx = sin x + C • cot x dx = ln | sin x| + C • x π dx = ln tan + cos x • dx x = arctan + C +x a a x dx = arcsin + C a a2 − x2 • √ • (ax + b)n dx = • eax+b dx = • sin(ax + b) dx = − cos(ax + b) + C a • u un dx = (ax + b)n+1 + C a n+1 IẢ N ax+b e +C a un+1 +C n+1 • a2 dx |a + x| = ln +C −x 2a |a − x| dx = ln x + x2 ± a2 x2 ± a2 + C • √ • 1 dx = ln |ax + b| + C ax + b a • tan(ax + b) dx = − ln | cos(ax + b)| + C a • cos(ax + b) dx = • u dx = ln |u| + C u sin(ax + b) + C a au +C ln a • u eu dx = eu + C • u au dx = • u sin u dx = − cos u + C • u cos u dx = sin u + C • u tan u dx = − ln | cos u| + C • u cot u dx = ln | sin u| + C u dx u = arctan + C +u a a • u dx u = arcsin + C 2 a a −u • • • a2 √ +C dx = tan x + C cos2 x H UY G • G • xn+1 + C n+1 VI • 92 u dx |a + u| = ln +C −u 2a |a − u| a2 √ u dx = ln u + u2 ± a2 u2 ± a2 + C