Tài liệu Rèn kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) cho học sinh Trung học cơ sở_2

Tai lieu, luan van1 of 102 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC TÁC GIẢ: NGUYỄN TRỌNG TUÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NĂM HỌC : 2012-2013 khoa luan, tieu luan1 of 102 Tai lieu, luan van2 of 102 MỤC LỤC Nội dung Trang TT Sơ yếu lý lịch A Phần mở đầu 5 6 10 (côsi) (cơsi) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi 2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình kết hợp chọn điểm rơi 16 2.3 Phương pháp đổi biến số 22 2.4 Các bất đẳng thức thường dùng suy từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi) Kết 26 38 11 39 12 41 khoa luan, tieu luan2 of 102 Tai lieu, luan van3 of 102 CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên : NGUYỄN TRỌNG TUÂN Ngày tháng năm sinh : 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 : Giáo viên : TrƣờngTHCS Bột Xuyên- Mỹ Đức-Hà Nội Trình độ chun mơn : Đại học Bộ mơn giảng dạy : Tốn học Khen thƣởng : Giáo viên dạy giỏi cấp thành phố Chiến sĩ thi đua cấp sở khoa luan, tieu luan3 of 102 Tai lieu, luan van4 of 102 A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong nhà trƣờng phổ thơng mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng góp phần phát triển nhân cách, lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái qt hóa, ….Rèn luyện đức tính ngƣời lao động thời kỳ nhƣ tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dƣỡng óc thẩm mỹ Bên cạnh tri thức kỹ toán học với phƣơng pháp làm việc tốn học trở thành cơng cụ để học tập môn học khác nhà trƣờng, công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, công cụ để hoạt động đời sống thực tế tốn học thành phần khơng thể thiếu trình độ văn hóa phổ thơng Chứng minh bất đẳng thức dạng toán phổ biến quan trọng chƣơng trình tốn phổ thơng, thƣờng gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trƣờng chuyên, lớp chọn Để giải đƣợc loại tốn địi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức đƣợc học bên cạnh cịn phải biết phân tích tốn cách hợp lý tìm đƣợc lời giải cho tốn Tuy nhiên chƣơng trình tốn THCS thời lƣợng dành cho nội dung khơng nhiều học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn gặp dạng Các toán chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú Xét lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tƣ cho học sinh k nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trƣờng , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng cách sáng tạo nhất, thông minh việc học toán, sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng ngƣời giáo viên Đó lý chọn đề tài Phạm vi thời gian thực đề tài Nghiên cứu phƣơng pháp giải toán bất đẳng thức, cực trị thông qua “rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)” đặc biệt phƣơng pháp chứng minh tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo việc học toán nhƣ sống Thời gian thực năm ( Năm học 2012-2013) khoa luan, tieu luan4 of 102 Tai lieu, luan van5 of 102 Mục đích nghiên cứu: Có nhiều phƣơng pháp đƣợc áp dung chứng minh bất đẳng thức : nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức nhƣ bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị trí đặc biệt quan trọng Rèn luyện kỹ giải loại tốn có ý nghĩa quan trọng học sinh: Giúp em củng cố hệ thống hoá đƣợc nhiều kiến thức , vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức bậc học THCS để có cách giải thơng minh phù hợp Bên cạnh giúp cho em ln ln có suy nghĩ khoa học, giúp em đạt đƣợc hiệu cao công việc sống đời thƣờng Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng pháp « Rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) » phần quan trọng chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị chƣơng Toán THCS Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp trƣờng THCS Bột Xun, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức Phương pháp nghiên cứu : B PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận Xu đổi mạnh mẽ Giáo dục nói chung Giáo dục THCS nói riêng lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên ngƣời hƣớng dẫn, tổ chức hoạt động nhằm phát huy lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bƣớc đầu hình thành ngƣời cho xã hội đại không ngừng phát triển Học tốn giải tốn có vị trí quan trọng chƣơng trình cấp THCS, học sinh cần phải học có đƣợc phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải toán độc đáo Muốn học sinh cần phải đƣợc phát triển kỹ vận dụng phƣơng pháp giải toán cách tốt nhất, nhanh nhất, hay tạo thói quen thành thạo phát triển khả tƣ duy, trí thơng minh cho học sinh Chính vậy, cấp THCS, việc phát triển trí thơng minh cho em thơng qua mơn Tốn cần thiết khoa luan, tieu luan5 of 102 Tai lieu, luan van6 of 102 2.1 Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh cịn lúng túng đứng trƣớc tố , em chƣa biết cách phân tích tốn để áp dụng phƣơng pháp cách hợp lý Một số em khá, giỏi dừng lại mức giải đƣợc tập đơn giản mà đƣờng lối giải có sẵn 2.2 2.3 Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 ) (CƠSI) Cho n số khơng âm: a1 a2 a3 an n n a ; a ; a ; a n a a a a n Đẳng thức xảy a a * Dạng cụ thể ( số, số ) n = 2: 2.1 2.1 x, y x ta có a3 (n : y * N ) an n = 3: x xy x : x, y, z y z xyz y xy Đẳng thức xảy x = y khoa luan, tieu luan6 of 102 x y z 3 xyz Đẳng thức xảy x = y = z Tai lieu, luan van7 of 102 Hệ 1: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x y có tổng x + y = S khơng đổi Khi đó, x S y xy 2 nên S xy Đẳng thức xảy x = y S Do đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y Hệ 2: Nếu hai số dƣơng thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dƣơng x y có tích x.y = P khơng đổi Khi đó, x y xy P nên x y Đẳng thức xảy x = y P Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ P x = y : Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhỏ CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Cho x > chứng minh rằng: x x Giải Do x Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có x x Đẳng thức xảy x x x x thỏa mãn đk x > x Lời bình Đây tốn đơn giản cần áp dụng trực tiếp bđt côsi ta có lời giải tốn Tuy nhiên ta gặp tốn có nội dung đơn giản Bài 2: Chứng minh rằng: x x khoa luan, tieu luan7 of 102 10 3 Tai lieu, luan van8 of 102 Giải Ta có x x x 2 3 x x x x Đẳng thức xảy 8 10 3 x 2 3 x 2 x x x Lời bình Lời giải thiếu tự nhiên, lại tách x x 3 (x 3) ? Điều dựa phân tích sau: +) Dễ thấy đẳng thức xảy x = +) Khi sử dụng bđt cơsi đẳng thức xảy hai số ta x có: k x x k Bài 3: Chứng minh rằng: a b b c 2 c a 2 2 8a b c a,b,c Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 a b 2 ab b c 2 bc c a 2 ca a b 2 b 2 x y c = 2|xy| ta có: c a 2 8|a b c | Sai lầm thường gặp Sử dụng bđt x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 a b c b 2ab c 2bc a 2ca a b b c 2 a 2 khoa luan, tieu luan8 of 102 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) 2 a,b,c 2xy Do đó: 8a b c Cách giải sai ví dụ 2 x2 + y2 c 8a b c a,b,c Tai lieu, luan van9 of 102 Lời bình +) Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không không âm +) Cần ý rằng: x2 + y2 x y = 2|xy| x, y khơng biết âm hay 2 dương +) Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơsi +) Trong toán dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số Bài 4: Cho hai số dƣơng x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3x 4y x y Giải Biến đổi áp dụng giả thiết bđt cơsi ta có P 3x 4y x y 5x 4 x x y 9y y y 5x 9y x y 21 Dấu “=” xảy x y 5x x 9y x x Vậy MinP = 21 x = y = Lời bình Một câu hỏi đặt nghĩ thành phần x y ? Liệu có thành phần khác khơng ? diều giải sau Với < m < ta có P m x y m x m y x 4m m x y m y x 4m khoa luan, tieu luan9 of 102 m y m 9 Tai lieu, luan van10 of 102 x y m x x y x Đẳng thức xảy m y y m x 0; y Đây điểm mấu chốt tốn Bài 5: Cho ba số thực dƣơng x, y, z thỏa mãn x y z 47 Tìm giá trị nhỏ 12 biểu thức A x y z Giải : Áp dụng bđt côsi cho hai số dƣơng ta có 3x 25 3x 4y 10 x 2 4y 25 5z A (1) 25 2 25 2 10 y (2) 25 25 z 5 10 z (3) 10(x y z) 10 47 A 12 235 470 12 12 Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) ta đƣợc 235 A 12 Dấu “=” xảy 3x 25 x 4y 25 y 5z x 5 y z z 47 12 Vậy M in A 235 x 12 ; y ; z Lời bình Rõ ràng bđt đưa thiếu tự nhiên, có lời giải ? Tuy nhiên suy luậnsau hồn tồn thấy điều Khơng tính tổng quát, giả sử tồn số m, n, p thỏa mãn m > n > p > Áp dụng bđt côsi cho hai số dương ta có 3x m m x ; 4y n 4n y; Do A m n p m x n y Ta cần xác định m, n, p cho khoa luan, tieu luan10 of 102 5z 2 p p z 10 p z Tai lieu, luan van27 of 102 x y 1 x y ; (1 2) xy; (1 3) ; (1 4) (1 5) x 1 x y y x y xy x x y y 1 x y 4; b Vì x, y, z ba số dƣơng nên áp dụng bđt cơsi cho ba số ta có x y 1 x z y xyz ( đẳng thức xảy x = y = z ) z Do 1 x y z ; (2 1) (2 2) ( đẳng thức xảy xyz (x y z )( 1 x y ) 3 x y z z ) xyz Đẳng thức xảy : x y z 1 x y z Vậy đẳng thức xảy x = y = z Chú ý: (2) cịn viết dƣới dạng sau: 1 1 x y z x x y a 0; b b z z x c Do y y z 1 1 x y z 1 x y z áp dụng bđt cơsi Ta có: a a b b a C ôsi a b 2 b a Vận dụng giải tập 1 x y x y ( Đẳng thức xảy x = y ) Bài Cho số: x > 0, y > thỏa mãn x y 10 2.4.1 Áp dụng bất đẳng thức x y 1 xy 25 Giải: Để ý rằng: khoa luan, tieu luan27 of 102 x y 2 xy x y 27 x y x ; 0; y (1) Chứng minh rằng: xy Áp dụng (1) Ta có Tai lieu, luan van28 of 102 x 2 y xy x y y x 2 xy x y y y ( Do x + y > ) 100 ( Do ( x + y )2 > ) 100 y x 10 x 2 Mà Vậy x 2 x 1 xy 25 y ( Đẳng thức xảy Bài 2: Cho số: x > 0, y > thỏa mãn xy 15 Chứng minh rằng: x x y 10 x y 100 x y x y y 1 5 xy 25 xy 15 ( Đẳng thức xảy x 0, y x y x y x y ) 10 10 x y 100 y 25 x 100 0, y xy Mà x Giải: Do x > 0, y > áp dụng (1-4) ta có: x 25 y x y ) 10 Kết hợp tốn tốn ta có toán sau: Bài 3: Cho số: x > 0, y > thỏa mãn x y Chứng minh rằng: x 2 y 13 xy 75 Giải Ta có: x 13 y xy x +) Theo 1: x +) Theo 2: ( y xy 15 y ) xy 1 xy 25 xy ( *) (**) Cộng theo vế ( *) (**) ta đƣợc ( x Hay x y 13 xy 75 y ( Đẳng thức xảy Lời bình khoa luan, tieu luan28 of 102 28 1 xy 25 15 75 ) xy x 0, y x y x y x 10 y ) Tai lieu, luan van29 of 102 +) Do vai trị x y bình đẳng nên ta dự đoán đẳng thức xảy x = y = 5, từ x y x y kxy k +) Nhận thấy bất đẳng thức tồn giá trị biến để có đẳng thức nên chuyển thành toán cực trị đại số +) Sử dụng kết hợp với bất đẳng thức cô-si, số bất đẳng thức khác ta số toán sau: Bài 4: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội năm học: 2008-2009 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P, biết P 35 a b , với a > 0, b > 2ab a b ab * Nhận xét : Với biểu thức mà vai trị biến bình đẳng cực trị thƣờng đạt đƣợc giá trị biến +) Xuất phát từ cách giải ( toán 1) ta viết biểu thức P dƣới dạng: P ( a 2 b 2ab a ) b 35 ab 2ab 34 2ab ab 2ab 2ab Giải tƣơng tự (bài toán 1) ta có: a b 1 2ab (*) (Đẳng thức xảy khi: a = b = 2) Đến nhiều học sinh nghĩ sử dụng bđt Cô-si cho hai số dƣơng 34 2ab 34 : đƣợc ab 2ab 34 ab 34 ab 68 nhƣng đẳng thức xảy Mâu thuẫn với điều kiện xảy đẳng thức 2ab a b ab 17 ab 17 ab (*) Vậy phải tách nhƣ ? m +) Từ bđt (1-4) ta thấy với m, n số dƣơng 4m nab n a b (Đẳng thức xảy khi: a = b) Nên ln tìm đƣợc GTNN biểu thức m dạng ( Với m > 0, n > 0) nab +) Với điều kiện a = b = 34 32 ab ab ab 2ab k k ab Từ ta đến cách giải sau: Giải Ta có P a 35 b ab a 2 2ab a b ( 2 b 32 32 ) 2ab ab 2ab 2ab khoa luan, tieu luan29 of 102 ab 2ab ab 29 ab 2a b 32 Vậy nên tách Tai lieu, luan van30 of 102 +) Do a > 0, b > Giải tƣơng tự (bài tốn 1) ta có a b 1 2 2ab a ( Đẳng thức xảy a 0,b a b a b b 1 2ab a b ) 32 +) Do a > 0, b > 0, áp dụng bđt cô-si ta có 2ab 32 ab a ( Đẳng thức xảy (*) 0,b 32 a b 16 (**) ab a 0,b ab 2ab ) ab ab +) Do a > 0, b > Giải tƣơng tự (bài tốn 2) ta có ( Đẳng thức xảy a 0,b a b a b (***) a b Cộng theo vế bđt (*), (**), (***) ta đƣợc P 16 (Đẳng thức xảy a 0,b a b a b Vậy : M axP = 17 ) 17 2 a b ) a = b = Bài 5: ( Thi chọn học sinh giỏi lớp tỉnh Hà Tây năm học: 2007-2008 ) Cho x, y, z > thỏa mãn 1 x y z A 2x Tìm giá trị lớn biểu thức y z x 2y z x y 2z * Nhận xét Vai trò biến x, y, z bình đẳng nên cực trị thƣờng đạt đƣợc biến Giải Áp dụng (2) ta có : 2x y z (x y) (x z) Mà x y Suy 2x khoa luan, tieu luan30 of 102 y z x 1 x y y x z ; x 1 1 16 x y x z 30 z 1 x z Tai lieu, luan van31 of 102 ( Đẳng thức xảy khi: Cmtt ta có x 2y z x y x z 1 1 16 x y y z x y z y y ( Đẳng thức xảy x x 2z x z x y z ) ) 1 1 16 x z y z ( Đẳng thức xảy x y z ) Cộng vế bđt ta có A 2x y z x 2y z ( Đẳng thức xảy kết hợp với 1 x y z A 2x z x 2y z x x y z 1 x y z ) y 2z x y z 1 x M axA = 2z ( Đẳng thức xảy khi: Vậy y Ta có y x y x y z ) z x= y= z= Bài 6: ( Thi tuyển sinh vào 10, THPT chuyên Toán-Tin, Đại học Vinh năm học: 2002-2003 ) Chứng minh a, b, c số thực dƣơng thỏa mãn abc = a + b + c a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 16 Giải Áp dụng (1-2) ta có : a Đẳng thức xảy 2b a c a c b c 3c a (b 3a b c) 16a 16c 32b 32c 16a 2b 32c Mâu thuẫn giả thiết Do khơng 2b 3c 1 16a 32b 32c 32b 16c 1 32a 16b 32c Cộng theo vế bđt ta có: khoa luan, tieu luan31 of 102 (b c) 32a 2c c a c a 1 1 3b c 1 c 2a b 1 xảy đẳng thức Vậy Cmtt ta có c 31 Tai lieu, luan van32 of 102 a 2b 3c ab 16 2a bc 3b c ac 3a b 2c 1 1 16 32 32 a b c abc 16 Bài 7: ( Thi tuyển sinh vào 10, chuyên Toán, thành phố Hải Phòng năm học: 2003-2004 ) Cho số dƣơng x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh xy yz zx x 2 y 14 z Giải Trƣớc hết ta chứng minh bđt: xy yz xz x y z (*) Đẳng thức xảy x = y = z Thật (* ) x x (x (x yz z ) (y (y z) 2 xz xy yz zx xz 2( xy y ) 2 yz xy xy y) xy z y 2 z y 2(x y yz xz ) yz z ) (x z) 2 (x 2 xz z ) (* * ) Dễ thấy (**) với giá trị x, y, z đẳng thức xảy x = y = z Vậy xy yz xz x y z Áp dụng bất đẳng thức (1) (*) ta có xy yz 2 zx x y 2 z xy yz xz 2 xy yz xz x y 2 z xy yz y x y 14 x xz z xy Đẳng thức xảy x yz y xz x y z vơ lí z Do dấu “=” không xảy Vậy xy yz zx x y z 14 2.4.2 Áp dụng bất đẳng thức 1 x y z x y ( x 0; y 0; z 0) z Bài 8: (Thi vào chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội 1992-1993) Cho a, b, c > a b c Chứng minh rằng: a 2bc b 2ac c 2ab Giải khoa luan, tieu luan32 of 102 32 (2) z Tai lieu, luan van33 of 102 Do a 2bc 0; b a 2 2ac 0; c 2bc b 2 2ab Áp dụng bđt (2) ta có 2ac c 2ab a b c 2ab 2bc 2ac a b c Đẳng thức xảy a 2bc Mặt khác b 2ac c 2ab a b c a b c a b c Suy b b c a a c a Đẳng thức xảy b c a a b Bài Chứng minh : c b c b c c a a a b b a,b,c (*) c Giải Ta biến đổi (*) tƣơng đƣơng: a b c b c a a c b b a c a b a c c a b b c a b c 1 a b c (đpcm ) Lời bình Nhận thấy tổng tử mẫu phân thức a + b + c nên ta tìm cách quy đồng tử nhằm làm xuất thừa số chung Bài 10 Chứng minh : 2 a b b c c a a b c a,b,c Giải Ta biến đổi tƣơng đƣơng BĐT nhƣ sau: a b a c b a b b c b c a c c a 1 a b b c c a (đpcm ) Đẳng thức xảy a = b = c Bài 11 Chứng minh : c a a b b b c c a , a,b,c Giải Ta biến đổi tƣơng đƣơng BĐT nhƣ sau: c a b a b c a b a khoa luan, tieu luan33 of 102 c b b c a a b b c a c b c 33 c a (BĐT Nesbit) Tai lieu, luan van34 of 102 a a b b c b a c b a b c c a c a 1 b b c a b c (đpcm) c a , a,b,c Đẳng thức xảy a = b = c Bài 12 c Cmr a a b b b c c a (*) Giải Ta biến đổi BĐT nhƣ sau: (* ) c c a a a b b a a b c c c a b b b c c a a b b b c b a c a b a c c c a b b c c b c b b a a a b c b a a a b b b c c c a a a b c c a b c a c a b b c c a Đẳng thức xảy a = b = c Ta cịn vận dụng bất đẳng thức vào giải sáng tạo tốn chứa bất đẳng thức hình học tìm cực trị hình học Bài 13: Cho tam giác ABC có cạnh a Gọi đƣờng vng góc từ điểm M nằm tam giác đến cạnh BC, CA, AB lần lƣợt MD, ME, MF Xác ddingj vị trí M để: a 1 MD ME MF b MD đạt giá trị nhỏ Tính giá trị ME ME MF MF đạt giá trị nhỏ Tính giá trị MD Giải Gọi chiều cao tam giác ABC h ta dễ thấy h a Đặt MD = x; ME = y; MF = z Ta có S A B C S M B C S M A C khơng đổi a Áp dụng bđt (2) ta có khoa luan, tieu luan34 of 102 S M AB ah 34 ax ay az x y z h Tai lieu, luan van35 of 102 1 x y z x y z h a b Áp dụng bđt (2) ta có 1 x y y z z x 2(x y z) 2h a Trong hai trƣờng hợp đẳng thức xảy x = y = z, M tâm cua tam giác ABC Bài 14: (Thi chọn học sinh giỏi lớp Hà Nội năm học 2011-2012) Chứng minh rằng: Điều kiện cần đủ để tam giác có đƣờng cao h1; h2; h3 bán kính đƣờng trịn nội tiếp r tam giác là: h1 h2 h2 h3 h3 h1 3r Giải Gọi a, b, c lần lƣợt độ dài cạnh tam giác ứng với đƣờng cao h1; h2; h3 a h1 b h2 c h3 2 2 p p 2S pr r Ta có Vậy 1 1 h1 h2 h3 r S 1 a b c h1 h2 h3 2S 2S 2S +) Nếu tam giác ta dễ cm: h1 = h2 = h3 1 h1 h2 h2 h3 h3 +) Nếu h1 h1 1 1 h1 h2 h3 3r h2 h2 h3 h3 h1 3r Áp dụng bđt (2-1) ta có h1 h2 h1 h2 h2 h3 h2 h3 h2 h3 h3 h1 h3 h1 h1 1 1 h1 h2 h2 1 1 h2 h3 h3 1 1 h3 h1 h1 Dấu “=” xảy h1 = h2 Dấu “=” xảy h2 = h3 Dấu “=” xảy h3 = h1 Cộng theo vế bđt ta đƣợc h1 h2 h2 h3 khoa luan, tieu luan35 of 102 h3 h1 1 1 h1 h2 h3 3r 35 Tai lieu, luan van36 of 102 Dấu “=” xảy h1 = h2 = h3 tam giác cho tam giác Vậy: Điều kiện cần đủ để tam giác có đƣờng cao h1; h2; h3 bán kính đƣờng trịn nội tiếp r tam giác là: h1 h2 h2 h3 h3 a R h1 3r 2.4.3 Áp dụng bất đẳng thức a b b a a b a Bài 15 CMR: (3 ) 2 a Giải Ta có : a a a 2 1 a a a Dấu “ = ” xảy C ôsi 1 a 2 a b a a a 1 b 1 a Bài 16 CMR: a a 2 a b Giải Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b hạng tử đầu a đƣợc phân tích nhƣ sau : a b a b a b Dấu “ = ” xảy C ôsi b b a b a Bài 17 CMR : 2a 4b (a b) b a b b b b a b a 3 a b b a = b = b a a b Giải Nhận xét : dƣới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a Chuyển đổi tất biểu thức sang biến a điều mong muốn việc xử lí với biến đơn giản Biến tích thành tổng mặt mạnh BĐT Cơsi Do : khoa luan, tieu luan36 of 102 36 Tai lieu, luan van37 of 102 b Ta có đánh giá mẫu số nhƣ sau: 2a Vậy: 4b (a 2a C ôsi b) a b a a Dấu “ = ” xảy a a b a a a b a a b b a a b C ôsi 3 a a a a a a 1 Lời bình +) Trong việc xử lí mẫu số ta sử dụng kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b +) Đối với phân thức việc đánh giá mẫu số, tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phu thuộc vào dấu BĐT Bài tập vận dụng Cho a > 0, b > 0, a + b = Chứng minh a 1 ab b a 2 b ab a b 14 2 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác gọi p nửa chu vi tam giác Chứng minh: 1 1 1 a b c p a p b p c 3.