BÀI GIẢNG cơ HỌC môi TRƯỜNG LIÊN TỤC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI TS PHẠM VĂN ĐẠT BÀI GIẢNG CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC HÀ NỘI, THÁNG NĂM 2016 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC 1.1 Nhiệm vụ đối tượng môn học 1.1.1 Nhiệm vụ môn học Nhiệm vụ môn học học môi trường liên tục nói chung lý thuyết đàn hồi nói riêng tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng trường chuyển vị môi trường liên tục chịu tác dụng ngoại lực yếu tố ảnh hưởng khác Môi trường liên tục vật thể có cấu tạo vật chất liên tục Cũng môn học biến dạng khác, kết môn học sở cho việc giải tốn kỹ thuật Do mơn học nghiên cứu tất mơi trường liên tục lý thuyết xây dựng môn học lý thuyết tổng quát để giải tất dạng kết cấu khác phương pháp môn học phương pháp chung để giải toán học Vì cách đặt vấn đề mặt tốn học chặt chẽ xác so với môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu v.v… CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.1.2 Đối tượng môn học Đối tượng mơn học vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa điểm lấy phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm Tùy thuộc cấu tạo vật chất tính chất học mơi trường vật chất mà người ta chia làm loại: Môi trường rắn; Môi trường lỏng; Mơi trường khí Tương ứng với loại vật thể mơi trường trên, xây dựng lý thuyết riêng cho môi trường Chẳng hạn vật thể rắn biến dạng có mơn sau: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong chương sau môn học chủ yếu đề cập đến tốn phân tích ứng suất biến dạng vật thể rắn biến dạng đàn hồi chịu tác dụng ngoại lực CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.2 Các giả thuyết nguyên lý môn học Môn học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu giải tốn cách chặt chẽ mơn học phải đưa vào giả thuyết để làm đơn giản tốn tính tốn so với kết cấu thực tế Các giả thuyết bản: 1.2.1 Giả thuyết 1: Giả thuyết cấu tạo liên tục vật thể đàn hồi Vật thể liên tục trước sau biến dạng (khơng có lỗ rỗng, khơng gián đoạn), phân tố vật thể liên tục Như biến dạng chuyển vị điểm vật thể hàm liên tục tọa độ Trong thực tế vật thể ln có cấu trúc định, khơng cần phải dùng thiết bị phóng quan sát thấy cấu trúc vật thể có điểm gián đoạn Vì vậy, biểu diễn gián đoạn vật thể tốn học kết phân tích phức tạp toán đơn giản Cần ý rằng, lý thuyết học môi trường liên tục coi vật thể liên tục phân tích tưởng tưởng cắt vật thể thành phân tố vô bé mặt bất kỳ, CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT phân tố nằm cạnh chúng chung mặt bên phân tố khơng mang tính chất riêng biệt 1.2.2 Giả thuyết 2: Giả thuyết trạng thái không ứng suất ban đầu vật thể Theo giả thuyết ứng suất ban đầu vật thể trước lúc đặt ngoại lực trình hình thành vật thể sinh xem “không” Như ứng suất vật thể môn học nghiên cứu phần tăng ứng suất điểm xét vật thể có tác dụng ngoại lực sinh ra, không kể đến ứng suất sẵn có ban đầu điểm Trong kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu gián đoạn vật thể có sai khác thực tế, bù lại ta tiến hành thí nghiệm mẫu vật liệu để xác định đặc trưng học chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ xác định ứng suất cho phép vật liệu thực nghiệm bỏ qua ứng suất ban đầu cấu trúc thực vật liệu CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.2.3 Giả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng đẳng hướng Tính đàn hồi tuyệt đối tính chất vật thể chịu tác dụng ngoại lực biến dạng, khơng cịn chịu tác dụng ngoại lực “dỡ tải khơng” vật thể trở ngun hình dạng ban đầu Tính đồng vật liệu thể tính chất điểm khác vật thể có tính chất Tính đẳng hướng vật liệu tính chất điểm vật thể theo hướng có tính chất – lý nhau, mặt phẳng qua phân tố mặt phẳng đối xứng phân tố 1.2.4 Giả thuyết 4: Biến dạng chuyển vị nhỏ so với kích thước vật thể Dựa vào giả thuyết dẫn đến mối quan hệ ứng suất biến dạng mối quan hệ bậc (tuân theo định luật Hooke tổng quát) Dựa vào giả thuyết này, tính tốn với biến dạng dài tương đối biến dạng góc ta khai triển đại lượng theo chuỗi Taylor ta bỏ qua biến dạng góc bậc cao CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC Ví dụ α nhỏ thì: sin(α) = α − TS PHẠM VĂN ĐẠT α + ≈ α 3! 