Lời giải tốn hình học ngày thứ hai kì thi Olympic Chuyên KHTN năm 2019 Nguyễn Đức Toàn (THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng) Ngày 13 tháng năm 2019 Đề bài: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) cho AD đường kính (O), đồng thời EA = ED Dựng ngồi ngũ giác ABCDE, tam giác BCF vng cân F , hai hình vng ABM N , CDP Q Giả sử hai đường thẳng M Q N P cắt R Gọi S T trung điểm M Q Chứng minh RT ⊥ EF Lời giải: Trước tiên ta cần chứng minh bổ đề: Bổ đề 1: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi K trung điểm đoạn thẳng M P Khi K, Q, N thẳng hàng Bổ đề chứng minh đơn giản, đến với bổ đề thứ hai Bổ đề 2: (Định lý Van Aubel ) Cho tứ giác ABCD Vẽ phía ngồi tứ giác hình vng ABM N, BCP Q, CDRS, DAT V có tâm D, E, F, G Khi EG ⊥ DF Các bạn tham khảo cách chứng minh bổ đề Bổ đề 3: Cho tam giác ABC có D, E thuộc AB, AC cho B, C, E, D đồng viên Vẽ phía ngồi tam giác ADE tam giác DEF Lấy điểm K cho ∠ABK = ∠ACK = 135o Khi A, F, K thẳng hàng Chứng minh: Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng cân BT C Ta có ADE ∼ ACB ⇒ ADE ∪ F ∼ ACB ∪ T Suy AF, AT đẳng giác góc ∠BAC Lại có BT, BK đẳng giác góc ∠ABT , CT, CK đẳng giác góc ∠ACB Suy T, K điểm liên hợp đẳng giác tam giác ABC Suy AT, AK đẳng giác góc ∠BAC Suy A, F, K thẳng hàng Trở lại toán: Gọi K, L tâm hình vng ABM N CDP Q M N ∩ P Q = J, M A ∩ QD = U Gọi E đối xứng E qua O Áp dụng bổ đề 1, ta L, K, T thẳng hàng Áp dụng bổ đề ta KL ⊥ EF Ta cần chứng minh K, L, R, T thẳng hàng Dễ thấy E , B, N thẳng hàng, E , C, P thẳng hàng, D, M, B thẳng hàng, A, C, Q thẳng hàng Lại có ∠AM D = ∠AQD = 45o Suy AM QD tứ giác nội tiếp Từ áp dụng bổ đề 3, ta chứng minh U, E , J thẳng hàng Áp dụng định lý Desargues cho tam giác LM N KQP , ta có: M N ∩ P Q = J, LM ∩ KQ = U, LN ∩ P K = E , mà E , J, U thẳng hàng nên M Q, N P, KL đồng quy R hay R, K, L thẳng hàng Ta có điều phải chứng minh