(Thi chọn học sinh giỏi lớp huyện Mỹ Đức năm 2012-2013) Cho a, b, c, d > Chứng minh a c b d c a d b a b b c c d d a 4 (Thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán-tin, Đại học KHTN Hà Nội, 20022003) Cho x, y, z > thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 xy 2 yz zx Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đƣờng trịn (O) với ba đƣờng cao AA1, BB1, CC1 lần lƣợt cắt (O) lần D, E, F Xác định dạng tam giác ABC cho a b AA1 B B1 C C1 D A1 E B1 FC1 AA1 B B1 C C1 AD BE CF khoa luan, tieu luan37 of 102 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị đạt giá trị nhỏ Tính giá trị 37 Tai lieu, luan van38 of 102 Trong tam giác ngoại tiếp đƣờng tròn (O; r) xác định dạng tam giác cho tổng độ dài ba đƣờng cao đạt giá trị nhỏ Tính giá trị Cho tam giác ABC, M thuộc miền tam giác Gọi MA, MB, MC thứ tự giao với BC, AC, AB D, E, F Chứng minh: a) MD ME MF DA EB FC c) MA MB MC MD ME MF DA EB FC MA MB MC e) Cho 1; b ; c ; f) CMR : MA MB MC DA EB FC MA MB MC MD ME MF d) 9/2 a,b,c a b) ME MF MA MB MC a b b c ; 3/2 c ; MD a (Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2003-2004) Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a c a b 1 a b c 10 (Thi ts vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Hà Tây, 2005-2006) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S x y z Trên trình bày số phƣơng pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) chứng minh bất đẳng thức giải tốn cực trị Đề tài tơi triển khai năm học 2012-2013 Kết Trong năm học 2012 – 2013, đƣợc phân công giảng dạy mơn Tốn lớp bồi dƣỡng đội tuyển học sinh giỏi tốn huyện Mỹ Đức Tơi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho học sinh Sau áp dụng, nhận thấy đa số em có kỹ vận dụng giải tập tƣơng đối tốt Với cách phân loại cụ thể với mức độ tăng dần em dễ tiếp thu Bên cạnh em đƣợc rèn luyện kỹ tập vận dụng sau phƣơng pháp qua em thấy tự tin, hứng thú học tập Kết đối chứng sau chứng tỏ điều Trước đề tài thực Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 khoa luan, tieu luan38 of 102 38 Tai lieu, luan van39 of 102 Sau thực đề tài Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9A 32 10 15 Ngồi tốn gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi trƣờng, học sinh giỏi cấp huyện, thành phố, thi tuyển sinh vào trƣờng chuyên em giải toán đạt kết cao C KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận khuyến nghị Các toán bất đẳng thức hay cực trị thƣờng tập khó để đạt đƣợc hiệu cao địi hỏi giáo viên khơng nắm vững kiến thức mà cịn phải tìm tịi phƣơng pháp giúp học sinh dễ hiểu tiếp thu cách dễ nhất, nhanh nhất, biết chuyển nội dung khó thành nội dung đơn giản, gần gũi với em Bằng phƣơng pháp nêu đề tài hệ thống tập đƣợc xây dựng từ dễ đến khó giúp học sinh đƣợc tiếp cận rèn luyện kỹ cách nhẹ nhàng, tự nhiên Thơng qua lời bình sau tập em khơng nắm vững kiến thức, kỹ tìm lời giải mà cịn đƣợc tìm hiểu nguồn gốc cách xây dựng đề tốn qua giúp em bƣớc đầu có ý thức sáng tạo ý tƣởng mới, hay từ nội dung cách để em rèn luyện khả tƣ duy, phát triển trí tuệ nhằm đáp ứng đƣợc đòi hỏi sống sau Trong trình thực đề tài, tơi khơng tránh khỏi thiếu sót định Với mục đích khắc sâu kiến thức cho học sinh nâng cao chất lƣợng dạy học nhà trƣờng, mong đƣợc bảo, góp ý nhóm chun mơn nhƣ hội đồng khoa học sở Điều giúp đỡ, động viên tơi nhiều q trình giảng dạy sau Bài học kinh nghiệm Trong trình thực đề tài qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn tơi rút số kinh nghiệm a Với toán cần hƣớng dẫn cho em nắm phƣơng pháp giải toán bản, vận dụng giải thành thạo dạng loại tốn sau đƣa tập nâng cao yêu cầu học sinh phải độc lập suy nghĩ suy nghĩ sáng tạo giải đƣợc b Cần thƣờng xun ơn lại loại tốn học c Nếu điều kiện học sinh tiếp thu tốt khái quát hoá tổng quát hoá toán cách giải d Cần hƣớng dẫn học sinh tìm tòi nhiều cách giải biết chọn cách giải hay để trình bày vào làm e Tạo cho học sinh tiềm tin khát vọng cố gắng nỗ lực kết ngày cao khoa luan, tieu luan39 of 102 39 Tai lieu, luan van40 of 102 g Chỉ giúp đỡ học sinh việc tìm tịi lời giải khơng có giúp đỡ giáo viên em khơng vƣợt qua đƣợc phƣơng pháp gợi mở Tránh giải toán cho học sinh h Rèn cho học sinh nếp suy nghĩ khoa học, không thoả mãn với kết đạt đƣợc i Kỹ trình bày lời giải tốn phải chặt chẽ có sở khoa học phạm trù kiến thức cho phép bậc học Trên điều rút qua trình thực đề tài nhƣ trình giảng dạy thân nhiều năm giúp học sinh học tốt có niềm đam mê mơn tốn Tôi xin chân thành cảm ơn ! 10 tháng năm 2013 Ngƣời làm đề tài Nguyễn Trọng Tuân khoa luan, tieu luan40 of 102 40 Tai lieu, luan van41 of 102 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi trẻ – Nhà xuất Giáo dục Nâng cao phát triển Tốn – Tác giả : Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển Toán – Tác giả : Vũ Hữu Bình Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào 10 chun mơn Tốn ( Nhóm tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm – Tạ Hữu Phơ ) Các toán bất đẳng thức kỳ thi chọn học sinh giỏi thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Bất đẳng thức cực trị hình học phẳng – Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Các đề thi chọn học sinh giỏi lớp thành phố Hà Nội số tỉnh thành khoa luan, tieu luan41 of 102 41 ... chứng minh bất đẳng thức : nhƣ biến đổi tƣơng đƣơng, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức nhƣ bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski,... 2005-2006) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S x y z Trên tơi trình bày số phƣơng pháp nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) chứng minh bất đẳng. .. thấy bất đẳng thức tồn giá trị biến để có đẳng thức nên chuyển thành toán cực trị đại số +) Sử dụng kết hợp với bất đẳng thức cô-si, số bất đẳng thức khác ta số toán sau: Bài 4: ( Thi chọn học sinh