1.3 Khái niệm véctơ 1.3.1 Các thành phần véctơ Xét hệ trục tọa độ Descartes vuông x2 góc ox1x x3 có thành phần véctơ đơn vị: a e1 ;e2 ;e3 Xét véctơ a có thành phần chiếu a1 lên trục tọa độ là: a1;a ;a Ta có: a = a1.e1 + a e2 + a e3 a2 (1.1) a3 x1 x3 Hình 1.1 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Đặt: l= TS PHẠM VĂN ĐẠT a a1 a = cos(a ;e1 ); m = = cos(a ;e2 ); n = = cos(a ;e3 ) a a a (1.2) (l,m,n) gọi cosin phương véctơ a , ta có: a12 + a 22 + a 32 l +m +n = =1 a2 2 (1.3) 1.3.2 Biến đổi thành phần véctơ xoay hệ trục tọa độ Xét hệ trục ox1x x3 quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục ox '1 x '2 x '3 Gọi véctơ đơn vị trục hệ trục ox1x x3 e1 ;e2 ;e3 , véctơ đơn vị trục hệ trục ox '1 x '2 x '3 e'1;e'2 ;e'3 Cosin phương véctơ đơn vị e1 ;e2 ;e3 hệ trục ox '1 x '2 x '3 là: ( l1;l2 ;l3 ) , ( m1;m2 ;m3 ) , ( n1;n ;n ) Ta có: CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT  e1   l1 l2 l3   e'1   e'1      e'  = [ T'] e'  e = m m m  2   2  2  e   n n e'  n  e'3   3   3 đó: l2  l1 [ T '] = m1 m2  n1 n (1.4) l3  m3   n  Vì li = cos(e1;ox i );mi = cos(e2 ;ox i );n i = cos(e3 ;ox i ) nên cosin phương véctơ đơn vị e'1;e'2 ;e'3 hệ trục ox1x x3 là: ( l1;m1 ;n1 ) , ( l ;m ;n ) , ( l3 ; m ; n ) ta có:  e'1   l1 m1 n1   e1   e1      e  = [ T] e  e' l m n =  2   2 2  2  e'   l m n  e  e   3   3 3 3 (1.5) CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC đó:  l1 [ T ] = l2  l3 m1 m2 m3 TS PHẠM VĂN ĐẠT n1  n  gọi ma trận chuyển từ hệ trục tọa độ ox1x x3  n  sang ox '1 x '2 x '3 Từ (1.4) (1.5) suy ma trận chuyển trục tọa độ ma trận trực giao có: [ T ]−1 = [ T ]T (1.6) Xét véctơ a hệ trục tọa độ cũ ox1x x3 (hình 1.2a) có tọa độ ( a1 ;a ;a ) , ta có: a = a1.e1 + a e2 + a e3 (1.7) Véctơ a hệ trục tọa độ ox '1 x '2 x '3 (hình 1.2b) có tọa độ ( a '1 ;a '2 ;a '3 ) , ta có: CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC π TS PHẠM VĂN ĐẠT π π 2C + cos 2θ cos θ.r.cos θ.dθ = −2C ∫ cos dθ = −2C ∫ dθ r π π π P = − ∫ σr.rdθ.cos θ = − ∫ − π P=− − π − π 2C   θ + sin θ  π = −Cπ  − →C=− − P π (6.24) Thay (6.24) vào (6.23) ta có: σr = − σθ = 2P cos θ πr (6.25) τrθ = Từ (6.25) cho thấy: 255 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT +Tại điểm đặt lực P: r = σr = ∞ Thực tế chịu lực tập trung điểm đặt lực có ứng suất cục lớn làm cho khu vực điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo +Ở ta khơng xét khu vực mà áp dụng nghiệm rút khu vực nói + Tính chất nghiệm σr: Ta có: d.cosθ = r Từ (6.26) (6.25) suy ra: σ r = − → cos θ = d r 2P 2P cos θ = − πr πd → (6.26) σr = − 2P πd (6.27) Công thức (6.27) cho thấy ứng suất σr tất điểm vòng tròn Vòng tròn gọi đường đẳng suất 256 CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT P P o r x d y P Hình 6.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén tâm Ta có: Mà:  f x* = σ r cos(n, x) = σ r l  * f y = σ r sin(n, x) = σ x m  f x* = σ x l + τ yx m = σ r l  * f y = τ yx l + σ y m = σ x m → σ x l2 − σ y m = σ r l2 − σ r m 257 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC σ x + σ y = σ θ + σ θ  2  l + m =1 Ta có: y TS PHẠM VĂN ĐẠT y f*y θ n τ σr σ x l2 − σ y m2 = σr l2 − σr m2 → σ P y σr o β yx σr σ θ x τ r σr σr τ xy f*x y yx τ xy x x x σ x Hình 6.8 σθ = → σ y = σr − σx 258 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT → σ x l2 − (σ r − σ x ).m = σ r l2 − σ x m ↔ σ x l2 − σr m − σ x m = σr l2 − σr m ↔ σ x ( l2 + m ) = σ r l2 ↔ σ x = σr l2 Tương tự: σ y = σ r (1 − l2 ) = σ r m τ xy = σ r l.m l = cos θ = x x = ; 2 r x +y l = sin θ = y y = r x + y2 259 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT   x2   σ x = σ r cos θ = σ r  2 + x y      y2  →  σ y = σ r sin θ = σ r  2  + x y      xy   τxy = σ r sin θ.cos θ = σ r  2   x + y   2P 2P x σ x = − cos θ = − ; 2  πr π (x + y )   2P 2P 2P x.y Thay σ r = − cosθ từ (6.27) ta có: σ y = − sin θ.cosθ = − 2 πr r π π  (x + y )  x y  τ = − 2P sinθ.cos θ = − 2P  xy πr π ( x + y )2  (6.28) 260 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT * Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng đứng σx ứng suất tiếp (áp lực trượt) τxy khoảng cách x=H cách biên bán phẳng: 2P H3 - Trị số áp lực phương thẳng đứng σx (Hình 6.9a) : σ x = − π H + y2 ( áp lực đạt cực trị y=0 bằng: σx,max = − 2P πH 2P H y - Trị số áp lực trượt τxy (Hình 6.9b) : τxy = − π H2 + y2 ( áp lực đạt cực trị y = ) ) H 3P bằng: τ xy,max = − 8πH 261 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT P a) P b) y H 2P/ πH P/ 2H H σx y H 3P/8πH H H/ x τxy x Hình 6.9 * Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng ngang σ y ứng suất tiếp (áp lực trượt) τxy khoảng cách y=B cách điểm đặt lực: 262 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 2P x.B2 - Trị số áp lực σ y (Hình 6.10a) : σ y = − π x + B2 ( bằng: σ y = − ) , áp lực đạt cực trị x = B 3 3P 8πB 2P x B - Trị số áp lực trượt τxy (hình 6.10b) : τ xy = − π x + B2 ( bằng: τxy,max = − ) , áp lực đạt cực trị x = B P 2πB 263 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC a) TS PHẠM VĂN ĐẠT b) P B B/ x y P B 3P 8πB B P 2πB x σy y τxy Hình 6.10 264 CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung hình vẽ, để tính ứng suất điểm ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính (hình 6.11) TS PHẠM VĂN ĐẠT P1 P2y1 Pn y1 θn θ2 σx y τ xy τ yx σy y3 y2 y1 Hình 6.11  x i3 n Pi cos3 θi n = − ∑ Pi σ x = − π ∑ 2 r (x y ) π + i =1 i =1 i i i   n Pi sin θi cos θi n x i yi = − ∑ Pi σ y = − ∑ 2 r (x y ) π π + = = i i i i i   x i yi n Pi sin θi cos θi n = − ∑ Pi  τ xy = − ∑ π r π i =1 (x i + yi )  i =1 i (6.29) 265 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 6.4 Bài tập Bài 6.1 Hãy xác định ứng suất nêm có chiều dày δ =1 , góc đỉnh = 2α chịu tác dụng lực tập trung P đỉnh làm với trục nêm góc β (hình 6.12) y β P αα Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng : ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ A, B số r Hình 6.12 266 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Bài 6.2 Hãy xác định ứng suất nêm hình có mơmen Mo tác dụng đỉnh nêm (hình 6.13) Chọn hàm ứng suất dạng: M y αα ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ A, B số r Hình 6.13 267 CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Bài 6.3 α thái ứng suất nêm γ=const (hình 6.14) Lấy hàm ứng suất dạng : r Cho nêm chịu lực hình 6.14 Hãy xác định trạng q=γ r ϕ(r,θ )= r3 (Acos3θ + Bsin3θ + Ccosθ +D sinθ ) A,B số r Hình 6.14 268 CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT KẾT THÚC MÔN HỌC CHÚC CÁC BẠN THI TỐT! 269 ... đơn giản Cần ý rằng, lý thuyết học môi trường liên tục coi vật thể liên tục phân tích tưởng tưởng cắt vật thể thành phân tố vô bé mặt bất kỳ, CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT phân tố... với mơn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu v.v… CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.1.2 Đối tượng môn học Đối tượng môn học vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa điểm lấy phần... biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong chương sau môn học chủ yếu đề cập đến tốn phân tích ứng suất biến dạng vật thể rắn biến dạng đàn hồi chịu tác dụng ngoại lực CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN